高一数学期中模拟卷01（新高考地区专用，集合与逻辑+不等式+函数+指数函数）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期期中模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数+指数函数。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． 或 C．是奇函数 D．是偶函数 5．已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数=，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知奇函数的定义域为，在区间上单调递增，，且为偶函数.若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 10．下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为 C．已知，则的最小值为3 D．若正数满足，则的最小值是4 11．已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 13．已知函数，则 . 14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是 ． ①函数的最大值为；                         ②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；     ④. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）求值：； （2）已知，求值：. 16．（15分） 已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 17．（15分） 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 18．（17分） 已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明； (3)，使得成立，求实数的取值范围. 19．（17分） 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． (1)已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数+指数函数。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】因为命题，，所以：，. 故选：C 2．已知全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误. B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误. C中，，错误. D中，由，则，，正确. 故选：D． 3．已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，此时，即可以推出， 若，所以，得到，所以推不出， 即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． 或 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【详解】函数为幂函数，则，解得或. 当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A，B； 所以，定义域关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 5．已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】关于的不等式的解集是或， ∴1和3是方程的两个实数根，且． 则解得 所以不等式等价于，即， 解得． 所以不等式的解集是 故选:B． 6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由题意得，函数为奇函数，且定义域为， 由奇函数的性质得，，解得，经过检验符合题意， 所以当时，， 所以. 故选：D. 7．已知函数=，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意，都有成立， 所以为上的增函数， 所以，解得，即， 故选：C. 8．已知奇函数的定义域为，在区间上单调递增，，且为偶函数.若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由为上的奇函数，则关于点对称，则， 又为偶函数，则，故关于对称，则， 则，是周期为4的周期函数， 又在区间上单调递增，因此在区间上单调递减， 又，则，因此， 又关于的不等式对恒成立，则， 因此，可得，， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【详解】A选项，对于，令，则，则， 所以，即的定义域为，A选项正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项正确； 对于D，由可得， 所以由可得，D选项正确； 故选：ACD. 10．下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为 C．已知，则的最小值为3 D．若正数满足，则的最小值是4 【答案】ACD 【详解】对于A，，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为.故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为3. 故B错误； 对于C，因为，，， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为3.故C正确； 对于D，因为，，，所以， 则， 当且仅当即时等号成立，此时， 所以的最小值为4.故D正确. 故选：ACD. 11．已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 【答案】ABD 【详解】A选项，中，令得，， 又，故， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项，，， 又，故， 又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】解：，， 因为p是q的充分不必要条件，所以， 则，即. 经检验满足条件. 故答案为： . 13．已知函数，则 . 【答案】3 【详解】，， 故答案为：3 14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是 ． ①函数的最大值为；                         ②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；     ④. 【答案】②③④ 【详解】由题意得：， 由解析式可得函数图形如下图所示，    对于①，函数，①错误；对于②：函数的最小值为，②正确； 对于③，函数的图象与直线有无数个交点，③正确； 对于④，函数满足，④正确； 故答案为：②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）求值：； （2）已知，求值：. 【详解】（1）原式...........................6分 （2）由，而，.................................................9分 则，故..........................................................13分 16．（15分）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【详解】（1）由题设，则，........................................................3分 或，则...............................................................................6分 （2）由，.....................................................................................................8分 若时，，满足；.............................................................................10分 若时，；..................................................................................14分 综上，..................................................................................................................................15分 17．（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称， 则函数图象如图所示． ...............................................................2分 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；....4分 （2）根据题意， 令，则，则， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 即，....................................................................................6分 所以.........................................................................8分 （3）当时，， 则， 其对称轴为，..............................................................................9分 当时，即，则，...........................11分 当时，即，则，............................13分 故.............................................................................15分 18．（17分）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明； (3)，使得成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为，,定义域关于原点对称， 令，所以，故，...................................................................2分 则，， 所以为定义在上的奇函数，故...................................................................4分 （2）是上的增函数. 证明：任取，且， ，......6分 因为，所以，，， 所以， ， 所以，即， 所以是上的增函数........................................................................................................9分 （3）当时，不等式即，...................................11分 故， 则令，由题意可知，，....................................................13分 因为函数，为上的增函数， 故在上单调递增， 故， 所以....................................................................................................................................17分 19．（17分）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． (1)已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 【详解】（1）对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立，又， 是倒函数，............................................................................................................3分 对于，定义域为， 故当时，，不符合倒函数的定义， 所以不是倒函数；.....................................................................................................6分 （2）因为，又是上的倒函数， 所以，所以， 故，.................................................................9分 充分性：当时，且，又在上是严格增函数， 所以，， 所以，，故..............................................12分 必要性：当时， 有 ，.............................................................................................15分 又恒大于0，所以， 因为，所以， 因为在上是严格增函数．所以，即有成立. 综上所述：是的充要条件．..................................................................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9 10 11 ACD ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.1,J 13.3 14.②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【详解】(1)原式=4P--2×x22+25×25=2-4×+2=4-1=3…6分 (2)由+a=3a>0而a+a=+ay-2=7,9分 则。2+02=0+ay-2=4初，故g+a-47=6.…1B分 a+a+17+1 16.(15分) 【详解】(1)由题设B={3,则AUB={x-3<x≤4}，3分 RA={xx≤-3或x>4},则(RA）B=06分 (2)由AUB=ABA,8分 若B=⑦时，素+1>2k-1→k<2,满足：10分 [k+1≤2k-1 5 若B≠O时， k+1>-3→2sks 214分 2k-1≤4 综上，ks5 15分 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 17.(15分) 【详解】(1)函数∫(x)是定义在R上的奇函数，即函数f(x)的图象关于原点对称， 则函数f()图象如图所示. 2分 02 故函数的单调递减区间为(-0，-2)，(2，+0)，单调递增区间为(-2,2)：4分 (2)根据题意， 令x>0,则-x<0,则f(-)=x2-4x, 又因为函数∫(x)是定义在R上的奇函数， 所以-f(x)=f(-x)=x2-4x, 即f(x)=-x2+4x,6分 x2+4x,x≤0 所以f(x)= -x2+4x,x>0 …8分 (3)当x∈[2,4时，f(x)=-x2+4x, 则g(x)=-x2+4.x+(3-a)x+4=-x2+(7-a)x+4, 其对称轴为x)0,9分 当7-0<3时，即a>1,则g()。=g(4)=16-4a,11分 2 当7，之3时，即a51,则g)。=g(2)=14-2a,13分 2 16-4a,a>1 故g(x)mn= 4-2agS.15分 18.(17分) 【详解】(1)因为f=20+a-4a>0,a≠小，xER,定义域关于原点对称， 2a'+a x=0,所以f0=0-2=0,故a=2,… 2分 2+a ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 测-e.-, 2+11+22"+1 所以f八x为定义在R上的奇函数，故a=24分 （2》儿号是R上的增函最 证明：任取x,x2∈R,且x<, f(x)-f(x)- 2-129-1(24-25+-2-2*+1_2(24-2） 2+129+1 (2+1(2+ (2+1)(2+1 ，6分 因为x<x,所以2+1>0,2+1>0,0<2<2， 所以2-2<0，(2+1(25+1>0， 所以f(x)-fx2)<0,即f)<fx, 所以f(x是R上的增函数9分 3)当xe1,2列时，不等式可到≥2”-2即1≥2-22+ …11分 2*-1 e小 2 则令y=2-1,由题意可知3v∈l,3,1之v-二+1,13分 因为函数y=x,y=-2为1,3)上的增函数， 故y=v-2+1在ve山，上单调递增， =1-2+1=0, 所以12017分 19.(17分) 【详解】(1)对于f)=2',定义域为R,显然定义域D中任意实数x有-x∈D成立，又 f(x)f(-x)=2.2=1, ∫(x)=2是倒函数， 3分 对于g(x)= 1+x ,定义域为{xx, 1-x ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 故当x=-1时，-x=1{xx≠}，不符合倒函数的定义， 所以8告不是例函数， 6分 2因为F)/倒17店，又y=田是R上的倒函数 f(x) 所以-0=高所以F国=八 故F(）+F(x3)=f(x)f(-x)+f(x)-∫(-x3),9分 充分性：当x+x2>0时，x>-x,且x2>-x,又(x)在R上是严格增函数， 所以f(x)>f(-x),f(x)>f(-x), 所以f(x)-f（-x,)>0,f(x,)-f(-x)>0,故F(x）+F(x)>012分 必要性：当F(x)+F(x)>0时， 有高) f(x)f(x:) =/)+f小/)- f(x)f(x) >0,15分 又f(x)恒大于0，所以f(x)f(x)>1=f(x)f(-x), 因为f(x)>0,所以f(x)>f(-x) 因为∫(x)在R上是严格增函数.所以x2>-x,即有x+x:>0成立 综上所述：无+X2>0是F(:)+F(x)>0的充要条件.17分 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 4 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学上学期期中模拟卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数+指数函数。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．命题 : 2p x  ， 2 1 0x   ，则 p 是（ ） A． 2x  ， 2 1 0x   B． 2x  ， 2 1 0x   C． 2x  ， 2 1 0x   D． 2x  ， 2 1 0x   2．已知全集为 R，集合  0 1A x x   ，  2B x x  ，则（ ） A． A B B．B A C． A B  R D．  RA B A  3．已知集合  1 2A x x    ，  1B x a x a     ，则“ 1a  ”是“ A B ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．幂函数    2 3 3 mf x m m x   在区间  0,  上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A． 4m  B． 4m  或 1m   C．  f x 是奇函数 D．  f x 是偶函数 5．已知关于 x的不等式 2 0ax bx c   的解集是{ 1x x  或 3}x  ，则不等式 2 0bx ax c  ≥ 的解集是（ ） A． 3 1 4 x x         B． 3 1 4 x x         C．  3, 1, 4        D．   3, 1 , 4       6．已知函数  f x 是定义在𝑅上的奇函数，当 0x  时，   5 3 1f x x x a     ，则  f a 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数  f x =   , 0 2 3 , 0 xa x a x a x       ，满足对任意 1 2x x ，都有    1 2 1 2 0 f x f x x x    成立，则 a的取值范围 是（ ） A．  0,1a B． 10, 3 a     C．  2,a  D． 3 ,2 4 a     8．已知奇函数  f x 的定义域为R ，  f x 在区间 11 ，上单调递增，  1 2f  ，且  1f x 为偶函数.若关 于 x的不等式   2f x a  对 x R恒成立，则实数a取值范围是（ ） A． 1a  B． 2a  C． 0a  D． 2a  二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列说法正确的是（ ） A．函数  1f x  的定义域为 2,2 ，则函数  f x 的定义域为 1,3 B．   2x f x x  和  g x x 表示同一个函数 C．函数 2 1 3 y x   的值域为 0, 1 3      D．定义在R 上的函数  f x 满足    2 1f x f x x    ，则   1 3 x f x   10．下列说法正确的是（ ） A．若 1 0 2 x  ，则  1 2x x 的最大值为 1 8 B．函数 2 3 3 ( 1) 1 x x y x x       的最小值为2 C．已知 1, 0, 0x y x y    ，则 1y x y  的最小值为 3 D．若正数 ,x y满足 2 2 0x xy   ，则3x y 的最小值是 4 11．已知定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) ( )f x y f x f y   ，当 0x  时， ( ) 0f x  ， (2) 4f  ，则（ ） A． (5) 10f  B． ( )f x 为奇函数 C． ( )f x 在 R 上单调递减 D．当 1x   时， ( ) 2 (2 )f x f x  试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 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(1)当 2k  时，求  R,A B A B  ； (2)若 A B A ，求 k的取值范围． 17．（15 分） 已知函数  f x 是定义在R 上的奇函数，且当 0x  时，   2 4f x x x  ，函数  f x 在 y 轴左侧的图象如图所 示，请根据图象； (1)画出  f x 在 y 轴右侧的图象，并写出函数   f x xR 的单调区间； (2)写出函数   f x xR 的解析式； (3)若函数         3 4 2,4g x f x a x x     ，求函数  g x 的最小值. 18．（17 分） 已知函数    2 4 0, 1 2 x x a a f x a a a a       是定义在R 上的奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断  f x 在定义域上的单调性，并用单调性定义证明； (3)  1,2x  ，使得   2 2xt f x   成立，求实数 t的取值范围. 19．（17 分） 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函 数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数 ( )y f x ，如果对于其定义域D中任意给定的实数 x， 都有 x D  ，并且 ( ) ( ) 1f x f x   ，就称函数 ( )y f x 为倒函数． (1)已知 ( ) 2xf x  , 1 ( ) 1 x g x x    ,判断 ( )y f x 和 ( )y g x 是不是倒函数，并说明理由； (2)若 ( )y f x 是R 上的倒函数，其函数值恒大于 0，且在R 上是严格增函数．记   2 ( ) 1 ( ) ( ) f x F x f x   ，证明： 1 2 0x x  是 1 2( ) ( ) 0F x F x  的充要条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数+指数函数。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．命题 : 2p x  ， 2 1 0x   ，则 p 是（ ） A． 2x  ， 2 1 0x   B． 2x  ， 2 1 0x   C． 2x  ， 2 1 0x   D． 2x  ， 2 1 0x   2．已知全集为 R，集合  0 1A x x   ，  2B x x  ，则（ ） A． A B B．B A C． A B  R D．  RA B A  3．已知集合  1 2A x x    ，  1B x a x a     ，则“ 1a  ”是“ A B ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．幂函数    2 3 3 mf x m m x   在区间  0,  上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A． 4m  B． 4m  或 1m   C．  f x 是奇函数 D．  f x 是偶函数 5．已知关于 x的不等式 2 0ax bx c   的解集是{ 1x x  或 3}x  ，则不等式 2 0bx ax c  ≥ 的解集是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A． 3 1 4 x x         B． 3 1 4 x x         C．  3, 1, 4        D．   3, 1 , 4       6．已知函数  f x 是定义在𝑅上的奇函数，当 0x  时，   5 3 1f x x x a     ，则  f a 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数  f x =   , 0 2 3 , 0 xa x a x a x       ，满足对任意 1 2x x ，都有    1 2 1 2 0 f x f x x x    成立，则 a的取值范围 是（ ） A．  0,1a B． 10, 3 a     C．  2,a  D． 3 ,2 4 a     8．已知奇函数  f x 的定义域为R ，  f x 在区间 11 ，上单调递增，  1 2f  ，且  1f x 为偶函数.若关于 x的不等式   2f x a  对 x R恒成立，则实数 a取值范围是（ ） A． 1a  B． 2a  C． 0a  D． 2a  二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．函数  1f x  的定义域为 2, 2 ，则函数  f x 的定义域为 1,3 B．   2x f x x  和  g x x 表示同一个函数 C．函数 2 1 3 y x   的值域为 0, 1 3      D．定义在R 上的函数  f x 满足    2 1f x f x x    ，则   1 3 x f x   10．下列说法正确的是（ ） A．若 1 0 2 x  ，则  1 2x x 的最大值为 1 8 B．函数 2 3 3 ( 1) 1 x x y x x       的最小值为2 C．已知 1, 0, 0x y x y    ，则 1y x y  的最小值为 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 D．若正数 ,x y满足 2 2 0x xy   ，则3x y 的最小值是 4 11．已知定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) ( )f x y f x f y   ，当 0x  时， ( ) 0f x  ， (2) 4f  ，则（ ） A． (5) 10f  B． ( )f x 为奇函数 C． ( )f x 在 R 上单调递减 D．当 1x   时， ( ) 2 (2 )f x f x  第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知 : 2 2p a x a    ， 1 7q x  ： ，若 p是 q的充分不必要条件，则实数 a的取值范围是 . 13．已知函数   4 2 1 3 1x x x f x x      ， ， ，则 3 4 f f          . 14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为 世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数 x，符号 x 表示不超过 x的最大整数，则  y x 称为高斯函数，例如  3  ， 1.08 2   ，定义函数    f x x x  ，则下列命题中正确的序号是 ． ①函数  f x 的最大值为1； ②函数  f x 的最小值为0； ③函数  y f x 的图象与直线 1 2 y  有无数个交点； ④    1f x f x  . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） （1）求值：   3 12 11 20 33 320.25 2 16 2 2 4                     ； （2）已知 1 1 2 2 3( 0)a a a     ，求值： 2 2 1 1 1 a a a a       . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 16．（15 分） 已知集合 { | 3 4}   A x x ，集合  | 1 2 1B x k x k     . (1)当 2k  时，求  R,A B A B  ； (2)若 A B A ，求 k的取值范围． 17．（15 分） 已知函数  f x 是定义在R 上的奇函数，且当 0x  时，   2 4f x x x  ，函数  f x 在 y 轴左侧的图象如图所 示，请根据图象； (1)画出  f x 在 y 轴右侧的图象，并写出函数    f x xR 的单调区间； (2)写出函数    f x xR 的解析式； (3)若函数         3 4 2,4g x f x a x x     ，求函数  g x 的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 18．（17 分） 已知函数    2 4 0, 1 2 x x a a f x a a a a       是定义在R 上的奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断  f x 在定义域上的单调性，并用单调性定义证明； (3)  1,2x  ，使得   2 2xt f x   成立，求实数 t的取值范围. 