6.3.2 离散型随机变量的方差-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第六章　概率 §3　离散型随机变量的均值 与方差 3.2　离散型随机变量的方差 (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，理解离散型随机变量的方差． 教学重点：离散型随机变量的方差、标准差的计算． 教学难点：用离散型随机变量的均值、方差解决实际问题． 核心素养：1.通过学习离散型随机变量的方差及标准差的概念，培养数学抽象素养.2.通过利用离散型随机变量的方差解决实际问题，培养数学建模及数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 核心概念掌握 5 均值EX 其均值EX σX σX 均值 均值 小 分散 核心概念掌握 6 常用结论 D(aX)＝a2DX. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　　) (2)若a是常数，则Da＝0.(　　) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度． (　　) 答案 × √ √ 核心概念掌握 7 答案 0.25 核心概念掌握 8 核心素养形成 题型一　求离散型随机变量的方差、标准差 　 袋中有20个大小相同的球，其中标上0号的有10个，标上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的方差和标准差． 核心素养形成 10 解 核心素养形成 11 感悟提升 求离散型随机变量X的方差的一般步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值； (2)求X取每一个值的概率； (3)写出随机变量X的分布列； (4)由均值的定义求EX； (5)由方差的定义求DX. 核心素养形成 12 [跟踪训练1] 已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球)．记换好后袋中的白球个数为X，则EX＝________，DX＝________，σX＝________． 答案 核心素养形成 解析 核心素养形成 14 答案 核心素养形成 15 解析 核心素养形成 16 感悟提升 已知方差求参数的方法 (1)根据题目条件中给出的分布列，可以列出参数之间的关系． (2)根据期望和方差的值可以得到参数的关系． (3)联立可得关于参数的方程(组)． (4)解方程(组)即可求得参数值． 核心素养形成 17 答案 核心素养形成 18 解析 核心素养形成 19 题型三　方差的实际应用 　 有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示： 试分析甲、乙两名同学谁的成绩较好． 甲 分数X甲 80 90 100 概率 0.2 0.6 0.2 乙 分数X乙 80 90 100 概率 0.4 0.2 0.4 核心素养形成 20 解　在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为EX甲＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90， EX乙＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90. 方差分别为DX甲＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40， DX乙＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80. 由上面数据，可知EX甲＝EX乙，DX甲<DX乙． 这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好． 解 核心素养形成 21 感悟提升 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁发挥得相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去解决实际问题时，两者都要分析． 核心素养形成 22 [跟踪训练3]　甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列分别为 (1)求a，b的值； (2)计算X，Y的期望与方差，并依此分析甲、乙的技术状况． X 1 2 3 P a 0.1 0.6 Y 1 2 3 P 0.3 b 0.3 核心素养形成 23 解　(1)由离散型随机变量分布列的性质得a＋0.1＋0.6＝1， 解得a＝0.3； 同理0.3＋b＋0.3＝1， 解得b＝0.4. (2)EX＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3； EY＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2； DX＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81； DY＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6. EX>EY，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但DX>DY，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势． 解 核心素养形成 24 随堂水平达标 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 4．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1，2，3，从袋中无放回地每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________． 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 5．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下表： 根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量． X1 －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05 X2 －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 解　由题意，得EX1＝0，EX2＝0，∴EX1＝EX2，∵DX1＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，DX2＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2，∴DX1<DX2.由上可知，A面大钟的质量较好． 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 课后课时精练 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 33 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 34 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 35 3．若随机变量X的分布列如下表所示，且EX＝6.3，则D(2X＋1)＝(　　) A.－14.39 B．28 C．22.44 D．16.64 解析　由题意可得0.5＋0.1＋b＝1，解得b＝0.4.又由EX＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，解得a＝7，所以DX＝(4－6.3)2×0.5＋(7－6.3)2×0.1＋(9－6.3)2×0.4＝5.61，D(2X＋1)＝4DX＝4×5.61＝22.44.故选C. 答案 解析 X 4 a 9 P 0.5 0.1 b 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 36 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 37 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 38 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 39 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 40 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 41 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 42 7．将两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的方差DX＝________． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 43 1 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 44 三、解答题 9．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品，A，B两台机床生产的产品中出现的次品数分别为X1，X2.X1，X2的分布列如下表所示： 问：哪一台机床加工质量较好？ X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 45 解　EX1＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44， EX2＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44， 它们的均值相同，再比较它们的方差． DX1＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.6064， DX2＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.10＝0.9264. 因为DX1<DX2， 所以A机床加工较稳定，质量较好． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 46 10．如图，左边为四大名著，右边为名著作者，一位小学语文教师为了激发学生阅读名著的热情，在班内进行名著和其作者连线的游戏，作为奖励，参加连线的同学每连对一个奖励一朵小红花．假定一名小学生对四大名著没有了解，只是随机地连线，试求该学生得到小红花数X的分布列及其均值、方差． 《三国演义》　　　　罗贯中 《水浒传》 施耐庵 《西游记》 吴承恩 《红楼梦》 曹雪芹 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 47 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 48 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 49 1．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．这两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 甲保护区： 乙保护区： 试评定这两个保护区的管理水平． X1 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 X2 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 50 解　甲保护区的违规次数X1的均值和方差为 EX1＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3； DX1＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数X2的均值和方差为 EX2＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3； DX2＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41. 因为EX1＝EX2，DX1>DX2，所以两个保护区内每季度发生的违规事件平均次数是相同的，但乙保护区内发生的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区内发生的违规事件次数相对分散和波动． 因此乙保护区的管理水平较高． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 51 2．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为 商场经销一件该商品，顾客采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元；η表示经销一件该商品的利润． (1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的概率P(A)； (2)求η的分布列、均值和方差． ξ 1 2 3 4 5 P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 52 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 53 (2)由题意可得η的所有可能取值为200元，300元，400元，P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.2， P(η＝300)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＋0.3＝0.6， P(η＝400)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2， 故η的分布列为 ∴均值Eη＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300， ∴方差Dη＝(200－300)2×0.2＋(300－300)2×0.6＋(400－300)2×0.2＝4000. 解 η 200 300 400 P 0.2 0.6 0.2 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 54 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点　　离散型随机变量的方差、标准差 若离散型随机变量X的分布列如下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－EX)2描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于eq \x(\s\up1(01))_________的偏离程度，而DX＝E(X－EX)2＝eq \x(\s\up1(02))____________为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与eq \x(\s\up1(03))_________的平均偏离程度．我们称DX为随机变量X的方差，其eq \x(\s\up1(04))_____________为随机变量X的标准差，记作eq \x(\s\up1(05))_____． 随机变量的方差DX和标准差eq \x(\s\up1(06))____都反映了随机变量的取值偏离于eq \x(\s\up1(07))______的平均程度．方差(标准差)越小，则随机变量偏离于eq \x(\s\up1(08))______的平均程度越eq \x(\s\up1(09))____；反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值越eq \x(\s\up1(10))______． eq \o(∑,\s\up12(n),\s\do18(i＝1))(xi－EX)2pi 算术平方根eq \r(DX) 2．做一做 (1)已知X的分布列为 X －1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 则DX＝(　　) A．0.7 B．0.61 C．－0.3 D．0 (2)已知随机变量X，DX＝eq \f(1,9)，则σX＝____________． (3)若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则DX＝________． eq \f(1,3) 解　ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P eq \f(1,2) eq \f(1,20) eq \f(1,10) eq \f(3,20) eq \f(1,5) 则Eξ＝0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(1,20)＋2×eq \f(1,10)＋3×eq \f(3,20)＋4×eq \f(1,5)＝eq \f(3,2). Dξ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(3,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,20)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,10)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(3,20)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,5)＝eq \f(11,4). σξ＝eq \r(Dξ)＝eq \f(\r(11),2). eq \f(11,5) eq \f(24,25) eq \f(2\r(6),5) 解析　依题意可知X的所有可能取值为1，3，且P(X＝1)＝eq \f(2,5)，P(X＝3)＝eq \f(3,5). 故X的分布列为 X 1 3 P eq \f(2,5) eq \f(3,5) 所以EX＝1×eq \f(2,5)＋3×eq \f(3,5)＝eq \f(11,5)， 所以DX＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(11,5)))eq \s\up12(2)×eq \f(2,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(11,5)))eq \s\up12(2)×eq \f(3,5)＝eq \f(24,25). 所以σX＝eq \r(DX)＝eq \f(2\r(6),5). 题型二　已知方差求参数 　设0<a，b，c<1，随机变量ξ的分布列是 ξ 0 1 2 P a b c 若Eξ＝eq \f(4,3)，Dξ＝eq \f(5,9)，则(　　) A．a＝eq \f(1,4)，b＝eq \f(1,6) B．a＝eq \f(1,6)，b＝eq \f(1,3) C．a＝eq \f(1,4)，b＝eq \f(1,3) D．a＝eq \f(1,6)，b＝eq \f(1,2) 解析　由分布列可知，a＋b＋c＝1.Eξ＝0×a＋1×b＋2×c＝eq \f(4,3)，Dξ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(4,3)))eq \s\up12(2)×a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,3)))eq \s\up12(2)×b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(4,3)))eq \s\up12(2)×c＝eq \f(5,9)，即16a＋b＋4c＝5，所以联立方程组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,0×a＋1×b＋2×c＝\f(4,3)，,16a＋b＋4c＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,6)，,b＝\f(1,3)，,c＝\f(1,2).))故选B. [跟踪训练2]　设0<a<1，已知随机变量X的分布列是 X 0 a 1 P eq \f(1,3) eq \f(1,3) eq \f(1,3) 若DX＝eq \f(1,6)，则a＝(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,5) 解析　EX＝0×eq \f(1,3)＋a×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,3)＝eq \f(1＋a,3)，DX＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋a,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1＋a,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1＋a,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,27)[(a＋1)2＋(2a－1)2＋(a－2)2]＝eq \f(2,9)(a2－a＋1)＝eq \f(1,6)，所以4a2－4a＋4＝3，即(2a－1)2＝0，解得a＝eq \f(1,2).故选A. 1．已知随机变量ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(1,6) eq \f(1,4) 则Dξ的值为(　　) A.eq \f(29,12) B.eq \f(121,144) C.eq \f(179,144) D.eq \f(17,12) 解析　Eξ＝1×eq \f(1,4)＋2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(1,6)＋4×eq \f(1,4)＝eq \f(29,12)，Dξ＝eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(29,12)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(29,12)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(29,12)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(29,12)))eq \s\up12(2)＝eq \f(179,144).故选C. 2．已知随机变量X的分布列如下表，则X的标准差为(　　) X 1 3 5 P 0.4 0.1 m A.0.95 B.eq \r(3.2) C．0.7 D.eq \r(3.56) 解析　由题意，得0.4＋0.1＋m＝1，∴m＝0.5.∴EX＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴DX＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56，∴X的标准差为eq \r(3.56).故选D. 3．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 P p 1－p 若DX＝eq \f(p,3)(0<p<1)，则p的值为(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,2) 解析　EX＝0×p＋1×(1－p)＝1－p，DX＝[0－(1－p)]2×p＋[1－(1－p)]2×(1－p)＝(1－p)p＝eq \f(p,3)，整理，得p2－eq \f(2,3)p＝0.又0<p<1，故p＝eq \f(2,3).故选C. 解析　X的分布列为 X 1 3 5 P eq \f(1,3) eq \f(1,2) eq \f(1,6) 则EX＝1×eq \f(1,3)＋3×eq \f(1,2)＋5×eq \f(1,6)＝eq \f(8,3)，DX＝eq \f(17,9). eq \f(17,9) 一、选择题 1．已知X的分布列为 X －1 0 1 P eq \f(1,3) eq \f(1,3) eq \f(1,3) 则①EX＝eq \f(1,3)，②DX＝eq \f(23,27)，③P(X＝0)＝eq \f(1,3). 