专题01 空间直线与平面（考点串讲）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第三册）

高二沪教版（2020）数学上册期中考点大串讲 串讲01 空间直线与平面 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 思维导图 知识梳理 1.与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的三个公理 公理1 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 两个点 公理 内容 图形 符号 公理2 过________________的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 不在一条直线上 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条__________________ P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 过该点的公共直线 知识梳理 (2)公理的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 一条直线和该直线外______确定一个平面 确定平面的依据 推论2 两条相交直线确定一个平面 推论3 两条平行直线确定一个平面 一点 知识梳理 2.空间点、直线、平面之间的位置关系   直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 知识梳理 独有关系 图形语言   符号语言 a，b是异面直线 a⊂α   知识梳理 3.公理4和等角定理 (1)公理4：平行于同一条直线的两条直线__________. (2)等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角____________. 互相平行 相等或互补 4.异面直线的夹角 知识梳理 5.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. (2)直线与平面平行的性质定理与判定定理   文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与_______平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的________平行，那么该直线与此平面平行 aα，b⊂α，a∥b⇒a∥α 交线 一条直线 知识梳理 6.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 若两个平面不相交，则称这两个平面平行. (2)平面与平面平行的性质定理与判定定理   文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面______，那么两条______平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 相交 交线 知识梳理 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线______于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 判定定理 如果一个平面内的两条__________与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β 平行 相交直线 知识梳理 7.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的______一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直. 任意 (2)直线与平面垂直的性质定理与判定定理 平行 两条相交直线 知识梳理 8.直线和平面的夹角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的______所成的锐角叫作这条直线和这个平面的夹角，一条直线垂直于平面，则它们的夹角是________；一条直线和平面平行或在平面内，则它们的夹角是______. (2)范围： . 射影 90° 0° 知识梳理 9.三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直． 10.二面角 (1)定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫作二面角. (2)二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的________. 若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是_________. (3)二面角的平面角α的范围：[0，π]. 两个半平面 10.两个平面垂直 (1)两个平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直. 平面角 ∠AOB 直二面角 知识梳理 (2)两个平面垂直的性质定理与判定定理 交线 l⊂β 垂线 l⊂β 知识梳理 题型剖析 1.平面基本定理 【例1-1】下列命题正确的是(　　) A.空间任意三个点确定一个平面 B.一个点和一条直线确定一个平面 C.空间两两相交的三条直线确定一个平面 D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面 D 解析　A中，空间不共线的三点确定一个平面，A错； B中，只有点在直线外时才能确定一个平面，B错； C中，空间两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面，C错，故只有选项D正确. 1.平面基本定理 【例1-2】已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：(1)D，B，E，F四点共面； 【证明】　如图所示，连接B1D1. 因为EF是△D1B1C1的中位线， 所以EF∥B1D1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD， 所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面， 即D，B，E，F四点共面. 1.平面基本定理 【例1-2】已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； 【证明】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C， 设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β. 因为Q∈A1C1，所以Q∈α. 又Q∈EF，所以Q∈β， 所以Q是α与β的公共点， 同理，P是α与β的公共点. 所以α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β. 则R∈PQ，故P，Q，R三点共线. 1.平面基本定理 【例1-2】已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. (3)DE，BF，CC1三线交于一点. 【证明】　因为EF∥BD且EF<BD， 所以DE与BF相交， 设交点为M，则由M∈DE，DE平面D1DCC1， 得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1. 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1， 所以M∈CC1. 所以DE，BF，CC1三线交于一点. 1.平面基本定理 共面、共线、共点问题的证明方法 (1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证明两平面重合. (2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 2.两直线位置关系 【例2】 (1)已知a，b，c是三条不同的直线，有下列三个命题： ①若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线； ②若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交； ③若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面.其中真命题的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 A 【解析】　对于①，若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c相交不是异面直线，如图，故①为假命题； 对于②，若a和b相交，b和c相交，则a和c可能相交、平行、异面，故②为假命题； 对于③，若a和b共面，b和c共面，则a和c共面，错误，如上图，AA′(a)与AB(b)共面，AB(b)与BC(c)共面，但AA′(a)与BC(c)异面，故③为假命题.故真命题的个数为0.故选A. 2.两直线位置关系 【例2】(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为________. ②④ 【解析】　根据异面直线的定义可知，在题图②④中，直线GH，MN是异面直线. 在题图①中，由G，M均为所在棱的中点可知GH∥MN. 3.异面直线的夹角 D 【解析】　法一　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接C1P，BC1， 则AD1∥BC1， 所以∠PBC1为直线PB与AD1的夹角， 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， 3.异面直线的夹角 法二　如图，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1的夹角等于直线PB与BC1的夹角， 由P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点.易知A1B＝BC1＝A1C1， 3.异面直线的夹角 3.异面直线的夹角 30° 解析　设BD的中点为O，连接EO，FO， 所以EO∥AD，FO∥BC，则∠EOF(或其补角)就是异面直线AD与BC的夹角. 所以∠EOF＝150°，从而异面直线AD与BC夹角的大小为30°. 求异面直线夹角的步骤： (1)作：通过作平行线得到相交直线； (2)证：证明所作角为异面直线的夹角(或其补角)； (3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. 4.直线与平面的位置关系 【例4-1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点. 求证：BE∥平面PAD. 证明　法一　如图，取PD的中点F，连接EF，FA. 由题意知EF为△PDC的中位线， 又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB∥EF， ∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF. 又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD. 法二　如图，延长DA，CB相交于点H，连接PH， ∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4， 又E为PC的中点，∴BE∥PH， 又BE平面PAD，PH⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD. 法三　如图，取CD的中点H，连接BH，HE， ∵E为PC的中点， ∴EH∥PD， 又EH平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴EH∥平面PAD， 4.直线与平面的位置关系 4.直线与平面的位置关系 又由题意知AB∥DH， ∴四边形ABHD为平行四边形， ∴BH∥AD， 又AD⊂平面PAD，BH平面PAD， ∴BH∥平面PAD， 又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE， ∴平面BHE∥平面PAD， 又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD. 4.直线与平面的位置关系 【例4-2】 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足. 求证：PA⊥平面ABC； 证明　如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F. 因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，DF⊂平面ABC， 所以DF⊥平面PAC. 因为PA⊂平面PAC，所以DF⊥PA. 过点D作DG⊥AB于点G， 同理可证DG⊥PA. 因为DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D， 所以PA⊥平面ABC. 5.直线与平面所成的角 5.直线与平面所成的角 6.平面与平面的位置关系 【例6-1】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为棱B1C1，A1B1，AB的中点. 求证：平面A1C1G∥平面BEF； 证明　∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1. ∵A1C1⊂平面A1C1G，EF平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G. 又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG， 又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，∴BF∥A1G. ∵A1G⊂平面A1C1G，BF平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G， 又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF. 6.平面与平面的位置关系 【例6-2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. 证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； 证明　因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC， 因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC， 又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1， 又BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. 7.二面角 7.二面角 易错混淆 易错点1：考虑问题不全面致误 1.分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.异面或相交 D.平行 C 易错混淆 易错点2：错把空间当成平面处理 2.(多选)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，则在这个正四面体中(　　　) A.GH与EF平行　　　　　　B.BD与MN为异面直线 C.GH与MN的夹角为60°　 D.DE与MN垂直 BCD 解析　把平面展开图还原成正四面体A－DEF，如图所示， 其中H与N重合，A，B，C三点重合， 易知GH与EF异面，BD与MN异面， 连接GM，∵△GMH为等边三角形， ∴GH与MN的夹角为60°. 由图易得DE⊥AF， 又MN∥AF，∴MN⊥DE， 因此正确的选项是BCD. 押题预测 5 押题预测 1 押题预测 已知两条异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′共面，我们把a′与b′所成的不大于90°的角称为异面直线a，b所成的夹角.其范围是 _______. 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线_____ ⇒a∥b 判定定理 如果一条直线与一个平面内的______________垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的______，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 判定定理 如果一个平面过另一个平面的______，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 在题图③中，连接GM，因为G，M均为所在棱的中点，所以GM∥HN， 且GM＝HN，所以四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交. 【例3】（1）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1夹角的大小为(　　) A. B. C. D. 则BC1＝2，PC1＝B1P＝＝， BP＝＝， 在△BPC1中，cos∠PBC1＝＝， 所以∠PBC1＝. 故直线PB与AD1的夹角为. 所以△A1BC1为等边三角形 ， 所以∠A1BC1＝，又P为A1C1的中点， 所以可得∠PBC1＝∠A1BC1＝， 在△EOF中，根据余弦定理，得 cos∠EOF＝＝＝＝－， (2)在空间四边形ABCD中，AD＝2，BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，则异面直线AD与BC夹角的大小为________. 所以EO＝AD＝1，FO＝BC＝，EF＝， ∴EF∥CD，且EF＝CD＝2. ∴＝＝，即B为HC的中点， $$