专题04 相似三角形重要模型之一线三等角（K字型）模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题04 相似三角形重要模型之一线三等角（K字型）模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.一线三等角模型（相似模型） 1 10 模型1.一线三等角模型（相似模型） “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 例2．（2023秋·北京通州·九年级校考阶段练习）如图，已知，，点在上，且满足，，．求证：(1)；(2)求线段的长．    例3．（2023秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，梯形中，，点是边上一点，点在边上，射线交的延长线于点，且．(1)求证：；(2)若，求的长．    例4．（23-24九年级·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长． 例5．（2023·浙江·九年级专题练习）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图，若点在线段上运动，交于． ①求证：；②当是等腰三角形时，求的长； （2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由； （3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由． 例6．（23-24宜宾市九年级上学期期中数学试题）如图，在中，，点D是的中点，连结，过点B作分别交于点E、F．与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，现给出以下几个结论：①；②；③点F是的中点；④；⑤．其中所有正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①④⑤ 例7．（23-24广东九年级上学期月考数学试题）如图，在矩形中，为的中点，交于，延长与直线相交于点，连接．(1)求证：；(2)，是否存在这样的k值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．    1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____． 3．（2023·浙江九年级专题练习）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为 ． 4．（2024·江苏苏州·二模）如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ，使点E落在边 上， 且点 D 巧合是的中点， 若 则 的值为 ． 5．（2024·安徽淮北·九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为 6．（24-25九年级上·广东·课后作业）如图，在中，，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，连接交于点N，则 ． 7．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，矩形中，E为上一点，把沿翻折，点D恰好落在边上的点F处． (1)求证：；(2)若，，求的长．    8．（2023·山东烟台·九年级统考期末）如图，在正方形中，，在边上取中点，连接，过点做与交于点，与的延长线交于点．(1)求证：；(2)求的面积．    9．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：．(2)若为中点，且，求长． (3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． 10．（2024·重庆·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形： （1）如图1，已知：在△ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论； （2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，．将一把三角尺中30°角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合．设．当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△PCQ？当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△QCP？（3）试探索有无可能使△ABP、△QPC、△ABC两两相似？若可能，写出所有、的值（不写过程）；若不可能，请说明理由． 11．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）． 12．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点E是线段边上的一动点（不含B、C两端点），连接，作，交线段于点D． (1)求证：(2)设，，请求y与x之间的函数关系式． (3)E点在运动的过程中，能否构成等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由．    13．（2023秋·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点、分别是、边上的点，且．(1)求证：；(2)若，，当时，求的长．    14．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．(1)求证：∽．(2)计算点到直线的距离为______ ．    15．（2023春·上海普陀·八年级统考期末）在梯形中，，，，，点E是射线上一点（不与点A、B重合），联结，过点E作交射线于点F，联结．设．(1)求的长；(2)如图，当点E在线段上时，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长．    16．（23-24九年级上·四川内江·期中）在，，为边上一点，点、分别在、边上，且．作于点，于点． (1)特殊验证：如图1，若，且为中点，求证：，； (2)拓展探究：若．①如图2，若为中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；②如图3，若，条件中“点在边上”改为“点在线段的延长线上”，其它条件不变，请探究与的数量关系并加以证明． 17．（21-22九年级上·河南开封·期中）感知∶（1）数学课上，老师给出了一个模型∶如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠+2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为∠ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到 ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． 应用∶（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．若BC=a，AB=b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）．   拓展∶（3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF=∠B．求证∶AB·FE=BE·DE． 18．（2023·内蒙古·一模）如图①，在四边形中，点P为上一点，当时， (1)求证：．(2)探究：如图②，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．(3)应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图③，在中，，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边向点B运动，且满足，设点P的运动时间为t（秒），当时，求t的值． 19．（2023年安徽省九年级数学一模试卷）如图，在中，，，是线段上的一点，连接，过点作，分别交，于点，，与过点A且垂直于的直线相交于点，连接(1)求证：(2)若是的中点，求的值．(3)若，求的值． 20．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相似三角形重要模型之一线三等角（K字型）模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.一线三等角模型（相似模型） 1 10 模型1.一线三等角模型（相似模型） “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，，∴，∴∴ ∵，∴，∴∵∴，故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 例2．（2023秋·北京通州·九年级校考阶段练习）如图，已知，，点在上，且满足，，．求证：(1)；(2)求线段的长．    【答案】(1)见解析(2)3 【分析】（1）利用余角的性质证明，即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，又，∴； （2）∵，∴，即 又，，，∴，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 例3．（2023秋·上海·九年级校考阶段练习）如图，梯形中，，点是边上一点，点在边上，射线交的延长线于点，且．(1)求证：；(2)若，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据已知条件得出，，根据三角形的外角的性质，可得，证明，则，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）根据（1）的结论得出比例式，代入数据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵梯形中，，∴， 又∵∴ ∴，∴∴∴即； （2）解：∵∴ ∵∴，∴则 ∵∴，∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 例4．（23-24九年级·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）4 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，证明相似是解题的关键．（1）由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）证明，得出，根据是等腰直角三角形，得出，根据，求出即可． 【详解】解：（1）证明：，， ，，， 又，，，； （2）结论仍成立；理由如下：， 又，，，， 又，， ，； （3），，，，， 是等腰直角三角形，，，，． 例5．（2023·浙江·九年级专题练习）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图，若点在线段上运动，交于． ①求证：；②当是等腰三角形时，求的长； （2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由； （3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由． 【答案】（1）①见解析，②2或或1；（2）存在，2；（3）不存在，见解析 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的判定定理证明即可；②根据等腰三角形的性质，分，和三种情况讨论，再根据相似三角形的性质求解；（2）先证得，再根据相似三角形的性质计算即可； （3）根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质定理，进行判断即可． 【详解】（1）①证明：∵，，∴．∴． 又∵，∴．∴； ②解：分三种情况： （i）当，时，得到，点分别与重合，∴． （ii）当时，在△ABD和△DCE中，，∴，∴， ∵BC=，∴，∴； （iii）当时，有， ∴，AD=CD，AE=CE=DE，∴． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为2，或1． （2）解：存在．∵，∴． ∵，∴． ∴，∴，∴，当，． （3）解：不存在．理由如下：如图， ∵和不重合，∴，又，，∴≠． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，分情况讨论是解答本题的关键． 例6．（23-24宜宾市九年级上学期期中数学试题）如图，在中，，点D是的中点，连结，过点B作分别交于点E、F．与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，现给出以下几个结论：①；②；③点F是的中点；④；⑤．其中所有正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①④⑤ 【答案】B 【分析】根据题意证明，进而可确定①；由，，得出，进而判断结论② ，由，可得由，进而判断结论③，可得，进而由可得，即可判断③，根据，以及是的中点即可判断④和⑤． 【详解】依题意得，，，，，， 又，，故①正确；如图，标记如下角， ，，，， ，，∴，故②正确； 在与中，（ASA），， 又点是的中点，，，，， ，，， 在与中，（SAS），， 是直角三角形，，，即点不是线段的中点，故③不正确； 是等腰直角三角形，， ，， ，，，，故④正确； ，，点是的中点，， ，即，故⑤错误．综上所述，①②④正确．故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中线的性质，证明与是解题的关键． 例7．（23-24广东九年级上学期月考数学试题）如图，在矩形中，为的中点，交于，延长与直线相交于点，连接．(1)求证：；(2)，是否存在这样的k值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．    【答案】(1)见解析(2)存在， 【分析】（1）由题意可得，又由，可得，据此证得结论；（2）假设与相似，存在两种情况：①当，可得，根据题意可知此种情况不成立；②当，使得与相似，设，则，可得，，再由，即可求得值． 【详解】（1）证明：，，， ，，又，； （2）解：存在使得与相似．理由如下：假设与相似， 存在两种情况：①当，则有与互余，于是，因此此种情况不成立； ②当，使得与相似，设，则， ，，，， ，，即，解得，（负值舍去）． 存在使得与相似． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明四边形是矩形，再证明，求得与的长度，由勾股定理求得与，再由矩形的周长公式求得结果． 【详解】解：连接， 四边形是矩形，，， 为的中点，为的中点，，， 四边形是平行四边形，， 矩形是中心对称图形，过矩形的中心． 过点，且，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形，， ，， ，，， 设，则，， ，解得，或4，或4， 当时，，则， ，四边形的周长； 同理，当时，四边形的周长；故选：． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形是矩形． 2．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____． 【答案】 【分析】先证明，得到，进而即可求解． 【详解】∵在正方形ABCD中，AF⊥EG， ∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，∴∠FAB =∠AGE， 又∵∠ABF=∠GAE=90°，∴， ∴，即：，∴BF=．故答案是：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明，是解题的关键． 3．（2023·浙江九年级专题练习）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为 ． 【答案】 【分析】根据△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，可证△BDF∽△CFE，根据BF=4CF，可得CF=4，根据AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，可得DE⊥AF， 根据S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，进而可求． 【详解】解：如图，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH， ∵△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，∴∠DFE=∠DAE= 60°，AD = DF， ∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB= 120°，∴∠DFB= ∠CEF， 又∠B=∠C= 60°，∴△BDF∽△CFE， ∴ ，即 ，设CF= x(x > 0)， ∵BF=4CF，∴BF= 4x，∵BD=3，∴， ∵， ∴，， ∵△BDF∽△CFE，∴，∴解得：x=2， ∴CF=4，∴BC=5x=10，∵在Rt△ABL中，∠B=60°， ∴AL=ABsin60°=10×=5，∴S△ABC=， ∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，∴DH=BDsin60°=， ∴S△BDF=， ∵△BDF∽△CFE，∴， ∵S△BDF=，∴S△CEF=， 又∵AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴， ∴AD=DF，△ADF为等腰三角形，DE⊥AF， ∴S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF=， ∴．故答案为:． 【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半． 4．（2024·江苏苏州·二模）如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ，使点E落在边 上， 且点 D 巧合是的中点， 若 则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．设，则，即可得到，根据旋转得到，即可得到，求出和长即可解题． 【详解】解：在平行四边形中，，， ∵平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ， ∴，，，设，则， ∵ D 是的中点，∴，∵，，， ∴，，∴，∴，即，解得， ∴，∴，故答案为：． 5．（2024·安徽淮北·九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为 【答案】 【分析】根据题意证明，列出比例式即可求得y关于x的函数关系式 【详解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°， AB=6、AD=4，AE=x、DF=y， 即故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 6．（24-25九年级上·广东·课后作业）如图，在中，，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，连接交于点N，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． 作交CE于点M，易得，根据“ASA”证得，再证明，即可解得． 【详解】解：如图，作交CE于点M， 易得．是由BC绕点B顺时针旋转得到的，，， ∵∴∵∴ ∵∴∵∴ 在和中，，， ，，，， ， ，即，． ，，． 7．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，矩形中，E为上一点，把沿翻折，点D恰好落在边上的点F处．    (1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)长为． 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据翻折变换的性质得到，结合图形利用角之间的互余关系推出，从而根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据矩形的性质及翻折变换的性质推出，从而利用勾股定理求得，进而结合线段之间的和差关系利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，， 沿翻折得到，， ，，，； （2）解：，，， 在中，， ，由（1）可得：， ，即，解得，故长为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质、矩形的性质及翻折变换的性质是解题的关键． 8．（2023·山东烟台·九年级统考期末）如图，在正方形中，，在边上取中点，连接，过点做与交于点，与的延长线交于点．(1)求证：；(2)求的面积．    【答案】(1)证明见解析(2)9 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再证出，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）先利用相似三角形的性质可得，从而可得，再证，利用相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，，， ，，， 在和中，，． （2）解：∵在正方形中，，点为的中点， ，，， 由（1）已证：，，即， 解得，，又，， ，即，解得，则的面积为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 9．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：．(2)若为中点，且，求长． (3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． 