19．（17 分） 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函 数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数 ( )y f x ，如果对于其定义域D中任意给定的实数 x， 都有 x D  ，并且 ( ) ( ) 1f x f x   ，就称函数 ( )y f x 为倒函数． (1)已知 ( ) 2xf x  , 1 ( ) 1 x g x x    ,判断 ( )y f x 和 ( )y g x 是不是倒函数，并说明理由； (2)若 ( )y f x 是R 上的倒函数，其函数值恒大于 0，且在R 上是严格增函数．记   2 ( ) 1 ( ) ( ) f x F x f x   ，证明： 1 2 0x x  是 1 2( ) ( ) 0F x F x  的充要条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高一数学上学期期中模拟卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数+指数函数。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．命题 : 2p x  ， 2 1 0x   ，则 p 是（ ） A． 2x  ， 2 1 0x   B． 2x  ， 2 1 0x   C． 2x  ， 2 1 0x   D． 2x  ， 2 1 0x   【答案】C 【详解】因为命题 : 2p x  ， 2 1 0x   ，所以 p ： 2x  ， 2 1 0x   . 故选：C 2．已知全集为 R，集合  0 1A x x   ，  2B x x  ，则（ ） A． A B B．B A C． A B  R D．  RA B A  【答案】D 【详解】A中，显然集合 A并不是集合 B的子集，错误. B中，同样集合 B并不是集合 A的子集，错误. C中， (0,1) (2, )A B    ，错误. D中，由  2B x x  ，则  2RB x x  ，  RA B A  ，正确. 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 3．已知集合  1 2A x x    ，  1B x a x a     ，则“ 1a  ”是“ A B ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】当 1a  时，  1 2B x x    ，此时 A B ，即 1a  可以推出 A B ， 若 A B ，所以 1 1 2 a a       ，得到 1a  ，所以 A B 推不出 1a  ， 即“ 1a  ”是“ A B ”的充分不必要条件， 故选：A. 4．幂函数    2 3 3 mf x m m x   在区间  0,  上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A． 4m  B． 4m  或 1m   C．  f x 是奇函数 D．  f x 是偶函数 【答案】C 【详解】函数    2 3 3 mf x m m x   为幂函数，则 2 3 3 1m m   ，解得 4m  或 1m   . 当 4m  时，   4f x x 在区间(0,+∞)上单调递增，不满足条件，排除 A，B； 所以   1f x x  ，定义域 | 0x x  关于原点对称，且 1( ) ( )f x f x x      ， 所以函数 ( )f x 是奇函数，不是偶函数，故 C 正确，D 错误. 故选：C. 5．已知关于 x的不等式 2 0ax bx c   的解集是{ 1x x  或 3}x  ，则不等式 2 0bx ax c  ≥ 的解集是（ ） A． 3 1 4 x x         B． 3 1 4 x x         C．  3, 1, 4        D．   3, 1 , 4       【答案】B 【详解】关于 x的不等式 2 0ax bx c   的解集是{ 1x x  或 3}x  ， ∴ 1 和 3 是方程 2 0ax bx c   的两个实数根，且 0a  ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 则 1 3 , 1 3 , b a c a          解得 4 , 3 . b a c a     所以不等式 2 0bx ax c  ≥ 等价于 24 3 0( 0)ax ax a a     ，即 24 3 0x x   ， 解得 3 1 4 x   ． 所以不等式 2 0bx ax c  ≥ 的解集是 3 1 4 x x         故选:B． 6．已知函数  f x 是定义在𝑅上的奇函数，当 0x  时，   5 3 1f x x x a     ，则  f a 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由题意得，函数 ( )f x 为奇函数，且定义域为R ， 由奇函数的性质得，  0 1 0f a   ，解得 1a  ，经过检验符合题意， 所以当 0x  时，   5 3f x x x   ， 所以        1 1 3 4f a f a f          . 故选：D. 7．已知函数  f x =   , 0 2 3 , 0 xa x a x a x       ，满足对任意 1 2x x ，都有    1 2 1 2 0 f x f x x x    成立，则 a的取值范围 是（ ） A．  0,1a B． 10, 3 a     C．  2,a  D． 3 ,2 4 a     【答案】C 【详解】因为对任意 1 2x x ，都有    1 2 1 2 0 f x f x x x    成立， 所以  f x 为R 上的增函数， 所以  0 1 2 0 2 0 3 a a a a a           ，解得 2a  ，即  2,a  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 故选：C. 8．已知奇函数  f x 的定义域为R ，  f x 在区间 11 ，上单调递增，  1 2f  ，且  1f x 为偶函数.若关于 x的不等式   2f x a  对 x R恒成立，则实数 a取值范围是（ ） A． 1a  B． 2a  C． 0a  D． 2a  【答案】C 【详解】由  f x 为R 上的奇函数，则  f x 关于点  0,0 对称，则    f x f x   ， 又  1f x 为偶函数，则    1 1f x f x   ，故  f x 关于 1x  对称，则      2f x f x f x     ， 则      4 2f x f x f x     ，  f x 是周期为 4 的周期函数， 又  f x 在区间 11 ，上单调递增，因此  f x 在区间 1,3 上单调递减， 又  1 2f  ，则    1 3 2f f    ，因此    2,2f x   ， 又关于 x的不等式   2f x a  对 x R恒成立，则   max 2a f x     ， 因此，可得 2 2a   ， 0a  ， 故选：C. 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．函数  1f x  的定义域为 2, 2 ，则函数  f x 的定义域为 1,3 B．   2x f x x  和  g x x 表示同一个函数 C．函数 2 1 3 y x   的值域为 0, 1 3      D．