2.2.2 双曲线的简单几何性质-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第二章　圆锥曲线 §2　双曲线 2.2　双曲线的简单几何性质 (教师独具内容) 课程标准：1.了解双曲线的简单几何性质.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题． 教学重点：用坐标法解决一些与双曲线的几何性质有关的问题． 教学难点：与渐近线及离心率有关的一些问题． 核心素养：通过研究双曲线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 核心概念掌握 5 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) |F1F2|＝2c c2＝a2＋b2 x≤－a或x≥a，且y∈R y≤－a或y≥a，且x∈R 关于x轴、y轴和原点对称 A1(－a，0)， A2(a，0) A1(0，－a)， A2(0，a) a b 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 核心概念掌握 8 答案 × × × 核心概念掌握 9 答案 2 核心概念掌握 10 核心素养形成 解 核心素养形成 12 感悟提升 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 画几何图形，先画双曲线位于第一象限的部分，根据对称性，再画出双曲线在其他三个象限的部分． 核心素养形成 13 答案 解析 4 3 (0，－5)，(0，5) 核心素养形成 14 解 核心素养形成 15 解 核心素养形成 16 感悟提升 核心素养形成 17 答案 解析 核心素养形成 18 解 核心素养形成 19 解 核心素养形成 20 解 核心素养形成 21 感悟提升 核心素养形成 22 解 核心素养形成 23 解 核心素养形成 24 随堂水平达标 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 26 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 27 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 解析 答案 4 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 课后课时精练 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 34 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 35 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 36 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 37 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 38 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 39 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 40 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 41 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 42 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 43 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 44 答案 解析 (－12，0) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 45 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 46 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 47 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 48 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 49 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 50 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 51 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 52 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 53 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 54 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 55 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 56 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 57 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点　　双曲线的简单几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 焦点 eq \x(\s\up1(01))____________________ eq \x(\s\up1(02))____________________ 焦距 eq \x(\s\up1(03))____________ a，b，c 关系 eq \x(\s\up1(04))____________ 范围 eq \x(\s\up1(05))____________________ eq \x(\s\up1(06))_____________________ 对称性 eq \x(\s\up1(07))_________________________ 顶点 eq \x(\s\up1(08))____________________ eq \x(\s\up1(09))_____________________ 轴 实半轴长为eq \x(\s\up1(10))_____，虚半轴长为eq \x(\s\up1(11))____ 离心率 eq \x(\s\up1(12))_________ e＝eq \f(c,a)(e>1) 1．双曲线上的所有点中，到焦点距离最小的点，是离该焦点最近的实轴的端点． 2．双曲线的渐近线及其求法 渐近线是双曲线的特有几何性质，求双曲线的渐近线方程的方法较多，一是可以利用以双曲线的顶点、虚轴端点为边中点的矩形的对角线方程求得，也可以运用下列方法求得： 将eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中的“1”换为“0”即得双曲线的渐近线方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0，即y＝±eq \f(b,a)x. 注意：与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共渐近线的双曲线方程可以设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)，即“1”换为“λ”． 3．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(　　) (2)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(　　) (3)方程eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.