6.4.2 超几何分布-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第六章　概率 §4　二项分布与超几何分布 4.2　超几何分布 (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题． 教学重点：1.超几何分布的概念及其推导过程.2.与超几何分布有关的概率计算． 教学难点：用超几何分布解决实际问题． 核心素养：1.通过对超几何分布概念的学习，培养数学抽象素养.2.通过利用超几何分布解决实际问题，培养数学建模及逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 N M n 核心概念掌握 5 核心概念掌握 6 依据超几何分布的定义，可以知道超几何分布的模型是不放回抽样．同时在总体中只有两类物品，它研究的对象必须明确，即是对哪一类物品的分布进行研究的，不能搞错．如产品检验时，既可以研究合格品的超几何分布，也可以研究不合格品的超几何分布．由于是从总数为N件的物品中任取n件，这N件物品中包括合格品与不合格品，因此在得到不合格品的概率分布的过程中也得到了合格品的概率分布． 核心概念掌握 7 答案 √ × √ 核心概念掌握 8 答案 核心概念掌握 核心素养形成 核心素养形成 11 解 核心素养形成 12 解 核心素养形成 13 感悟提升 超几何分布的求解步骤 (1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分，如“男生、女生”，“正品、次品”，“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型； (3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来． 核心素养形成 14 核心素养形成 15 解 核心素养形成 16 解 核心素养形成 17 感悟提升 超几何分布的方差公式较为烦琐，故一般不直接考查，均值公式比较常用，要注意找准参数N，M和n. 核心素养形成 18 解 核心素养形成 19 核心素养形成 20 A小区 B小区 C小区 D小区 E小区 废纸投放量(吨) 5 5.1 5.2 4.8 4.9 塑料品投放量(吨) 3.5 3.6 3.7 3.4 3.3 核心素养形成 21 解 核心素养形成 22 解 核心素养形成 23 感悟提升 解决超几何分布问题的两个关注点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆． (2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列． 核心素养形成 24 PM2.5日均值(微克/立方米) [25，35] (35，45] (45，55] (55，65] (65，75] (75，85] 频数(天) 3 1 1 1 1 3 核心素养形成 25 解 核心素养形成 26 解 核心素养形成 27 随堂水平达标 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 答案 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 课后课时精练 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 37 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 38 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 39 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 40 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 41 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 42 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 43 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 44 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 45 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 46 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 47 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 49 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 50 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 51 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 52 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 53 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 54 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 55 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 56 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 57 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　超几何分布 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝eq \x(\s\up1(01))__________，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}．其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 公式中的k可以取的最小值为max{0，n－(N－M)}，而不一定是0.若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为eq \x(\s\up1(02))___，eq \x(\s\up1(03))___，eq \x(\s\up1(04))___的超几何分布． k,M)eq \f(CCeq \o\al(n－k,N－M),Ceq \o\al(n,N)) 知识点二　超几何分布的随机变量的均值 一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝eq \x(\s\up1(01))________． eq \f(nM,N) 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)超几何分布是一种常见的离散型随机变量的分布，利用它可以解决一类超几何分布的问题．(　　) (2)在超几何分布中，只要知道参数N，M，就可以根据公式求出X取不同的x值时的概率P(X＝x)，从而列出分布列．(　　) (3)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　) 2．做一做 (1)某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为________． (2)若随机变量X服从超几何分布，其中M＝4，N＝9，n＝2，则EX＝________． (3)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)＝________． eq \f(8,15) eq \f(8,9) eq \f(27,220) 题型一　超几何分布 　某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数． (1)求X的分布列； (2)求至少有2名男生参加数学竞赛的概率． 解　(1)依题意，X服从超几何分布， 且N＝10，M＝6，n＝4， ∴P(X＝m)＝m,6)eq \f(CCeq \o\al(4－m,4),Ceq \o\al(4,10)) (m＝0，1，2，3，4)． ∴P(X＝0)＝0,6)eq \f(CCeq \o\al(4,4),Ceq \o\al(4,10)) ＝eq \f(1,210)，P(X＝1)＝1,6)eq \f(CCeq \o\al(3,4),Ceq \o\al(4,10)) ＝eq \f(4,35)， P(X＝2)＝2,6)eq \f(CCeq \o\al(2,4),Ceq \o\al(4,10)) ＝eq \f(3,7)，P(X＝3)＝3,6)eq \f(CCeq \o\al(1,4),Ceq \o\al(4,10)) ＝eq \f(8,21)， P(X＝4)＝4,6)eq \f(CCeq \o\al(0,4),Ceq \o\al(4,10)) ＝eq \f(1,14)， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P eq \f(1,210) eq \f(4,35) eq \f(3,7) eq \f(8,21) eq \f(1,14) (2)解法一(直接法)： P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4) ＝eq \f(3,7)＋eq \f(8,21)＋eq \f(1,14)＝eq \f(37,42). 解法二(间接法)： 由分布列的性质，得P(X≥2)＝1－P(X<2) ＝1－[P(X＝0)＋P(X＝1)] ＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,210)＋\f(4,35)))＝eq \f(37,42). (2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝k,M)eq \f(CCeq \o\al(n－k,N－M),Ceq \o\al(n,N)) 求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义； eq \a\vs4\al([跟踪训练1])　在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列． 解　(1)设“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”为事件M， 则P(M)＝4,8)eq \f(C,Ceq \o\al(5,10)) ＝eq \f(5,18). (2)由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则 P(X＝0)＝5,6)eq \f(C,Ceq \o\al(5,10)) ＝eq \f(1,42)，P(X＝1)＝4,6)eq \f(CCeq \o\al(1,4),Ceq \o\al(5,10)) ＝eq \f(5,21)， P(X＝2)＝3,6)eq \f(CCeq \o\al(2,4),Ceq \o\al(5,10)) ＝eq \f(10,21)，P(X＝3)＝2,6)eq \f(CCeq \o\al(3,4),Ceq \o\al(5,10)) ＝eq \f(5,21)， P(X＝4)＝1,6)eq \f(CCeq \o\al(4,4),Ceq \o\al(5,10)) ＝eq \f(1,42). 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P eq \f(1,42) eq \f(5,21) eq \f(10,21) eq \f(5,21) eq \f(1,42) 题型二　超几何分布的均值 (3,5) 　一个口袋内有m(m>3)个大小相同的球，其中有3个红球和m－3个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数X的均值EX. 解　由题意，得eq \f(3,m)＝eq \f(3,5)，则m＝5. 所以白球的个数X服从N＝5，M＝2，n＝3的超几何分布，则EX＝eq \f(nM,N)＝eq \f(3×2,5)＝eq \f(6,5). eq \a\vs4\al([跟踪训练2])　甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道．若甲从中随机抽取5道题目，其中判断题的数目为X，求X的均值． 解　从10道不同的题目中抽取5道，则表示判断题数目的随机变量X服从N＝10，M＝4，n＝5的超几何分布，故均值EX＝eq \f(5×4,10)＝2. 题型三　超几何分布的应用 　目前，有些城市面临“垃圾围城”的窘境．垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失．某市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类．生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源．如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75%，节省造纸能源消耗40%～50%. 现调查了该市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表： (1)从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率； (2)从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，设X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及均值． 解　(1)设“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A.由题意，得B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，所以P(A)＝eq \f(2,5). (2)因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区． X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝2,3)eq \f(C,Ceq \o\al(2,5)) ＝eq \f(3,10)，P(X＝1)＝1,3)eq \f(CCeq \o\al(1,2),Ceq \o\al(2,5)) ＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)， P(X＝2)＝2,2)eq \f(C,Ceq \o\al(2,5)) ＝eq \f(1,10). 所以X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(3,10) eq \f(3,5) eq \f(1,10) EX＝0×eq \f(3,10)＋1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(1,10)＝eq \f(4,5)， 或因为X服从参数N＝5，M＝2，n＝2的超几何分布， 所以EX＝eq \f(nM,N)＝eq \f(2×2,5)＝eq \f(4,5). eq \a\vs4\al([跟踪训练3])　PM2.5是指环境空气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称细颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米及以下，空气质量为一级；在35～75微克/立方米之间(含75微克/立方米)，空气质量为二级；在75微克/立方米以上，空气质量为超标．从某市2022年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表： (1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽取3天的数据，求恰有1天空气质量达到一级的概率； (2)从这10天的数据中任取3天的数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及均值． 解　(1)由表格可知，这10天的PM2.5日均值监测数据中，只有3天达到一级． 所以随机抽取3天的数据，恰有1天空气质量达到一级的概率为P＝1,3)eq \f(CCeq \o\al(2,7),Ceq \o\al(3,10)) ＝eq \f(3×21,120)＝eq \f(21,40). (2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3， P(ξ＝0)＝3,7)eq \f(C,Ceq \o\al(3,10)) ＝eq \f(7,24)，P(ξ＝1)＝1,3)eq \f(CCeq \o\al(2,7),Ceq \o\al(3,10)) ＝eq \f(21,40)， P(ξ＝2)＝2,3)eq \f(CCeq \o\al(1,7),Ceq \o\al(3,10)) ＝eq \f(7,40)，P(ξ＝3)＝3,3)eq \f(C,Ceq \o\al(3,10)) ＝eq \f(1,120). 因此ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P eq \f(7,24) eq \f(21,40) eq \f(7,40) eq \f(1,120) Eξ＝0×eq \f(7,24)＋1×eq \f(21,40)＋2×eq \f(7,40)＋3×eq \f(1,120)＝eq \f(9,10) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或因为ξ服从参数N＝10，M＝3，n＝3的超几何分布，所以Eξ＝\f(nM,N)＝\f(3×3,10)＝\f(9,10))). 1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为(　　) A.3,5)eq \f(C,Ceq \o\al(3,50)) B.1,5)eq \f(C＋Ceq \o\al(2,5)＋Ceq \o\al(3,5),Ceq \o\al(3,50)) C．