高二数学期中模拟卷（人教B版2019选择性必修第一册第1～2章：空间向量与立体几何+平面解析几何)-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期中模拟考试

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版（2019）选择性必修第一册第一章~第二章（空间向量与立体几何+平面解析几何）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．3 D．4 2．已知向量，若共面，则（    ） A．2 B．3 C． D． 3．材料一:已知三角形三边长分别为，，，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦-秦九韶公式； 材料二:阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义:我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆. 根据材料一或材料二解答:已知中，，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．在正四面体中，棱长为1，且D为棱的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．在矩形中，，，E、F分别为边、上的点，且，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，直线与直线所成角为，则（    ） A． B． C． D． 7．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间四点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离为 D．O，A，B，C四点共面 10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于A、B两点.若四边形为矩形，且，则下列正确的是（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．矩形的面积为 D．双曲线的渐近线方程为 11．已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 13．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．   14．已知椭圆＝1的两个焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，则三角形F2AB的内切圆半径的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图所示，在平行六面体中，，，，设，，. (1)用，，表示并求出； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 16．（15分） 过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，求直线的方程． 17．（15分） 如图所示，在三棱锥中，，，．    (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分） 已知圆C：关于直线对称，且圆心在x轴上． (1)求圆C的标准方程； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②求证：直线AB恒过定点． 19．（17分） 中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线.在平面上，我们把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，，为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线是一条伯努利双纽线. (1)求曲线C的焦点，的坐标； (2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版（2019）选择性必修第一册第一章~第二章（空间向量与立体几何+平面解析几何）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．3 D．4 2．已知向量，若共面，则（    ） A．2 B．3 C． D． 3．材料一:已知三角形三边长分别为，，，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦-秦九韶公式； 材料二:阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义:我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆. 根据材料一或材料二解答:已知中，，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．在正四面体中，棱长为1，且D为棱的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．在矩形中，，，E、F分别为边、上的点，且，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，直线与直线所成角为，则 （    ） A． B． C． D． 7．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间四点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离为 D．O，A，B，C四点共面 10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于A、B两点.若四边形为矩形，且，则下列正确的是（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．矩形的面积为 D．双曲线的渐近线方程为 11．已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 13．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．   14．已知椭圆＝1的两个焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，则三角形F2AB的内切圆半径的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图所示，在平行六面体中，，，，设，，. (1)用，，表示并求出； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 16．（15分） 过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，求直线的方程． 17．（15分） 如图所示，在三棱锥中，，，．    (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分） 已知圆C：关于直线对称，且圆心在x轴上． (1)求圆C的标准方程； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②求证：直线AB恒过定点． 19．（17分） 中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线.在平面上，我们把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，，为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线是一条伯努利双纽线. (1)求曲线C的焦点，的坐标； (2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版（2019）选择性必修第一册第一章~第二章（空间向量与立体几何+平面解析几何）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【解析】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：B. 2．已知向量，若共面，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为共面，所以， 即， 所以，解得. 故选D. 3．材料一:已知三角形三边长分别为，，，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦-秦九韶公式； 材料二:阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义:我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆. 根据材料一或材料二解答:已知中，，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】用材料一：根据海伦-秦九韶公式，，其中， 由题意，可知，，，且， 故； 当且仅当，即时取等号. 用材料二：以BC的中点为原点，由椭圆的定义易知，椭圆方程为， （为A到BC的距离），， 当且仅当时取等号. 故选C. 4．在正四面体中，棱长为1，且D为棱的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，因为D为棱的中点，所以， ，因为几何体为正四面体，故与夹角为60°，同理与夹角为60°，，故， 故选D. 5．若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线、椭圆的焦距分别为、，离心率分别为、，则，可得， 所以，椭圆的焦点在轴上，则. 故选C. 6．在矩形中，，，E、F分别为边、上的点，且，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，直线与直线所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过A作的垂线，分别交，，于M，G，N，如图， 显然. 因为，所以直线与所成角即为. 当在平面上的射影为G时，平面，此时. 于是当在平面上的射影在线段上时，， 所以. 由于，，进而得，. 因为是在平面上的射影， 所以由线面角最小性知，即. 再由二面角的最大性知. 故选D. 7．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选B.      8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，即为，即为，可得．所以．根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示，由题意设的内切圆切三边分别于G，D，E三点，则，，． 又，所以． 设，则，所以， 所以切点D为双曲线的右顶点，所以， ． 在中，由勾股定理得， 整理得，即，解得， 又因为，所以C的离心率为， 故选C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间四点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离为 D．O，A，B，C四点共面 【答案】AC 【解析】由题意，，，A正确； ，B错误； ，，所以，，所以点O到直线的距离为，C正确； ，假设若O，A，B，C四点共面，则共面，设， 则，此方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面，D错． 故选AC． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于A、B两点.若四边形为矩形，且，则下列正确的是（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．矩形的面积为 D．双曲线的渐近线方程为 【答案】AB 【解析】如下图所示：设，所以， 由双曲线的定义可知， 因为四边形为矩形，所以， 因此，所以选项A正确； 由，所以选项B正确； 矩形的面积为，所以选项C不正确； 因为， 所以双曲线的渐近线方程为，因此选项D不正确， 故选AB.    11．已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【解析】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 【答案】5 【解析】因为圆心到直线的距离， 由可得，解得． 故答案为：． 13．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______． 【答案】 【解析】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 方法二：棱台的体积为. 故答案为：.    14．已知椭圆＝1的两个焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，则三角形F2AB的内切圆半径的取值范围为 . 【答案】 【解析】如图，由椭圆，得，，∴，， 当直线无限接近轴时，无限趋近于， 则的内切圆的半径无限趋近于0； 设， 联立，得. . 设内切圆半径为，则即， ∴， 令，得，当且仅当时等号成立， ∴三角形的内切圆半径的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图所示，在平行六面体中，，，，设，，. (1)用，，表示并求出； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）由题意得， 故，------------------------------------------------------------------2分 ，-----------------------------------------------------------------------5分 故；-------------------------------------------------------------------------------------------6分 （2）， 故 ，-------------------------------------------------------------------------------8分 ， 故，---------------------------------------------------------------------------------------10分 设异面直线与所成角的大小为， 则，-----------------------------------------------------------12分 故异面直线与所成角的余弦值为.------------------------------------------------13分 16．（15分） 过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，求直线的方程． 【解析】设直线夹在直线之间的线段是，（在上，在上） 设，因为被点平分， 所以，于是          ----------------------------------4分   由于在上，在上， 所以，解得， --------------------------------------------------10分     即A的坐标是，而， ，利用点斜式得：，即. ----------------------------14分     所以直线的方程是： -------------------------------------------------------------15分     17．（15分） 如图所示，在三棱锥中，，，．    (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：因为，所以， -----------------------2分     同理可得，故， -------------------------------------------------------4分     因为，平面，所以平面 -------------------------------5分     因为平面，故平面平面． -----------------------------------------------6分     （2）以C为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系 -----------------------7分     因为    则，，，，， ----------8分     所以，，．-------------------9分     设为平面的法向量， 则即令，得． ----------------------------12分     设直线与平面所成的角为， 则， -----------------------------------------14分     所以直线与平面所成角的正弦值为． -----------------------------------------15分     18．（17分） 已知圆C：关于直线对称，且圆心在x轴上． (1)求圆C的标准方程； (2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B． ①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值； ②求证：直线AB恒过定点． 【解析】（1）圆C的方程的圆心坐标为，半径， -------2分     由圆心在x轴上，圆关于直线对称得到，，， ，，所求圆C的标准方程为． --------------------------6分     （2）如下图所示，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B， ，，， -----------------------------------------7分     ， --------------------------------------9分     当最小时，四边形的面积最小， 当点M在x轴上时， 此时S的最小值为． -------------------------------------------------------11分     设点，四点MBCA共圆，即点A、B在以CM为直径的圆上， 该圆的圆心为，半径为， ，即， ---------------------------------13分     是圆C与以MC为直径的圆的公共弦， 直线AB的方程为两圆公共弦方程，两圆方程联立消去二次项， 得到， -----------------------------------------------------------------------------15分     时，， 无论m取何值直线恒过点． -------------------------------------------17分     19．（17分） 中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线.在平面上，我们把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，，为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线是一条伯努利双纽线. (1)求曲线C的焦点，的坐标； (2)试判断曲线C上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB为直径的圆过坐标原点O.如果存在，求出A，B坐标；如果不存在，请说明理由. 【解析】（1）方法一：设焦点，， 曲线与x轴正半轴交于点， 由题意知，于是，， --------------------4分     因此，； ----------------------------------------------------------------6分     方法二：设焦点，， 由题意知， 即， --------------------------------------------2分     整理得，于是，. -----------------------------------4分     因此，，； -----------------------------------------------------------6分     （2）假设曲线C上存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O，即， 由题意知直线OA，OB斜率均存在，----------------------------------------------------------7分  不妨设直线OA的方程为，直线OB的方程为， --------------------------9分     将直线OA的方程与曲线C联立，得，即. ----13分     解得，同理， --------------------------------------------------------------15分     因此不可能成立，于是假设不成立， 即曲线C上不存在两点A，B，使得以AB为直径的圆过坐标原点O.----------------17分  试卷第1页，共3页 试卷第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版（2019）选择性必修第一册第一章~第二章（空间向量与立体几何+平面解析 几何）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．经过两点𝐴(2,𝑚), 𝐵(−𝑚, 4)的直线𝑙的倾斜角为135∘，则𝑚的值为（ ） A．-2 B．1 C．3 D．4 2．已知向量      3,2,1 , 2,2, 1 , ,10,1a b c m        ，若 , ,a b c    共面，则m （ ） A．2 B．3 C． 1 D． 5 3．材料一:已知三角形三边长分别为 a，b， c，则三角形的面积为     S p p a p b p c    ，其中 2 a b c p    ，这个公式被称为海伦-秦九韶公式； 材料二:阿波罗尼奥斯  Apollonius 在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义:我们把平面内与两个定点 1F ， 2F 的 距离的和等于常数（大于 1 2FF ）的点的轨迹叫做椭圆. 根据材料一或材料二解答:已知 ABC 中， 4BC  ， 8AB AC  ，则 ABC 面积的最大值为（ ） A．2 3 B．3 C．4 3 D．6 4．在正四面体P ABC 中，棱长为 1，且 D为棱 AB的中点，则PC PD   的值为（ ） A． 1 4  B． 1 4 C． 1 2  D． 1 2 5．若双曲线   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的离心率为 5 ，则椭圆 2 2 2 2 1 x y a b   的离心率为（ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D． 3 3 6．在矩形 ABCD中， 2 3AB  ， 3AD  ，E、F分别为边 AD、 BC上的点，且 2AE BF  ，现将 ABE 沿 直线 BE 折成 1ABE ，使得点 1A在平面BCDE上的射影在四边形CDEF内（不含边界），设二面角 1A BE C  的大小为 ，直线 1A B与平面BCDE所成的角为 ，直线 1A E与直线BC所成角为，则 （ ） A．    B．    C．    D．    7．过点  0, 2 与圆 2 2 4 1 0x y x    相切的两条直线的夹角为 ，则sin （ ） A．1 B． 15 4 C． 10 4 D． 6 4 8．已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b     的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，P是双曲线上一点，且 2 2( ) 0OP OF F P      （O为坐标原点），若 1 2PFF 内切圆的半径为 2 a ，则 C的离心率是（ ） A． 3 1 B． 3 1 2  C． 6 1 2  D． 6 1 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知空间四点        0,0,0 , 0,1,2 , 2,0, 1 , 3,2,1O A B C ，则下列说法正确的是（ ） A． 2OA OB     B． 2 cos , 3 OA OB     C．点 O到直线BC的距离为 5 D．O，A，B，C四点共面 10．已知双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过原点的直线 l与双曲线交于 A、B 两点.若四边形 1 2AF BF 为矩形，且 1 23AF AF ，则下列正确的是（ ） A． | | 10AB a B．双曲线C的离心率为 10 2 C．矩形 1 2AF BF 的面积为 24a D．双曲线C的渐近线方程为 6y x  11．已知点 P在圆    2 25 5 16x y    上，点  4,0A 、  0,2B ，则（ ） A．点 P到直线 AB的距离小于10 B．点 P到直线 AB的距离大于2 C．当 PBA 最小时， 3 2PB  D．当 PBA 最大时， 3 2PB  试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 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(1)用a  ，b  ， c  表示 1AC  并求出 1AC  ； (2)求异面直线 1AC 与 1CB 所成角的余弦值. 16．（15 分） 过点 0(2 )P ， 有一条直线 l，它夹在两条直线 1 : 2 2 0  l x y 与 2 : 3 0l x y   之间的线段恰被点 P平分， 求直线 l的方程． 17．（15 分） 如图所示，在三棱锥 S ABC 中， 2 2 AB SA SC   ， 2 2AC BC  ， 2 3SB  ． (1)求证： SAC ABC平面 平面 ； (2)若 1 5 DS BS   ，求直线CD与平面 SAB所成角的正弦值． 18．（17 分） 已知圆 C： 2 2 12 0x y Dx Ey     关于直线 2 0x y   对称，且圆心在 x轴上． (1)求圆 C的标准方程； (2)若动点M在直线 10x  上，过点M引圆 C的两条切线MA，MB，切点分别为 A，B． ①记四边形MACB的面积为 S，求 S的最小值； ②求证：直线 AB恒过定点． 19．（17 分） 中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双 纽线.在 xOy平面上，我们把与定点  1 ,0F a ，   2 , 0 0F a a  距离之积等于 2a 的动点的轨迹称为伯努利 双纽线， 1F ， 2F 为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线    22 2 2 2: 9C x y x y   是一条伯努利双纽线. (1)求曲线 C的焦点 1F ， 2F 的坐标； (2)试判断曲线 C上是否存在两个不同的点 A，B（异于坐标原点 O），使得以 AB为直径的圆过坐标原 点 O.如果存在，求出 A，B坐标；如果不存在，请说明理由. 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1 2 3 5 6 1 8 B 0 0 0 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9 10 11 AC AB ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.5 13.28 4( 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【解析】(1)由题意得BC=AD=b,CC=AA=c, AC=AB+BC+CC=a+b+c,- -2分 AC:=(a+b+e)-d+b'+c+2a-b+2b-c+2a-c =22+42+62+2×2×4c0s60°+2×4×6c0s60°+2×2×6c0s60° =4+16+36+8+24+12=100, -5分 故4C=10； 6分 (2)CB=CB+BB,=-b+c. AC-CB=(a+b+c-(-b+e)=-a.b+a.c-b'+b.c-b.c+c =-a-b+a:c-b2+c2=-2×4c0s60°+2x6c0s60°-4+6 试卷第5页，共5页 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 =-4+6-16+36=22, 8分 CB=(-i+c=万-26.c+c=16-2×4×6c0s60°+36=28， 放CB=2W万， -10分 设异面直线AC,与CB所成角的大小为9， ACCB 22 则cos0 1V万 AC·CB 10×2√770 --12分 故异面直线AC,与Cg所成角的余弦值为1厅 -13分 70 16.(15分) 【解析】设直线I夹在直线4,42之间的线段是AB,(A在4上，B在马上) 设(x,),Bx,),因为AB被点P平分， 所以x1+x2=4,片+y2=0,，于是x2=4-x乃2=-当 4分 由于A在（上，B在Z上， [2x-片-2=0 所以4-)-+3=0解得=3=4： -10分 即A的坐标是(3,4，而P2,0), =4-0=4,利用点斜式得：y=4x-2),即4-y-8=0.-14分 kP=3-2 所以直线1的方程是：4x-y-8=0 -15分 17.(15分) 【解析】(1)证明：因为AC2+BC2=16=AB2,所以BC上AC,--2分 同理可得BC2+SC2=SB2,故BC1SC, 4分 因为SC∩AC=C,AC,SCc平面SAC,所以BC⊥平面SAC -5分 因为BCc平面ABC,故平面SAC⊥平面ABC.-- -6分 (2)以C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系 -7分 因为D5=BS 试卷第5页，共5页 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 B 则c0.001,425a0,B0,2E,0y,5w5.0.2,D45,2542 5,5,5 --8分 所以S7=(W2,0,-2),B丽=(2，-2W2,5),CD= 4v22W242 555 -9分 设方=(x,,)为平面SAB的法向量， 则 i=0,即 √2x-√2z=0, 令x=1,得i=(1,l,1) -12分 Bs-i=0,2x-2W2y+√2z=0. 设直线CD与平面SAB所成的角为0， 则sin6cos(CD,F 1D.=22-55 C1-62x5 9， -14分 5 所以直线CD与平面SAB所成角的正弦值为5 -15分 9 18.(17分) 【解析】(1)：圆C的方程的圆心坐标为 引径=2D --2分 4 ·由圆心在x轴上，圆关于直线x+y-2=0对称得到，E=0, D_E-2=0 22 :E=0,D=-4,4所求圆C的标准方程为(x-2)2+y2=16, -6分 (2)①如下图所示，过点M引圆C的两条切线MA、MB,切点分别为A、B, :.CA L MA,CB L MB,MA =MB=MC-16, -7分 5we=25aw=2×分×C4xM4=4MG-16, -9分 ·当MC最小时，四边形的面积最小， :当点M在x轴上时MC=8, 此时S的最小值为4V82-16=16√5. -11分 试卷第5页，共5页 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 ②设点MI0,m,:四点MBCA共圆，即点A、B在以CM为直径的圆上， 该颗的国心为6》，半径为0-2+m 2 (x-+0y-四2=。，即x-12x+y2-my+20=0, -13分 4 :AB是圆C与以MC为直径的圆的公共弦， :直线AB的方程为两圆公共弦方程，两圆方程联立消去二次项， 得到8x+my-32=0,- -15分 ,y=0时，x=4, ·无论m取何值直线8x+y-32=0恒过点(4,0)， -17分 19.(17分) 【解析】(1)方法一：设焦点F(-a,0),Fa,0)(a>0), 曲线C:x2+y=9x2-y）与x轴正半轴交于点P3,0), 由题意知PF PF.-(3+aj(3-a)=9-a2=a2,于是a2=9 -4分 2 -6分 方法二：设焦点F(-a,0),F,(a,0j(a>0), 题意知[x+a+y][x-a+y]=a, p[(x2+a2+y）+2ax][(x2+a2+y2）-2ar]=a, -2分 试卷第5页，共5页 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 整理得(+y-2a(-P,于是a-号=3 4分 因，9小0 -6分 (2)假设曲线C上存在两点A,B,使得以AB为直径的圆过坐标原点O,即OA⊥OB, 由题意知直线OA,OB斜率均存在， --7分 不妨设直线OA的方程为y=kx,直线OB的方程为y=kx,- 9分 将直线01的方程与曲线C联立，1+=9r1-),即r-91- (1+7 >0.-13分 解得-1<k<1,同理-1<k,<1, --15分 因此kk=-1不可能成立，于是假设不成立， 即曲线C上不存在两点A,B,使得以AB为直径的圆过坐标原点O.-----17分 试卷第5页，共5页