2.1.1 椭圆及其标准方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第二章　圆锥曲线 §1　椭圆 1.1　椭圆及其标准方程 (教师独具内容) 课程标准：1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程． 教学重点：椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程． 教学难点：椭圆标准方程的推导． 核心素养：通过研究椭圆的定义及标准方程，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 常数 焦点 焦距 核心概念掌握 5 2c (±c，0) (0，±c) a2＝b2＋c2 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 核心概念掌握 8 答案 × × √ √ 核心概念掌握 9 答案 3 2 6 核心概念掌握 10 核心素养形成 答案 核心素养形成 12 解析 核心素养形成 13 答案 解析 核心素养形成 14 感悟提升 1．对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． (2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件． 2．椭圆定义的两个应用 (1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆． (2)若点M在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a. 核心素养形成 15 答案 解析 核心素养形成 16 解 核心素养形成 17 核心素养形成 18 解 核心素养形成 19 解 核心素养形成 20 解 核心素养形成 21 解 核心素养形成 22 解 核心素养形成 23 解 核心素养形成 24 感悟提升 求椭圆标准方程的方法 (1)关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置，明确其标准方程的形式，再利用定义及a2－b2＝c2求出参数a，b，最后代入椭圆标准方程． (2)待定系数法：构造a，b，c三者之间的关系，通过解方程组求出a，b.但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”． 当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到简化运算的目的． 核心素养形成 25 答案 解析 核心素养形成 26 解 核心素养形成 27 答案 核心素养形成 28 解析 核心素养形成 29 感悟提升 核心素养形成 30 答案 解析 核心素养形成 31 解 核心素养形成 32 解 核心素养形成 33 解 核心素养形成 34 感悟提升 1．椭圆中焦点三角形的解题策略 在解焦点三角形的相关问题时，一般利用两个关系式： (1)由椭圆的定义可得|PF1|，|PF2|的一个关系式，|PF1|＋|PF2|＝2a. (2)利用正、余弦定理可得|PF1|，|PF2|的一个关系式． 这样我们便可求解出|PF1|，|PF2|. 但是通常情况下我们是把|PF1|±|PF2|，|PF1|·|PF2|看成一个整体进行转化求解，而不是具体求出|PF1|与|PF2|的值，所以在解题时注意椭圆定义及正、余弦定理的灵活运用． 核心素养形成 35 核心素养形成 36 答案 解析 核心素养形成 37 随堂水平达标 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 39 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 40 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 41 答案 解析 2 120° 随堂水平达标 1 2 3 4 5 42 解 随堂水平达标 1 2 3 4 5 43 课后课时精练 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 45 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 46 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 47 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 48 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 49 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 50 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 51 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 52 答案 解析 7 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 53 答案 解析 7 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 54 答案 解析 4 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 55 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 56 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 57 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 58 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 59 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 60 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 61 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 62 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 63 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 64 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于eq \x(\s\up1(01))_________(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的eq \x(\s\up1(02))_______，两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的eq \x(\s\up1(03))_________． 知识点二　椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 eq \x(\s\up1(01))_________________ eq \x(\s\up1(02))___________________ 图形 焦距 |F1F2|＝eq \x(\s\up1(03))______ 焦点坐标 eq \x(\s\up1(04))____________ eq \x(\s\up1(05))_________ a，b，c的关系 eq \x(\s\up1(06))__________________ eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 1．对椭圆定义的理解 设两定点F1，F2，点到F1，F2的距离之和为2a. (1)当2a>|F1F2|时，点的轨迹是椭圆． (2)当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是以F1，F2为端点的线段． (3)当2a<|F1F2|时，点的轨迹不存在． 2．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 (1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能． (2)设方程 ①依据上述判断设方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)； ②在不能确定焦点位置的情况下也可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)． (3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组． (4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹称为椭圆．(　　) (2)椭圆的标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　　) (3)椭圆方程的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(　　) (4)设定点F1(0，－2)，F2(0，2)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝m＋eq \f(4,m)(m＞2)，则点P的轨迹是椭圆．(　　) 2．做一做 (1)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 (2)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为__________． (3)椭圆的方程为eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1，则a＝______，b＝______，c＝_______． (4)椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为________． eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 eq \r(5) 题型一　椭圆的定义 　(1)已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．根据椭圆的定义，椭圆到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件，故选C. (2)已知△ABC的周长是8，且B(－1，0)，C(1，0)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1(x≠±3) B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1(x≠0) C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0) D.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1(y≠0) 解析　∵|AB|＋|AC|＝8－|BC|＝6>|BC|＝2，∴顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则a＝3，b＝2eq \r(2).又A，B，C三点不共线，∴顶点A的轨迹方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1(x≠±3)． eq \a\vs4\al([跟踪训练1])　(1)下列说法中正确的是(　　) A．到点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B．到点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．到点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆 D．到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆 解析　对于A，|F1F2|＝8，故到点F1，F2的距离之和等于8的点的轨迹是线段F1F2；对于B，到点F1，F2的距离之和等于6的点的轨迹不存在；对于C，根据椭圆的定义，知该轨迹是椭圆；对于D，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 解　设圆P的半径为r. 又圆P过点B，∴|PB|＝r. 又圆P与圆A内切，圆A的半径为10. ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)． ∴圆心P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． ∴2a＝10，2c＝|AB|＝6，∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. 即圆心P的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1. (2)已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程． 题型二　椭圆的标准方程 　求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，且经过点(4，3eq \r(2))； (2)a＝8，c＝6； (3)经过两点P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)))，P2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2))). 解　(1)解法一：由题意， 得2a＝eq \r(（4－0）2＋（3\r(2)＋2）2)＋ eq \r(（4－0）2＋（3\r(2)－2）2)＝12， 得a＝6. 又c＝2，∴b2＝a2－c2＝32. ∴所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1. 解法二：∵椭圆的焦点在y轴上， 设所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)． 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(16,b2)＋\f(18,a2)＝1，,a2－b2＝4，)) 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝36，,b2＝32.)) ∴所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,32)＝1. (2)∵a＝8，c＝6， ∴b2＝a2－c2＝64－36＝28. 当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,28)＝1； 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,28)＝1. 故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,28)＝1或eq \f(y2,64)＋eq \f(x2,28)＝1. (3)解法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)， 依题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2),a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2),b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2),b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,5)，,b2＝\f(1,4).)) ∵a2＝eq \f(1,5)<eq \f(1,4)＝b2， ∴焦点在x轴上的椭圆不存在； ②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)． 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2),a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(+),b2)＝1，,\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2),a2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(1,5).)) 故所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,\f(1,4))＋eq \f(x2,\f(1,5))＝1. 解法二：设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2)＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2)＝1，,B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＝1，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝5，,B＝4，)) ∴所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， 即标准方程为eq \f(\a\vs4\al(y2),\f(1,4))＋eq \f(\a\vs4\al(x2),\f(1,5))＝1. eq \a\vs4\al([跟踪训练2])　(1)过点(－3，2)且与eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为_____ _______________． 解析　∵c2＝9－4＝5，焦点在x轴上，∴设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－5)＝1.∵点 (－3，2)在椭圆上，∴eq \f(9,a2)＋eq \f(4,a2－5)＝1，∴a2＝15，∴所求椭圆的方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1. eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 (2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq \f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，求椭圆E的方程． 解　设点A在点B上方，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝eq \r(1－b2).因为AF2⊥x轴，所以点A的坐标为(c，b2)，设点B的坐标为(x0，y0)，由|AF1|＝3|F1B|，可得eq \o(AF1,\s\up6(→))＝3eq \o(F1B,\s\up6(→))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2c＝3（x0＋c），,－b2＝3y0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(5,3)c，,y0＝－\f(1,3)b2，))代入椭圆方程可得eq \f(25（1－b2）,9)＋eq \f(1,9)b2＝1，得b2＝eq \f(2,3)，所以椭圆E的方程为x2＋eq \f(3y2,2)＝1. 题型三　点与椭圆的位置关系 　已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，则下列各点不在椭圆内部的是(　　) A．(1，1) B．(eq \r(2)，－1) C．(eq \r(2)，eq \r(2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) 解析　椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，因为eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)＝eq \f(7,12)<1，所以点(1，1)在椭圆内部，A不符合题意；因为eq \f(2,4)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,6)<1，所以点(eq \r(2)，－1)在椭圆内部，B不符合题意；因为eq \f(2,4)＋eq \f(2,3)＝eq \f(7,6)>1，所以点(eq \r(2)，eq \r(2))在椭圆外部，C符合题意；因为eq \f(\f(1,4),4)＋eq \f(1,3)＝eq \f(19,48)<1，所以点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))在椭圆内部，D不符合题意．故选C. 点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔2,0)eq \f(x,a2) ＋2,0)eq \f(y,b2) ＝1；点P在椭圆内部⇔2,0)eq \f(x,a2) ＋2,0)eq \f(y,b2) <1；点P在椭圆外部⇔2,0)eq \f(x,a2) ＋2,0)eq \f(y,b2) >1. 解析　因为点P(a，1)在椭圆eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,3)＝1的外部，所以eq \f(a2,2)＋eq \f(12,3)>1，即a2>eq \f(4,3)，解得a<－eq \f(2\r(3),3)或a>eq \f(2\r(3),3). eq \a\vs4\al([跟踪训练3])　若点P(a，1)在椭圆eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,3)＝1的外部，则a的取值范围为_____________________________． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2\r(3),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞)) 题型四　椭圆的焦点三角形问题 　已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． 解　由eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1可知a＝2，b＝eq \r(3)， 所以c＝eq \r(a2－b2)＝1，从而|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos∠PF1F2， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.① 由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.② 由①②联立可得|PF1|＝eq \f(6,5). 所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|F1F2|sin∠PF1F2＝eq \f(1,2)×eq \f(6,5)×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),5). 【条件探究】若本例中“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，应该怎样解答？ 解　由已知a＝2，b＝eq \r(3)， 得c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(4－3)＝1. ∴|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°， 即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos60°. ∴4＝16－3|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝4， ∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝eq \f(1,2)×4×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3). 2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c. (2)在△F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos ∠F1PF2. (3)焦点三角形的面积S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝b2taneq \f(∠F1PF2,2). eq \a\vs4\al([跟踪训练4])　(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,5)＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若eq \o(PF1,\s\up10(→))·eq \o(PF2,\s\up10(→))＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 解析　解法一：因为eq \o(PF1,\s\up10(→))·eq \o(PF2,\s\up10(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，从而S△F1PF2＝b2tan45°＝1＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B. 解法二：因为eq \o(PF1,\s\up10(→))·eq \o(PF2,\s\up10(→))＝0，所以∠F1PF2＝90°，由椭圆方程可知，c2＝5－1＝4⇒c＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq \r(5)，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B. 1．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,2)＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是(　　) A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C．