(　　) 2．做一做 (1)已知双曲线C：y2－eq \f(x2,2)＝1，则该双曲线的实轴长为________． (2)已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________． (3)已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±3x，则该双曲线的离心率为________． 2eq \r(3) eq \f(\r(10),3) 题型一　双曲线的几何性质 　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长，并作出草图． 解　将9y2－4x2＝－36变形为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1，即eq \f(x2,32)－eq \f(y2,22)＝1，所以a＝3，b＝2，c＝eq \r(13)， 因此顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(－eq \r(13)，0)，(eq \r(13)，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4. 作出草图如图： 解析　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为eq \f(y2,42)－eq \f(x2,32)＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(42＋32)＝5，所以焦点坐标为(0，－5)，(0，5)． [跟踪训练1]　双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长分别为________，_____，焦点坐标为_______________． 题型二　双曲线的离心率问题 　设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过A(a，0)，B(0，b)两点，且原点到直线l的距离为eq \f(\r(3),4)c，求双曲线的离心率． 解　∵直线l过点A(a，0)，B(0，b)， ∴直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1， 即bx＋ay－ab＝0. ∵原点到直线l的距离为eq \f(\r(3),4)c， ∴eq \f(|ab|,\r(a2＋b2))＝eq \f(\r(3),4)c，即ab＝eq \f(\r(3),4)c2， 两边平方并化简，得16a2b2＝3c4， ∴16a2(c2－a2)＝3c4，∴3c4－16a2c2＋16a4＝0， 两边同时除以a4，得eq \f(3c4,a4)－eq \f(16c2,a2)＋16＝0， 即3e4－16e2＋16＝0.解得e2＝4或eq \f(4,3). ∵b>a>0，∴eq \f(b2,a2)>1， ∴e2＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)>2， ∴e2＝4，∴e＝2.故所求双曲线的离心率为2. 　求双曲线离心率的常用方法 (1)依据条件求出a，c，计算e＝eq \f(c,a). (2)依据条件建立a，b，c的关系式，一种是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含eq \f(b,a)的方程，求出eq \f(b,a)后利用e＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))求解． 解析　设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得eq \f(c2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，则y＝±eq \f(b2,a).由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，∴eq \f(b2,a)＝2c，∴b2＝2ac，∴c2－2ac－a2＝0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a))) eq \s\up12(2)－2×eq \f(c,a)－1＝0，即e2－2e－1＝0，∴e＝1＋eq \r(2)或e＝1－eq \r(2)(舍去)，∴所求双曲线的离心率为1＋eq \r(2). eq \a\vs4\al([跟踪训练2])　已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，则双曲线的离心率为________． 1＋eq \r(2) 题型三　双曲线的渐近线问题 　求与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1共渐近线且过点A(2eq \r(3)，－3)的双曲线的方程及其离心率． 解　解法一：双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x. 若焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)． 因为eq \f(b,a)＝eq \f(3,4)，所以b＝eq \f(3,4)a.　① 因为点A(2eq \r(3)，－3)在所求的双曲线上， 所以eq \f(12,a2)－eq \f(9,b2)＝1.　② 联立①②所得的方程组无解； 若焦点在y轴上，设所求双曲线的方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)． 因为eq \f(a,b)＝eq \f(3,4)，所以a＝eq \f(3,4)b.　③ 因为点A(2eq \r(3)，－3)在所求的双曲线上，所以eq \f(9,a2)－eq \f(12,b2)＝1，　④ 联立③④得a2＝eq \f(9,4)，b2＝4. 所以所求双曲线的方程为eq \f(y2,\f(9,4))－eq \f(x2,4)＝1，且离心率e＝eq \f(5,3). 解法二：设与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1共渐近线的双曲线的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝λ(λ≠0)． 因为点A(2eq \r(3)，－3)在所求的双曲线上， 所以λ＝eq \f(12,16)－eq \f(9,9)＝－eq \f(1,4)， 所以所求双曲线的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝－eq \f(1,4)， 即eq \f(y2,\f(9,4))－eq \f(x2,4)＝1. 从而可求得离心率e＝eq \f(5,3). 一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用已知双曲线和方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)求双曲线方程较为简便．然后根据题设中的另一条件确定参数λ的值，例如：与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；以y＝±eq \f(n,m)x(m>0，n>0)为渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论．本题的解法主要运用了分类讨论思想和参数思想． eq \a\vs4\al([跟踪训练3])　已知双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的右焦点为(2，0)． (1)求双曲线的方程； (2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积． 