精品解析：江苏省南京市中华中学2024-2025学年高二上学期9月学情调研数学试题

中华中学2024-2025学年度第一学期9月学情调研 高二数学 本卷调研时间：120 分钟 总分：150 分 命题人：曹晓琰 审核人：周星月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法计算，结合模长公式可得解. 【详解】， 所以， 故选：C. 2. 两条平行直线和之间的距离是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两平行直线之间的距离公式计算直接得解. 【详解】由题意知，两平行直线方程可变形为：， 所以此两平行直线之间的距离为. 故选：B 3. 直线与直线垂直，则实数m的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据两直线垂直可得，解之即可. 【详解】因为两直线垂直， 所以， 解得或 . 故选：D 4. 事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式与对立事件的定义，依次判断选项即可. 【详解】A：由题意知，，故A错误； B：由题意知，，故B错误； C：事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件， 所以A与独立，则，故C正确； D： ，故D错误． 故选：C 5. 已知，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知算出，根据投影向量的定义即可求解. 【详解】因为，所以，即， 又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 6. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 故选：A． 7. 已知是直线上一点， ， 分别是圆和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合点关于直线的对称可知的最小值，再根据圆上的点到直线距离的最值可得的最小值. 【详解】圆，则圆心，， 圆，则圆心，， 因为，则两圆心在直线的同侧． 又圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离， 则两圆在直线的同侧且与直线相离，如图所示， 圆心关于直线的对称点为， 则，解得，，所以， 所以，当且仅当、、 三点共线时等号成立； 即的最小值为. 故选：C． 8. 已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设 中点为C，由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可. 【详解】设 中点为C，则， ∵， ∴，∴， ∵，即， 又∵直线与圆交于不同的两点， ∴，故， 则， . 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 直线过定点 C. 当 时，直线在 轴上的截距为 D. 当时，直线与直线 平行 【答案】BD 【解析】 【分析】由直线斜率和倾斜角关系可知A错误；由直线过定点的求法可知B正确；根据 时，可得在 轴上的截距，知C错误；根据直线斜率与 连线斜率相等可知D正确. 【详解】对于A，当时，直线的斜率，则其倾斜角为，A错误； 对于B，当 时， ，则直线过定点，B正确； 对于C，当 时，，则当 时，，则其在 轴上的截距为，C错误； 对于D，当时，直线斜率 ；又， ， 直线与直线 平行，D正确. 故选：BD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 已知点在圆上，则的最大值是4 B. 已知直线和以为端点的线段相交，则实数 的取值范围为 C. 已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离 D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则 的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用三角代换可判断A；求出直线所过定点，结合图形可判断B；利用点到直线的距离公式可判断C；转化为两圆相交问题可判断D. 【详解】A选项，因为点在圆上， 所以， 当时，取得最大值4，故A正确； B选项，由，所以，即直线过点， 因为直线和线段相交，故只需或，故B错误； C选项，圆的圆心到直线的距离， 而点是圆外一点，所以， 所以，所以直线与圆相交，故C错误； D选项，与点的距离为1的点在圆上， 由题意知圆与圆相交， 所以圆心距，满足，解得，故D正确. 故选：AD 11. 如图所示，在矩形 中，，，平面 ，且，点 为线段 （除端点外）上的动点，沿直线 将翻折到，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点 ，使平面. B. 当点 固定在线段 的某位置时，点的运动轨迹为圆 C. 点 到平面的距离为 D. 异面直线 与 所成角的余弦值的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据线面垂直的定义，无论 在 （端点除外）的哪个位置， 均不与 垂直，即可判断； 对B，当点 固定在线段 的某位置时，线段 的长度为定值，，过作于点 ， 为定点，的长度为定值，由此可判断B； 对C，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，由点A到平面的距离公式即可求解； 对D，设，，利用向量夹角公式求解，即可判断. 【详解】解：对A，无论 在 （端点除外）的哪个位置， 均不与 垂直， 故 不与平面垂直，故A错； 对B，当点 固定在线段 的某位置时，线段 的长度为定值， ，过作于点 ， 为定点， 的长度为定值，且在过点 与 垂直的平面内， 故的轨迹是以 为圆心，为半径的圆，故B对； 对C，以，，为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，． ， 设平面的法向量为， ，取， 则点A到平面的距离为，故C对； 选项D：设，，，， 设 与 所成的角为， 则，故D正确. 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据三角函数值的除法公式直接求解. 【详解】由已知， 故答案为：. 13. 若曲线与直线有两个公共点，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，根据点到直线的距离公式与数形结合的思想计算即可求解. 【详解】由可得， 即曲线表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分， 画出图形，可得当直线经过点时，， 当直线与曲线相切时，由圆心到直线的距离可得，由图可得， 所以要使直线与曲线有两个公共点，则. 故选：C. 故答案为： 14. 已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是_________ 【答案】或． 【解析】 【分析】根据切线夹角分析出，由圆心到直线的距离不大于4列出不等式求解可得． 【详解】圆，则圆心为，半径， 设两切点为 ，则，因为，在中，，所以, 因此只要直线上存在点，使得即可满足题意． 圆心，所以圆心到直线的距离，解得或． 故答案为：或． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知两直线和的交点为． （1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； （2）圆 过点且与相切于点，求圆 的一般方程． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）联立求出，根据平行关系，设出直线为，代入点，得到，求出答案； （2）设圆的标准方程，将与代入，得到方程组，并根据相切关系得到关于斜率的方程，联立求出，求出答案. 【小问1详解】 直线与直线平行，故设直线为， 联立方程组，解得． 直线和的交点． 又直线过点，则，解得， 即直线的方程为． 【小问2详解】 设所求圆的标准方程为， 的斜率为 ，故直线的斜率为1， 由题意可得 解得 故所求圆的方程为． 化为一般式：． 16. 已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点．从①直线相切；②圆关于直线对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． （1）求圆A的方程； （2）当时，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）选①：根据圆的切线性质进行求解即可；选②：根据圆与圆的对称性进行求解即可； （2）利用圆的垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 选①：因为圆A与直线相切， 所以圆A的半径为， 因此圆A的方程为； 选②：因为圆A与圆关于直线对称， 所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为， 所以圆A的方程为. 【小问2详解】 两种选择圆A的方程都是， 当过点的动直线l不存在斜率时，直线方程为， 把代入中，得， 显然，符合题意， 当过点的动直线l存在斜率时，设为 ， 直线方程为， 圆心到该直线的距离为：， 因为，所以有， 即方程为： 综上所述：直线l的方程为或. 17. 已知在中，内角 ， ， 所对的边分别是，， ，且满足． （1）求角 ； （2）若 点在线段 上，且 平分，若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据三角恒等变换化简可得解； （2）分别在 与 中用正弦定理，结合角分线可得，再结合三角形面积可得，即可得边与，进而可得面积. 【小问1详解】 由， 则由正弦定理可知， 又在中，， 则， 即， 又在中，，则， 则，即，， 又，即， 则，； 【小问2详解】 由题可知， 设，则，， 在 与 中，由正弦定理得： ，， 即，， 解得，， 由， 即 即， 又，故， ， 则的面积为. 18. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面 为矩形，且平面平面 ， ， 分别为 ， 的中点，二面角的正切值为2. （1）求四棱锥的体积； （2）证明： （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，平面 ，平面 ， ∴ 在正方形 中，易知 ∴ 而， ∴∴ ∵，∴平面 ∵平面， ∴. （3） 【解析】 【分析】（1）先证明为二面角的平面角，可得底面 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可； （2）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明； （3）由平面可得为直线与平面所成的角，计算其正弦值即可. 【小问1详解】 解：∵是边长为2的正三角形， 为 中点，∴， 又∵平面平面 ，平面平面 ∴平面 又平面 ，∴ ∴为二面角的平面角， ∴ 又，∴∴底面 为正方形. ∴四棱的体积. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，连接， . ∵平面. ∴为直线与平面所成的角 ∵，∴， ∴ 又， ∴ ∴直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 19. 已知定点，动点 满足． （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）设，过点作与 轴不重合的直线交曲线 于 、 两点． （i）过点作与直线垂直的直线 交曲线 于 、 两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线 与 轴交于、两点，直线与直线相交于点 ，试讨论点 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）（i） ；（ii） 在定直线上 【解析】 【分析】（1）根据点点距离公式即可列方程，化简可得结论， （2）（i）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式可计算的长度,即可根据面积公式得表达式,结合不等式即可求解最值, （ii）联立直线与圆的方程得韦达定理,即可根据点斜式求解直线的方程,联立两直线方程即可求解定直线. 【小问1详解】 设动点 的坐标为， 因为，，且， 所以， 整理得，即： 所以动点 的轨迹 的方程为； 【小问2详解】 （i）因为直线不与 轴重合，所以设直线的方程为，即， 则直线为，设圆 的圆心到直线和直线的距离分别为，， 则，，所以，， 所以， 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立， 综上所述，四边形面积的最大值为 . （ii）设，，联立，得， 则，，， 因为曲线 与 轴交于，两点，所以，， 则直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程得， 所以 在定直线上 【点睛】方法点睛:解析几何简化运算的常见方法： （1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算； （2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算； （3）巧用定义，简化运算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中华中学2024-2025学年度第一学期9月学情调研 高二数学 本卷调研时间：120 分钟 总分：150 分 命题人：曹晓琰 审核人：周星月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 两条平行直线和之间的距离是（ ） A. B. C. 1 D. 3. 直线与直线垂直，则实数m的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 或 4. 事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是直线上一点， ， 分别是圆和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，直线的倾斜角为 B. 直线过定点 C. 当 时，直线在 轴上的截距为 D. 当时，直线与直线 平行 10. 下列结论正确的是（ ） A. 已知点在圆上，则的最大值是4 B. 已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离 D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则 的取值范围是 11. 如图所示，在矩形 中，，，平面 ，且，点 为线段 （除端点外）上的动点，沿直线 将翻折到，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点 ，使平面. B. 当点 固定在线段 的某位置时，点的运动轨迹为圆 C. 点 到平面的距离为 D. 异面直线 与 所成角的余弦值的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______． 13. 若曲线与直线有两个公共点，则实数m的取值范围是______． 14. 已知圆C：，若直线上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为，则实数k的取值范围是_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知两直线和的交点为． （1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； （2）圆 过点且与相切于点，求圆 的一般方程． 16. 已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点．从①直线相切；②圆关于直线对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． （1）求圆A的方程； （2）当时，求直线l的方程． 17. 已知在 中，内角 ， ， 所对的边分别是，， ，且满足． （1）求角 ； （2）若 点在线段 上，且 平分，若，且，求 的面积． 18. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面 为矩形，且平面平面 ， ， 分别为 ， 的中点，二面角的正切值为2. （1）求四棱锥的体积； （2）证明： （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知定点，动点 满足． （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）设，过点 作与 轴不重合的直线交曲线 于 、 两点． （i）过点 作与直线垂直的直线 交曲线 于 、 两点，求四边形面积的最大值； （ii）设曲线 与 轴交于、两点，直线与直线相交于点 ，试讨论点 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $