精品解析：重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期9月月考模拟数学试题

重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学9月第一次考试模拟试卷 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，是斜边 上的高，，则下列比值中等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图， 和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则 和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，不一定是真命题的是（ ） A. 平行四边形的两条对角线长度相等 B. 菱形的两条对角线互相垂直 C. 矩形的两条对角线长度相等且互相平分 D. 正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分 6. 某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机架，乙种型号无人机架．根据题意可列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 7. 估算的值（ ） A. 在3和4之间 B. 在4和5之间 C. 在2和3之间 D. 在5和6之间 8. 下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有 15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（ ） A. 72 B. 64 C. 60 D. 50 9. 已知四边形和都是正方形，点在线段 上，连接、 ， 交于点．若，则( ) A. B. C. D. 10. 在多项式中，除首尾项、外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式进行．例如：“消减操作”为，与同时“消减操作”为，，下列说法： ①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项； ②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果； ③若可以去掉的三项，，满足：，则的最大值为． 其中正确的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 已知， 中，是锐角，，则的度数是__________． 12. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 13. 如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线、，使，与边BC交于点P，若∠1=38°，则∠BPD的度数为 __________ . 14. 已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于_____． 15. 如图，点B在x轴正半轴上，且AB⊥OB，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，点B′的坐标为（1，）．若反比例函数（）的图像经过A点，则k的值为__． 16. 若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为________． 17. 如图，点 在矩形的边上，将 沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，那么_______． 18. 一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多 ，则称这样的四位数为“多益数”, 如: ，∵, ∴是“多益数”；又如：， ∵，∴不是“多益数”；现有一个“多益数”，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为（，），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数 ，若 ，能被整除, 则__________；规定 ，若为完全平方数，则满足条件的“多益数”中，最大值与最小值的差是_________． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 计算： （1）因式分解：； （2）计算：． 20. 解方程 （1） （2） 21. 学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： （1）用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹） （2）已知：在四边形中，， 为 中点，为中点 猜想：，且． 证明：是中点，①______ ， 在和中 ， ， 在中， 是 中点，是中点 且③______． 请你根据该探究过程完成下面命题： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④______． 22. 重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍， （1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元； （2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值． 23. 如图矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点F为BC边上的三等分点(CF<BF)，动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF的面积为． （1）请直接写出关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； （2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围(保留一位小数，误差不超过)． 24. 已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架 ，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．（参考数据：） （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由： （2）若的长度为，，求购物车把手到 的距离．（结果精确到0.1） 25. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接 并延长交x轴于点D，且． （1）求的值并直接写出点 的坐标； （2）点、 是轴上的动点(在上方)且满足，连接，，求的最小值； （3）点 是双曲线上一个动点，是否存在点 ，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的 点的横坐标． 26. 在中，，，过作于点． （1）如图 ，过作于点 ，连接 ，若，求线段 的长； （2）如图2，为平面内一点，连接、，在中，，，延长与交于点，过点作 交 于点 ，若 、、在一条直线上，求证：； （3）如图3，为上一点，连接， 为上一点，若，，连接，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学9月第一次考试模拟试卷 一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合； 是中心对称图形的只有B． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，单项式除以单项式，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用锐角三角函数定义判断即可． 【详解】在中，， 在中，， ∵，， ∴， 在， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 4. 如图， 和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则 和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似图形的周长比等于相似比是解题关键．根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴ 和的周长之比为， 故选：D． 5. 下列命题中，不一定是真命题的是（ ） A. 平行四边形的两条对角线长度相等 B. 菱形的两条对角线互相垂直 C. 矩形的两条对角线长度相等且互相平分 D. 正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形，菱形，矩形和正方形的性质分别判断即可． 【详解】解：A、平行四边形的两条对角线长度不一定相等，故不一定是真命题，符合题意； B、菱形的两条对角线互相垂直，是真命题，不符合题意； C、矩形的两条对角线长度相等且互相平分，是真命题，不符合题意； D、正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分，是真命题，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形以及正方形的性质，难度不大． 6. 某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机 架，乙种型号无人机 架．根据题意可列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析题意，找到两个等量关系，分别列出方程，联立即可． 【详解】设甲种型号无人机 架，乙种型号无人机 架 ∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架， ∴ ∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架 ∴ 联立可得： 故选：D． 【点睛】本题考查实际问题与二元一次方程组．关键在于找到题中所对应的等量关系式． 7. 估算的值（ ） A. 在3和4之间 B. 在4和5之间 C. 在2和3之间 D. 在5和6之间 【答案】A 【解析】 【分析】根据可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是能够对一个无理数正确估算其大小在哪两个整数之间． 8. 下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有 15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（ ） A. 72 B. 64 C. 60 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得第①个图形中一共有8=（7+1）个正方形，第②个图形中一共有 15=（7×2+1）个正方形，第③个图形中一共有22=（7×3+1）个正方形，……由此发现规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得：第①个图形中一共有8=（7+1）个正方形， 第②个图形中一共有 15=（7×2+1）个正方形， 第③个图形中一共有22=（7×3+1）个正方形， …… 由此发现，第n个图形中一共有（7n+1）个正方形， ∴第⑨个图形中正方形的个数为7×9+1=64个． 故选：B 【点睛】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 9. 已知四边形 和都是正方形，点 在线段上，连接、 ， 交于点 ．若，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点 ，作，交的延长线于 ，设与交于，先证明四边形为矩形，再证明和全等得，则矩形为正方形，由此得，则，进而得，则，由此可得的度数． 【详解】解：过点作于点 ，作，交的延长线于 ，设与交于，如图所示： 则， 四边形 和都是正方形， ，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形， 平分， ， ， ， ， 是正方形 的对角线， ， ， ， ， ． 故选：． 10. 在多项式中，除首尾项、外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式进行．例如：“消减操作”为，与同时“消减操作”为，，下列说法： ①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项； ②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果； ③若可以去掉的三项，，满足：，则的最大值为． 其中正确的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查新定义运算、绝对值、多项式；①根据消减操作定义，用符合条件的式子进行验证即可；②根据消减操作定义计算，再分类讨论化简绝对值，即可判断；③根据消减操作定义及绝对值性质，求出的最小值． 【详解】解：①“消减操作”后的式子，“消减操作”后的式子对这两个式子作差， 得 ， 结果不含与相关的项， ①正确； ②若每种操作只消退一项，则分三种情况： 消减操作后的结果， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 消减操作后的结果， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 消减操作后的结果， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 共有种不同的结果， ②错误； ③，在数轴上表示点与和的距离之和， 当距离取最小值时，的最小值为， 同理，在数轴上表示点与 和的距离之和， 当距离取最小值时，的最小值为 ， ，在数轴上表示点与 和的距离之和， 当距离取最小值时，的最小值为， 当，，都取最小值时， ， ③正确， 故选：C． 二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 已知， 中，是锐角，，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊三角函数值，直接求角即可． 【详解】解：∵ 中，是锐角，， ∴∠A=30°． 