串讲01 一元二次方程（考点串讲，4大知识点+12种重难点题型+4个易错+押题预测）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

九年级苏科版数学上学期期中考点大串讲 串讲01 一元二次方程 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理 十二大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 四大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期中真题对应考点练 考点透视 考点一： 一元二次方程的有关概念 1.一元二次方程的概念： 只含有一个未知数，最高次数为2的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般形式： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 3、一元二次方程的项数和系数： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 二次项： ax2 二次项系数：a 一次项： bx 一次项系数：b 常数项：c 4、注意点： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程． 注：四个要求缺一不可，是我们判定一元二次方程的依据！ 4 考点透视 考点二：一元二次方程的解法 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 一元二次方程的解法类型归纳 注：先观察一元二次方程的形式，再确定用哪个一元二次方程，磨刀不误砍柴工！ 1．直接开平方法 直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平方法适用于解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义可知x＋a是b的平方根，当b≥0时，x＝　 　；当b＜0时，方程没有实数根． 2．配方法 (1)配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成(x＋a)2＝b(b≥0)的形式，这样原方程的一边就转化为一个完全平方式，然后两边同时开平方． (2)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①化二次项系数为1； ②含未知数的项放在一边，常数项放在另一边； ③配方，方程两边同时加上　 　，并写成(x＋a)2＝b的形式，若b≥0，直接开平方求出方程的根． 一次项系数一半的平方 6 3．公式法 (1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的求根公式：x＝　 _. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： ①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； ②确定a，b，c的值； ③求b2－4ac的值； ④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根． 7 4、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程变形为右边是0的形式； (2)将方程左边分解因式； (3)令方程左边的每个因式为0，转化成两个一次方程； (4)分别解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解． 8 考点透视 考点三：一元二次方程根与系数的关系 方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的两个根分别x1、x2， x1＋x2 ＝ x1x2 ＝ 一元二次方程的根与系数用有如下关系： 一次项系数 二次项系数 常数项 注意符号 （也叫韦达定理） 考点透视 考点四：一元二次方程的应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 (1)审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． (2)设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法． (3)列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． (4)解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． (5)作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 题型剖析 题型一：一元二次方程有关的概念 【例1】若关于的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为 ( ) A．2 B．－ C．2或－ D． 解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A A 【变式1-1】方程(3 x －1)(2 x ＋4)＝1化为一般形式为 ⁠ ，其中二次项系数为 ，一次项为 ⁠. 6 x2＋10 x －5＝0 6 10 x 　 【变式1-2】已知关于 x 的方程 x2＋3 x ＋2 m ＝0的一个根是－1，则 m 的值是 ⁠. 1　 注：掌握一元二次方程的一般形式，记住每项的系数要一一对应； 12 【变式1-3】已知关于x的方程(m－1)＋(m－2)x－1＝0， 回答下面的问题： (1) 若方程是一元二次方程，求m的值. 解：(1)根据题意，得m2＋1＝2，且m－1≠0， 解得m＝－1. (2)若方程是一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求出方程的解. 