定义在R 上的函数  f x 满足    2 1f x f x x    ，则   1 3 x f x   【答案】ACD 【详解】A 选项，对于  1f x  ，令 1t x  ，则  1 2, 2x t    ，则  1,3t  ， 所以  f t ，即  f x 的定义域为 1,3 ，A 选项正确； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 对于 B，  f x 的定义域为 0x x  ，  g x 的定义域为R ，不是同一个函数，B 选项不正确； 对于 C，因为 2 3 3x   ，所以 2 1 1 0 3 3x    ，即函数 2 1 3 y x   的值域为 1 0, 3      ，C 选项正确； 对于 D，由    2 1f x f x x    可得    2 1f x f x x     ， 所以由         2 1 2 1 f x f x x f x f x x            可得   1 3 x f x   ，D 选项正确； 故选：ACD. 10．下列说法正确的是（ ） A．若 1 0 2 x  ，则  1 2x x 的最大值为 1 8 B．函数 2 3 3 ( 1) 1 x x y x x       的最小值为2 C．已知 1, 0, 0x y x y    ，则 1y x y  的最小值为 3 D．若正数 ,x y满足 2 2 0x xy   ，则3x y 的最小值是 4 【答案】ACD 【详解】对于 A， 1 0 2 x  ， 1 2 0x   ，     2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 8 x x x x x x              ， 当且仅当2 1 2x x  ，即 1 4 x  时，等号成立， 所以  1 2x x 的最大值为 1 8 .故 A 正确； 对于 B，因为 1x   ，所以 1 0x   ， 所以       22 1 1 13 3 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 1 1 x xx x y x x x x x x                      ， 当且仅当 1 1 1 x x    ，即 0x  时等号成立，所以函数 2 3 3 1 x x y x     的最小值为 3. 故 B 错误； 对于 C，因为 1x y  ， 0x  ， 0y  ， 所以 1 1 2 1 3 y y x y y x y x x y x y x y x y            ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 当且仅当 y x x y  即 1 2 x y  时等号成立，所以 1y x y  的最小值为 3.故 C 正确； 对于 D，因为 2 2 0x xy   ， 0x  ， 0y  ，所以 2 y x x ， 则 2 2 2 3 3 2 2 2 4x y x x x x x x x          ， 当且仅当 2 2x x  即 1x  时等号成立，此时 1y  ， 所以3x y 的最小值为 4.故 D 正确. 故选：ACD. 11．已知定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) ( )f x y f x f y   ，当 0x  时， ( ) 0f x  ， (2) 4f  ，则（ ） A． (5) 10f  B． ( )f x 为奇函数 C． ( )f x 在 R 上单调递减 D．当 1x   时， ( ) 2 (2 )f x f x  【答案】ABD 【详解】A 选项， ( ) ( ) ( )f x y f x f y   中，令 1x y  得， (2) (1) (1)f f f  ， 又 (2) 4f  ，故  1 2f  ， 令 ( ) ( ) ( )f x y f x f y   中，令 2x y  得 (4) (2) (2) 8f f f   ， 令 4, 1x y  得 (4 1) (4) (1) 8 2 10f f f      ，即 (5) 10f  ，A 正确； B 选项， ( ) ( ) ( )f x y f x f y   中，令 0x y  得 (0) (0) (0)f f f  ，解得  0 0f  ， ( ) ( ) ( )f x y f x f y   中，令 y x  得  ( ) ( ) 0 0f x f x f    ， 故 ( )f x 为奇函数，B 正确； C 选项， ( ) ( ) ( )f x y f x f y   中，令 1 2 1,x x y x x   ，且 2 1x x ， 故 1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( )f x x x f x f x x     ，即 2 1 2 1( ) ( ) ( )f x f x f x x   ， 当 0x  时， ( ) 0f x  ，故 2 1 2 1( ) ( ) ( ) 0f x f x f x x    ， 即 2 1( ) ( )f x f x ，故 ( )f x 在 R 上单调递增，C 错误； D 选项，  1 2f  ，    ( ) 2 1 ( 1)f x f x f f x     ， 又 1x   ，故 1 2x x  ， 又 ( )f x 在 R 上单调递增，所以 ( ) 2 (2 )f x f x  ，D 正确. 故选：ABD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知 : 2 2p a x a    ， 1 7q x  ： ，若 p是 q的充分不必要条件，则实数 a的取值范围是 . 【答案】[1,5] 【详解】解： : 2 2p a x a    ， 1 7q x  ： ， 因为 p是 q的充分不必要条件，所以    2, 2 1,7a a   ， 则 2 7 2 1 a a       ，即1 5a  . 经检验满足条件. 故答案为：[1,5] . 13．已知函数   4 2 1 3 1x x x f x x      ， ， ，则 3 4 f f          . 【答案】3 【详解】 3 3 4 2 1 4 4 f          ，   11 3 3f   ， 故答案为：3 14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为 世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数 x，符号 x 表示不超过 x的最大整数，则  y x 称为高斯函数，例如  3  ， 1.08 2   ，定义函数    f x x x  ，则下列命题中正确的序号是 ． ①函数  f x 的最大值为1； ②函数  f x 的最小值为0； ③函数  y f x 的图象与直线 1 2 y  有无数个交点； ④    1f x f x  . 【答案】②③④ 【详解】由题意得：     2, 2 1 1, 1 0 ,0 1 1,1 2 2,2 3 x x x x f x x x x x x x x x                             ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 由解析式可得函数图形如下图所示， 对于①，函数   1f x  ，①错误；对于②：函数  f x 的最小值为0，②正确； 对于③，函数 ( )y f x 的图象与直线 1 2 y  有无数个交点，③正确； 对于④，函数  f x 满足    1f x f x  ，④正确； 故答案为：②③④ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）（1）求值：   3 12 11 20 33 320.25 2 16 2 2 4                     ； （2）已知 1 1 2 2 3( 0)a a a     ，求值： 2 2 1 1 1 a a a a       . 【详解】（1）原式   1 21 2 2 3 32 1 4 2 1 2 2 2 2 4 2 4 1 3 4               ...........................6 分 （2）由 1 1 2 2 3( 0)a a a     ，而 1 1 1 22 2( ) 2 7a a a a      ，.................................................9 分 则 2 2 1 2( ) 2 47a a a a      ，故 2 2 1 1 47 1 6 1 7 1 a a a a           ..........................................................13 分 16．