【答案】(1)见详解(2)(3) 【分析】（1）根据矩形的性质得，由折叠得出，得出，即可证明；（2）根据矩形的性质以及线段中点，得出，根据代入数值得，进行计算，再结合，则，代入数值，得，所以；（3）由折叠性质，得直线，，是等腰三角形，则，因为为中点，为中点，所以，，所以，则，所以，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图：∵四边形是矩形，∴，∴， ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴，∴，∴，∴； （2）解：如图：∵四边形是矩形，∴，， ∵为中点，∴，设，∴， 在中，，即，解得， ∴，∴，∵，∴，∴，解得， ∵，∴； （3）解：如图：延长交于一点M，连接 ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴直线 ，，∴是等腰三角形，∴， ∵为中点，∴设，∴， ∵为中点，∴，∵，，∴， ∴，，∴， 在中，，∴，∴， 在中，，∵，∴， ∴，∴，∴，∴， 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10．（2024·重庆·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形： （1）如图1，已知：在△ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论； （2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，．将一把三角尺中30°角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合．设．当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△PCQ？当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△QCP？（3）试探索有无可能使△ABP、△QPC、△ABC两两相似？若可能，写出所有、的值（不写过程）；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）；证明见解析；（2）；；（3）可能；，或，． 【分析】（1）证明△ADB≌△CEA（AAS），由全等三角形的性质得出AE=BD，AD=CE，则可得出结论； （2）由β=∠2或∠1=∠CQP，即∠2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=∠1或∠2=∠CQP，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则∠2=∠B=α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解． 【详解】解：（1）如图1，∵， ∴，∴， 在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴，，∴； （2）在△ABP中，，∴， 同理可得：；由或， 即，解得，则△ABP∽△PCQ； ∴当在许可范围内变化时，时，总有△ABP∽△PCQ； 由或，同理可得：． ∴当在许可范围内变化时，总有△ABP∽△QCP； （3）可能．①当，时，则，则△ABP∽△PCQ∽△BCA； ②当，时， 同理可得：，，∴△ABP∽△CQP∽△BCA． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键． 11．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析(2)①等腰直角三角形，见解析；②； 【分析】（1）根据新定义，画出等联角； （2）①是等腰直角三角形，过点作交的延长线于．由折叠得，，，证明四边形为正方形，进而证明，得出即可求解；②过点作于，交的延长线于，则．证明，得出，在中，，，进而证明四边形为正方形，则，由，得出，根据相似三角形的性质得出，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图所示（方法不唯一） （2）①是等腰直角三角形．理由为：如图，过点作交的延长线于． 由折叠得，， ，， 四边形为正方形 又， ，而， 是等腰直角三角形． ②过点作于，交的延长线于，则． ，， 由是等腰直角三角形知：，， ，，而，，在中，，， ，，， 由，，∴四边形为正方形，， 由，得：，∴， ，而，即，解得：， 由①知：，，． 【点睛】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键． 12．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点E是线段边上的一动点（不含B、C两端点），连接，作，交线段于点D．    (1)求证：(2)设，，请求y与x之间的函数关系式． (3)E点在运动的过程中，能否构成等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2) (3)当是等腰三角形时，或，见解析 【分析】（1）由平角定义可得，，再根据即可证明； （2）根据的性质求解即可； （3）根据外角先验证，分和两种情况讨论 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，∵，∴，∴ （2）解：由（1）得：，∴， ∵，，，，∴，，∴， ∴，∴y与x之间的函数关系式为； （3）解：∵是的外角，∴， ∵，∴，∴， 当时，可得，∴； 当时，，∵，∴， ∴，即，∴，∴当是等腰三角形时，或； 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质，二次函数的最值等知识点．解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解． 13．（2023秋·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点、分别是、边上的点，且．(1)求证：；(2)若，，当时，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，即可求证；（2）根据，可得，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，∴，∵， ∴且，∴， ∵，∴； （2）解：∵，∴，即， ∵，∴， ∴，即，∴， ∵，，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 14．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，是矩形的边上的一点，于点，，，．(1)求证：∽．(2)计算点到直线的距离为______ ．    【答案】(1)详见解析(2) 【分析】（1）证明两个角对应相等； （2）点到直线的距离就是线段的长度，由相似三角形对应边成比例求解即可； 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，，∴ ，， ∴， ∴，∽， （2）解：∵∽，∴， 即。∴故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证得∽是解题的关键 15．（2023春·上海普陀·八年级统考期末）在梯形中，，，，，点E是射线上一点（不与点A、B重合），联结，过点E作交射线于点F，联结．设．(1)求的长；(2)如图，当点E在线段上时，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长．    【答案】(1)6(2)(3)或 【分析】（1）过点作，可得四边形为矩形，利用勾股定理求出的长即可； （2）证明，列出比例式进行求解即可； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：过点作与点，    ∵，，∴，∴四边形为平行四边形， ∵，∴四边形为矩形，∴，，∴， 在中，，∴ （2）∵，∴，， ∵，，，∴， ∴，∴， ∴，即：，整理，得：， ∵点E在线段上，∴，∴； （3）当点在线段上时， ①当时，如图，过点作与点，则：，    由（1）知，，∴，由（2）知：， 当时：或，即：或； ②当时，∵，∴此种情况不存在； 当点在线段的延长线上时：如图，    则：，同法（2）可得：，即：， 整理，得：， ∵是以为腰的等腰三角形，则：， 在中：， 在中：， 在中：， 整理，得：， ∵，∴， 整理，得：，解得：（负值已舍掉）；∴， 综上：或． 