解：(2)存在，有两种情况： ① 当满足m2＋1＝1，且(m－1)＋(m－2)≠0时，解得m＝0， 则方程变为－3x－1＝0，解得x＝－； ② 当满足m－1＝0，且m－2≠0时，解得m＝1，则方程变为 －x－1＝0，解得x＝－1. 14 题型剖析 题型二：直接开平方法 (1) x2-4=0 (2) 4x2-1=0 解：移项，得：x2=4. ∵x是4的平方根， ∴x=±2， 即x1=2，x2=-2. 移项，得：4x2=1. ∵x是的平方根 ∴x=± 即x1= ，x2=- 两边都除以4，得： x2=. 【例2】解下列方程： 解： ∴ 方程的两个根为 解： ∴ 方程的两根个为 16 （5）解方程： ( 2x-1 )2=( x-2 )2 解：2x-1= 即x1=-1，x2=1 即 2x-1=±(x-2) ∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2 17 【变式2-1】方程2x2＝12的根为_______________________⁠； 方程(x＋1)2＝9的根为____　x1＝2，x2＝－4　⁠.  x1＝，x2＝－　 x1＝2，x2＝－4 18 【变式2-2】用直接开平方法解下列方程： 解： (1) 移项，得x2＝81，于是x＝±9，即x1＝9， x2＝－9. (2) 移项，得4x2＝64，于是x2＝16，所以x＝±4， 即x1＝4，x2＝－4. (3) x－3＝±5，于是 x1＝8，x2＝－2. (4) 2y－3＝±4，于是 19 题型剖析 题型三：配方法 【例3】解方程 (1) x2－2＝－2 x . (1)解：移项，得 x2＋2 x ＝2. 配方，得 x2＋2 x ＋1＝2＋1，即( x ＋1)2＝3. 开平方，得 x ＋1＝± ，∴ x ＋1＝ 或 x ＋1＝－ ， 解得 x1＝ －1， x2＝－ －1. (2) x2－6 x －9 991＝0. (2)解：移项，得 x2－6 x ＝9 991， 配方，得 x2－6 x ＋9＝9 991＋9，即( x －3)2＝10 000， 开平方，得 x －3＝±100，解得 x1＝103， x2＝－97. 【变式3-1】用配方法解下列方程： (1)x2+4x-9=2x-11； (2)x(x+4)=8x+12. 解：(1) x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无解. (2) x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6，x2=-2. 21 【变式3-2】用配方法解下列方程： (1)3x2+3＝6x； (2) -5x2+2x-1＝0. 解: (1)两边都除以3，得x2+1=2x. 移项，得：x2-2x =-1. 配方，得：x2-2x 1+ 12=-1+1， (x-1)2=0. 解这个方程，得x-1=0. 所以x1=x2=1. (2)两边都除以-5，得x2-x+=0. 移项，得：x2-x =. 配方，得：x2-2x + 2 =+ 2， (x-)2=. ∵(x-)2≥0， ∴原方程无解. 22 题型剖析 题型四：因式分解法 【例4】解下列方程： (1) (2x－1)2－x2＝0； (2) 9x2－6x＋1＝0. 解：(1)原方程可变形为 (2x－1＋x) (2x－1－x)=0， 即 (3x－1) (x－1)=0. 3x－1＝0或x－1＝0. 所以 x1＝，x2＝1． (2) 原方程可变形为 (3x－1)2=0， 3x－1=0. 所以 x1＝x2＝． 【变式4-1】用因式分解法解下列方程： 将方程的左边分解因式， 得 x(3x－17)=0， 则x=0 ，或3x－17=0， （1） 解： 化简方程，得 解得 ， （2） 解： 24 解：移项、合并同类项，得 因式分解，得 (2x＋1)(2x - 1) = 0. 解得 ∴ 2x＋1 = 0，或 2x - 1 = 0. （3） 将方程的左边分解因式，得 （4） . 解：移项，得 即 则 ，或 解得 , 25 题型剖析 题型五：公式法 (1) x2+3x+2＝0； 【例5】解下列方程： 解：(1) ∵a=1、b=3、c=2， b2－4ac=32-4×1×2=1＞0， ∴ ， ∴ . (2) 2(x2－2)＝7x. 2x2－7x－4＝0 ∵a=2、b=－7、c=－4， ∴ ， ∴ . 解：可得 【变式5-1】用公式法解下列方程： (1) x2 − 4x − 7 = 0； 方程有两个不等的实数根 解：a = 1，b = −4，c = −7. Δ = b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0. 即 27 (2) 5x2－3x = x + 1； 方程有两个不等的实数根 即 a = 5，b = －4，c = －1. Δ = b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0. 解：方程化为 5x2－4x－1 = 0. 28 【变式5-2】(1) 关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 . (2) 若关于 x 的一元二次方程 (m − 1)x2 − 2mx + m = 2 有实数根．求 m 的取值范围. 解：化为一般式，得 (m − 1)x2 − 2mx + m − 2 = 0． Δ = 4m2 − 4(m − 1)(m − 2)≥0，且 m − 1≠0. 解得 且 m≠1. 29 题型剖析 题型六：一元二次方程根的判别式 【例6】解下列方程： (1) x2 ＋x－1=0 解：(1) ∵a=1、b=1、c=－1， b2-4ac=12-4×1×(－1)=5， ∴ . ∴. (2) x2－2x＋3=0 (2) ∵a=1、b= －2、c=3， b2-4ac=(－2 )2-4×1×3=0， ∴ = ∴ (3) 2x2－2x＋1=0 (3) ∵a=2、b= －2、c=1， b2-4ac=(－2 )2-4×2×1=-4＜0， ∴这个方程没有实数根. 31 【变式6-1】已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0. (1)求证：该方程总有两个实数根； 解：(1)∵ a＝1，b＝－4m，c＝3m2， ∴ b2－4ac＝(－4m)2－4×1×3m2＝4m2. ∵ 无论m取何值，m2≥0，即4m2≥0， ∴ 该方程总有两个实数根. 32 (2) ∵ x2－4mx＋3m2＝0， ∴ x＝. ∵ m＞0， ∴ x1＝m，x2＝3m. 由题意，得3m－m＝2， 解得m＝1. (2)若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值. 33 题型剖析 题型七：一元二次方程根与系数的关系 【例7】求下列方程两根的和与两根的积： (1) x2＋2x－5＝0； (2) 2x2＋x＝1. 解：(1) 设方程x2＋2x－5＝0 的两根分别是x1、x2 . ∵a＝1、b＝2、c＝－5， ∴x1＋x2＝－＝－2，x1x2＝＝－5. (2) 把方程化成一般形式，得2x2＋x－1＝0. 设它的两根分别是x1、x2 . ∵a＝2、b＝1、c＝－1， ∴x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝－. 【变式7-1】已知x1、x2 是方程 x2＋x－1＝0的两个实数根，求下列各式的值： (1) (x1－x2)2； (2) (x1＋) (x2＋). 解：根据根与系数的关系，可得x1＋x2＝－2，x1x2=－ . (1) (x1－x2)2＝x12＋x22－2x1x2 ＝ (x1＋x2)2－4x1x2 ＝ (－2)2－4×(－ ) ＝10； (2) (x1＋) (x2＋) ＝ x1x2＋1＋1＋ ＝(－ )＋2＋ ＝－ . 35 【变式7-2】已知关于x的一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋k＋2＝0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； 解：(1)∵ 该方程有两个不相等的实数根， ∴ k≠0且(2k＋1)2－4k(k＋2)＞0， 解得k＜且k≠0. ∴ k的取值范围是k＜且k≠0. 36 【变式7-2】已知关于x的一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋k＋2＝0. (2)若该方程的两根x1、x2满足＋＝－3，求k的值. (2)∵一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋k＋2的两个根是x1、x2， ∴ x1＋x2＝－ ，x1x2＝. ∵ ＋ ＝－3，∴ ＝－3， 即 ＝－3，解得k=－5. 经检验，k=－5是原分式方程的解且符合题意，故k的值为－5. 37 题型剖析 题型八：确定字母的取值范围 【例8】若关于 x 的一元二次方程( k －1) x2＋2 x －2＝0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是(　A　) A. k ＞ 且 k ≠1 B. k ＞ C. k ≥ 且 k ≠1 D. k ≥ A 【变式8-1】若一元二次方程 x2＋ x － c ＝0没有实数根，则 c 的取值范围是 ⁠. c ＜－ 　 【变式8-2】先化简，再求值： ÷ ，其中 a 使一元二次方程 x2＋3 x － a ＋1＝0有两个相等的实数根. 解：原式＝ · ＝ · ＝ a ＋1. ∵一元二次方程 x2＋3 x － a ＋1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝32－4(－ a ＋1)＝0，解得 a ＝－ ， ∴原式＝－ ＋1＝－ . 39 题型剖析 题型九：一元二次方程的应用——图形问题 【例9】一块长方形菜地的面积是150m2. 如果它的长减少5m，那么它就成为正方形菜地. 求这个长方形菜地的长和宽. 解：设原菜地的宽是xm，则长是(x＋5)m． 根据题意，得 x(x＋5)＝150， 解这个方程，得 x1＝10， x2＝－15(不合题意，舍去). 10＋5＝15m. 答：这个长方形菜地的长是15m、宽是10m. 【变式9-1】用一根长100cm的金属丝能否制成面积是600cm2的矩形框子？能否制成面积是800cm2的矩形框子？ 解：设金属丝折成的矩形框子的长是xcm，则宽是(50－x)cm. ①如果矩形框子的面积是600cm2，根据题意，得x(50－x)＝600， 解这个方程，得x1＝20， x2＝30. ②如果矩形框子的面积是800cm2，根据题意，得x(50－x)＝800， 此方程无解. 答：能制成面积是600cm2的矩形框子， 不能制成800cm2的矩形框子. 41 【变式9-2】如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ 解：(1) 设矩形的边， 则边 ． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的羊圈． 42 (2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． (2)解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到 ． 43 题型剖析 题型十：一元二次方程的应用——增长率问题 【例10】我国在2020年底实现农村贫困人口全部脱贫.已知我国2017年农村贫困人口为3046万人，2019年农村贫困人口为551万人，求我2017~2019年农村贫困人口平均每年下降的百分率. 解：设平均每年下降的百分率是x． 根据题意，得 3046(1－x)2 ＝551． 解这个方程，得 x1≈0.575＝57.5％，x2≈1.425(不合题意，舍去). 答：平均每年下降的百分率是57.5％. 【变式10-1】某商品原来的单价为48元，厂家对该商品进行了两次降价，每次降价的百分率相同，现在的单价为27元，求每次降价的百分率. 解：设每次降价的百分率为x. 根据题意，得 48(1－x)2＝27， 解得x1＝0.25＝25%，x2＝1.75(舍去). 答：每次降价的百分率为25%. 45 题型剖析 题型十一：一元二次方程的应用——市场营销 【例11】某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施.假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？ 解：设每件衬衫应降价x元. 根据题意，得 (20＋2x)(40－x)＝1200 即 x2－30x＋200＝0 解这个方程，得 x1＝10，x2＝20 答：衬衫的单价降了20元. ∵要尽快减少库存，∴x＝20. 解：设售价为x元. 根据题意，得 (x-50)[800-20(x-60)]=12000， 整理，得 x2-150x+5600=0， 解得 x1=70，x2=80. 当单价为80元时，进的服装为：800−(80−60)×20=400件. 当单价为70元时，进的服装为：800−(70−60)×20=600件. 答:这批服装的单价为80元，应进400件服装.这批服装的单价为70元，应进600件服装. 【变式11-1】某商店的一种服装，每件成本为50元，经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件. 已知商店销售这批服装获利12000元，问这批服装每件售价是多少元？这时应进服装多少件？ 47 【变式11-2】端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 48 解：设这种水果每千克降价元， 则每千克的利润为：元，销售量为：千克， 整理，得 即 或， 要尽可能让顾客得到实惠， 即售价为（元） 答：这种水果的销售价为每千克29元． 49 题型剖析 题型十二：一元二次方程的应用——动态几何问题 【例12】如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？ A B C D P Q 1cm/s 2cm/s 则AP=______，PB=___________，BQ=_______，QC=____________. xcm (6－x)cm 2xcm (12－2x)cm 分析：设xs后△DPQ的面积等于28cm2. SRt△DAP=_____________________，SRt△PBQ=_____________________， SRt△QCD=_____________________. xcm2 (6－x)cm2 (12－2x)cm2 即x2－6x＋8＝0． 根据题意，得： 6×12 解:设xs后△DPQ的面积等于28cm2,则 △DAP 、△PBQ、△QCD 的面积分别为 解这个方程，得x1＝2，x2＝4． 答：2s或4s后△DPQ的面积等于28cm2 . A B C D P Q 1cm/s 2cm/s 51 【变式12-1】如图，在矩形ABCD中，AB=7cm，BC=2cm. 点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动. 点P出发几秒后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍. A B C D P 解：设点P出发xs后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍. 根据题意，得 x2=4[(7－x)2＋(2)2] 1cm/s xs 解这个方程，得x1＝6，x2＝(舍去)． 答：点P出发6s后，点P、A的距离是点P、C的距离的2倍. 52 【变式12-2】如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． 解：(1)根据题意，得AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝(6－2t)cm， ∵为等腰三角形，， ∴，即， 解得：， ∴当时，△PAQ为等腰三角形. (1)当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？ 53 (2)当t为何值时，△APD的面积为6cm2？ (2)∵（cm2）， ∴， 解得：， ∴当时，的面积为6cm2. (3) 五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． (3) ∵ （cm2）， ∴ 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2. 54 易错易混 易错点一：二次项的系数不为0 1.一元二次方程(m-1)x²+x+m+2m-3=0的一个根是 0,求m的值 错解:将x=0代入(m-1)x²+x+m²+2m-3=0,得 m²+2m-3=0.所以 m1 =1,m2,=-3. 正解:将x=0代入(m-1)x²+x+m+2m-3=0,得m²+2m-3=0.所以m1=1,m2,=-3因为 m-1≠0,所以 m≠1,所以m=-3. 易错易混 易错点二：一元二次方程根的判别式 2、已知关于x的方程mx2＋(3－m)x－3＝0(m为实数，m≠0). (1)试说明：此方程总有两个实数根； 解：(1)∵b2－4ac＝(3－m)2－4m×(－3) ＝m2－6m＋9＋12m ＝m2＋6m＋9 ＝(m＋3)2≥0， ∴此方程总有两个实数根. (2)如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值. 解：(2)由求根公式，得x＝， ∴x1＝1，x2＝－ (m≠0). ∵此方程的两个实数根都为正整数， ∴整数m的值为－1或－3. 57 易错易混 易错点三：一元二次方程根与系数的关系 3、阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝－，x1x2＝. 