2.1.2 椭圆的简单几何性质-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第二章　圆锥曲线 §1　椭圆 1.2　椭圆的简单几何性质 (教师独具内容) 课程标准：掌握椭圆的简单几何性质． 教学重点：利用椭圆的几何性质解决问题． 教学难点：椭圆离心率对椭圆形状的影响． 核心素养：通过研究椭圆的几何性质及运用椭圆的几何性质解决问题，提升逻辑推理、数学抽象及数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 核心概念掌握 5 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a x轴、y轴 (0，0) (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 2b 2a (±c，0) (0，±c) 2c 核心概念掌握 6 扁 圆 0 圆 核心概念掌握 7 核心概念掌握 8 核心概念掌握 9 答案 √ × × √ 核心概念掌握 10 答案 [－5，5] 核心概念掌握 11 核心素养形成 解 核心素养形成 13 解 核心素养形成 14 感悟提升 解决有关椭圆的问题一般应先弄清椭圆的类型，而椭圆的类型又决定于焦点的位置． (1)要掌握好椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率． (2)熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质，这些基本概念是解决计算问题、证明问题、求解轨迹问题及其他有关问题的基础和关键． 核心素养形成 15 答案 核心素养形成 16 解析 核心素养形成 17 核心素养形成 18 解 核心素养形成 19 解 核心素养形成 20 感悟提升 求椭圆标准方程的常用方法 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法． (2)根据已知条件“选标准，定参数”．其一般步骤为：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a2，b2的值；③写出标准方程． 核心素养形成 21 解 核心素养形成 22 解 核心素养形成 23 核心素养形成 24 解 核心素养形成 25 解 核心素养形成 26 感悟提升 处理与椭圆有关的实际问题的一般步骤：首先结合所给的图形及题意建立适当的平面直角坐标系，然后利用相关的几何知识分析问题． 注意：椭圆上一点到焦点的距离d的取值范围为a－c≤d≤a＋c，等号分别对应天文上的近日点与远日点． 核心素养形成 27 核心素养形成 28 解 核心素养形成 29 解 核心素养形成 30 解 核心素养形成 31 解 核心素养形成 32 感悟提升 核心素养形成 33 答案 核心素养形成 34 解析 核心素养形成 35 随堂水平达标 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 37 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 38 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 39 答案 解析 8 随堂水平达标 1 2 3 4 5 40 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 41 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 42 课后课时精练 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 44 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 45 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 46 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 47 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 48 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 49 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 50 答案 解析 6 (2，0) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 52 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 53 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 54 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 55 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 56 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 57 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 58 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 59 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 60 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 61 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　椭圆的简单几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 eq \x(\s\up1(01))_______________ eq \x(\s\up1(02))________________ eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) 范围 eq \x(\s\up1(03))____________________ eq \x(\s\up1(04))_____________________ 对称性 对称轴eq \x(\s\up1(05))____________，对称中心eq \x(\s\up1(06))_____________ 顶点 eq \x(\s\up1(07))__________________ eq \x(\s\up1(08))_________________ 轴长 短轴长＝eq \x(\s\up1(09))______，长轴长＝eq \x(\s\up1(10))_______ 焦点 eq \x(\s\up1(11))____________ eq \x(\s\up1(12))___________ 焦距 |F1F2|＝eq \x(\s\up1(13))_______ 离心率 e＝eq \x(\s\up1(14))_____(0<e<1) eq \f(c,a) 知识点二　椭圆的离心率对椭圆形状的影响 (1)椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即eq \f(c,a)＝e，显然0<e<1. (2)如图①，e越接近于1，椭圆就越eq \x(\s\up1(01))____．反之，如图②，e越接近于0，椭圆就越接近于eq \x(\s\up1(02))______．当a＝b时，它的方程为x2＋y2＝a2.这时c＝eq \x(\s\up1(03))_____，两个焦点重合，图形变为eq \x(\s\up1(04))_______． 椭圆简单几何性质的几点说明 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质． (2)明确a，b，c的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，c是半焦距，不要与长轴长、短轴长、焦距混淆，由a2＝b2＋c2，可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边． 这说明，以椭圆任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形，而且短轴端点与焦点的连线长为a.如图所示，|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a. (3)椭圆上的所有点中，到焦点距离最大和最小的点，分别是长轴的两个端点．若椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1(－a，0)，A2(a，0)到右焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.(　　) (2)椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．(　　) (3)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长为a.(　　) (4)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点．(　　) 2．做一做 (1)焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　) A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1 C.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1 D．