x2＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1 解析　由题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝2＋4＝6，因此椭圆的方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1.故选D. 2．若直线y＝k(x－2)＋1恒过定点M，则点M与椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的位置关系是(　　) A．点M在椭圆外 B．点M在椭圆内 C．点M在椭圆上 D．无法判断 解析　直线y＝k(x－2)＋1恒过定点M(2，1)，将点M(2，1)代入椭圆方程，得eq \f(4,16)＋eq \f(1,9)<1，所以点M(2，1)在椭圆内． 3．(多选)椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标可以是(　　) A．(0，－3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(3\r(3),2))) C．(0，3) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(3),2)，\f(3,2))) 解析　记F1(－4，0)，F2(4，0)，|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,2)))eq \s\up12(2)＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立．∴P应在椭圆与y轴的交点处，∴P(0，3)或(0，－3)． 4．椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝_____，∠F1PF2＝______． 解析　由椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1知a＝3，c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(7)，∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(42＋22－（2\r(7)）2,2×4×2)＝－eq \f(1,2).又0°<∠F1PF2<180°，∴∠F1PF2＝120°. 5.如图，已知定点A(－2，0)，动点B是圆F：(x－2)2＋y2＝64上一点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程． 解　连接PA，圆F：(x－2)2＋y2＝64的圆心为F(2，0)，半径R＝8. ∵线段AB的垂直平分线交BF于点P， ∴|PA|＝|PB|， ∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝R＝8>|AF|＝4. 由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆． 依题意，有2a＝8，c＝2，∴b2＝a2－c2＝12， ∴动点P的轨迹方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1. 一、选择题 1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点F在BC上，则△ABC的周长是(　　) A．2eq \r(3) B．6 C．4eq \r(3) D．12 解析　由题意可知a＝eq \r(3)，由椭圆的定义得|BF|＋|BA|＝|CF|＋|CA|＝2a＝2eq \r(3)，所以(|BF|＋|CF|)＋|BA|＋|CA|＝|BA|＋|CA|＋|BC|＝4eq \r(3)，即△ABC的周长为4eq \r(3).故选C. 2．如果方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，－2) C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－6，－2)∪(3，＋∞) 解析　由椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a＋6)＝1的焦点在x轴上，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＞a＋6，,a＋6＞0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞3或a＜－2，,a＞－6.))所以a＞3或－6＜a＜－2.故选D. 3．已知动点M(x，y)满足eq \r(（x＋2）2＋y2)＋eq \r(（x－2）2＋y2)＝4，则动点M的轨迹曲线的形状为(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 解析　设F1(－2，0)，F2(2，0)．由题意知动点M满足|MF1|＋|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2. 4.我们把由半椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(x≥0)与半椭圆eq \f(y2,b2)＋eq \f(x2,c2)＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)．如图所示，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x轴和y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为(　　) A.eq \f(\r(7),2)，1 B.eq \r(3)，1 C．5，3 D．5，4 解析　由题意知，a2－b2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,4)，b2－c2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)，∴a2－c2＝1.又a2＝b2＋c2，∴b2＝1，b＝1，∴a2＝eq \f(7,4)，a＝eq \f(\r(7),2). 5．(2023·全国甲卷)已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝eq \f(3,5)，则|PO|＝(　　) A.eq \f(2,5) B.eq \f(\r(30),2) C.eq \f(3,5) D.eq \f(\r(35),2) 解析　解法一：设∠F1PF2＝2θ，0＜θ＜eq \f(π,2)，所以S△PF1F2＝b2taneq \f(∠F1PF2,2)＝b2tanθ，由cos∠F1PF2＝cos2θ＝eq \f(cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq \f(3,5)，解得tanθ＝eq \f(1,2).由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|×|yP|＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×|yP|＝6×eq \f(1,2)，解得yeq \o\al(2,P)＝3，所以xeq \o\al(2,P)＝9×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,6)))＝eq \f(9,2)，因此|PO|＝2,P)eq \r(x＋yeq \o\al(2,P)) ＝eq \r(3＋\f(9,2))＝eq \f(\r(30),2).故选B. 解法二：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6　①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－eq \f(6,5)|PF1||PF2|＝12　②，联立①②，解得|PF1||PF2|＝eq \f(15,2)，|PF1|2＋|PF2|2＝21，而eq \o(PO,\s\up10(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(PF1,\s\up10(→))＋eq \o(PF2,\s\up10(→)))，所以|PO|＝|eq \o(PO,\s\up10(→))|＝eq \f(1,2)|eq \o(PF1,\s\up10(→))＋eq \o(PF2,\s\up10(→))|，即|eq \o(PO,\s\up10(→))|＝eq \f(1,2)|eq \o(PF1,\s\up6(→))＋eq \o(PF2,\s\up10(→))|＝eq \f(1,2) eq \r(|\o(PF1,\s\up10(→))|2＋2\o(PF1,\s\up10(→))·\o(PF2,\s\up10(→))＋|\o(PF2,\s\up10(→))|2)＝eq \f(1,2) eq \r(21＋2×\f(3,5)×\f(15,2))＝eq \f(\r(30),2).