解　(1)因为双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,b2)＝1， 所以c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，所以b2＝1， 所以双曲线的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1. (2)因为a＝eq \r(3)，b＝1， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x， 设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B， 令x＝－2， 则y＝±eq \f(2\r(3),3)， 则|AB|＝eq \f(4\r(3),3)，记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S， 则S＝eq \f(1,2)×eq \f(4\r(3),3)×2＝eq \f(4\r(3),3). 1．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　) A．2 B.eq \f(\r(6),2) C.eq \f(\r(5),2) D．1 解析　因为双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1，所以e2＝1＋eq \f(3,a2)＝4，因此a2＝1，a＝1.故选D. 2．双曲线y2－eq \f(x2,4)＝－1的虚轴长是(　　) A．2 B．2eq \r(2) C．4 D．4eq \r(2) 解析　双曲线y2－eq \f(x2,4)＝－1化成标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1，所以b＝1，2b＝2，即虚轴长为2. 3．(多选)双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝λ(λ≠0)，当λ变化时，以下说法正确的是(　　) A．焦点坐标变化 B．顶点坐标变化 C．渐近线不变 D．离心率不变 解析　当λ>0时，双曲线的焦点和顶点在x轴上，当λ<0时，双曲线的焦点和顶点在y轴上，且焦点坐标、顶点坐标均随λ的变化而变化，而离心率随λ正负的变化而变化，在方程eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝λ中，令λ＝0，得y＝±eq \f(4,3)x，即为双曲线C的渐近线方程，不随λ的变化而变化．故选ABC. eq \f(3\r(5),5) 4．双曲线5y2－4x2＝－20的实轴长为________，虚轴长为________，渐近线方程为_____________，离心率为________． 解析　双曲线5y2－4x2＝－20化为标准方程为eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1，∴a＝eq \r(5)，b＝2，∴c＝3，双曲线的焦点在x轴上．∴双曲线的实轴长为2a＝2eq \r(5)，虚轴长为2b＝4，渐近线方程为y＝±eq \f(2\r(5),5)x，离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(5),5). 2eq \r(5) y＝±eq \f(2\r(5),5)x 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为eq \f(13,5)； (2)焦距为20，渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x. 解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上， 且c＝13，又eq \f(c,a)＝eq \f(13,5)， 所以a＝5，b2＝c2－a2＝144， 故双曲线的标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,144)＝1. (2)当焦点在x轴上时， 设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)． 因为eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，且2c＝20，所以c＝10， 又c2＝a2＋b2，所以a2＝80，b2＝20. 所以所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,80)－eq \f(y2,20)＝1； 综上所述，所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,80)－eq \f(y2,20)＝1或eq \f(y2,20)－eq \f(x2,80)＝1. 当焦点在y轴上时， 设所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)， 因为eq \f(a,b)＝eq \f(1,2)，即b＝2a， 又2c＝20，所以c＝10. 又c2＝a2＋b2，所以a2＝20，b2＝80. 所以所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,20)－eq \f(x2,80)＝1. 综上所述，所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,80)－eq \f(y2,20)＝1或eq \f(y2,20)－eq \f(x2,80)＝1. 一、选择题 1．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．y＝±eq \f(1,4)x B．y＝±eq \f(1,3)x C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±x 解析　因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.又离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(5),2)，所以eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x.故选C. 2．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　) A.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)＝1 C.eq \f(x2,80)－eq \f(y2,20)＝1 D.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,80)＝1 解析　因为双曲线C的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，又P(2，1)在双曲线C的渐近线上，所以eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，即a＝2b.又2c＝10，c＝5，且a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.故所求双曲线C的方程为eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1. 3．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　) A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \f(\r(3)＋1,2) D.eq \f(\r(5)＋1,2) 解析　设直线FB的斜率为－eq \f(b,c)，则与其垂直的渐近线的斜率为eq \f(b,a)，所以有－eq \f(b2,ac)＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，两边同时除以a2可得e2－e－1＝0，解得e＝eq \f(1＋\r(5),2)或e＝eq \f(1－\r(5),2)(舍去)．故选D. 4．(2023·天津高考)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为eq \f(\r(2),4)，则双曲线的方程为(　　) A.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 D .eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1 解析　解法一：不妨取渐近线y＝eq \f(b,a)x，此时直线PF2的方程为y＝－eq \f(a,b)(x－c)，与y＝eq \f(b,a)x联立，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a2,c)，,y＝\f(ab,c)，))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c))).因为直线PF2与渐近线y＝eq \f(b,a)x垂直，所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝eq \f(b,a)x(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF2|＝eq \f(bc,\r(b2＋a2))＝eq \f(bc,c)＝b，所以b＝2. 因为F1(－c，0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))，且直线PF1的斜率为eq \f(\r(2),4)，所以eq \f(\f(ab,c),\f(a2,c)＋c)＝eq \f(\r(2),4)，化简得eq \f(ab,a2＋c2)＝eq \f(\r(2),4)，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以eq \f(2a,2a2＋4)＝eq \f(\r(2),4)，整理得a2－2eq \r(2)a＋2＝0，即(a－eq \r(2))2＝0，解得a＝eq \r(2).所以双曲线的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1.故选D. 解法二：因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且|PF2|＝2，所以b＝2，再结合选项，排除B，C；若双曲线方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1，则F1(－2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0)，渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，不妨取渐近线y＝eq \f(\r(2),2)x，则直线PF2的方程为y＝－eq \r(2)(x－2eq \r(3))，与渐近线方程y＝eq \f(\r(2),2)x联立，得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)，\f(2\r(6),3)))，则kPF1＝eq \f(\r(2),5)，又直线PF1的斜率为eq \f(\r(2),4)，所以双曲线方程eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1不符合题意，排除A.故选D. 5．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且eq \o(PF1,\s\up6(→))·eq \o(PF2,\s\up6(→))＝0，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．F2到双曲线C的一条渐近线的距离为1 D．△PF1F2的面积为1 解析　对于A，由题意可知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故A正确；对于B，由题意可得F1(－eq \r(2)，0)，F2(eq \r(2)，0)，则以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；对于C，F2(eq \r(2)，0)到双曲线C的一条渐近线y＝x的距离为1，故C正确；对于D，由题意可得F1(－eq \r(2)，0)，F2(eq \r(2)，0)，设P(x0，y0)，由eq \o(PF1,\s\up6(→))·eq \o(PF2,\s\up6(→))＝0，得(－eq \r(2)－x0)·(eq \r(2)－x0)＋yeq \o\al(2,0)＝0，整理得xeq \o\al(2,0)－2＋yeq \o\al(2,0)＝0，又xeq \o\al(2,0)－yeq \o\al(2,0)＝1，所以x0＝±eq \f(\r(6),2)，y0＝±eq \f(\r(2),2)，则△PF1F2的面积为eq \f(1,2)|F1F2|·|y0|＝1，故D正确．故选ACD. 二、填空题 6．(2023·北京高考)已知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)，离心率为eq \r(2)，则C的方程为________． 解析　令双曲线C的实半轴长、虚半轴长分别为a，b，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c＝2，由双曲线C的离心率为eq \r(2)，得eq \f(c,a)＝eq \r(2)，解得a＝eq \r(2)，则b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)，所以C的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1. eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1 解析　双曲线的方程可变为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,－k)＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(4－k),2)，又e∈(1，2)，则1<eq \f(\r(4－k),2)<2，解得－12<k<0. 7．若双曲线eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,k)＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是___________． 8．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，eq \o(F1A,\s\up12(→))⊥eq \o(F1B,\s\up12(→))，eq \o(F2A,\s\up12(→))＝－eq \f(2,3) eq \o(F2B,\s\up12(→))，则C的离心率为________． eq \f(3\r(5),5) 解析　解法一：依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cos∠F1AF2＝eq \f(|AF1|,|AB|)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq \f(4,5)，整理得5c2＝9a2，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(5),5). 