故答案为30°． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值求角，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 12. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和． 设这个多边形的边数为n，根据题意得出，求出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则， 解得：， 故答案为：6． 13. 如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线、，使，与边BC交于点P，若∠1=38°，则∠BPD的度数为 __________ . 【答案】142° 【解析】 【详解】分析：先根据平行线的性质，得到∠ADP的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠BPD的度数． 详解：∵l1∥l2，∠1=38°，∴∠ADP=∠1=38°． ∵矩形ABCD的对边平行，∴∠BPD+∠ADP=180°，∴∠BPD=180°﹣38°=142°． 故答案为142°． 点睛：本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 14. 已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，分别把a，b代入方程可得a2-a=1，b2-b=1，再把代数式3a2+2b2-3a-2b变形代入即可． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根， ∴a2-a=1，b2-b=1， ∴3a2+2b2-3a-2b=3a2-3a+2b2-2b =3（a2-a）+2（b2-b）=3+2=5． 故答案为5 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义．一般解题思路是，把表示根的字母代入方程得到相关的等式，再把所求的代数式变形成已知条件的形式，把已知条件整体代入即可． 15. 如图，点B在x轴正半轴上，且AB⊥OB，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，点B′的坐标为（1，）．若反比例函数（）的图像经过A点，则k的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】过点B′作B′D⊥x轴于点D，根据BA⊥OB于点B及图形旋转的性质求出∠B′BD的度数，再由直角三角形的性质得出BD及BB′的长，故可得出点A的坐标，进而可得出结论． 【详解】解：如图，过点B′作B′D⊥x轴于点D， ∵BA⊥OB于点B， ∴∠ABD＝90°． ∵线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置， ∴∠ABB′＝60°， ∴∠B′BD＝90°−60°＝30°． ∵点B′的坐标为（1，）， ∴OD＝1，B′D＝， ∴BB′＝2B′D＝2，BD＝＝3， ∴OB＝1＋3＝4，AB＝BB′＝2， ∴A（4，2）， ∴k＝4×2＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是坐标与图形变化−旋转，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数的定义得出A点坐标是解答此题的关键． 16. 若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了含有字母参数的不等式组与分式方程综合问题的解决能力，关键是能对以上问题准确求解，并根据题意确定字母参数的取值． 先解不等式组并求得符合题意的a的取值范围，再解分式方程并求得符合题意的a的取值范围，然后确定a的所有取值，最后计算出此题结果． 【详解】 解得： ， ∵不等式组有且只有2个整数解， ∴， 解得 解分式方程得， ∵y的值解为正数， ∵，且 ， ∵且 ， ∴满足条件的整数a的值有3和5， ∴ 故答案为： 17. 如图，点在矩形 的边上，将 沿翻折，点 恰好落在边的点 处，如果，，那么_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．由矩形与折叠的性质，得到，，利用锐角三角函数，得出，，，再根据同角的余角相等，得到，再结合锐角三角函数即可求解． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：3． 18. 一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多 ，则称这样的四位数为“多益数”, 如: ，∵, ∴是“多益数”；又如：， ∵，∴不是“多益数”；现有一个“多益数” ，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为（，），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数 ，若 ，能被整除, 则__________；规定 ，若为完全平方数，则满足条件的“多益数” 中，最大值与最小值的差是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，，据此即可求得的值；进一步可知，结合的数值，分情况讨论：，，，，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，． ，． 因为能被整除，所以． ∵，， ∴． 当时，． ∵， ∴． ∴． ∵为完全平方数， ∴． ∴（舍去）． 同理，当时，，，当时，，，当时，，， ∴满足条件的“多益数” 中，最大值与最小值的差． 故答案为：　　 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 计算： （1）因式分解：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． （1）根据平方差公式计算即可求解； （2）先算除法，再算减法． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，分式方程的解法，熟练选择正确的解法是解题的关键． （1）利用配方法求方程的根． （2）化成整式方程，计算，注意验根． 【小问1详解】 解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得；； 【小问2详解】 解：， 去分母，得 ， 解得， 经检验，是原方程的根． 21. 学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下： （1）用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点 ，连接，连接 并延长交线段的延长线于点 （只保留作图痕迹） （2）已知：在四边形 中，，为中点， 为中点 猜想：，且． 证明：是中点， ①______ ， 在和中 ， ， 在中，是中点， 是 中点 且③______． 请你根据该探究过程完成下面命题： 连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）① ； ② ； ③ ；④等于两底和的一半 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，梯形中位线定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图： （1）根据线段垂直平分线的尺规作图作图方法以及题意作图即可； （2）根据已给推理过程结合全等三角形的性质与判定定理和三角形中位线定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍， （1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元； （2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值． 【答案】（1）桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元； （2）m的值为2 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出桂花鱼的单价，再将其代入中，即可得出大罗非的单价； （2）利用数量=总价÷单价，可求出第一次购买大罗非的数量，再利用总价=单价×数量，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元； 【小问2详解】 第一次购买大罗非的数量是（斤）． 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：m的值为2． 23. 如图矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点F为BC边上的三等分点(CF<BF)，动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF的面积为． （1）请直接写出关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； （2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围(保留一位小数，误差不超过)． 【答案】（1） （2）见解析，函数的性质：当时， 随 的增大而增大，当时， 随 的增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与反比例函数图象的性质； （1）分两种情况当时和当时，写出一次函数解析式即可； （2）画出、函数图像并根据函数的图像写出一条函数的性质即可； （3）根据两个函数图像及交点坐标位置，直接写出不等式解集即可． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：函数、的图象如图： 函数的性质：当时， 随 的增大而增大，当时， 随 的增大而减小； 【小问3详解】 解：由两个函数图像可知，当时 的取值范围为或． 24. 已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架 ，两轮轮轴的距离（购物车车轮半径忽略不计），、均与地面平行．（参考数据：） （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由： （2）若的长度为，，求购物车把手 到的距离．（结果精确到0.1） 【答案】（1） 解：两支架与为垂直的位置关系，理由如下： 在 中． ∵，，且， ∴ ∴， 答：两支架与为垂直的位置关系； （2）购物车把手 到的距离为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含度角的直角三角形的性质； （1）根据题意可得，根据勾股定理的逆定理即可得出，即可求解； （2）过点 作的垂线，交的延长线分别于点，根据平行线的可得出，在中，勾股定求得，根据等面积法，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所所示，过点 作的垂线，分别交的延长线于点，设点C到的距离为h， ∴ ∵，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：购物车把手 到的距离为． 25. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接 并延长交x轴于点D，且． （1）求 的值并直接写出点的坐标； （2）点 、 是 轴上的动点( 在上方)且满足，连接，，求的最小值； （3）点 是双曲线上一个动点，是否存在点 ，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的 点的横坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）点P的横坐标为：，， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，相似三角形的性质与判定； （1）运用一次函数与反比例函数的交点坐标即可求解； （2）根据，求得点 的坐标，再把将军饮马模型在坐标系中直接运用，根据勾股定理求解即可； （3）根据题意画图分析，根据平行求相关函数关系式，再求两条线的交点解方程组，即可得解． 【小问1详解】 解：根据题意可知点，在直线和双曲线的图象上， ，解得， 点的坐标为，代入双曲线得： ， 由图象可知点与点关于原点对称， ∴； 【小问2详解】 过点、 分别作 轴的垂线，垂足分别为、 ，作点关于 轴的对称点点，并向下平移一个单位记为，连接， 则，， ， ， ，，，， ，， ，即点 的纵坐标为 ， 点 在反比例函数的图象上， ，， 的最小值即为； 【小问3详解】 当时，当在 轴下方时，， 设直线 的解析式为， 由（2）可知：，， 解得， ， 当 时，，解得， ， ，直线 的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得：， ， ， 由 是直线与反比例函数的交点可得： 解得， 此时点 在第三象限，不符合题意， 当在 轴上方时，则与下方的关于 轴对称， 可得直线的解析式为：， 联立得， 此时点 在第一象限，两个都符合题意， 点 的横坐标为：． 26. 在 中，，，过作于点 ． （1）如图 ，过 作于点，连接 ，若，求线段 的长； （2）如图2， 为平面内一点，连接、，在中，，，延长与交于点 ，过点 作 交 于点 ，若 、 、 在一条直线上，求证：； （3）如图3， 为上一点，连接， 为上一点，若，，连接，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据角直角三角形的特殊关系，求出 、、，然后根据勾股定理去求 即可； （2）利用两组三角形相似，得到和的关系，然后根据比例的基本性质证明即可； （3）延长构造等边三角形，然后利用两组三角形相似求出 ，最后利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ，， ， 过作于 ，如图 ， ，， ， ， ， ， 【小问2详解】 证明：，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 延长交于 ，延长到，使，连接 ，如图： ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 过 作于 ，过 作于 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $