串讲02 对称图形-圆（考点串讲，8个常考点+12种重难点题型+5个易错+押题预测）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

九年级新苏科版数学上学期期中考点大串讲 串讲02 对称图形——圆 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 八大常考点：知识梳理 十二大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 五大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期中真题对应考点练 考点透视 考点一： 与圆有关的概念 · 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2.弦:连接圆上任意两点的线段. 3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦. 4.劣弧:小于半圆周的圆弧. 5.优弧:大于半圆周的圆弧. 6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧. 7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交. 8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交. [注意] (1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小．(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆. · 4 考点透视 考点二：点与圆的位置关系 ●A ●B ●C 点与圆的位置关系 点到圆心的距离d与圆的半径r之间的关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 ●O d r d﹥r d=r d﹤r 考点透视 考点三：圆的对称性 1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. 2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性. ． 3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等． 4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组量都分别相等． 7 考点透视 考点四：有关定理及其推论 (2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. [注意] ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧． 两条弧 1.垂径定理 (1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的　 　. 2.圆周角定理 (1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. (3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径. [注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”． (4)推论3：圆的内接四边形的对角互补. (2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等. 9 3.与切线相关的定理 (1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. (3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 10 考点透视 考点五：三角形的内切圆与内心 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点. 三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 重要结论 只适合于直角三角形 ┐ A C I ┐ ┐ D E F 考点透视 考点六：圆内接正多边形 问题1 O C D A B M 半径R 圆心角 弦心距r 弦a 圆心 中心角 A B C D E F O 半径R 边心距r 中心 类比学习 圆内接正多边形 外接圆的圆心 正多边形的中心 外接圆的半径 正多边形的半径 每一条边所 对的圆心角 正多边形的中心角 弦心距 正多边形的边心距 M 概念 考点透视 考点七：弧长与扇形面积 1.弧长公式 半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l=________. 2.扇形面积公式 半径为R，圆心角为n°的扇形面积S= ____________. 或 3.弓形面积公式 O O 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积 4.圆内接正多边形的计算 (1)正n边形的中心角为 (2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系 (3)边长a，边心距r的正n边形的面积为 其中l为正n边形的周长. 14 考点透视 考点八：圆锥的侧面积 圆锥侧面展开图的面积 l o 侧面 展开图 l r 其侧面展开图扇形的半径= 母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底 面周长 圆锥的侧面积计算公式 题型剖析 题型一：圆的有关概念 【例1】已知⊙O的半径为4cm，如果点P到圆心O的距离为4.5cm，那么点P与⊙O有怎样的位置关系？如果点P到圆心O的距离为4cm、3cm呢？ 解： 设⊙O的半径为rcm，点P到圆心O的距离为dcm． 由题意得，r＝4cm． 当d＝4.5cm时， ∵ d＞r，∴点P在⊙O外． 当d＝4cm时， ∵ d＝r，∴点P在⊙O上． 当d＝3cm时， ∵ d＜r，∴点P在⊙O内． 【变式1-1】若☉O的直径为10cm，点A到圆心O的距离OA＝6cm，则点A与☉O的位置关系为 ( ) C A.点A在☉O上 B.点A在☉O内 C.点A在☉O外 D.无法确定 【变式1-2】已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为6，则OA的长可能为(    ) A．2 B．4 C．6 D．8 D 17 【变式1-3】下列说法中，正确的是_______ ①圆上任意两点间的线段叫做圆弧； ②半圆是弧； ③弧是半圆； ④圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分． ② 18 ● B A C D E O 解：连接OD， ∵CD＝OA，OA＝OD， ∴CD＝OD， ∴∠DOC＝∠C＝20°. ∴∠ODE＝∠DOC＋∠C＝40°. 又∵OD＝OE， ∴∠CEO＝∠EDO＝40°. ∴∠BOE＝∠C＋∠E＝40°＋20°＝60°. 【变式1-4】如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝20°. 求∠BOE的度数. 19 题型剖析 题型二：圆的对称性 【例2】如图， AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC. ∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？ 解：∠ABC与∠BAC相等. 在⊙O 中， ∵ ∠AOC＝∠BOC ， ∴ AC＝BC (在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等). ∴ ∠ABC=∠BAC ． O A B C 【变式2-1】如图，在⊙O中，，∠AOB＝50º，求∠COD的度数. 解：在⊙O中， ∵ ， ∴ ＝， 即 . ∴∠COD＝∠AOB＝50°. A B C D O 21 【变式2-2】如图，在△ABC中, ∠C＝90°, ∠B＝28°,以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求、度数. E D C B A 解：连接CD， ∵∠ACB＝90°, ∠B＝28°, ∴∠A＝62°. ∵CA＝CD， ∴∠CDA＝∠A＝62°, ∴∠ACD＝180°62°62°＝56°, ∴∠BCD＝90°56°＝34°. ∴ 的度数为56°， 的度数为34°. 22 【变式2-3】如图，AB、AC为是⊙O的两条弦，且AB⊥AC，AB＝8，AC＝6. 求⊙O的半径． · O A B C 解：过圆心O作AB、AC的垂线，垂足 分别为D、E，连接OA. D E └ └ 在矩形ADOE中， 在Rt△OAD中，由勾股定理得， OD＝AE＝AC＝3， AD＝AB＝4. OA＝＝＝5. ∴⊙O的半径为5. 23 题型剖析 题型三：确定圆的条件 解：这样的圆能画1个. 如图，作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以2cm为半径作圆，则⊙O即为所求. l ● A ● B ● O 【例3】已知AB=4cm，作半径为2cm的圆，使它经过A、 B两点，这样的圆能作多少个? 【变式3-1】已知AB=4cm，作半径为3cm的圆，使它经过A、 B两点，这样的圆能作多少个? 解：这样的圆能画2个. 如图. ①作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2； ②分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆，则⊙O1和⊙O2为所求. l ● A ● B ● O1 ● O2 25 【变式3-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若AB＝4，OF＝1，求△ABC的外接圆的半径. 解：∵ AB＝AC， ∴ △ABC是等腰三角形. 又∵ AD平分∠BAC， ∴ AD是BC的垂直平分线. ∵ EF垂直平分AC， ∴ 点O是△ABC的外心. ∴ OA是△ABC的外接圆半径. 在Rt△AOF中，AF＝AC＝AB＝2，OF＝1， ∴ OA＝＝＝. ┐ A B C E F O 26 题型剖析 题型四：圆周角与圆心角 【例4】如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝150°，为70°，求∠ABD、∠AED的度数． 解： 在⊙O中 ， ∴∠ABD＝75° (圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半). 又∵＝70°， ∵∠AOD＝150°， ∴∠DBC＝35° (圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半). 又∵∠ABD＝∠AED＋∠BDC， ∴∠AED＝∠ABD－∠BDC＝75°－35°＝40°. O A B C D E 【变式4-1】AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，P是上一点(不与点C、D重合). ∠APC与∠APD相等吗？为什么？ O A B C D P 解：∠APC与∠APD相等，理由如下： ∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB， ∴＝ (垂径定理)， ∴∠APC＝∠APD. (等弧所对的圆周角相等). 28 【变式4-2】如图，点A、B、C在⊙O上，D是的中点，CD交OB于点E. 若∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，求∠OEC的度数. O A B C D E 解：∵∠AOB＝100°， ∴为100°. ∵D是的中点， ∴为50°. ∵∠C是所对的圆周角， ∴∠C＝×50°＝25°. ∴∠OEC＝∠OBC＋∠C＝55°＋25°＝80°. 29 题型剖析 题型五：90度角所对的弦是直径 【例5】如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E. O A B C D E (1) 已知∠ADC＝50°，求∠CAB的度数. 解：连结BC. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°(直径所对的圆周角是直角). ∵＝， ∴ ∠ABC＝∠ADC＝50° (同弧所对的圆周角相等) ∴ ∠CAB＝180°－∠ACB－∠ ABC ＝180°－90°－50° ＝40°. O A B C D E (2) 已知∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数. 解：连结BD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°(直径所对的圆周角是直角). ∵∠ADC＝50°， ∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝90°－50°＝40°. 又∵∠ ABD＝∠ACD＝60° (同弧所对的圆周角相等) ∴ ∠CEB＝∠ABD＋∠EDB＝60°＋40°＝100° 还有其他方法吗？ 31 【变式5-1】 A、B、E、C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，∠CAD＝∠BAE，AE是⊙O的直径吗？为什么？ ┐ A O D B C E 解：连接BE. ∵ ＝， ∴∠E＝∠C (同弧所对的圆周角相等). ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90 °， ∴∠CAD＋∠C＝90°， ∵∠CAD＝∠BAE， ∴∠BAE＋∠E＝90°. ∴∠ABE＝90°. ∴AE是⊙O的直径 ( 90°的圆周角所对的弦是直径). 32 【变式5-2】已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D， 解：(1)∠ACB＝∠BAD相等. 理由是： ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90 °(直径所对的圆周角是直角). ∴∠ACB＋∠ABC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠BAD＋∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝∠BAD (等角的余角相等). (1)∠ACB与∠BAD相等吗？为什么？ A O D B C ┐ 33 (2)若＝，BE分别交AD、 AC于点F、G，判断△FAB的形状. A O D B C ┐ E F G 解：(2)△FAB是等腰三角形，理由是： ∵ ＝， ∴∠ABE＝∠ACB (等弧所对的圆周角相等). 由(1)得∠ACB＝∠BAD， ∴∠ABE＝∠BAD， ∴AF＝BF， ∴△FAB是等腰三角形. 34 (3)图中还有等腰三角形吗？ A O D B C ┐ E F G 解：(3)△FAG是等腰三角形，理由是： 由(2)得∠ABE＝∠BAD . ∵∠BAC＝90 °(已证)， ∴∠ABE＋∠AGF＝90°， ∠BAD＋∠FAG＝90°， ∴ ∠AGF＝∠FAG (等角的余角相等)， ∴△FAG是等腰三角形. = = 35 题型剖析 题型六：圆内接四边形 【例6】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝130°.求∠BOD的度数. B A C D O 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A＋∠C＝180°(圆内接四边形的对角互补). ∵∠C＝130°， ∴∠A＝180°－∠C＝180°－130°＝50°. ∴∠BOD＝2∠A＝2×50°＝100°. 还有其他方法吗？ 注意分两种情况：角的顶点在优弧AB上或者劣弧AB上，也可以说是在弦AB的上方或者下方. 【变式6-1】如图，点A、B是⊙O上两点，C为⊙O上任意一点，若∠AOB＝100°. 则∠ACB＝__________. B O A C1 50° 100° C2 50°或130° 37 【变式6-2】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°，若点E在上，求∠E的度数． B D A O E C 解：连接BD. ∵四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠BAD＋∠C＝180∘(圆内接四边形的对角互补). ∴∠BAD＝180∘ －110∘ ＝70∘ ， 在△ABD中， ∵AB＝AD，∠BAD＝70∘ ∴∠ABD＝∠ADB＝×(180∘ －70∘)＝55 ∘ 又∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形， ∴∠ABD＋∠E＝180 ∘ (圆内接四边形的对角互补). ∴∠E＝180∘－∠ABD ＝180∘ －55∘ ＝125∘ 110° 38 【变式6-3】如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=30°,∠AED=110°, 求∠ABC的度数. 解：∵四边形ACDE是圆的内接四边形， ∴∠AED＋∠ACD＝180°. ∵∠AED＝110° ， ∴∠ACD＝180∘－∠AED＝180∘－110°＝70°. 在△ACD中， ∠ADC＝180∘－∠CAD－∠ACD ＝180∘－30°－70°＝80∘ ， ∵四边形ABCD是圆的内接四边形， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°. ∴∠ABC＝180∘－∠ADC＝180∘－80∘＝100°. C A B O E D 30° 110° 39 题型剖析 题型七：直线与圆的位置关系 解：过O作OD⊥AB，垂足为D. 在Rt△AOD中， ∵∠A＝45°， 即圆心O到AB所在直线的距离d＝2. ∴∠AOD＝∠A，OD＝AD， 又∵OD2＋AD2 ＝AO2 ，AO＝4， ∴2OD2＝16，OD＝2 D A B O 45° 4 C · 注意：在图中没有d要先做出该垂线段. 2 【例7】已知∠BAC＝45°，点O在AC上，且AO＝4，以点O为圆心，r为半径画圆. 根据下列r的值，判断AB所在直线与⊙O的位置关系： (1) r＝2 (2) r＝2 (3) r＝3 A B O 45° 4 C D 2 (1)当r＝2时，d ＞r，AB所在直线与⊙O相离； (2)当r＝2时，d＝r，AB所在直线与⊙O相切； (3)当r＝3时，d＜r，AB所在直线与⊙O相交. · 41 【变式7-1】已知⊙O的半径为4 cm，圆心O与直线l的距离为d cm， 根据条件填写d的范围: (1)若直线l与⊙O相离，则__________； (2)若直线l与⊙O相切，则__________； (3)若直线l与⊙O相交，则___________. d ＞4 d＝4 0≤ d＜4 42 【变式7-2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心， r为半径画圆. 根据下列r的值，判断圆与AB所在直线的位置关系： (1)r=2； (2)r=2.4； (3)r=3. A B C D 解：过C作CD⊥AB，垂足为D. 在Rt△ABC中， 由勾股定理，得AB＝＝＝5， d＝CD＝＝＝2.4. (1)当r＝2时，d ＞r，⊙C与直线AB相离； (2)当r＝2.4时，d＝r，⊙C与直线AB相切； (3)当r＝3时，d＜r，⊙C与直线AB相交. 43 题型剖析 题型八：圆的切线判定 【例8】 △ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由. D O A C B 解：直线AD与☉O相切. ∵AB为☉O的直径， ∴ ∠ACB＝90 °. ∴ ∠ABC＋∠BAC＝90 °. 又∵ ∠CAD＝∠ABC， ∴ ∠CAD＋∠BAC＝90°， 即AD⊥AB. ∴直线AD与☉O相切(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线). ┛ 【变式8-1】如图，P是∠BAC的平分线上的一点，PD⊥AC，垂足为D. AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么？ B C D P A E ┛ 证明：过点P 作PE ⊥AB，垂足为E. ∵AP是∠BAC的平分线，PD ⊥AC ，PE⊥AB， ∴PE＝PD， ∵PD是⊙P 半径， ∴AB与以点P为圆心、PD为半径的圆相切． 45 【变式8-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC. 直线AC与以AB为直径的⊙O有怎样的位置关系？为什么？ B A C ● O 解：直线AC与⊙O相切. 在△ABC中， ∵AB＝AC， ∴ ∠C＝∠ABC＝45 °， ∴ ∠BAC＝90 °. 即 AC⊥OA. ∴直线AC与⊙O相切. 46 【变式8-3】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB=90°，判断与⊙O的位置关系，并说明理由． 解：与相切． 证明：连接． ∵， ∴． ∵图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点落在边上， ∴． ∴． ∴． ∴由，得，即． ∴与相切． 47 题型剖析 题型九：切线长定理 【例9】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E. 设PA＝10，求△PDE的周长. A B P ● D E C O 解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E. ∴PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC， ∴△PDE的周长＝PD＋DE＋PE ＝(PD＋DC)＋(PE＋EC) ＝(PD＋DA)＋(PE＋EB) ＝PA＋PB＝2PA. ∵PA＝10， ∴△PDE的周长＝2×10＝20. △PDE的周长=2PA 【变式9-1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D．若AB＝5，AC＝3．求BD的长. A B C D P ● O 解：∵AB、AC、BD是⊙O的切线， 切点分别为P、C、D， ∴AP＝AC＝3，BD＝BP， ∵AB＝5， ∴BP＝AB－AP＝5－3＝2， ∴BD＝2. AB＝AC＋BD 49 【变式9-2】如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C的切线交AB于点D. 若AD＝2BD，CD＝2，求⊙O的半径. ● A B D C O 解：连接OB. 设⊙O的半径为r. ∵AB、CD是⊙O的切线, ∴OB⊥AB，OC⊥CD，BD＝CD， ∵CD＝2， ∴BD＝2， ∴AD＝2BD＝4， ∴AB＝AD＋BD＝4＋2＝6， 在Rt△ACD中， AC＝＝＝2. 在Rt△AOB中，＝， ＝，解得r＝2. 50 【变式9-3】如图，△ABC中，∠C＝90º，且AC＝6，BC＝8，它的内切圆⊙O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，求⊙O的半径r. A C B O ● E F D 解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝10. 连接OE、OF. ∵⊙O分别与边BC、CA相切于点E、F， ∴ OE⊥BC，OF⊥AC， ∵∠C＝90º，∴四边形OECF是矩形. ∵OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形. 设CE＝CF＝OE＝OF＝r. 则BE＝BC－CE＝8－r，AF＝AC－CF＝6－r. ∵⊙O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F， ∴AD＝AF＝6－r，BD＝BE＝8－r， ∵BD＋AD＝AB， ∴6－r＋8－r＝10，解得r＝2. 51 题型剖析 题型十：正多边形与圆 E F C D A B O G . ∟ 解: 作半径OA，OB， 根据题意，得∠AOB=360°÷6=60°. ∵OA=OB， ∴△OAB为等边三角形，AB=OA＝4. 正六边形的周长l=4×6=24. 过点O作OG⊥AB，垂足为G. 在Rt△OAG中，OA＝4，AG＝AB＝2， ∴OG===. 正六边形的面积S=×4××6=. 【例10】如图，正六边形ABCDEF的半径为4， 求这个正六边形的周长和面积. 【变式10-1】如图，正三角形ABC的外接圆的半径为6. 求：(1) △ABC的边长；(2)△ABC的面积. B A C 解：(1)连接OA，过点O作OD⊥AB于点D. ∵△ABC是正三角形， ∴易得∠BAO＝30°. 在Rt△AOD中，∠DAO＝30°，OA＝6， ∴易得OD＝OA＝3. ∴AD＝＝3. ∴易得AB＝2AD＝6. ∴△ABC的边长为6. O · D (2)易得S△ABC＝6S△AOD＝6×OD·AD＝6××3×3＝27. 53 【变式10-2】如图，正六边形ABCDEF的边长为5，求对角线AD、AC的长. F E A B C D 解：∵正六边形ABCDEF中， AB＝BC＝CD＝5，∠B＝∠BCD＝120°， ∴∠ACB＝∠BAC＝30°， ∴∠ACD＝90°， ∵∠CDA＝∠EDA＝60°， ∴AD＝2CD＝10，AC＝CD＝5. 54 【变式10-3】如图，将☉O八等分，得到，将☉O十二等分，得到，连接BC.若线段BC是☉O的内接正n边形的边，试探究n的值. 解：由题意，得的度数为＝45°， 的度数为＝30°， ∴ 的度数为45°－30°＝15°. ∵ 360°÷15°＝24， ∴ 线段BC是☉O的内接正二十四边形的边. ∴ n＝24。 55 题型剖析 题型十一：弧长与扇形面积 【例11】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求的长． O A B C 解：连接OB、OC，则∠BOC为所对的圆心角. ∵∠BAC＝60° ∴∠BOC＝2∠BAC＝120° ∴. 【变式11-1】如图，折扇打开后，OA、OB的夹角为120°，OA的长为30 cm，AC的长为20 cm，求图中阴影部分的面积S． 解：S阴影＝S扇形OAB－ ∵ S扇形OAB＝ (cm2)， S扇形OCD＝ (cm2)， ∴ S阴影＝ (cm2). O C A B D 57 解：弧长. 【变式11-2】已知圆弧所在的圆的半径为24，所对的圆心角为60°，求这条弧的长. 58 【变式11-2】已知扇形的圆心角为120°，弧长为20π，求这个扇形的面积. 解：设这条弧所在圆的半径是， 则＝20π，解得：R＝30， S扇形＝ . 59 题型剖析 题型十二：圆锥的侧面积 如图，小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积S是多少？ 【例12】 分析 圆锥形帽子的底面周长就是扇形的弧长. 解 扇形的弧长（即底面圆周长）为 所以扇形纸板的面积 【变式12-1】一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为 20 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长. 解：设该圆锥的底面的半径为r，母线长为a，则 解得 r =10. ∴ a =30. 又 61 【变式12-2】圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是_______． 【变式12-3】一个扇形，半径为30cm，圆心角为120度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_____ ． 180o 10cm 62 易错易混 易错点一：圆中的多结论问题 1、下列说法中，正确的是 ． ①直径是圆中最长的弦，弦是直径； ②同圆或等圆中，优弧大于劣弧，半圆是弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④圆心不同的圆不可能是等圆； ⑤圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形； ⑥弧是圆上两点间的部分，是一条曲线，而弦是圆上两点间的线段； ⑦圆既是中心对称图形也是轴对称图形． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦正确，弦是直径错误； ②同圆或等圆中，优弧大于劣弧，半圆是弧，正确； ③长度相等的两条弧是等弧，错误； ④圆心不同的圆不可能是等圆，错误； ⑤圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形，正确； ⑥弧是圆上两点间的部分，是一条曲线，而弦是圆上两点间的线段，正确； ⑦圆既是中心对称图形也是轴对称图形，正确， 正确的有②⑤⑥⑦． 故答案为：②⑤⑥⑦． 64 易错易混 易错点二：垂径定理的应用 易错易混 易错点三：切线长定理 3.（2024·四川自贡·中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F． (1)图1中三组相等的线段分别是， _____，______； 若，，则半径长为____； AD BE 1 (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． (2) 证明：连接，，，作于点， 设半径为， ∵，∴， ∵，，∴， ∴，，， ∵是的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， ∴， 同理， ∴，∴， ∵，∴是的切线． 67 易错易混 易错点四：不规则图形面积的计算 4. 如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，且AC＝OC. (1)求的度数； O A B C 解：(1)连接OB、BC. ∵AB是⊙O的切线，切点为B， ∴OB⊥AB， ∵AC＝OC，∴BC＝OA＝OC， ∴OB＝BC＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴的度数的为60°. 4. 如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，且AC＝OC. (2)设⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积. O A B C (2)由(1)得AC＝OC＝OB＝5，OB⊥AB 在Rt△OBA中，由勾股定理得， AB＝＝＝5. S阴影＝－S扇形OBC ＝ ＝. 69 易错易混 易错点五：圆中最值计算 71 押题预测 72 73 74 75 76 感谢您的观看 Thank you 77 2、如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点E，连接 ．若 ，则 的半径长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【详解】解：设 的半径是r，∵弦，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ 的半径长为10．故选：C． 5．如图， ，点A、B分别在射线 、射线 上运动，四边形 是矩形，且 ， ，则 的最大值为（    ） A． B． C． D．无最大值 【详解】解：∵ ，， ∴点O在经过点A，B的圆E上，且 ， ∴ ，即圆E的半径为 ， 过E作 于G并延长，与 交于点F， ∴ ， ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， 当O，E，D三点共线时， 最大，且最大值为 ， 故选A． 1．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为E， ，半径为2，则弦 的长为（    ） A．2 B． C． D．4 【详解】解：∵ ，∴， ∵ 的直径 垂直于弦 ，垂足为 ，半径为2， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，故选：B． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 是 的切线，切点分别是 ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图， 是 的切线，切点分别是 ．若 ，则 的长是（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 3．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图， 是正五边形 的内切圆，分别切 于点M，N，P是优弧 上的一点，则 的度数为 °． 【详解】解：∵ 是正五边形的内切圆，分别切 于点 ， ， EMBED Equation.DSMT4 是正五边形， ， ， ， 故答案为：72． 4．（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，在 中， ， 的内切圆 与 ， 分别相切于点D，E，连接 ， 的延长线交 于点F，则 ． 【详解】解： 的内切圆与 ， 分别相切于点D，E， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， ∵ ， ， 故答案为： ． 5．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在 的内接四边形 中， ，点 在 上．    (1) ； (2)求 的度数． 【详解】（1）解： 在的内接四边形 中， ， ，故答案为： ； （2）解：如图，连接 ， ， ， 四边形 是 的内接四边形， ， ．   ， $$