专题04 整式的加减（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

专题04整式的加减思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值在数轴中的化简 【解惑】如图所示，是有理数，则式子化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若有理数在数轴上的位置如图，则等于（　　） A． B． C． D． 2．有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 3．数a，b，c在数轴上的位置如图所示且； (1)求：与的值 (2)化简：． 类型二、不含某项、与某项无关 【解惑】要使中不含有的五次项，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若关于x、y的多项式不含项，则k的值是（   ） A．3 B．0 C． D． 2．若代数式的值与x，y的取值无关，那么k的值为 ． 3．（1）学习了整式的加减运算后，老师给同学们性了一个任务： 已知，自行给b取一个喜欢的数．先化简下列式子，再代入求值． ． 小杜、小康、小磊三人经过化简计算，后来交流结果时发现，虽然三人给b取的值都不同，但计算结果却完全一样．请解释出现这种情况的原因，并求这个计算结果． （2）已知代数式． ①当时，求的值； ②若的值与y的取值无关，求x的值． 类型三、整式加减中的阴影部分 【解惑】6张长为4，宽为1的小长方形纸片，按图②所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（恰好是两个长方形）用阴影表示．设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变大时，S的值会（    ） A．变大 B．变小 C．不变 D．不确定 【融会贯通】 1．两个正方形如图摆放，大正方形的边长是4，小正方形边长是2，两阴影部分的面积分别为a，b，则两阴影部分的面积差为（       ）    A．20 B．14 C．12 D．无法计算 2．如图，把一副七巧板按如图进行1~7编号，如果编号5对应的面积等于5cm2，则由这幅七巧板拼得的“房子”中阴影部分的面积等于 cm2． 3．观察下列图形及图形所对应的等式，探究图形阴影部分的面积变化与对应等式的规律，并解答下列问题： ①； ②； ③； ④ ； …… (1)补全第四个等式，并直接写出第n个图对应的等式： ． (2)计算：． (3)若x是正整数，且，求x的值． 类型四、整式加减中的行列排序 【解惑】将自然数1，2，3，4……如表排列，各列分别用A，B，C，D，E表示，则2023所在的行、列为（　 　）． A B C D E 第1行 1 2 3 4 第2行 8 7 6 5 第3行 9 10 11 12 第4行 16 15 14 13 第…行 …… …… …… …… A．第504行B列 B．第505行C列 C．第506行B列 D．第507行D列 【融会贯通】 1．观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第行列，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 2．将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 3．观察下面三行数： ，…① ，…② ，…③ (1)第①行第7个数为 ，第②行第7个数为 ，第③行第7个数为 ． (2)设第①行第 m 个数为 k ，则第②行第 m 个数为 ，第③行第 m 个数为 （用含 k 的式子表示） (3)是否存在第 n 列数（每行取第 n 个数），这三个数之和为509？若存在，请通过计算求出这三个数分别是多少？若不存在，请说明理由． 类型五、整式加减中的二项式 【解惑】我国古代数学的许多创新和发明都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式”的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算 的展开式中第三项的系数为 （    ） A．2021 B．2020 C．191 D．190 【融会贯通】 1．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图中的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据图中的规律，若，则（    ） A．64 B． C．56 D． 2．我国古代许多数学的创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉约世纪所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项式和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为 ． 3．如图1，是（n为非负整数）去掉括号后，每一项按照字母x的次数从大到小排列，得到的一系列等式．如图2，是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；经观察：一个二项式和的乘方的展开式中，各项的系数与图2中某行的数一一对应． 当时，，其中表示的是项的系数，是常数项．如，其中．所以，展开后的系数和为．也可令． 根据以上材料，解决下列问题： (1)写出去掉括号后，每一项按照字母x的次数从大到小排列的等式； (2)若，求的值； (3)已知，其中t为常数．若，求的值． 类型六、整式加减中的收费问题 【解惑】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，若某用户月份用了吨水． 月用水费 不超过吨部分 超过吨不超过吨部分 超过吨部分 收费标准（元/吨） (1)请分别写出，，，水费的代数式． 解：当时，水费为：___________； 当时，水费为：___________； 当时，水费为：___________． (2)当用水量为8吨和吨时，各需付水费多少元？ 【融会贯通】 1．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，衡阳市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，表示立方米） 价目表 每月用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 请根据上表的内容解答下列问题： (1)填空：若该户居民9月份用水，则应交水费元； (2)若该户居民10月份用水，则应交水费多少元？ (3)若该户居民11、12两个月共用水，设11月份用水：，，求出该户居民11、12两个月共交水费多少元（用含x的代数式表示，并化简）． 2．某城市出租车的收费标准为3千米以内（含3千米）收费8元，超过3千米时，超过部分每千米收费元． (1)甲乘坐出租车千米应付车费______元． (2)乙乘坐5千米应付车费______元． (3)丙乘坐出租车x千米（），请用含x的代数式表示应付费用（结果要化简）． 3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按一个月结算一次），请根据价目表的内容解答下列问题： 每月用水量（m³） 单价（元/m³） 不超出的部分 3 超出不超出的部分 4 超出的部分 7 (1)填空：若该户居民1月份用水 20 立方米，则应收水费______元；若该户2 月份用水30立方米，则应收水费______元； (2)若该户居民某个月交水费152元，则该户居民在这个月用水多少立方米？ (3)若该户居民3月份用水x立方米（其中），则应收水费多少元？（结果用含x 的代数式表示） 类型七、整式加减中的销售问题 【解惑】某市专营海尔家电的经销商采购了A，B两种型号的空调各40台，60台，计划在暑期来临时分配给甲，乙两家商场销售．调配员根据市场需求制作了如下的调配表格（单位：台） A B 合计 甲商场 70 乙商场 30 合计 40 60 100 (1)设调配给甲商场台A型号空调，请你根据题意补全上面的调配表格； (2)若两家商场销售这两种型号的空调每台的利润如下表（单位：元），求两家商场全部卖出这100台空调共能获得多少元利润（用含的式子表示）？ A B 甲商场 500 400 乙商场 450 300 【融会贯通】 1．“双十一”期间，某电商城销售一种平板电脑和智能手写笔，平板电脑每台定价3000元，智能手写笔每支定价800元．商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台平板电脑送一支智能手写笔； 方案二：平板电脑和智能手写笔都按定价的付款． 现某客户要到该实场购买平板电脑6台，智能手写笔x支． (1)若该客户按方案一购买，能付款_______元（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款_______元．（用含x的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，如果两种方案可以同时使用，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 2．某商场计划投入一笔资金采购一批商品，经过市场调查发现，有两种销售方式： 方式一：如果月末出售，可获利，但要付出仓储费用900元； 方式二：如果月初出售，可获利，并可用本金和利润再投资其他商品，到月末又可获利． 若商场投资本金x元，回答下列问题： (1)月末出售所获得的利润________元（用含x的最简代数式表示），月初出售所获得的利润为________元（用含x的最简代数式表示）； (2)若商场投资本金20000元，请问选择哪种销售方式获利较多？此时获利多少元？ 3．某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国庆节”期间商场决定开展促销活动，在活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（）． (1)请分别求出该客户按方案一、方案二购买，各需付款多少元？（结果用含x的式子表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请直接写出你的购买方案，并算出此时共花多少钱？ 类型八、整式加减中的归纳 【解惑】先观察下列式子的变形规律： ， ， ， (1)类比思考 ； (2)归纳猜想：若n为正整数，那么 ； (3)运用上面的知识计算：． 【融会贯通】 1．你能很快算出吗？ (1)探索规律：，可写成 ，可写成 ，可写成 ……                …… ，可写成_______________． (2)从第（1）题的结果归纳出： ____________． (3)根据上面的归纳，计算． 2．【问题背景】图1中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，这样的图各点我们称为正方形网格点．图都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请参照下面的探究过程，完成相应的问题． 图1 表1 边上的点数 4 8 8 9 多边形面积 2 4 4 表2 图① 图② 边上的点数 多边形面积 (1)【观察发现】当内部有1个点时，图2格点多边形边上的点数和面积统计如表1．请完成表格1，并归纳与之间的关系式为：______． (2)当多边形内部有2个点时，在如图3的格点图中，分别画出边上点数分别为6和10的两个格点多边形，然后将所画图形的面积填写在表格2中．归纳与之间的关系式为：______． (3)【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为，边上的点数为，格点多边形的面积为．试用含，的代数式表示，并用所得规律求出【问题背景】中图1中图形的面积． (4)【拓展应用】若把正方形网格点改成如图4的三角形形网格点，设格点多边形内部的点数为，边上的点数为，格点多边形的面积为．用上述的推理思维写出用含，的代数式来表示：______ 3．试比较与的大小．为了解决这个问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（为正整数），从分析、、、这些简单问题入手，从中发现规律，经过归纳、猜想出结论： (1)在横线上填写“”、“”、“”号： ____________，____________，____________，____________，____________ (2)从上面的结果经过归纳，可以猜想出和的大小关系是： 当____________时，____________； 当____________时，____________； (3)根据上面猜想得出的结论试比较下列两个数的大小：____________． 【一览众山小】 1．已知一列数，，，…，它们满足关系式，，，…，当时，则（    ） A．2 B． C． D． 2．已知整数、、、、满足下列条件：，，，，，以此类推，则（　　） A． B． C． D． 3．已知一列数：，，，，，，，，将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第行从右边数第个数为 ． 4．“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： 解答下列问题：请用上面得到的规律计算： ． 5．观察下列各式： …… 根据以上规律，计算的值． 6．如图1，将九个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图为广义的三阶幻方 (1)请利用三阶幻方的性质填满图2 (2)走法是每步直一格再斜一格，即先横着或直着走一格，然后再斜着走一个对角线，可进可退．中国象棋中的马可越过河界，俗称“马走日”，则在图二的左下角一点放入一个马，是否可以不遗漏的走完图二边框的所有点？若能，请直接写出最少需要几步，若不能，请说明理由 7．观察下列图形，并根据图形规律解决问题 观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为、、、…、，可得：；；；…， (1)由图①直接写出___________，由图②直接写出___________； (2)通过图②可以发现： 第1个图形可得等式：； 第2个图形可得等式：； 第3个图形可得等式：； … 第个图形可得等式：_____________________； (3)根据以上结论计算：． 8．【操作观察】任意一张三角形纸片有3个顶点，在三角形内部依次增画点（所画的点不在三角形的边上且互相不重合）． 第1次在它的内部增画1个点，此时三角形纸片内部共有1个点； 第2次在它的内部继续增画2个点，此时三角形纸片内部共有个点； 第3次在它的内部继续增画3个点，此时三角形纸片内部共有个点； …， 第n次在它的内部继续增画n个点．此时三角形纸片内部共有m个点． 【动手实践】第n次继续增画点后在三角形纸片内部共有m个点，以三角形纸片上个点为顶点，把三角形纸片剪成若干个小三角形纸片，设最多可以剪得个小三角形． 【思考解答】 (1)第4次继续增画点后，______；第n次继续增画点后，______（用含有n的代数式表示）； (2)第1次增画点后，如图①，以4个点为顶点，将原三角形纸片剪成小三角形，最多可以剪得3个小三角形，所以；第2次继续增画点后，如图②，以6个点为顶点，最多可以剪得7个小三角形，所以；第3次继续增画点后，以9个点为顶点，可得______；第n次继续增画点后，可得______（用含有n的代数式表示）； (3)第n次继续增画点后，可得个小三角形，第次继续增画点后，可得个小三角形，则______（用含有n的代数式表示）． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04整式的加减思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值在数轴中的化简 【解惑】如图所示，是有理数，则式子化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果，熟练掌握绝对值的意义是解本题的关键． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故选：D． 【融会贯通】 1．若有理数在数轴上的位置如图，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的化简、整式的加减运算等知识点，正确的化简绝对值是解题的关键． 先由数轴确定a、b的符号，进而确定每个绝对值里面的代数式的符号，然后根据绝对值的性质化简绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：由图示可得：且， ∴， ∴． 故选D． 2．有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号，先推出，，，据此去绝对值，然后根据整式的加减计算法则化简即可． 【详解】解：由数轴上点的位置可知， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 3．数a，b，c在数轴上的位置如图所示且； (1)求：与的值 (2)化简：． 【答案】(1)0， (2) 【分析】 此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）由题意得到与互为相反数，利用相反数性质计算即可得到结果； （2）由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】（1）由数轴上点的位置得：与互为相反数， 则，； （2）由数轴得：， ，，， 则原式． 类型二、不含某项、与某项无关 【解惑】要使中不含有的五次项，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减中不含某项问题，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键．先利用多项式乘以单项式法则及合并同类项法则进行运算，再根据不含的五次项，确定的值． 【详解】解：， ， ， 中不含有的五次项， ， 解得：． 故选：D． 【融会贯通】 1．若关于x、y的多项式不含项，则k的值是（   ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式，根据在多项式中不含哪一项，则哪一项的系数为0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值．根据不含项即含项的系数为0，据此求解即可 【详解】解：依题意， ∵该多项式不含项， ∴， ∴， 故选：C． 2．若代数式的值与x，y的取值无关，那么k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项以及代数式求值，正确得出x，y的系数关系是解题的关键．直接利用合并同类项得运算法则得出k的值，进而得出答案． 【详解】解：， ∵代数式的值与x，y的取值无关， ∴且， 解得：． 故答案为： 3．（1）学习了整式的加减运算后，老师给同学们性了一个任务： 已知，自行给b取一个喜欢的数．先化简下列式子，再代入求值． ． 小杜、小康、小磊三人经过化简计算，后来交流结果时发现，虽然三人给b取的值都不同，但计算结果却完全一样．请解释出现这种情况的原因，并求这个计算结果． （2）已知代数式． ①当时，求的值； ②若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】（1）原式的化简结果与b的取值无关，结果为29；（2）①；②1 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）先把所求式子去括号，然后合并同类项化简得到，据此可得化简的结果与b的取值无关，在代入a的值计算即可； （2）①先根式整式的加减计算法则求出的结果，再代值计算即可； ②先根式整式的加减计算法则求出的结果，再根据的值与y的取值无关，即化简结果含y的项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； ∴无论b取何值，的化简结果都与b的值结果无关； （2）①∵ ∴ ， 当时，原式； ②∵， ∴ ， ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴． 类型三、整式加减中的阴影部分 【解惑】6张长为4，宽为1的小长方形纸片，按图②所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（恰好是两个长方形）用阴影表示．设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变大时，S的值会（    ） A．变大 B．变小 C．不变 D．不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式加减的意义，设左上角长方形的长为，宽为，则右下角的长方形的长为，宽为4 ，再根据长方形面积公式表示出两个阴影部分长方形面积，进而表示出S即可得到答案． 【详解】解：设左上角长方形的长为，宽为， ∴右下角的长方形的长为，宽为4 ， ∴， ∴当的长度变大时，S的值会不变， 故选：C． 【融会贯通】 1．两个正方形如图摆放，大正方形的边长是4，小正方形边长是2，两阴影部分的面积分别为a，b，则两阴影部分的面积差为（       ）    A．20 B．14 C．12 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键．设空白部分的面积为，根据题意列出关系式，相减即可求出的值． 【详解】解：设空白部分的面积为． 根据题意，得，， 则，， 所以． 故选：C． 2．如图，把一副七巧板按如图进行1~7编号，如果编号5对应的面积等于5cm2，则由这幅七巧板拼得的“房子”中阴影部分的面积等于 cm2． 【答案】50 【分析】根据等腰直角三角形的面积求出边长，再求出7号的面积和斜边长，求出整个正方形的面积，然后减去空白图形的面积，剩余就是阴影部分的面积． 【详解】解：设编号5的边长是x，则4号的边长是x． ∵5对应的面积等于5cm ∴ ∴ ∴7号的面积，斜边长 ∴七巧板拼成的最大正方形的面积是： ∴阴影面积是：80-5-5-20=50cm² 故答案为：50． 【点睛】此题考查求阴影部分的面积，解题的关键把不规则的图形转换成规则图形的面积，利用已知面积求出边长． 3．观察下列图形及图形所对应的等式，探究图形阴影部分的面积变化与对应等式的规律，并解答下列问题： ①； ②； ③； ④ ； …… (1)补全第四个等式，并直接写出第n个图对应的等式： ． (2)计算：． (3)若x是正整数，且，求x的值． 【答案】(1)；第n个图对应的等式是： (2) (3) 【分析】本题考查探究图形的变化类规律及解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题目中的等式，可以补全第四个等式，然后写出第个图对应的等式； （2）根据题目中式子的特点，利用（1）中的结论，即可解答本题； （3）根据（1）中的结论，可以求得的值． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：；第n个图对应的等式是：； （2） ； （3）是正整数，， ， ， 解得：． 即的值是． 类型四、整式加减中的行列排序 【解惑】将自然数1，2，3，4……如表排列，各列分别用A，B，C，D，E表示，则2023所在的行、列为（　 　）． A B C D E 第1行 1 2 3 4 第2行 8 7 6 5 第3行 9 10 11 12 第4行 16 15 14 13 第…行 …… …… …… …… A．第504行B列 B．第505行C列 C．第506行B列 D．第507行D列 【答案】C 【分析】本题主要考查了数阵图中找规律问题的应用．先看行，每行4个数，用2023除以4判断行数；再看列，每8个数按照B、C、D、E、D、C、B、A，用2023除以8判断列数，据此解答． 【详解】解：每4个数一行，则2023÷4=505（行）……3（个） 505+1=506（行） 列：周期为B、C、D、E、D、C、B、A，两行8个数看作1组有规律的排列，则 2023÷8=252（组）……7（个） 余数是7则是第B列．。 答：2023所在的行、列为506行B列． 故选：C． 【融会贯通】 1．观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第行列，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】C 【分析】观察数表得到a，b的值，即可求出答案. 【详解】解：观察数表可得，同一行的分数，分子与分母的和不变，（m，n为正整数）在第行，第n列， ∴在第行，第列， ∴， 故选：C. 2．将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 【答案】 45 2 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴2024在第行，第2列， ∴，， 故答案为：45，2． 3．观察下面三行数： ，…① ，…② ，…③ (1)第①行第7个数为 ，第②行第7个数为 ，第③行第7个数为 ． (2)设第①行第 m 个数为 k ，则第②行第 m 个数为 ，第③行第 m 个数为 （用含 k 的式子表示） (3)是否存在第 n 列数（每行取第 n 个数），这三个数之和为509？若存在，请通过计算求出这三个数分别是多少？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，1024，1021， 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式， （1）根据题目中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以写出每行的第7个数； （2）根据（1）中发现，可以写出第②行第m个数和第③行第m个数； （3）先判断是否存在，然后根据判断进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，…；① ∴第n个数为， ∴当时，这个数为， 由题目中的数据可知， 第②行的每个数据是对应的第①行的数据减3得到的， ∴第②行第7个数为， ∵③， ∴第n个数为， ∴第③行第7个数为， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， 第①行第m个数为k，则第②行第m个数为，第③行第m个数为， 故答案为：； （3）解：存在第n列数（每行取第n个数），这三个数之和为509， 令， 解得， ∴，，， 即存在第n列数（每行取第n个数），这三个数之和为509，这三个数为1024，1021，． 类型五、整式加减中的二项式 【解惑】我国古代数学的许多创新和发明都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式”的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算 的展开式中第三项的系数为 （    ） A．2021 B．2020 C．191 D．190 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，据图可得，的第三项系数为，进而求出的展开式中第三项的系数即可． 【详解】解：由图可知： 的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； ∴的第三项系数为， ∴的展开式中第三项系数为． 故选： D． 【融会贯通】 1．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图中的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据图中的规律，若，则（    ） A．64 B． C．56 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字规律的探索，求出当和时的式子，相加即可求出结果． 【详解】解：当时，①， 当时，②， ①②得：， ． 故选：B． 2．我国古代许多数学的创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉约世纪所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项式和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为 ． 【答案】 【分析】根据“杨辉三角”确定出所求展开式第三项的系数即可．此题考查了探索数字规律以及数学常识，弄清“杨辉三角”中的系数规律是解本题的关键． 【详解】解：结合已有图形， 得找规律发现的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； 不难发现的第三项系数为， 故答案为：． 3．如图1，是（n为非负整数）去掉括号后，每一项按照字母x的次数从大到小排列，得到的一系列等式．如图2，是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；经观察：一个二项式和的乘方的展开式中，各项的系数与图2中某行的数一一对应． 当时，，其中表示的是项的系数，是常数项．如，其中．所以，展开后的系数和为．也可令． 根据以上材料，解决下列问题： (1)写出去掉括号后，每一项按照字母x的次数从大到小排列的等式； (2)若，求的值； (3)已知，其中t为常数．若，求的值． 【答案】(1)（x-1）6=x6-6x5+15x4-20x3+15x2-6x+1 (2)41 (3)1024或-32 【分析】（1）由题意可则，（x-1）6的系数与杨辉三角的第7行数对应，即可求解； （2）由（2x+1）4=16x4+8x3+4x2+2x+1，求解即可； （3）求出t=±3，当t=3时，令x=1，则a5+a4+a3+a2+a1+a0=45=1024；当t=-3时，令x=1，则a5+a4+a3+a2+a1+a0=（-2）5=-32． 【详解】（1）解：由题意可得，（x-1）6的系数与杨辉三角的第7行数对应， ∴（x-1）6=x6-6x5+15x4-20x3+15x2-6x+1； （2）∵（2x+1）4=16x4+32x3+24x2+8x+1， ∴a4+a2+a0=16+24+1=41； （3）∵a3=10t2=90， ∴t=±3， 当t=3时，（x+3）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0， 令x=1，则a5+a4+a3+a2+a1+a0=45=1024； 当t=-3时，（x-3）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0， 令x=1，则a5+a4+a3+a2+a1+a0=（-2）5=-32； 综上所述：a5+a4+a3+a2+a1+a0的值为1024或-32． 【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的阅读材料，找到展开式各项系数的规律是解题的关键． 类型六、整式加减中的收费问题 【解惑】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，若某用户月份用了吨水． 月用水费 不超过吨部分 超过吨不超过吨部分 超过吨部分 收费标准（元/吨） (1)请分别写出，，，水费的代数式． 解：当时，水费为：___________； 当时，水费为：___________； 当时，水费为：___________． (2)当用水量为8吨和吨时，各需付水费多少元？ 【答案】(1)，， (2)当用水量为8吨和吨时，各需付水费16元和34元． 【分析】本题考查了列代数式，代数式的求值． （1）根据表格所给的收费标准，列代数式即可； （2）分别将，代入对应的代数式，即可求出费用． 【详解】（1）解：当时，水费为：； 当时，水费为：； 当时，水费为：； 故答案为：，，； （2）解：当时，水费（元）； 当时，水费（元）； 答：当用水量为8吨和吨时，各需付水费16元和34元． 【融会贯通】 1．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，衡阳市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算，表示立方米） 价目表 每月用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 请根据上表的内容解答下列问题： (1)填空：若该户居民9月份用水，则应交水费元； (2)若该户居民10月份用水，则应交水费多少元？ (3)若该户居民11、12两个月共用水，设11月份用水：，，求出该户居民11、12两个月共交水费多少元（用含x的代数式表示，并化简）． 【答案】(1)应交水费6元； (2)应交水费68元 (3)该户居民11、12两个月共交水费元 【分析】本题考查列代数式． （1）该户居民9月份用水，则按第一档缴费； （2）该户居民10月份用水，则按第三档缴费； （3）先判断12月份用水，然后根据各段的缴费列代数式． 【详解】（1）解：该户居民9月份用水，应缴水费（元）； 答：应交水费6元； （2）解：该户居民10月份用水， 由表格可得，则应交水费：元， 答：应交水费68元； （3）解：由题意可得，11月份用水：，，12月份用水， 该户居民11、12两个月共交水费： 元． 答：该户居民11、12两个月共交水费元． 2．某城市出租车的收费标准为3千米以内（含3千米）收费8元，超过3千米时，超过部分每千米收费元． (1)甲乘坐出租车千米应付车费______元． (2)乙乘坐5千米应付车费______元． (3)丙乘坐出租车x千米（），请用含x的代数式表示应付费用（结果要化简）． 【答案】(1)8 (2) (3)丙应付车费元 【分析】本题主要考查分段计费问题． （1）行驶千米，没有超过3千米，应付车费为8元； （2）行驶5千米，应付车费为元； （3）驶x千米，应付车费． 【详解】（1）∵行驶千米，没有超过3千米， ∴应付车费为8元； 故答案为：8； （2）∵行驶5千米，超过3千米， ∴应付车费为（元）； 故答案为：； （3）∵行驶x千米， ∴应付车费（元）； 答：丙应付车费元． 3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下表（注：水费按一个月结算一次），请根据价目表的内容解答下列问题： 每月用水量（m³） 单价（元/m³） 不超出的部分 3 超出不超出的部分 4 超出的部分 7 (1)填空：若该户居民1月份用水 20 立方米，则应收水费______元；若该户2 月份用水30立方米，则应收水费______元； (2)若该户居民某个月交水费152元，则该户居民在这个月用水多少立方米？ (3)若该户居民3月份用水x立方米（其中），则应收水费多少元？（结果用含x 的代数式表示） 【答案】(1)60；94 (2)40 (3) 【分析】此题考查有理数混合运算的应用，整式加减的应用， （1）根据表格收费标准列式计算即可得到水费； （2）先判断该户用水超过，利用水量乘以单价得水费求出水量即可； （3）根据单价乘以水量为水费列式表示即可． 【详解】（1）用水 20 立方米，应收水费（元）； 用水30立方米，应收水费（元）； （2）∵，， ∴该户居民在这个月用水超出， ∴ 即该户居民在这个月用水为； （3）用水x立方米（其中），应收水费元． 类型七、整式加减中的销售问题 【解惑】某市专营海尔家电的经销商采购了A，B两种型号的空调各40台，60台，计划在暑期来临时分配给甲，乙两家商场销售．调配员根据市场需求制作了如下的调配表格（单位：台） A B 合计 甲商场 70 乙商场 30 合计 40 60 100 (1)设调配给甲商场台A型号空调，请你根据题意补全上面的调配表格； (2)若两家商场销售这两种型号的空调每台的利润如下表（单位：元），求两家商场全部卖出这100台空调共能获得多少元利润（用含的式子表示）？ A B 甲商场 500 400 乙商场 450 300 【答案】(1)，， (2)共能获得()元利润 【分析】本题考查列代数式，整式加减的实际应用。读懂题意，正确的列出代数式，是解题的关键。 （1）根据数量之间的和差关系，补全表格即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以数量，求出各部分的总利润，再把各部分的总利润相加即可。 【详解】（1）解：由题意，补全表格如下： A B 合计 甲商场      70 乙商场 30 合计 40 60 100 （2） = = = 答：共能获得（）元利润． 【融会贯通】 1．“双十一”期间，某电商城销售一种平板电脑和智能手写笔，平板电脑每台定价3000元，智能手写笔每支定价800元．商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台平板电脑送一支智能手写笔； 方案二：平板电脑和智能手写笔都按定价的付款． 现某客户要到该实场购买平板电脑6台，智能手写笔x支． (1)若该客户按方案一购买，能付款_______元（用含x的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款_______元．（用含x的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，如果两种方案可以同时使用，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)； (2)按方案一购买较为合算； (3)先买6台平板电脑，送6支智能手写笔，再按方案二购买4支智能手写笔，需付费元． 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值在销售问题中的应用． （1）方案一：买6台平板电脑，送6支智能手写笔，故费用为：6台平板电脑的费用加上支智能手写笔的费用；方案二：6台平板电脑的加上支智能手写笔的，即可得出答案； （2）将分别代入（1）中所得的两种方案并计算即可； （3）可先买6台平板电脑，送6支智能手写笔，再按方案二购买4支智能手写笔，计算即可． 【详解】（1）解：∵方案一：买一台平板电脑送一支智能手写笔， ∴按方案一购买，需付款：元； ∵方案二：平板电脑和智能手写笔都按定价的付款， ∴按方案二购买，需付款：元． 故答案为：；； （2）解：当时，方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴此时按方案一购买较为合算； （3）解：先买6台平板电脑，送6支智能手写笔，再按方案二购买4支智能手写笔， （元）， ， 答：先买6台平板电脑，送6支智能手写笔，再按方案二购买4支智能手写笔，需付费元． 2．某商场计划投入一笔资金采购一批商品，经过市场调查发现，有两种销售方式： 方式一：如果月末出售，可获利，但要付出仓储费用900元； 方式二：如果月初出售，可获利，并可用本金和利润再投资其他商品，到月末又可获利． 若商场投资本金x元，回答下列问题： (1)月末出售所获得的利润________元（用含x的最简代数式表示），月初出售所获得的利润为________元（用含x的最简代数式表示）； (2)若商场投资本金20000元，请问选择哪种销售方式获利较多？此时获利多少元？ 【答案】(1)， (2)选择方式二销售获利较多，此时获利5200元 【分析】（1）根据题意可直接进行列式求解； （2）分别求出两种方式的获利，然后进行比较求解即可． 【详解】（1）解：由方式一可知月末出售所获得的利润为元； 由方式二可知月初出售所获得的利润为元． 故答案为：，； （2）解：由方式一销售：所获得的利润为元； 由方式二销售：所获得的利润为元． ∴选择方式二销售获利较多，此时获利5200元． 【点睛】本题考查列代数式，整式加减的应用，代数式求值．解题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 3．某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．“国庆节”期间商场决定开展促销活动，在活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（）． (1)请分别求出该客户按方案一、方案二购买，各需付款多少元？（结果用含x的式子表示） (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请直接写出你的购买方案，并算出此时共花多少钱？ 【答案】(1)该客户按方案一、方案二购买，各需付款元和元 (2)按方案一买比较合算 (3)先按方案一买20套西装，赠送了20条领带，再按方案二购买15条领带，此时费用为元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）把代入求值即可； （3）根据，按方案一买20套西装，赠送了20条领带，再按方案二购买15条领带更省钱． 【详解】（1）解：方案一费用：元； 方案二费用元； （2）解：当时， 方案一费用：（元）， 方案二费用：（元）， ， 按方案一买比较合算； （3）解：先按方案一买20套西装，赠送了20条领带，再按方案二购买15条领带， 此时费用为（元）． 【点睛】本题主要考查了列代数式，代数式求值，整式加减运算，有理数四则混合运算，解题的关键是理解题意，列出相应的代数式． 类型八、整式加减中的归纳 【解惑】先观察下列式子的变形规律： ， ， ， (1)类比思考 ； (2)归纳猜想：若n为正整数，那么 ； (3)运用上面的知识计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的式子的值． （1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以写出所求式子相应的结果； （3）根据（2）中的结果可以解答本题． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【融会贯通】 1．你能很快算出吗？ (1)探索规律：，可写成 ，可写成 ，可写成 ……                …… ，可写成_______________． (2)从第（1）题的结果归纳出： ____________． (3)根据上面的归纳，计算． 【答案】(1) (2) (3)4020025 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是由所给的式子总结出数字的变化规律． （1）根据所给的式子的形式进行求解即可； （2）结合（1）进行总结即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：． 2．【问题背景】图1中，排列着一些横竖间隔都是1个单位的点，这样的图各点我们称为正方形网格点．图都是用直线段连接一些点构成的多边形（称为格点多边形），借助图形边上的点数、内部的点数就可以计算格点多边形的面积．请参照下面的探究过程，完成相应的问题． 图1 表1 边上的点数 4 8 8 9 多边形面积 2 4 4 表2 图① 图② 边上的点数 多边形面积 (1)【观察发现】当内部有1个点时，图2格点多边形边上的点数和面积统计如表1．请完成表格1，并归纳与之间的关系式为：______． (2)当多边形内部有2个点时，在如图3的格点图中，分别画出边上点数分别为6和10的两个格点多边形，然后将所画图形的面积填写在表格2中．归纳与之间的关系式为：______． (3)【规律总结】如果设格点多边形内部的点数为，边上的点数为，格点多边形的面积为．试用含，的代数式表示，并用所得规律求出【问题背景】中图1中图形的面积． (4)【拓展应用】若把正方形网格点改成如图4的三角形形网格点，设格点多边形内部的点数为，边上的点数为，格点多边形的面积为．用上述的推理思维写出用含，的代数式来表示：______ 【答案】(1)4.5； (2)见详解；6，10，4，6； (3)，11.5 (4) 【分析】本题主要考查图形规律和应用，解题的关键是观察图形，由特殊情况总结规律，并能灵活应用规律解决问题． （1）由表格中的数据，找出规律即可得出结论； （2）先按要求画出图形，再由特殊情况找出规律即可得出结论； （3）由（1）（2）得出规律，再用规律求出图形的面积即可； （4）根据题意画出部分图形，结合图形找到规律，即可获得答案． 【详解】（1）解：观察表中数据，可得规律：多边形的面积边上的点数的一半， 故可完成表格如下， 边上的点数 4 8 8 9 多边形面积 2 4 4 4.5 归纳与之间的关系式为：． 故答案为：4.5；； （2）画出边上点数分别为6和10的两个格点多边形，如下图所示： 将所画图形的面积填写在表格2中，如下所示： 图① 图② 边上的点数 6 10 多边形面积 4 6 归纳与之间的关系式为：． 故答案为：6，10，4，6；； （3）设格点多边形内部的点数为，边上的点数为， 则格点多边形的面积为， ∵图形中，，， ∴，即图形中的面积为11.5； （4）设格点多边形内部的点数为，边上的点数为，格点多边形的面积为， 画出若干个图形如下， 绘制表格并填写如下， 内部的点数 0 0 1 2 3 边上的点数 5 7 7 6 10 多边形面积 1.5 2.5 3.5 4 7 结合表格，可写出用含，的代数式来表示：． 故答案为：． 3．试比较与的大小．为了解决这个问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（为正整数），从分析、、、这些简单问题入手，从中发现规律，经过归纳、猜想出结论： (1)在横线上填写“”、“”、“”号： ____________，____________，____________，____________，____________ (2)从上面的结果经过归纳，可以猜想出和的大小关系是： 当____________时，____________； 当____________时，____________； (3)根据上面猜想得出的结论试比较下列两个数的大小：____________． 【答案】(1)），，，， (2)2，；2， (3) 【分析】本题考查了数字类规律变化，掌握乘方运算是解题的关键． （）根据乘方的定义分别算出左右两数的值，再比较即可求解； （）根据（）中的结果进行猜想即可； （）根据（）中猜想得出的结论即可判断求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：，，，，； （2）解：由从上面的结果可得，当时，； 当时，； 故答案为：，； （3）解：∵当时，， ∴， 故答案为：． 【一览众山小】 1．已知一列数，，，…，它们满足关系式，，，…，当时，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数字的变化规律，掌握数字的循环规律是解题的关键．分别计算出第2、3、4个数，据此得出循环规律，进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， …， ∴数列是3个一循环的数列， ∵， ∴， 故选：B． 2．已知整数、、、、满足下列条件：，，，，，以此类推，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，找出一般规律是解题关键．根据已知规则分别求出、、、、、，观察从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数，据此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， … 以此类推， 经过前几个数字比较后发现： 从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数， 即， 则， 故选：C． 3．已知一列数：，，，，，，，，将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第行从右边数第个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中得数字的变化类，设第行的第个数的绝对值为，根据数列排列方式找出部分的值，根据数值的变化找出变化规律“”，第行有个数，依此规律再结合数列中所有奇数为正，偶数为负即可得出结论，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：设第行的第个数的绝对值为， 观察，发现规律：，，，，， ， ∴． ∴， 当时，， ∵第行有个数， ∴第行从右边数第个数即为第行从左边数第个数，则其的绝对值为：， 又∵该数列中奇数为正，偶数为负， ∴第行从右边数第个数为， 故答案为：． 4．“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： 解答下列问题：请用上面得到的规律计算： ． 【答案】2025 【分析】根据规律解答即可． 本题考查了数的规律计算，正确探索规律是解题的关键． 【详解】解： 故． 故答案为：． 5．观察下列各式： …… 根据以上规律，计算的值． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的运算，根据已知的等式发现裂项规律进行化简求解是解题的关键． 根据已知等式发现裂项规律，然后利用裂项规律变形原式，然后进行计算即可解答． 【详解】解： ． 6．如图1，将九个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图为广义的三阶幻方 (1)请利用三阶幻方的性质填满图2 (2)走法是每步直一格再斜一格，即先横着或直着走一格，然后再斜着走一个对角线，可进可退．中国象棋中的马可越过河界，俗称“马走日”，则在图二的左下角一点放入一个马，是否可以不遗漏的走完图二边框的所有点？若能，请直接写出最少需要几步，若不能，请说明理由 【答案】(1)从左到右且从上到下依次是：； (2)能，17步． 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的加法，掌握数字规律是解题的关键． （1）设其余六个位置分别为A、B、C、D、E、F，依据题意得到，求得D，再求出C、F，然后可求出三个数字的和，即可求解； （2）应用例举法逐一分析即可． 【详解】（1）解：设其余六个位置分别为A、B、C、D、E、F，如图： ∵每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴三位数的和为：， ∴， ， ， ∴从左到右且从上到下依次是：， 如图： （2）解：能，如图： ∴最少需要17步才能不遗漏的走完图二边框的所有点． 7．观察下列图形，并根据图形规律解决问题 观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为、、、…、，可得：；；；…， (1)由图①直接写出___________，由图②直接写出___________； (2)通过图②可以发现： 第1个图形可得等式：； 第2个图形可得等式：； 第3个图形可得等式：； … 第个图形可得等式：_____________________； (3)根据以上结论计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了图形的变化规律，分析所给的等式的形式，进行总结即可求解，解题的关键是由所给的图形总结出存在的规律． （1）根据图形得到规律写出答案即可； （2）根据前几个图形的规律写出第个图形可得等式即可； （3）利用（2）中得到的规律进行计算即可． 【详解】（1）由图①可得， ， ； ； ； …… ， 故答案为：， （2）通过图②可以发现： 第1个图形可得等式：； 第2个图形可得等式：； 第3个图形可得等式：； … 第个图形可得等式： 故答案为： （3） 8．【操作观察】任意一张三角形纸片有3个顶点，在三角形内部依次增画点（所画的点不在三角形的边上且互相不重合）． 第1次在它的内部增画1个点，此时三角形纸片内部共有1个点； 第2次在它的内部继续增画2个点，此时三角形纸片内部共有个点； 第3次在它的内部继续增画3个点，此时三角形纸片内部共有个点； …， 第n次在它的内部继续增画n个点．此时三角形纸片内部共有m个点． 【动手实践】第n次继续增画点后在三角形纸片内部共有m个点，以三角形纸片上个点为顶点，把三角形纸片剪成若干个小三角形纸片，设最多可以剪得个小三角形． 【思考解答】 (1)第4次继续增画点后，______；第n次继续增画点后，______（用含有n的代数式表示）； (2)第1次增画点后，如图①，以4个点为顶点，将原三角形纸片剪成小三角形，最多可以剪得3个小三角形，所以；第2次继续增画点后，如图②，以6个点为顶点，最多可以剪得7个小三角形，所以；第3次继续增画点后，以9个点为顶点，可得______；第n次继续增画点后，可得______（用含有n的代数式表示）； (3)第n次继续增画点后，可得个小三角形，第次继续增画点后，可得个小三角形，则______（用含有n的代数式表示）． 【答案】(1)10， (2)13， (3) 【分析】（1）根据题意第4次在它的内部继续增画4个点，此时三角形纸片内部共有个点，第n次继续增画点后，，用代数式表示即可； （2）第2次画点后，在原基础上增加了2个点，就增加了个小三角形，，第3次画点后，在原基础上增加了3个点，就增加了个小三角形，，根据，，，可以推出； （3）由（2）可推得，两式相减，去括号化简即可求得． 【详解】（1）解：根据题意得：第4次在它的内部继续增画4个点，此时三角形纸片内部共有个点； 第n次继续增画点后，， 也可以写成， ∴(共有n个这样的数) ∴ 故答案为：10，； （2）解：第3次画点后，在原基础上增加了3个点，就增加了个小三角形，， 第4次画点后，在原基础上增加了4个点，就增加了个小三角形，， 根据，，，， ∵，，， ∴ 故答案为：13，； （3）解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，解答此类问题时，要将后一个图形与前一个图形进行比较，明确哪部分发生了变化，哪部分没有变化，分析其联系与区别，有时需要多画出几个图形进行观察，归纳时要注意数形结合思想． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$