（15 分）已知集合 { | 3 4}   A x x ，集合  | 1 2 1B x k x k     . (1)当 2k  时，求  R,A B A B  ； (2)若 A B A ，求 k的取值范围． 【详解】（1）由题设  3B  ，则 { | 3 4}A B x x     ，........................................................3 分 R { | 3A x x   或 4}x  ，则  A B R  ...............................................................................6 分 （2）由 A B A B A    ，.....................................................................................................8 分 若B 时， 1 2 1 2k k k     ，满足；.............................................................................10 分 若B  时， 1 2 1 5 1 3 2 2 2 1 4 k k k k k              ；..................................................................................14 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 综上， 5 2 k  ..................................................................................................................................15 分 17．（15 分）已知函数  f x 是定义在R 上的奇函数，且当 0x  时，   2 4f x x x  ，函数  f x 在 y 轴左侧 的图象如图所示，请根据图象； (1)画出  f x 在 y 轴右侧的图象，并写出函数    f x xR 的单调区间； (2)写出函数    f x xR 的解析式； (3)若函数         3 4 2,4g x f x a x x     ，求函数  g x 的最小值. 【详解】（1）函数 ( )f x 是定义在R 上的奇函数，即函数 ( )f x 的图象关于原点对称， 则函数 ( )f x 图象如图所示． ...............................................................2 分 故函数的单调递减区间为 ( , 2), (2, )   ，单调递增区间为 ( 2,2) ；....4 分 （2）根据题意， 令 0x  ，则 0x  ，则 2( ) 4f x x x   ， 又因为函数 ( )f x 是定义在R 上的奇函数， 所以 2( ) ( ) 4f x f x x x     ， 即 2( ) 4f x x x   ，....................................................................................6 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 所以 2 2 4 , 0 ( ) 4 , 0 x x x f x x x x         .........................................................................8 分 （3）当 [2, 4]x 时， 2( ) 4f x x x   ， 则 2 2( ) 4 (3 ) 4 (7 ) 4g x x x a x x a x           ， 其对称轴为 7 2 a x   ，..............................................................................9 分 当 7 3 2 a  时，即 1a  ，则 min( ) (4) 16 4g x g a   ，...........................11 分 当 7 3 2 a  时，即 1a  ，则 min( ) (2) 14 2g x g a   ，............................13 分 故 min 16 4 , 1 ( ) 14 2 , 1 a a g x a a       .............................................................................15 分 18．（17 分）已知函数    2 4 0, 1 2 x x a a f x a a a a       是定义在R 上的奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断  f x 在定义域上的单调性，并用单调性定义证明； (3)  1,2x  ，使得   2 2xt f x   成立，求实数 t的取值范围. 【详解】（1）因为    2 4 0, 1 2 x x a a f x a a a a       ， Rx ,定义域关于原点对称， 令 0x  ，所以   20 0 2 a f a     ，故 2a  ，...................................................................2 分 则    2 1 R 2 1 x x f x x     ，    2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 x x x x x x f x f x                ， 所以  f x 为定义在R 上的奇函数，故 2a  ...................................................................4 分 （2）   2 1 2 1 x x f x    是R 上的增函数. 证明：任取 1 2, Rx x  ，且 1 2x x ，                   1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x xx x x x x x x x f x f x                   ，......6 分 因为 1 2x x ，所以 12 1 0x   ， 22 1 0x   ， 1 20 2 2x x  ， 所以 1 22 2 0x x  ，   1 22 1 2 1 0x x   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 所以    1 2 0f x f x  ，即    1 2f x f x ， 所以  f x 是R 上的增函数........................................................................................................9 分 （3）当  1,2x 时，不等式  · 2 2xt f x   即   2 2 2 1 2 1 x x x t     ，...................................11 分 故     2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 x x x x x t          ， 则令 2 1xv   ，由题意可知  1,3v  ， 2 1t v v    ，....................................................13 分 因为函数 y x ， 2 y x   为 1,3 上的增函数， 故 2 1y v v    在  1,3v 上单调递增， 故 min 2 2 1 1 1 0 1 v v           ， 所以 0t  ....................................................................................................................................17 分 19．