1－3,45)eq \f(C,Ceq \o\al(3,50)) D.1,5)eq \f(CCeq \o\al(2,45)＋Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(1,45),Ceq \o\al(3,50)) 解析　出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品的概率为3,45)eq \f(C,Ceq \o\al(3,50)) ，故出现二级品的概率为1－3,45)eq \f(C,Ceq \o\al(3,50)) . 2．一个箱内有9张票，其号数分别为1，2，3，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,6) D.eq \f(5,6) 解析　号数至少有一个为奇数的对立事件是号数全为偶数，且其概率为2,4)eq \f(C,Ceq \o\al(2,9)) ＝eq \f(1,6)，故所求概率为1－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6). 3．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以eq \f(7,10)为概率的事件是(　　) A．都不是一等品 B．恰有1件一等品 C．至少有1件一等品 D．至多有1件一等品 解析　“2件都是二等品”的概率P1＝2,2)eq \f(C,Ceq \o\al(2,5)) ＝eq \f(1,10)，“2件中有1件是一等品、1件是二等品”的概率P2＝1,3)eq \f(CCeq \o\al(1,2),Ceq \o\al(2,5)) ＝eq \f(3,5)，则P1＋P2＝eq \f(1,10)＋eq \f(3,5)＝eq \f(7,10)，所以至多有1件一等品的概率是eq \f(7,10). 4．高二(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，摸到4个红球，1个白球的就中一等奖，则中一等奖的概率为________． 解析　令X表示取到的红球数，则X服从N＝30，M＝10，n＝5的超几何分布，于是P(X＝4)＝4,10)eq \f(CCeq \o\al(5－4,20),Ceq \o\al(5,30)) ＝eq \f(100,3393)，所以中一等奖的概率为eq \f(100,3393). eq \f(100,3393) 5．从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中男生的人数． (1)求X的分布列； (2)求X的均值与方差； (3)求“所选3人中男生人数X≤1”的概率． 解　(1)X的所有可能取值为0，1，2， 且P(X＝0)＝0,2)eq \f(CCeq \o\al(3,5),Ceq \o\al(3,7)) ＝eq \f(2,7)，P(X＝1)＝1,2)eq \f(CCeq \o\al(2,5),Ceq \o\al(3,7)) ＝eq \f(4,7)， P(X＝2)＝2,2)eq \f(CCeq \o\al(1,5),Ceq \o\al(3,7)) ＝eq \f(1,7)， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(2,7) eq \f(4,7) eq \f(1,7) (2)EX＝0×eq \f(2,7)＋1×eq \f(4,7)＋2×eq \f(1,7)＝eq \f(6,7)， DX＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(6,7)))eq \s\up12(2)×eq \f(2,7)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(6,7)))eq \s\up12(2)×eq \f(4,7)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(6,7)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,7)＝eq \f(20,49). (3)P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq \f(2,7)＋eq \f(4,7)＝eq \f(6,7). 一、选择题 1．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于3,5)eq \f(CCeq \o\al(3,7),Ceq \o\al(6,12)) 的是(　　) A．P(X＝2) B．P(X＝3) C．P(X≤2) D．P(X≤3) 解析　Ceq \o\al(3,5)表示从5名“三好生”中选3名，从而P(X＝3)＝3,5)eq \f(CCeq \o\al(3,7),Ceq \o\al(6,12)) . 2．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，则恰好取到1个白球和1个红球的概率为(　　) A.eq \f(5,21) B.eq \f(10,21) C.eq \f(11,21) D．1 解析　由题意知P(恰好取到1个白球和1个红球)＝1,10)eq \f(CCeq \o\al(1,5),Ceq \o\al(2,15)) ＝eq \f(10,21). 3．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是次品，现从盒中随机抽取4个，那么eq \f(3,10)等于(　　) A．恰有1个是次品的概率 B．恰有2个是正品的概率 C．4个全是正品的概率 D．至多有2个是次品的概率 解析　对于A，“恰有1个是次品的概率”为P1＝1,3)eq \f(CCeq \o\al(3,7),Ceq \o\al(4,10)) ＝eq \f(1,2)，A不符合题意；对于B，“恰有2个是正品的概率”为P2＝2,7)eq \f(CCeq \o\al(2,3),Ceq \o\al(4,10)) ＝eq \f(3,10)，B符合题意；对于C，“4个全是正品的概率”为P3＝4,7)eq \f(C,Ceq \o\al(4,10)) ＝eq \f(1,6)，C不符合题意；对于D，“至多有2个是次品的概率”为P4＝P1＋P2＋P3＝eq \f(29,30)，D不符合题意．