x2＋eq \f(y2,4)＝1 (2)椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的离心率为________． (3)设P(m，n)是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上任意一点，则m的取值范围是________． eq \f(\r(3),2) 题型一　椭圆的几何性质 　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝eq \f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标． 解　椭圆的方程可化为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,\f(m,m＋3))＝1， ∵m－eq \f(m,m＋3)＝eq \f(m（m＋2）,m＋3)>0， ∴m>eq \f(m,m＋3). ∴椭圆的焦点在x轴上． 即a2＝m，b2＝eq \f(m,m＋3)，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(\f(m（m＋2）,m＋3)). 由e＝eq \f(\r(3),2)，得eq \r(\f(m＋2,m＋3))＝eq \f(\r(3),2)，∴m＝1. ∴椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1. ∴a＝1，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \f(\r(3),2). ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))，四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))). eq \a\vs4\al([跟踪训练1])　下列对椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)和椭圆C2：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的几何性质的表述，正确的是(　　) A．范围相同 B．顶点坐标相同 C．焦点坐标相同 D．离心率相同 解析　椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b，顶点坐标是(－a，0)，(a，0)，(0，－b)，(0，b)，焦点坐标是(－c，0)，(c，0)，离心率e＝eq \f(c,a)；椭圆C2：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的范围是－a≤y≤a，－b≤x≤b，顶点坐标是(－b，0)，(b，0)，(0，－a)，(0，a)，焦点坐标是(0，－c)，(0，c)，离心率e＝eq \f(c,a).综上所述，二者只有离心率相同． 题型二　利用椭圆的几何性质求标准方程 　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是6，离心率是eq \f(2,3)； (2)在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解　(1)设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)． 由已知得2a＝6，所以a＝3. 又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)，所以c＝2. 所以b2＝a2－c2＝9－4＝5. 所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1或eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1. (2)由题意知焦点在x轴上，故可设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且两焦点分别为F′(－3，0)，F(3，0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18. 所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1. eq \a\vs4\al([跟踪训练2])　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)； (2)过点(3，0)，且离心率e＝eq \f(\r(6),3). 解　(1)由题意知2a＝4b，所以a＝2b. 设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．代入点(2，－6)，得eq \f(4,a2)＋eq \f(36,b2)＝1或eq \f(36,a2)＋eq \f(4,b2)＝1，将a＝2b代入，得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13， 故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,148)＋eq \f(y2,37)＝1或eq \f(y2,52)＋eq \f(x2,13)＝1. (2)当椭圆的焦点在x轴上时， 有a＝3，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)， 所以c＝eq \r(6)，所以b2＝a2－c2＝9－6＝3， 所以椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时，有b＝3，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)， 所以eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(6),3)，解得a2＝27， 所以椭圆的标准方程为eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1. 故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1. 题型三　椭圆的实际应用题 　我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为eq \r(ab)百公里时进行变轨，其中a，b分别为椭圆的长半轴长、短半轴长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)． 解　以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． 设轨道方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 且c＝eq \r(a2－b2). ∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34， ∴a＝438，c＝396. 于是b2＝a2－c2＝35028， ∴探测器运行的轨道方程为eq \f(x2,191844)＋eq \f(y2,35028)＝1. 设变轨时，探测器位于点P(x0，y0)，则 xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝ab≈81975.1，2,0)eq \f(x,191844) ＋2,0)eq \f(y,35028) ＝1， 解得x0≈239.7，y0≈156.7， ∴2,0)eq \r(（x0－c）2＋y) －R≈187. 故探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里． eq \a\vs4\al([跟踪训练3])　已知某荒漠上F1，F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1，F2为一条对角线的平行四边形区域建农艺园，按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km. (1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程； (2)问农艺园的最大面积能达到多少？ 解　(1)以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F1(－1，0)，F2(1，0)． 设平行四边形的另两个顶点为P(x，y)，Q(x′，y′)， 则由已知得|PF1|＋|PF2|＝4. 由椭圆的定义知点P在以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆上(不含左、右顶点)，此时a＝2，c＝1，则b＝eq \r(3). 所以点P的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)， 同理点Q的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)． (2)＝|F1F2|·|yP|≤2c·b＝2eq \r(3)(km2)， 所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大，为2eq \r(3) km2. 题型四　椭圆的离心率问题 　已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率． [解]　解法一：由已知可设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，因为c2＝a2－b2，F1(－c，0)，PF1⊥F1A，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，b\r(1－\f(c2,a2))))，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))， 因为AB∥PO，所以kAB＝kOP， 即－eq \f(b,a)＝－eq \f(b2,ac)，所以b＝c，所以a2＝2c2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2). 