6.4.1 二项分布-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第六章　概率 §4　二项分布与超几何分布 4.1　二项分布 (教师独具内容) 课程标准：掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题． 教学重点：理解n重伯努利试验与二项分布，并能解决简单的实际问题． 教学难点：用二项分布解决实际问题． 核心素养：1.通过对n重伯努利试验的概念和二项分布的概念的学习，培养数学抽象素养.2.通过利用二项分布解决实际问题，培养数学建模及逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 重复做n次伯努利 其他试验结果 X～B(n，p) 核心概念掌握 5 两点 np np(1－p) p p(1－p) 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 答案 √ × √ 核心概念掌握 8 答案 核心概念掌握 核心素养形成 核心素养形成 11 解 核心素养形成 12 解 核心素养形成 13 感悟提升 (1)二项分布的简单应用是求n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率． (2)二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率． 核心素养形成 14 答案 解析 核心素养形成 15 解析 核心素养形成 16 解 核心素养形成 17 答案 核心素养形成 18 解析 核心素养形成 19 解析 答案 核心素养形成 20 感悟提升 本例(1)中利用二项分布的均值与方差公式，避免了复杂的计算过程，可以快速求出所求的均值和方差． 核心素养形成 21 答案 解析 核心素养形成 22 答案 解析 核心素养形成 23 核心素养形成 24 核心素养形成 25 解 核心素养形成 26 解 核心素养形成 27 感悟提升 利用二项分布解决实际问题的关键是建立二项分布模型，解决这类问题时要看它是不是n重伯努利试验，随机变量是不是在这n重伯努利试验中某事件发生的次数． 核心素养形成 28 核心素养形成 29 核心素养形成 30 解 核心素养形成 31 解 核心素养形成 32 随堂水平达标 1．下列随机变量X不服从二项分布的是(　　) A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数 B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数 C．实力相同的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数 D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数 答案 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 36 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 37 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 38 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 39 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 40 课后课时精练 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 42 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 43 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 44 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 45 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 46 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 47 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 48 答案 解析 0.9477 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 49 答案 解析 60 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 50 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 52 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 53 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 54 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 55 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 56 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 57 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 58 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 59 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 60 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 61 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 62 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 63 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 64 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　n重 伯努利试验 一般地，在相同条件下eq \x(\s\up1(01))__________________试验，且每次试验的结果都不受eq \x(\s\up1(02))______________的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验． 知识点二　二项分布 (1)一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝eq \x(\s\up1(01))______________(k＝0，1，2，…，n)． 若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为eq \x(\s\up1(02))______________． Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k (2)eq \x(\s\up1(03))_____分布是二项分布在参数n＝1时的特殊情况． 知识点三　二项分布的随机变量的均值与方差 一般地，若随机变量X～B(n，p)，则EX＝eq \x(\s\up1(01))___，DX＝eq \x(\s\up1(02))_________． 特殊地，若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝eq \x(\s\up1(03))_____，DX＝eq \x(\s\up1(04))____________． 如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么n重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k.此概率公式恰为[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项，故称该公式为二项分布公式． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二项分布的参数是n，p.(　　) (2)n重伯努利试验每次试验的结果可以有多种．(　　) (3)一批产品中，次品率为eq \f(1,4)，现有放回地连续抽取4次，若抽取的次品件数记为X，则DX的值为eq \f(3,4).(　　) 题型一　二项分布 (1,3) 　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数X的分布列； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数Y的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． 解　(1)由题意知X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，则 P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(5－k)，k＝0，1，2，3，4，5. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P eq \f(32,243) eq \f(80,243) eq \f(80,243) eq \f(40,243) eq \f(10,243) eq \f(1,243) 　(2)P(Y＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(k)×eq \f(1,3)，k＝0，1，2，3，4； P(Y＝5)＝P(5个均为绿灯)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(5)， 故Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 5 P eq \f(1,3) eq \f(2,9) eq \f(4,27) eq \f(8,81) eq \f(16,243) eq \f(32,243) (3)所求概率为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－eq \f(32,243)＝eq \f(211,243). [跟踪训练1]　 (1)若随机变量X服从Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则P(X≤3)＝(　　) A.eq \f(11,32) B.eq \f(7,32) C.eq \f(21,32) D.eq \f(7,64) 解析　解法一：∵X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，∴P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(6－k)＝Ceq \o\al(k,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(6).∴P(X≤3)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝(Ceq \o\al(0,6)＋Ceq \o\al(1,6)＋Ceq \o\al(2,6)＋Ceq \o\al(3,6))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(6)＝eq \f(21,32).故选C. 解法二：∵X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，∴P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(k)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(6－k)＝Ceq \o\al(k,6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(6).∴P(X≤3)＝ 1－P(X≥4)＝1－4,6)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(C×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(6)＋Ceq \o\al(5,6)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(6)＋Ceq \o\al(6,6)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(6))) ＝eq \f(21,32).故选C. 解　由题意可知，X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,4)))， 所以P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq \s\up12(3－k)，k＝0，1，2，3. 从而X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(1,64) eq \f(9,64) eq \f(27,64) eq \f(27,64) (2)某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为eq \f(3,4)，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次．求他们中成功咨询的人数X的分布列． 题型二　二项分布的均值与方差 　(1)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球的个数为X，已知EX＝3，则DX＝(　　) A.eq \f(8,5) B.eq \f(6,5) C.eq \f(4,5) D.eq \f(2,5) 解析　由题意知，X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,m＋3)))，∴EX＝5×eq \f(3,m＋3)＝3，解得m＝2，∴X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,5)))，∴DX＝5×eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq \f(6,5).故选B. 解析　由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(np＝\f(5,2)，,np（1－p）＝\f(5,4)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)，,n＝5，))所以P(X＝1)＝Ceq \o\al(1,5)p(1－p)4＝5×eq \f(1,32)＝eq \f(5,32). (2)若随机变量X～B(n，p)，且EX＝eq \f(5,2)，DX＝eq \f(5,4)，则P(X＝1)＝_____． eq \f(5,32) eq \a\vs4\al([跟踪训练2])　(1)已知随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，则EX，DX分别为(　　) A.eq \f(1,3)，eq \f(2,9) B．2，4 C．2，eq \f(4,3) D.eq \f(4,3)，2 解析　EX＝6×eq \f(1,3)＝2，DX＝6×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq \f(4,3). (2)随机变量X～B(n，p)，且期望EX＝3，p＝eq \f(1,5)，则方差DX＝(　　) A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(12,5) D．