故选B. 4．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为X，已知P(X＝1)＝eq \f(16,45)，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　) A．10% B．20% C．30% D．40% 解析　设10件产品中有x件次品，则P(X＝1)＝1,x)eq \f(CCeq \o\al(1,10－x),Ceq \o\al(2,10)) ＝eq \f(x（10－x）,45)＝eq \f(16,45)，所以x＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为eq \f(2,10)＝20%. 5．(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格，则下列说法正确的是(　　) A．答对0道题和答对3道题的概率相同，都为eq \f(1,8) B．答对1道题的概率为eq \f(3,8) C．答对2道题的概率为eq \f(5,12) D．合格的概率为eq \f(1,2) 解析　对于A，答对0道题的概率为P0＝3,5)eq \f(C,Ceq \o\al(3,10)) ＝eq \f(1,12)，答对3道题的概率为P3＝3,5)eq \f(C,Ceq \o\al(3,10)) ＝eq \f(1,12)，故A错误；对于B，答对1道题的概率为P1＝1,5)eq \f(CCeq \o\al(2,5),Ceq \o\al(3,10)) ＝eq \f(5,12)，故B错误；对于C，答对2道题的概率为P2＝2,5)eq \f(CCeq \o\al(1,5),Ceq \o\al(3,10)) ＝eq \f(5,12)，故C正确；对于D，合格的概率为P＝2,5)eq \f(CCeq \o\al(1,5),Ceq \o\al(3,10)) ＋3,5)eq \f(C,Ceq \o\al(3,10)) ＝eq \f(1,2)，故D正确． 二、填空题 6．若10件产品中有2件次品，从中随机抽取3件，则恰有1件次品的概率是________． 解析　设事件A表示“从中随机抽取3件，恰有1件次品”，则P(A)＝2,8)eq \f(CCeq \o\al(1,2),Ceq \o\al(3,10)) ＝eq \f(7,15). eq \f(7,15) 7．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为______________(用式子表示)． 解析　设抽取的二级品的台数为X，则X服从超几何分布，且P(X＝0)＝0,3)eq \f(CCeq \o\al(4,97),Ceq \o\al(4,100)) ＝4,97)eq \f(C,Ceq \o\al(4,100)) ，P(X＝1)＝1,3)eq \f(CCeq \o\al(3,97),Ceq \o\al(4,100)) ，所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝4,97)eq \f(C＋Ceq \o\al(1,3)Ceq \o\al(3,97),Ceq \o\al(4,100)) . 4,97)eq \f(C＋Ceq \o\al(1,3)Ceq \o\al(3,97),Ceq \o\al(4,100)) 8．学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用ξ表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量ξ的均值Eξ的值是________(结果用分数表示)． 解析　因为随机变量ξ服从参数N＝7，M＝2，n＝2的超几何分布，所以Eξ＝ eq \f(nM,N)＝eq \f(4,7). eq \f(4,7) 三、解答题 9．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3个进行检验，若以随机变量X表示取出次品的个数，求随机变量X的分布列、均值及方差． 解　X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝3,10)eq \f(C,Ceq \o\al(3,12)) ＝eq \f(6,11)， P(X＝1)＝1,2)eq \f(CCeq \o\al(2,10),Ceq \o\al(3,12)) ＝eq \f(9,22)， P(X＝2)＝2,2)eq \f(CCeq \o\al(1,10),Ceq \o\al(3,12)) ＝eq \f(1,22). 所以X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(6,11) eq \f(9,22) eq \f(1,22) EX＝0×eq \f(6,11)＋1×eq \f(9,22)＋2×eq \f(1,22)＝eq \f(1,2)， DX＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(6,11)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(9,22)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,22)＝eq \f(3,22)＋eq \f(9,88)＋eq \f(9,88)＝eq \f(15,44). 10．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]． (1)求图中x的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为X，求X的分布列． 解　(1)由(0.006×3＋0.01＋0.054＋x)×10＝1，解得x＝0.018. (2)分数在[80，90)，[90，100]的人数分别是50×0.018×10＝9，50×0.006×10＝3. 所以X的所有可能取值为0，1，2，其服从N＝12，M＝3，n＝2的超几何分布，则P(X＝0)＝0,3)eq \f(CCeq \o\al(2,9),Ceq \o\al(2,12)) ＝eq \f(6,11)，P(X＝1)＝1,3)eq \f(CCeq \o\al(1,9),Ceq \o\al(2,12)) ＝eq \f(9,22)， P(X＝2)＝2,3)eq \f(CCeq \o\al(0,9),Ceq \o\al(2,12)) ＝eq \f(1,22). 