6.2.1 随机变量-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第六章　概率 §2　离散型随机变量及其 分布列 2.1　随机变量 (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，了解随机变量的概念． 教学重点：随机变量的概念． 教学难点：用随机变量描述随机现象可能出现的结果． 核心素养：通过对随机变量的学习，培养数学抽象及逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 确定的数值 数值 X 数值 Y ξ η 核心概念掌握 5 所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，随机变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．随机变量和函数都是一种对应，随机变量是随机试验结果到实数的对应，函数是实数到实数的对应，随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域． 核心概念掌握 6 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量的取值是任意的实数．(　　) (2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　) (3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．(　　) 答案 × √ √ 核心概念掌握 7 答案 0，1，2，3 {0，1，2，3，4，5} 共抽取3次，前两次取到的产品均是正品， 第3次取到的产品是次品 核心概念掌握 8 核心素养形成 题型一 随机变量的概念 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (3)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间． 核心素养形成 10 解　(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量． (2)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量． (3)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量． 解 核心素养形成 11 感悟提升 随机变量的辨析方法 (1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同． (2)随机试验的结果的确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果． 如果一个随机试验的结果对应的变量满足以上两点，则该变量即为随机变量． 核心素养形成 12 [跟踪训练1]　指出哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数； (2)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数； (3)某个人的属相随年龄的变化． 核心素养形成 13 解 核心素养形成 14 题型二　随机变量的取值及其表示的事件 某人参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复设奖)，用X表示此人所获奖品的价值，写出X的所有可能取值及每个值所表示的事件． 解　X的所有可能取值为0，1000，3000，6000. {X＝0}表示第一关就没有通过； {X＝1000}表示第一关通过，而第二关没有通过； {X＝3000}表示第一、二关通过，而第三关没有通过； {X＝6000}表示三关都通过． 解 核心素养形成 15 感悟提升 随机变量的取值及其表示的事件问题的关注点 (1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果． (2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果． 核心素养形成 16 [跟踪训练2]　盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为X. (1)写出X的所有可能取值； (2)写出{X＝1}所表示的事件． 解　(1)X的所有可能取值为0，1，2，3. (2){X＝1}表示的事件为第一次取得次品，第二次取得正品． 解 核心素养形成 17 随堂水平达标 1．下列变量中，不是随机变量的是(　　) A．一射击手射击一次命中的环数 B．标准状态下，水沸腾时的温度 C．抛掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和 D．某客服电话在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数 解析　标准状态下，水沸腾时的温度是一个确定值，而不是随机变量．故选B. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 19 2．若用随机变量X表示从一个装有1个白球、3个黑球、2个黄球的袋中取出的4个球中不是黑球的个数，则X的取值不可能为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　由于白球和黄球的个数和为3，所以4个球不是黑球的个数可能是1，2，3，X不可能取0.故选A. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 20 3．掷一枚均匀的骰子，设朝上的点数为随机变量Y，则{Y≥5}表示的试验结果是(　　) A．朝上的点数是3 B．朝上的点数是4 C．朝上的点数是5 D．朝上的点数是5或6 解析　随机变量Y的所有可能取值为1，2，3，4，5，6.{Y≥5}表示朝上的点数是5或6.故选D. 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 21 4．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则某名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是____________________________． 解析　可能的结果为回答全对，两对一错，两错一对，全错，相应得分为300分，100分，－100分，－300分． 答案 解析 300，100，－100，－300 随堂水平达标 1 2 3 4 5 22 5．同时掷两枚质地均匀的硬币． (1)用X表示掷出正面的个数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？ (2){X<2}和{X>0}各表示什么？ 解　(1)掷两枚硬币时，掷出正面的个数可能是0，1，2中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的． 用X表示掷出正面的个数，X的值应随机地取0，1，2中的某个． (2){X<2}表示“正面个数小于2”，即“正面个数为0或1”；{X>0}表示“正面个数大于0”，即“正面个数为1或2”． 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 23 课后课时精练 一、选择题 1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　) A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 C．取到次品的件数 D．取到次品的概率 解析　A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也都是定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．故选C. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 25 2．数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置，则称有一个巧合，则排列中巧合的总数ξ的可能取值为(　　) A．0，2，4 B．0，1，2，4 C．1，2，3，4 D．2，4 解析　由题意，易知排列中的巧合数可能为0，1，2，4，不可能为3，故ξ的可能取值为0，1，2，4. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 26 3．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取两个，设两个球上的数字之积为X，则X的所有可能值的个数是(　 ) A．6 B．7 C．10 D．25 解析　X的所有可能值有1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共10个． 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 27 4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是(　　) A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．前4次均未击中目标 D．