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值. 解：∵ m，n是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根， ∴ m＋n＝1，mn＝－1. ∴ m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1. 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)应用：一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝______⁠， x1x2＝__________； －　 －　 (2)类比：已知一元二次方程2x2＋3x－1＝0 的两个实数根分别为m、n，求m2＋n2的值； 解：(2) ∵ 一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根分别为m、n， ∴ m＋n＝－，mn＝－. ∴ m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝＋1＝. 59 (3)提升：已知实数s，t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0 ，且s≠t，求－的值. 解：(3) ∵ 实数s，t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0，且s≠t， ∴ s，t是一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根. ∴ s＋t＝－，st＝－. ∵(t－s)2＝（t＋s）2－4st＝－4×＝， ∴ t－s＝±. ∴ －＝＝＝±. 60 易错易混 易错点四：一元二次方程应用要符合实际 4、如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料). (1) 当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ 解：(1)设矩形ABCD的边AB的长为x m，则边BC的长为70－2x＋2＝(72－2x)m. 根据题意，得x(72－2x)＝640. 整理，得x2－36x＋320＝0， 解得x1＝16，x2＝20. 当x＝16时，72－2x＝72－32＝40； 当x＝20时，72－2x＝72－40＝32. ∴ 当羊圈的长为40 m、宽为16 m或长为32 m、宽为20 m时， 能围成一个面积为640 m2的羊圈. (2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 解：(2) 不能　 理由：由题意，得x(72－2x)＝650. 整理，得x2－36x＋325＝0. ∵ b2－4ac＝(－36)2－4×325＝－4＜0， ∴ 一元二次方程没有实数根. ∴ 羊圈的面积不能达到650 m2. 62 押题预测 63 64 65 66 67 感谢您的观看 Thank you 68 －a±eq \r(b) eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)　 1．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）关于x的一元二次方程 一个实数根为2024，则方程 一定有实数根（    ） A．2024 B． C．－2024 D． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 一个实数根为2024， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是方程 一定有实数根． 故选：D 2．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）若a、b是一元二次方程 的两个实数根，则 的值 ． 【详解】解： a、b是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， 故答案为： 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴ 且 ， 即 且 ， ∴ 且 ． 故答案为： 且 4．（23-24八年级下·江苏苏州·期中） 已知 ， 是关于 的方程 的两个不等实数根． (1)求实数 的取值范围： (2)已知等腰 的一边长为3，若 、 恰好是 另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 【详解】（1）解：由题意得： ，解得：； （2）解：由题意可知： ， 只能取 或 ，即 是方程的一个根， 将 代入得： ，解得： 或 ， 当 时，方程的另一个根为 ，此时三角形三边分别为 ， ， ，能构成一个等腰三角形； 当 时，方程的另一个根为 ，此时三角形三边分别为 ， ， ，不能构成一个三角形； 综上所述，这个三角形另外两边的长分别为 ， ． 5．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）第十九届亚运会在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为x元（ ）． (1)请你写出销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式 ． (2)若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为多少元？ 【详解】（1）解： 销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件； 当销售单价x元时， ，即 ， （2）解：由题意得， ，整理得， ， 解得： ， （因 ，舍去） 故文化衫单价应为80元． 答：该文化衫单价应为80元． $$