2 解析　因为二项分布的数学期望EX＝np＝3，所以二项分布的方差DX＝np(1－p)＝3(1－p)＝eq \f(12,5).故选C. 题型三　二项分布的实际应用 　为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园环境噪音值(单位：分贝)进行了50天的监测，得到如下统计表： 环境噪音值/分贝 [55，57] (57，59] (59，61] (61，63] (63，65] (65，67] 频数 1 4 12 20 8 5 (1)根据该统计表，求这50天校园环境噪音值的样本平均数(同一组的数据用该组的组中值作代表)； (2)若环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染，环境噪音值不超过59分贝，视为轻度噪音污染，把由上述统计表算得的频率视作概率，解答下列各题： ①求周一到周五的5天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余3天都是轻度噪音污染的概率； ②学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染天数记为X，求X的分布列和方差DX. 解　(1)由数据可知样本平均数为 eq \f(56×1＋58×4＋60×12＋62×20＋64×8＋66×5,50) ＝61.8(分贝)． (2)①由题意，知出现重度噪音污染的概率为eq \f(1,10)，出现轻度噪音污染的概率为eq \f(1,10)，设事件A为“周一至周五的5天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余3天都是轻度噪音污染”， 则P(A)＝Ceq \o\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,10000). ②由题意，得X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,10)))，P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq \s\up12(k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq \s\up12(3－k)，k＝0，1，2，3.于是X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(729,1000) eq \f(243,1000) eq \f(27,1000) eq \f(1,1000) 所以DX＝np(1－p)＝0.27. eq \a\vs4\al([跟踪训练3])　甲、乙、丙3人均以游戏的方式决定是否参加学校音乐社团、美术社团，游戏规则如下： ①先将一个圆八等分(如图)，再将8个等分点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8分别标注在8个相同的小球上，并将这8个小球放入一个不透明的盒子里，每个人从盒内随机摸出两个小球，然后用摸出的两个小球上标注的分点与圆心O构造三角形．若能构成直角三角形，则两个社团都参加；若能构成锐角三角形，则只参加美术社团；若能构成钝角三角形，则只参加音乐社团；若不能构成三角形，则两个社团都不参加． ②前一个同学摸出两个小球记录下结果后，把两个小球都放回盒内，下一位同学再从盒中随机摸取两个小球． (1)求甲能参加音乐社团的概率； (2)记甲、乙、丙3人能参加音乐社团的人数为随机变量X，求X的分布列、均值和方差． 解　(1)从盒中随机摸出两个小球，即从8个等分点中随机选取两个不同的分点，共有Ceq \o\al(2,8)＝28种，其中与圆心O构成直角三角形的取法有8种：△A1A3O，△A2A4O，△A3A5O，△A4A6O，△A5A7O，△A6A8O，△A7A1O，△A8A2O. 与圆心O构成钝角三角形的取法有8种：△A1A4O，△A2A5O，△A3A6O，△A4A7O，△A5A8O，△A6A1O，△A7A2O，△A8A3O. 所以甲能参加音乐社团的概率为 P＝eq \f(8＋8,28)＝eq \f(4,7). (2)由题意可知随机变量X服从二项分布，即X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(4,7)))， P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7))) eq \s\up12(k) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,7))) eq \s\up12(3－k)，k＝0，1，2，3. 于是X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(27,343) eq \f(108,343) eq \f(144,343) eq \f(64,343) 均值EX＝np＝3×eq \f(4,7)＝eq \f(12,7)；方差DX＝np(1－p)＝3×eq \f(4,7)×eq \f(3,7)＝eq \f(36,49). 解析　对于A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6出现的概率在每一次试验中都为eq \f(1,6)，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；对于B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；对于C，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5重伯努利试验，故X服从二项分布；对于D，由二项分布的定义，可知被感染次数X～B(n，0.3)． 2．若X～B(5，0.1)，则P(X≤2)＝(　　) A．0.665 B．0.00856 C．0.91854 D．0.99144 解析　P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq \o\al(0,5)×0.10×0.95＋Ceq \o\al(1,5)×0.1×0.94＋Ceq \o\al(2,5)×0.12×0.93＝0.99144. 3．若ξ～B(n，p)，且Eξ＝300，Dξ＝200，则p＝(　　) A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2) 解析　Eξ＝np＝300，Dξ＝np(1－p)＝200，解得1－p＝eq \f(2,3)，p＝eq \f(1,3). 4．一名篮球运动员在比赛时罚球命中率为50%，则他在5次罚球中罚失2次的概率是________． 解析　5次罚球中罚失2次，即罚中3次，其概率为Ceq \o\al(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(5,16). eq \f(5,16) 5．设某地区O型血的人数占总人口数的比为eq \f(1,2)，现从中随机抽取3人． (1)求3人中恰有2人为O型血的概率； (2)记O型血的人数为X，求X的分布列． 解　(1)由题意，知随机抽取一人，是O型血的概率为eq \f(1,2)， ∴3人中有2人为O型血的概率为 P＝Ceq \o\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(3,8). (2)X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝Ceq \o\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,8)，P(X＝1)＝Ceq \o\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(3,8)， P(X＝2)＝Ceq \o\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(3,8)，P(X＝3)＝Ceq \o\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,8). ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(1,8) eq \f(3,8) eq \f(3,8) eq \f(1,8) 一、选择题 1．某人通过普通话二级测试的概率是eq \f(1,4)，若他连续测试3次(各次测试互不影响)，则其中恰有1次通过的概率是(　　) A.eq \f(1,64) B.eq \f(1,16) C.eq \f(27,64) D.eq \f(3,4) 解析　某人通过普通话二级测试的概率是eq \f(1,4)，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率P＝Ceq \o\al(1,3)×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(27,64).故选C. 2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(k)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(n－k)，k＝0，1，2，…，n，且EX＝24，则DX的值为(　　) A．8 B．12 C.eq \f(2,9) D．16 解析　由题意可知X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(2,3)))，∴EX＝eq \f(2,3)n＝24.∴n＝36.∴DX＝36×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝8. 3．掷一枚质地均匀的骰子12次，则出现向上的一面是3的次数的均值和方差分别是(　　) A．2和5 B．2和eq \f(5,3) C．4和eq \f(8,3) D .eq \f(7,2)和1 解析　由题意知出现向上的一面为3的次数符合二项分布，掷12次骰子相当于做12次独立重复试验，且每次试验出现向上的一面为3的概率是eq \f(1,6)，所以EX＝12×eq \f(1,6)＝2，DX＝12×eq \f(1,6)×eq \f(5,6)＝eq \f(5,3).故选B. 4．已知位于坐标原点的质点P每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是eq \f(1,2)，则质点P移动5次后位于点(2，3)的概率为(　　) A.eq \f(1,32) B.eq \f(5,16) C.eq \f(5,32) D.eq \f(9,16) 解析　质点P向右移动2次，向上移动3次才能到达点(2，3)，因此质点P移动5次后位于点(2，3)的概率P＝Ceq \o\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝Ceq \o\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(5)＝eq \f(5,16). 5．(多选)某班级的全体学生平均分成6个小组，且每个小组均有4名男生和多名女生，现从各个小组中随机抽取一名同学参加社区服务活动．若抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为eq \f(728,729)，则下列说法正确的是(　　) A．该班级共有36名学生 B．第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为eq \f(2,3) C．抽取的6名学生中男、女生数量相同的概率为eq \f(160,729) D．抽取的6名学生中女生人数不少于5的概率为eq \f(13,729) 解析　设每个小组有x名学生，则每个小组中女生人数为x－4.∵抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为eq \f(728,729)，∴抽取的6名学生全是女生的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－4,x)))eq \s\up12(6)＝eq \f(1,729)，解得x＝6，∴该班级共有6×6＝36名学生，A正确；第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为eq \f(1,6)，B错误；抽取的6名学生中男、女生数量相同的概率为Ceq \o\al(3,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(160,729)，C正确；抽取的6名学生中女生人数不少于5的概率为Ceq \o\al(5,6)×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(5)＋Ceq \o\al(6,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(0)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(6)＝eq \f(13,729)，D正确．故选ACD. 二、填空题 6．某气象台天气预报的准确率为0.9，则4次预报中至少有3次准确的概率为________． 解析　由条件可知P(有3次准确)＋P(有4次准确)＝Ceq \o\al(3,4)×0.93×0.1＋0.94＝0.9477. 7．设X～B(n，p)，且EX＝15，DX＝eq \f(45,4)，则n，p的值分别为_____和_____． 解析　由题意，可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EX＝np＝15，,DX＝np（1－p）＝\f(45,4)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝60，,p＝\f(1,4).)) eq \f(1,4) 8．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝eq \f(7,16)，则P(Y＝2)＝________． 解析　∵X～B(2，p)，∴P(X≥1)＝Ceq \o\al(1,2)p(1－p)＋Ceq \o\al(2,2)p2＝eq \f(7,16)，得p＝eq \f(1,4)，又Y～B(3，p)，∴P(Y＝2)＝Ceq \o\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq \f(9,64). eq \f(9,64) 三、解答题 9．已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为eq \f(1,3)，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的． (1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列； (2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率． 解　(1)由题意，得X的所有可能取值为0，1，2，3，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3))).即 P(X＝0)＝Ceq \o\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(0)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(8,27)，P(X＝1)＝Ceq \o\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,9)， P(X＝2)＝Ceq \o\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(1)＝eq \f(2,9)，P(X＝3)＝Ceq \o\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(0)＝eq \f(1,27). 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(8,27) eq \f(4,9) eq \f(2,9) eq \f(1,27) (2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为 P＝Ceq \o\al(3,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(3)×eq \f(1,3)＝eq \f(160,2187). 10.我国的5G研发在世界处于领先地位，到2022年底已开通的5G基站已达到231.2万个．某科技公司为基站使用的某种装置生产电子元件，该装置由元件A和元件B按上图方式连接而成．已知元件A至少有一个正常工作，且元件B正常工作，则该装置正常工作．据统计，元件A和元件B正常工作超过10000小时的概率分别为eq \f(1,2)和eq \f(4,5). (1)求该装置正常工作超过10000小时的概率； (2)某城市5G基站建设需购进1200台该装置，估计该批装置能正常工作超过10000小时的台数． 解　(1)元件A至少有一个正常工作超过10000小时的概率为1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(7,8)， 则该装置正常工作超过10000小时的概率为eq \f(7,8)×eq \f(4,5)＝eq \f(7,10). (2)设1200台该装置能正常工作超过10000小时的有X台，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1200，\f(7,10)))， 所以这1200台装置能正常工作超过10000小时的约有1200×eq \f(7,10)＝840(台)． 1．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率； (2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和均值． 解　(1)记事件A1为“从甲箱中摸出的1个球是红球”，事件A2为“从乙箱中摸出的1个球是红球”，事件B1为“顾客抽奖1次获一等奖”，事件B2为“顾客抽奖1次获二等奖”，事件C为“顾客抽奖1次能获奖”．由题意可知，A1与A2相互独立，A1eq \o(A,\s\up16(－))2与eq \o(A,\s\up16(－))1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1eq \o(A,\s\up16(－))2＋eq \o(A,\s\up16(－))1A2，C＝B1＋B2. 因为P(A1)＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，P(A2)＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2)， 所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,5)， P(B2)＝P(A1eq \o(A,\s\up16(－))2＋eq \o(A,\s\up16(－))1A2)＝P(A1eq \o(A,\s\up16(－))2)＋P(eq \o(A,\s\up16(－))1A2)＝P(A1)P(eq \o(A,\s\up16(－))2)＋P(eq \o(A,\s\up16(－))1)P(A2)＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)＝eq \f(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). 故所求概率P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝eq \f(1,5)＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,10). (2)顾客抽奖3次可视为3重伯努利试验． 由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为eq \f(1,5)， 所以X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5))). 于是P(X＝0)＝Ceq \o\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq \s\up12(0)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(3)＝eq \f(64,125)，P(X＝1)＝Ceq \o\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq \s\up12(1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(48,125)， P(X＝2)＝Ceq \o\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(1)＝eq \f(12,125)，P(X＝3)＝Ceq \o\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq \s\up12(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(0)＝eq \f(1,125). 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P eq \f(64,125) eq \f(48,125) eq \f(12,125) eq \f(1,125) 均值EX＝3×eq \f(1,5)＝eq \f(3,5). 2．学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否相互独立．已知小明每次投篮投中的概率都是eq \f(1,3)，小强每次投篮投中的概率都是p(0<p<1)． (1)求小明直到第3次才投中的概率； (2)求小明4次投篮后的总得分ξ的分布列和均值； (3)小强投篮4次，记投中的次数为X，若EX＝1，求p和DX. 解　(1)设“小明在投篮过程中直到第3次才投中”为事件A，事件A说明小明前2次未投中，第3次投中，所以P(A)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＝eq \f(4,27)，故小明直到第3次才投中的概率为eq \f(4,27). (2)小明4次投篮后的总得分ξ的取值范围为{0，2，4，6，8}． P(ξ＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(4)＝eq \f(16,81)， P(ξ＝2)＝Ceq \o\al(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(3)×eq \f(1,3)＝eq \f(32,81)， P(ξ＝4)＝Ceq \o\al(2,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(8,27)， P(ξ＝6)＝Ceq \o\al(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(8,81)， P(ξ＝8)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(4)＝eq \f(1,81). 所以ξ的分布列为 ξ 0 2 4 6 8 P eq \f(16,81) eq \f(32,81) eq \f(8,27) eq \f(8,81) eq \f(1,81) Eξ＝0×eq \f(16,81)＋2×eq \f(32,81)＋4×eq \f(8,27)＋6×eq \f(8,81)＋8×eq \f(1,81)＝eq \f(8,3). (3)由题意，知X～B(4，p)， 所以EX＝4p＝1，解得p＝eq \f(1,4)， 所以DX＝4p(1－p)＝4×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq \f(3,4). $$