（17 分）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研 究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数 ( )y f x ，如果对于其定义域D中任意给定 的实数 x，都有 x D  ，并且 ( ) ( ) 1f x f x   ，就称函数 ( )y f x 为倒函数． (1)已知 ( ) 2xf x  , 1 ( ) 1 x g x x    ,判断 ( )y f x 和 ( )y g x 是不是倒函数，并说明理由； (2)若 ( )y f x 是R 上的倒函数，其函数值恒大于 0，且在R 上是严格增函数．记   2 ( ) 1 ( ) ( ) f x F x f x   ，证明： 1 2 0x x  是 1 2( ) ( ) 0F x F x  的充要条件． 【详解】（1）对于 ( ) 2xf x  ，定义域为R ，显然定义域D中任意实数 x有 x D  成立，又 ( ) ( ) 2 2 1x xf x f x     ， ( ) 2xf x  是倒函数，............................................................................................................3 分 对于 1 ( ) 1 x g x x    ，定义域为{ | 1}x x  ， 故当 = 1x  时， 1 { | 1}x x x    ，不符合倒函数的定义， 所以 1 ( ) 1 x g x x    不是倒函数；.....................................................................................................6 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 （2）因为   2 ( ) 1 ( ) ( ) f x F x f x   1 ( ) ( ) f x f x   ，又 ( )y f x 是R 上的倒函数， 所以 1 ( ) ( ) f x f x   ，所以 ( ) ( ) ( )F x f x f x   ， 故 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x F x f x f x f x f x       ，.................................................................9 分 充分性：当 1 2 0x x  时， 1 2x x  且 2 1x x  ，又 ( )f x 在R 上是严格增函数， 所以 1 2( ) ( )f x f x  ， 2 1( ) ( )f x f x  ， 所以 1 2( ) ( ) 0f x f x   ， 2 1( ) ( ) 0f x f x   ，故 1 2( ) ( ) 0F x F x  ..............................................12 分 必要性：当 1 2( ) ( ) 0F x F x  时， 有 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x    1 21 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x f x f x       1 21 2 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x f x f x     0 ，.............................................................................................15 分 又 ( )f x 恒大于 0，所以 1 2( ) ( ) 1f x f x  1 1( ) ( )f x f x  ， 因为 1( ) 0f x ，所以 2 1( ) ( )f x f x  ， 因为 ( )f x 在R 上是严格增函数．所以 2 1x x  ，即有 1 2 0x x  成立. 综上所述： 1 2 0x x  是 1 2( ) ( ) 0F x F x  的充要条件．..................................................................17 分 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数+指数函数。 5．难度系数：0.69。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知全集为R，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． 或 C．是奇函数 D．是偶函数 5．已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数=，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知奇函数的定义域为，在区间上单调递增，，且为偶函数.若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 10．下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为 C．已知，则的最小值为3 D．若正数满足，则的最小值是4 11．已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 13．已知函数，则 . 14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是 ． ①函数的最大值为；                         ②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；     ④. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）求值：； （2）已知，求值：. 16．（15分） 已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 17．（15分） 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 18．（17分） 已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明； (3)，使得成立，求实数的取值范围. 19．（17分） 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数． (1)已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由； (2)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$