第4次击中目标 解析　击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标．故选C. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 28 5．袋中有10个红球，5个黑球，每次随机抽取1个球，若取得黑球，则另外换1个红球放入袋中，直到取到红球为止．若记抽取的次数为X，则表示“放入5个红球”的事件为(　　) A．{X＝7} B．{X＝6} C．{X＝5} D．{X＝4} 解析　若第一次取到黑球，则放入1个红球，第二次取到黑球，则再放入1个红球，…，共放入了5个红球，说明第六次取到了红球．故选B. 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 29 二、填空题 6．从5张已编号(1～5号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和记为X，则{X＝6}表示的试验结果是____________________________________． 解析　∵X＝6＝1＋5＝2＋4，∴{X＝6}表示的试验结果是取出分别标有1，5或2，4的两张卡片． 答案 取出分别标有1，5或2，4的两张卡片 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 30 7．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨电话，设他拨到所要号码时拨的次数为X，则随机变量X的可能取值共有________个． 24 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 31 8．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，则{ξ＝6}表示的试验结果有________种． 答案 20 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 32 三、解答题 9．已知小王钱夹中有20元、10元、5元和1元面额的人民币各一张，他决定随机抽出两张，用来买晚餐．若用X表示所抽两张人民币的金额之和，求出随机变量X的取值范围，并分别说明这些取值所表示的随机试验结果． 解　X的取值范围是{6，11，15，21，25，30}． 其中，{X＝6}表示“抽到的是1元和5元”； {X＝11}表示“抽到的是1元和10元”； {X＝15}表示“抽到的是5元和10元”； {X＝21}表示“抽到的是1元和20元”； {X＝25}表示“抽到的是5元和20元”； {X＝30}表示“抽到的是10元和20元”． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 33 10．写出下列随机变量的取值范围，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有质地、大小完全相同的2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X； (2)抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值Y. 解　(1)X的取值范围为{0，1，2}． {X＝0}表示所取的3个球都是黑球； {X＝1}表示所取的3个球中有1个白球，2个黑球； {X＝2}表示所取的3个球中有2个白球，1个黑球． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 34 (2)Y的取值范围为{0，1，2，3，4，5}． 用(a，b)表示两枚骰子掷出的点数，其中a为第一枚骰子掷出的点数，b为第二枚骰子掷出的点数． {Y＝0}表示掷出的两枚骰子的点数相同，其包含的所有可能结果有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)； {Y＝1}表示掷出的两枚骰子的点数相差1，其包含的所有可能结果有(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，(4，5)，(5，4)，(5，6)，(6，5)； 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 35 {Y＝2}表示掷出的两枚骰子的点数相差2，其包含的所有可能结果有(1，3)，(3，1)，(2，4)，(4，2)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4)； {Y＝3}表示掷出的两枚骰子的点数相差3，其包含的所有可能结果有(1，4)，(4，1)，(2，5)，(5，2)，(3，6)，(6，3)； {Y＝4}表示掷出的两枚骰子的点数相差4，其包含的所有可能结果有(1，5)，(5，1)，(2，6)，(6，2)； {Y＝5}表示掷出的两枚骰子的点数相差5，其包含的所有可能结果有(1，6)，(6，1)． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 36 1．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号数X； (2)在100张已编号的卡片(从0号到99号)中任取一张，被取出的号数Y. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 37 解　(1)X可取3，4，5. {X＝3}表示“取出的3个球的编号为1，2，3”； {X＝4}表示“取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4”； {X＝5}表示“取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5”． (2)Y可取0，1，…，99. {Y＝i}表示“被取出的号数为i”，其中i＝0，1，2，…，99. 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 38 2．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|. (1)求X的取值范围； (2)写出每一个取值X表示的事件． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 39 解　(1)因为x，y可能取的值为1，2，3， 所以|x－2|＝0，1，|x－y|＝0，1，2， 所以X的取值范围为{0，1，2，3}． (2)用(x，y)表示第一次抽到卡片的号码为x，第二次抽到卡片的号码为y，则随机变量X取各值的意义为 {X＝0}表示两次抽到卡片编号都是2，即(2，2)； {X＝1}表示(1，1)，(2，1)，(2，3)，(3，3)； {X＝2}表示(1，2)，(3，2)； {X＝3}表示(1，3)，(3，1)． 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 A级 B级 40 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点　　随机变量的概念 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个eq \x(\s\up1(01))____________表示．在这个对应关系下，eq \x(\s\up1(02))______随着试验结果的变化而变化．像这种eq \x(\s\up1(03))______随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量．随机变量常用字母eq \x(\s\up1(04))____，eq \x(\s\up1(05))____，eq \x(\s\up1(06))____，eq \x(\s\up1(07))____等来表示． 2．做一做 (1)甲进行3次射击，甲击中目标的概率为eq \f(1,2)，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为______________． (2)同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为____________________． (3)在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件取到次品就停止，抽取次数为X，则{X＝3}表示的试验结果是______________________________________ ______________________________． 解　(1)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0，1，2，3，4，5，而且出现哪种结果是随机的，因此出现正面向上的次数是随机变量． (2)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量． (3)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量． 解析　后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有Aeq \o\al(3,4)＝24种，故X的可能取值为1，2，3，…，24，共有24个． 解析　{ξ＝6}表示前5局中胜3局，第6局一定获胜，共有Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(3,5)＝20种． $$