故选B. 解法三：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6　①，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－eq \f(6,5)|PF1||PF2|＝12　②，联立①②，解得|PF1|2＋|PF2|2＝21，由中线定理可知，(2|PO|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42，易知|F1F2|＝2eq \r(3)，解得|PO|＝eq \f(\r(30),2).故选B. 二、填空题 6．椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍． 解析　由已知椭圆的方程得a＝2eq \r(3)，b＝eq \r(3)，c＝3，不妨设F1(－3，0)，F2(3，0)．∵焦点F1和F2关于y轴对称，∴PF2必垂直于x轴．∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(\r(3),2)))或Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(\r(3),2)))，|PF2|＝eq \f(\r(3),2)，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝eq \f(7\r(3),2).∴|PF1|＝7|PF2|. 7．已知P为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________． 解析　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7. 2eq \r(3) 解析　延长F2N，MF1并相交于点Q，由题意知，MN⊥F2Q，且MN平分∠F1MF2，所以|MF2|＝|MQ|，N为F2Q的中点，又因为O为F1F2的中点，所以ON∥F1Q，且|ON|＝eq \f(1,2)|F1Q|，因为|ON|＝2，所以|F1Q|＝4，|MF2|－|MF1|＝4，因为|MF2|＋|MF1|＝8，所以|MF2|＝6，|MF1|＝2，所以|MF2|2＝|MF1|2＋|F1F2|2，所以MF1⊥OF1，所以|OM|＝eq \r(|MF1|2＋|OF1|2)＝2eq \r(3). 8．已知F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1的左、右焦点，M是椭圆上的一点，且在y轴的左侧，过点F2作∠F1MF2的平分线的垂线，垂足为N，若|ON|＝2(O为坐标原点)，则|MF2|－|MF1|＝________，|OM|＝________． 三、解答题 9．已知椭圆eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0，1)，且3a2＝4b2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值． 解　(1)依题意，知c＝1， 又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2， 所以a2－eq \f(3,4)a2＝1，即eq \f(1,4)a2＝1， 所以a2＝4，b2＝3， 故椭圆的标准方程为eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1. (2)由于点P在椭圆上， 所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4. 又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝eq \f(5,2)，|PF2|＝eq \f(3,2). 又|F1F2|＝2c＝2， 所以由余弦定理得 cos∠F1PF2＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)－22,2×\f(5,2)×\f(3,2))＝eq \f(3,5). 故∠F1PF2的余弦值为eq \f(3,5). 10．如图，已知点P(3，4)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若eq \o(PF1,\s\up10(→))·eq \o(PF2,\s\up10(→))＝0. (1)求椭圆的方程； (2)求△PF1F2的面积． 解 (1)∵eq \o(PF1,\s\up12(→))·eq \o(PF2,\s\up12(→))＝0，∴△PF1F2是直角三角形， ∴|OP|＝eq \f(1,2)|F1F2|＝c. 又|OP|＝eq \r(32＋42)＝5，∴c＝5. ∴椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－25)＝1. 又P(3，4)在椭圆上，∴eq \f(9,a2)＋eq \f(16,a2－25)＝1， ∴a2＝45或a2＝5. 又a>c，∴a2＝5舍去． 故所求椭圆的方程为eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1. (2)由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝6eq \r(5)，① 又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，② 由①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80， ∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq \f(1,2)×40＝20.　 1．已知P是椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点． (1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积； (2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围． 解　(1)由椭圆的定义， 得|PF1|＋|PF2|＝4 且F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)．① 在△F1PF2中，由余弦定理，得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos60°.② 由①②得|PF1||PF2|＝eq \f(4,3). 所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq \f(\r(3),3). (2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，得eq \o(PF1,\s\up12(→))·eq \o(PF2,\s\up12(→))<0，即(－eq \r(3)－x，－y)·(eq \r(3)－x，－y)＝x2＋y2－3<0. 又y2＝1－eq \f(x2,4)，所以eq \f(3,4)x2<2， 解得－eq \f(2\r(6),3)<x<eq \f(2\r(6),3). 所以点P横坐标的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(6),3))). 2.如图所示，△ABC的底边BC的长为12，其他两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程． 解　以边BC的中点为原点，边BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6，0)，C(－6，0)，CE，BD分别为边AB，AC上的中线， 则|BD|＋|CE|＝30. 由重心的性质可知， |GB|＋|GC|＝eq \f(2,3)(|BD|＋|CE|)＝20. ∵B，C是两个定点，点G到B，C的距离和等于定值20，且20>12， ∴点G的轨迹是椭圆，B，C是椭圆的两个焦点， ∴2c＝|BC|＝12，c＝6，2a＝20，a＝10，∴b2＝a2－c2＝102－62＝64， 故点G的轨迹方程为eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1(x≠±10)． 设G(x′，y′)，A(x，y)，则有eq \f(x′2,100)＋eq \f(y′2,64)＝1. 由重心坐标公式知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(x,3)，,y′＝\f(y,3)，))故顶点A的轨迹方程为eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))\s\up12(2),100)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,3)))\s\up12(2),64)＝1(x≠±30)， 即eq \f(x2,900)＋eq \f(y2,576)＝1(x≠±30)． $$