解法二：依题意，得F1(－c，0)，F2(c，0)，令A(x0，y0)，B(0，t)，因为eq \o(F2A,\s\up12(→))＝－eq \f(2,3) eq \o(F2B,\s\up12(→))，所以(x0－c，y0)＝－eq \f(2,3)(－c，t)，则x0＝eq \f(5,3)c，y0＝－eq \f(2,3)t，又eq \o(F1A,\s\up12(→))⊥eq \o(F1B,\s\up12(→))，所以eq \o(F1A,\s\up12(→))·eq \o(F1B,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)c，－\f(2,3)t))·(c，t)＝eq \f(8,3)c2－eq \f(2,3)t2＝0，则t2＝4c2，又点A在C上，则eq \f(\f(25,9)c2,a2)－eq \f(\f(4,9)t2,b2)＝1，整理得eq \f(25c2,9a2)－eq \f(4t2,9b2)＝1，则eq \f(25c2,9a2)－eq \f(16c2,9b2)＝1，所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2·(c2－a2)，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，又e>1，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(5),5). 解法三：由解法二得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)c，－\f(2,3)t))，t2＝4c2，所以|AF1|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)c＋c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)t))\s\up12(2))＝ eq \r(\f(64c2,9)＋\f(4t2,9))＝eq \r(\f(64c2,9)＋\f(16c2,9))＝eq \f(4\r(5)c,3)，|AF2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)c－c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)t))\s\up12(2))＝eq \r(\f(4c2,9)＋\f(4t2,9))＝eq \r(\f(4c2,9)＋\f(16c2,9))＝eq \f(2\r(5)c,3)，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即eq \f(4\r(5)c,3)－eq \f(2\r(5)c,3)＝2a，即eq \f(\r(5),3)c＝a，所以C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5). 三、解答题 9．已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1有相同的顶点，求此双曲线的标准方程． 解　因为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的顶点为(－5，0)，(5，0)，(0，－3)，(0，3)． 当相同的顶点为(－5，0)，(5，0)时，双曲线的焦点在x轴上，且a＝5. 又eq \f(c,a)＝eq \f(c,5)＝2， 所以c＝10，从而b2＝75， 所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,25)－eq \f(y2,75)＝1； 当相同的顶点为(0，－3)，(0，3)时，双曲线的焦点在y轴上，且a＝3. 又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(c,3)＝2，所以c＝6， 所以b2＝c2－a2＝36－9＝27， 所以双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1. 综上可知，双曲线的标准方程为eq \f(x2,25)－eq \f(y2,75)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1. 10．已知双曲线E：eq \f(x2,m)－eq \f(y2,5)＝1(m>0)． (1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程； (2)若双曲线E的离心率为e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))，求实数m的取值范围． 解　(1)当m＝4时，双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1， 所以a＝2，b＝eq \r(5)，c＝3，所以双曲线E的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，顶点坐标为(－2，0)，(2，0)，渐近线方程为y＝±eq \f(\r(5),2)x. (2)因为e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(m＋5,m)＝1＋eq \f(5,m)，e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))，所以eq \f(3,2)<1＋eq \f(5,m)<2，解得5<m<10，所以实数m的取值范围是(5，10)． 1．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,3m)＝1的一个焦点为(2，0)． (1)求双曲线的实轴长和虚轴长； (2)若已知点M(4，0)，且点N(x，y)是双曲线上的任意一点，求|MN|的最小值． 解　(1)由题意可知，m＋3m＝4，∴m＝1. ∴双曲线的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.∴双曲线的实轴长为2，虚轴长为2eq \r(3). (2)由x2－eq \f(y2,3)＝1，得y2＝3x2－3，∴|MN|＝eq \r(（x－4）2＋y2)＝eq \r(4x2－8x＋13) ＝eq \r(4（x2－2x＋1）＋9)＝eq \r(4（x－1）2＋9). 又x≤－1或x≥1，∴当x＝1时，|MN|取得最小值3. 2．已知F1，F2分别是双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的距离等于它到渐近线的距离的2倍． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为48eq \r(3)，求此双曲线的方程． 解　(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0， 则F2到渐近线的距离为eq \f(|bc±0|,\r(b2＋a2))＝b(其中c是双曲线的半焦距)， 所以由题意知c＋a＝2b. 又因为a2＋b2＝c2， 解得b＝eq \f(4,3)a， 故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y＝0. (2)因为∠F1PF2＝60°， 由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝4c2.① 又由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a， 平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，② ①②相减得|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2. 根据三角形的面积公式得 S＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝eq \f(\r(3),4)·4b2＝eq \r(3)b2＝48eq \r(3)，得b2＝48. 再由(1)得a2＝eq \f(9,16)b2＝27， 故所求双曲线的方程是eq \f(x2,27)－eq \f(y2,48)＝1. $$