解法二：由解法一可知Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))， 又因为△PF1O∽△BOA， 所以eq \f(|PF1|,|BO|)＝eq \f(|F1O|,|OA|)， 所以eq \f(\f(b2,a),b)＝eq \f(c,a)，所以b＝c，所以a2＝2c2， 所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2). 由离心率的定义可知，求e的值，就是求a和c的值或a与c的关系，很多题目由于受到已知条件的限制不能同时解出a和c的值，只能将条件整理成a与c的关系式，进而求出eq \f(c,a). eq \a\vs4\al([跟踪训练4])　已知F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点且eq \o(PF1,\s\up12(→))·eq \o(PF2,\s\up12(→))＝c2，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) 解析　设P(m，n)，∵eq \o(PF1,\s\up6(→))·eq \o(PF2,\s\up6(→))＝c2＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2，∴m2＋n2＝2c2，2c2－m2＝n2　①，把P(m，n)代入椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，得b2m2＋a2n2＝a2b2　②，把①代入②，得m2＝eq \f(a2b2－2a2c2,b2－a2)≥0，∴a2b2≤2a2c2，∴b2≤2c2，∴a2≤3c2，∴e＝eq \f(c,a)≥eq \f(\r(3),3).又m2＝eq \f(a2b2－2a2c2,b2－a2)≤a2，∴a2≥2c2，∴e＝eq \f(c,a)≤eq \f(\r(2),2).综上，椭圆离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).故选C. 1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(　　) A．(±13，0) B．(0，±10) C．(0，±13) D．(0，±eq \r(69)) 解析　由题意知a＝13，b＝10，焦点在y轴上，所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(132－102)＝eq \r(69).故焦点坐标为(0，±eq \r(69))． 2．已知椭圆eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m＝(　　) A．4 B．5 C．7 D．8 解析　因为椭圆的长轴在y轴上，所以a2＝m－2，b2＝10－m，因为焦距为4，所以c＝2.所以c2＝a2－b2＝2m－12＝4.所以m＝8. 3．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)，C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝eq \r(3)e1，则a＝(　　) A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \r(2) C.eq \r(3) D.eq \r(6) 解析　由e2＝eq \r(3)e1，得eeq \o\al(2,2)＝3eeq \o\al(2,1)，因此eq \f(4－1,4)＝3×eq \f(a2－1,a2)，而a>1，所以a＝eq \f(2\r(3),3).故选A. eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1 4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq \f(\r(2),2).过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________，△AF1F2的面积的最大值为________． 解析　由△ABF2的周长为4a＝16，得a＝4，又由离心率为eq \f(\r(2),2)，即eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，得c＝2eq \r(2)，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1.当点A为短轴的端点时，△AF1F2的面积最大，此时S△AF1F2＝eq \f(1,2)×2cb＝8. 5．若椭圆mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为eq \f(1,2)，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 解　椭圆方程可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1. ①当0<m<4时，a＝2，b＝eq \r(m)，c＝eq \r(4－m)， 由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(4－m),2)＝eq \f(1,2)，得m＝3，∴b＝eq \r(3)，c＝1. ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为4，2eq \r(3)， 焦点坐标为(－1，0)，(1，0)， 顶点坐标为(－2，0)，(2，0)，(0，－eq \r(3))，(0，eq \r(3))． ②当m>4时，a＝eq \r(m)，b＝2，c＝eq \r(m－4)， 由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(m－4),\r(m))＝eq \f(1,2)，得m＝eq \f(16,3)，∴a＝eq \f(4\r(3),3)，c＝eq \f(2\r(3),3)， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为eq \f(8\r(3),3)，4， 焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2\r(3),3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))， 顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(4\r(3),3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4\r(3),3)))，(－2，0)，(2，0)． 一、选择题 1．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　) A.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1 B．x2＋eq \f(y2,6)＝1 C.eq \f(x2,6)＋y2＝1 D.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1 解析　椭圆9x2＋4y2＝36可化为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，可知其焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq \r(5))，故可设所求椭圆方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq \r(5)，又2b＝2，所以b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，故所求椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,6)＝1. 2．若焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)，则m的值为(　　) A.eq \r(3) B.eq \f(3,2) C.eq \f(8,3) D.eq \f(2,3) 解析　因为焦点在x轴上，所以a＝eq \r(2)，b＝eq \r(m)，所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(2－m)，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(2－m,2))＝eq \f(1,2)，所以m＝eq \f(3,2). 3．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为(　　) A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(5),3) D.eq \f(\r(6),3) 解析　如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则△B2OF2为等腰直角三角形，所以eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2). 4．椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1与椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝k(k>0)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 解析　将椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝k(k>0)化为标准方程eq \f(x2,16k)＋eq \f(y2,9k)＝1(k>0)．易知椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的长轴长是8，短轴长是6，焦距是2eq \r(7)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4).而椭圆eq \f(x2,16k)＋eq \f(y2,9k)＝1(k>0)的长轴长是8eq \r(k)，短轴长是6eq \r(k)，焦距是2eq \r(7k)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),4)，所以两椭圆的离心率相等．故选D. 5．(多选)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若满足eq \o(MF1,\s\up6(→))·eq \o(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆的离心率可能是(　　) A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,8) D.eq \f(3,4) 解析　设该椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，因为eq \o(MF1,\s\up6(→))·eq \o(MF2,\s\up6(→))＝0，所以点M的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又点M总在椭圆内部，所以该圆在椭圆的内部，因此c<b，c2<b2＝a2－c2，即e2＝eq \f(c2,a2)<eq \f(1,2).所以e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).故选BC. 二、填空题 6．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为________． 解析　根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9.又因为a2－b2＝c2，c>0，所以a＝5，c＝4，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5). eq \f(4,5) 7．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为________． 解析　如图，连接BF2.因为△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点．所以F2B⊥BF1，∠BF2F1＝30°，又因为|F1F2|＝2c，所以|BF1|＝c，|BF2|＝eq \r(3)c，由椭圆的定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，即c＋eq \r(3)c＝2a，所以eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1.所以椭圆的离心率e＝eq \r(3)－1. eq \r(3)－1 8．若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \o(OP,\s\up12(→))·eq \o(FP,\s\up12(→))的最大值为_____，此时点P的坐标为________． 解析　由椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1可得F(－1，0)，O(0，0)．设P(x，y)，－2≤x≤2，则eq \o(OP,\s\up6(→))·eq \o(FP,\s\up6(→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)x2))＝eq \f(1,4)x2＋x＋3＝eq \f(1,4)(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，eq \o(OP,\s\up6(→))·eq \o(FP,\s\up6(→))取得最大值6.当x＝2时，y＝0，即此时点P的坐标为(2，0)． 三、解答题 9．求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为eq \f(1,2)，焦距为8； (2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为eq \r(3). 解　(1)由题意知，2c＝8，c＝4， 所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,a)＝eq \f(1,2)， 所以a＝8，从而b2＝a2－c2＝48， 所以所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,48)＝1. (2)由已知，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).)) 从而b2＝9，所以所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,9)＝1. 10．已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0)． (1)求椭圆E的标准方程； (2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围． 解　(1)由题意可得，c＝1，a＝2， ∴b2＝a2－c2＝3. ∴椭圆E的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1. (2)设M(x0，y0)(x0∈(－2，2))， 则2,0)eq \f(x,4) ＋2,0)eq \f(y,3) ＝1.① eq \o(MP,\s\up12(→))＝(t－x0，－y0)，eq \o(MH,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)， 由MP⊥MH可得eq \o(MP,\s\up12(→))·eq \o(MH,\s\up12(→))＝0， 即(t－x0)(2－x0)＋yeq \o\al(2,0)＝0.② 由①②消去y0， 整理得t(2－x0)＝－eq \f(1,4)xeq \o\al(2,0)＋2x0－3. ∵x0≠2，∴t＝eq \f(1,4)x0－eq \f(3,2). ∵－2<x0<2，∴－2<t<－1. ∴实数t的取值范围为(－2，－1)． 1．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离之和为8海里的地方发现过鱼群．以A，B所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求曲线C的标准方程； (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，问能否确定P处的位置(点P的坐标)? 解　(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆， 则c＝2，a＝4，故b2＝a2－c2＝12， 所以曲线C的标准方程是eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1. (2)由于A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3， 故点P距A，B两岛的距离比为5∶3， 故点P距A，B两岛的距离分别为5海里、3海里． 设P(x，y)，由|PB|＝3，得eq \r(（x－2）2＋y2)＝3， 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－2）2＋y2＝9，,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，,－4≤x≤4，)) 得x＝2，y＝±3， 所以点P的坐标为(2，3)或(2，－3)． 2．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关． 解　(1)设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a. 在△F1PF2中，由余弦定理可知， 4c2＝m2＋n2－2mncos60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2))) eq \s\up12(2)＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)． ∴eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,4)，即e≥eq \f(1,2). 又0<e<1， ∴椭圆离心率e的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). (2)证明：由(1)知mn＝eq \f(4,3)b2， ∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)mnsin60°＝eq \f(\r(3),3)b2， 即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关． $$