所以X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(6,11) eq \f(9,22) eq \f(1,22) 1．某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n(n∈N＋)个人数超过1000的大集团和4个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为eq \f(1,6). (1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率； (2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和均值． 解　(1)由题意知共有n＋4个集团，取出2个集团的方法总数是Ceq \o\al(2,n＋4)，其中全是小集团的情况有Ceq \o\al(2,4)， 故全是小集团的概率是 2,4)eq \f(C,Ceq \o\al(2,n＋4)) ＝eq \f(12,（n＋4）（n＋3）)＝eq \f(1,6)， 整理得(n＋3)(n＋4)＝72，即n2＋7n－60＝0，解得n＝5. 若2个全是大集团，共有Ceq \o\al(2,5)＝10种情况； 若2个全是小集团，共有Ceq \o\al(2,4)＝6种情况． 故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为大集团的概率为eq \f(10,10＋6)＝eq \f(10,16)＝eq \f(5,8). (2)由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝0,4)eq \f(CCeq \o\al(3,5),Ceq \o\al(3,9)) ＝eq \f(10,84)＝eq \f(5,42)，P(X＝1)＝1,4)eq \f(CCeq \o\al(2,5),Ceq \o\al(3,9)) ＝eq \f(40,84)＝eq \f(10,21)， P(X＝2)＝2,4)eq \f(CCeq \o\al(1,5),Ceq \o\al(3,9)) ＝eq \f(30,84)＝eq \f(5,14)，P(X＝3)＝3,4)eq \f(CCeq \o\al(0,5),Ceq \o\al(3,9)) ＝eq \f(4,84)＝eq \f(1,21). 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(5,42) eq \f(10,21) eq \f(5,14) eq \f(1,21) 均值EX＝0×eq \f(5,42)＋1×eq \f(10,21)＋2×eq \f(5,14)＋3×eq \f(1,21)＝eq \f(4,3). 2．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满500元的顾客，可以获得一次抽奖机会，有两种方案．方案一：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客一次性摸出2个球，规定摸到2个黑球奖励50元，1个黑球奖励20元，没有摸到黑球奖励15元．方案二：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客不放回地每次摸出一个球，直到将所有黑球摸出则停止摸球，规定2次摸出所有黑球奖励50元，3次摸出所有黑球奖励30元，4次摸出所有黑球奖励20元，5次摸出所有黑球奖励10元． (1)记X为1名顾客选择方案一时摸出黑球的个数，求随机变量X的均值； (2)若你是1名要抽奖的顾客，你会选择哪种方案进行抽奖？并说明理由． 解　(1)解法一：易知X服从超几何分布， 且N＝5，M＝2，n＝2，故EX＝eq \f(2×2,5)＝0.8. 解法二：X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝2)＝2,2)eq \f(C,Ceq \o\al(2,5)) ＝eq \f(1,10)，P(X＝1)＝1,2)eq \f(CCeq \o\al(1,3),Ceq \o\al(2,5)) ＝eq \f(3,5)， P(X＝0)＝0,2)eq \f(CCeq \o\al(2,3),Ceq \o\al(2,5)) ＝eq \f(3,10)， ∴EX＝2×eq \f(1,10)＋1×eq \f(3,5)＋0×eq \f(3,10)＝0.8. (2)方案一：记Y为1名顾客选择方案一进行抽奖获得的奖金数额，则Y的所有可能取值为50，20，15. P(Y＝50)＝2,2)eq \f(C,Ceq \o\al(2,5)) ＝eq \f(1,10)， P(Y＝20)＝1,2)eq \f(CCeq \o\al(1,3),Ceq \o\al(2,5)) ＝eq \f(3,5)， P(Y＝15)＝0,2)eq \f(CCeq \o\al(2,3),Ceq \o\al(2,5)) ＝eq \f(3,10)， ∴EY＝50×eq \f(1,10)＋20×eq \f(3,5)＋15×eq \f(3,10)＝21.5. 方案二：记Z为1名顾客选择方案二进行抽奖获得的奖金数额，则Z的所有可能取值为50，30，20，10. P(Z＝50)＝2,2)eq \f(A,Aeq \o\al(2,5)) ＝eq \f(1,10)，P(Z＝30)＝1,2)eq \f(CCeq \o\al(1,3)Aeq \o\al(2,2),Aeq \o\al(3,5)) ＝eq \f(1,5)， P(Z＝20)＝1,2)eq \f(CCeq \o\al(2,3)Aeq \o\al(3,3),Aeq \o\al(4,5)) ＝eq \f(3,10)，P(Z＝10)＝1,2)eq \f(CAeq \o\al(4,4),Aeq \o\al(5,5)) ＝eq \f(2,5). ∴EZ＝50×eq \f(1,10)＋30×eq \f(1,5)＋20×eq \f(3,10)＋10×eq \f(2,5)＝21. ∵EY>EZ， ∴我会选择方案一进行抽奖． $$