其中正确的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　EX＝(－1)×eq \f(1,3)＋0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,3)＝0，故①不正确；DX＝(－1－0)2×eq \f(1,3)＋(0－0)2×eq \f(1,3)＋(1－0)2×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，故②不正确；P(X＝0)＝eq \f(1,3)，故③正确． 2．已知随机变量X的分布规律为P(X＝k)＝eq \f(1,3)，k＝3，6，9，则DX＝(　　) A．6 B．9 C．3 D．4 解析　EX＝3×eq \f(1,3)＋6×eq \f(1,3)＋9×eq \f(1,3)＝6，DX＝(3－6)2×eq \f(1,3)＋(6－6)2×eq \f(1,3)＋(9－6)2×eq \f(1,3)＝6. 4．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq \f(2,3)，P(X＝x2)＝eq \f(1,3)，且x1<x2，又已知EX＝eq \f(4,3)，DX＝eq \f(2,9)，则x1＋x2的值为(　　) A．eq \f(5,3) B．eq \f(7,3) C．3 D．eq \f(11,3) 解析　由题意，得x1，x2满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x1＋\f(1,3)x2＝\f(4,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))\s\up12(2)×\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))\s\up12(2)×\f(1,3)＝\f(2,9)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3).))因为x1<x2，所以x1＝1，x2＝2，所以x1＋x2＝3.故选C. 5．(多选)随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P a eq \f(b,2) eq \f(b,2) 其中ab≠0，下列说法正确的是(　　) A．a＋b＝1 B．EX＝eq \f(3b,2) C．DX随b的增大而减小 D.eq \r(DX)有最大值 解析　a＋eq \f(b,2)＋eq \f(b,2)＝1，即a＋b＝1，a，b∈(0，1)，A正确；EX＝0×a＋1×eq \f(b,2)＋2×eq \f(b,2)＝eq \f(3b,2)，B正确；DX＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(3b,2)))eq \s\up12(2)×a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3b,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(b,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3b,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(b,2)＝eq \f(5b,2)－eq \f(9b2,4)＝－eq \f(9,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(5,9)))eq \s\up12(2)＋eq \f(25,36)，b∈(0，1)，可得b＝eq \f(5,9)时，DX取得最大值．DX随b的增大先增大后减小，C错误，D正确．故选ABD. 二、填空题 6．已知离散型随机变量X的分布列如下表： X －1 0 1 2 P a b c eq \f(1,12) 若EX＝0，DX＝1，则a＝________． eq \f(5,12) 解析　EX＝0，DX＝1，由离散型随机变量X的分布列的性质知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＋\f(1,12)＝1，,－a＋c＋\f(2,12)＝0，,a＋c＋\f(4,12)＝1，))计算得出a＝eq \f(5,12). eq \f(4,9) 解析　X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝eq \f(2×2,9)＝eq \f(4,9)，P(X＝1)＝1,2)eq \f(C×2,9) ＝eq \f(4,9)，P(X＝2)＝eq \f(1,9)，所以EX＝0×eq \f(4,9)＋1×eq \f(4,9)＋2×eq \f(1,9)＝eq \f(2,3)，DX＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(4,9)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(4,9)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,9)＝eq \f(4,9). 8．设p为非负实数，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P eq \f(1,2)－p p eq \f(1,2) 则EX的最大值为________，DX的最大值为________． eq \f(3,2) 解析　EX＝0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))＋1×p＋2×eq \f(1,2)＝p＋1.又0≤eq \f(1,2)－p≤eq \f(1,2)，∴0≤p≤eq \f(1,2).∴(EX)max＝eq \f(3,2).DX＝(p＋1)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))＋p2·p＋(p－1)2·eq \f(1,2)＝－p2－p＋1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(5,4)≤1，∴(DX)max＝1. 解　该小学生连线的情况有都连错，连对一个，连对两个，连对四个，故其得小红花数可能为0，1，2，4. P(X＝0)＝4,4)eq \f(9,A) ＝eq \f(9,24)＝eq \f(3,8)， P(X＝1)＝1,4)eq \f(C×2,Aeq \o\al(4,4)) ＝eq \f(8,24)＝eq \f(1,3)， P(X＝2)＝2,4)eq \f(C×1,Aeq \o\al(4,4)) ＝eq \f(6,24)＝eq \f(1,4)， P(X＝4)＝4,4)eq \f(1,A) ＝eq \f(1,24). 故X的分布列为 X 0 1 2 4 P eq \f(3,8) eq \f(1,3) eq \f(1,4) eq \f(1,24) 所以EX＝0×eq \f(3,8)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,4)＋4×eq \f(1,24)＝1， DX＝(0－1)2×eq \f(3,8)＋(1－1)2×eq \f(1,3)＋(2－1)2×eq \f(1,4)＋(4－1)2×eq \f(1,24)＝1. 解　(1)“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的对立事件是“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”． ∵事件A表示“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”， ∴事件eq \o(A,\s\up16(－))表示“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”， P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝(1－0.2)3＝0.512， ∴P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up16(－)))＝1－0.512＝0.488. $$