【点睛】本题考查矩形得判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形，勾股定理．解题的关键是读懂题意，正确的作图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 16．（23-24九年级上·四川内江·期中）在，，为边上一点，点、分别在、边上，且．作于点，于点． (1)特殊验证：如图1，若，且为中点，求证：，； (2)拓展探究：若．①如图2，若为中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；②如图3，若，条件中“点在边上”改为“点在线段的延长线上”，其它条件不变，请探究与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)见解析(2)①．证明见解析；②．证明见解析 【分析】（1）如答图1，连接，证明，可得；证明，可得，从而得到；（2）①若为中点，则分别证明，，由线段比例关系可以证明结论依然成立．证法二提供另外一种证明方法，可以参考；②若，证明思路与①类似． 【详解】（1）证明：若，则为等腰直角三角形， 如答图1所示，连接，则，又，． 在与中，，． ，，，，，， 在与中，，． 为等腰直角三角形，，； （2）解：①．证明：由（1）证明可知：， ，即．同理， ，即．， ，，； ②．证明：由①同理可得：， ，，，． 【点睛】本题是几何探究与证明综合题，考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质．题中三个结论之间逐级递进，体现了从特殊到一般的数学思想． 17．（21-22九年级上·河南开封·期中）感知∶（1）数学课上，老师给出了一个模型∶如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠+2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为∠ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到 ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． 应用∶（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．若BC=a，AB=b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）．   拓展∶（3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF=∠B．求证∶AB·FE=BE·DE． 【答案】（1）；（2）CE=a-b；（3）见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由已知易证△ADB≌△DEC，从而由全等三角形的性质即可求得CE的长度； （3）作CG//FE交DE于点G，易证得△FBE∽△EGC，从而可得=；可证得△DGC∽△DCE，可得=，即有=，再由AB=CD即可得要证的结论． 【详解】（1）∵△ABC∽△DAE∴故答案为：； （2）∵∠B=∠ADE=∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠EDC=∠BAD 又∵DA=DE∴△ADB≌△DEC∴EC=BD，AB=DC=b∴BD=BC-DC=a-b．即：CE=a-b． （3）∵∠DEF=∠B∴∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠DEC∴∠BFE=∠DEC． 作CG//FE交DE于点G，如图3． ∴∠DEF=∠EGC∴∠B=∠EGC∴△FBE∽△EGC∴= ∵四边形ABCD是平行四边形∴∠B+∠BCD=180° ∵∠EGC+∠DGC=180°，且∠B=∠EGC∴∠DGC=∠BCD 又∵∠EDC=∠CDG∴△DGC∽△DCE∴= ∴= ∴DC·FE=BE·DE 又∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=DC∴AB·FE=BE·DE 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，（3）问中作辅助线是难点，灵活运用这些知识是重点． 18．（2023·内蒙古·一模）如图①，在四边形中，点P为上一点，当时， (1)求证：．(2)探究：如图②，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．(3)应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图③，在中，，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边向点B运动，且满足，设点P的运动时间为t（秒），当时，求t的值． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，理由见解析(3)1或5 【分析】（1）由，，可知，证明，则，进而结论得证；（2）方法同（1）；（3）由题意知，，，由，，可得，证明，则，即，计算求解满足要求的值即可． 【详解】（1）证明：∵，∴，， ∴，∴，∴，∴； （2）解：依然成立，理由如下： ∵，∴，， ∴，∴，∴，∴； （3）解：由题意知，，，∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，即，解得或，经检验或均为原分式方程的解， ∴当时，t的值为1或5． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等边对等角．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 19．（2023年安徽省九年级数学一模试卷）如图，在中，，，是线段上的一点，连接，过点作，分别交，于点，，与过点A且垂直于的直线相交于点，连接(1)求证：(2)若是的中点，求的值．(3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)的值为12 【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质进行证明． （2）先证明，求出，再利用相似三角形的性质即可求解． （3）利用全等和相似进行线段之间的关系转化，先求出，再求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，∴，∴，∵，∴， （2）∵，∴， ∵，∴，∴， ∵是的中点，∴，∴，∴， ∵∴，∴． （3）∵，∴， ∵，∴，∴， 若，∴，即 ∵∴，∴∴；∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是发现全等三角形和相似三角形，能利用它们的性质进行线段之间的关系转化． 20．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．    【答案】（1）；（2）发生变化，，证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵，∴． 在和中，∴，∴． （2）发生变化，．证明：由（1）得，，， ∴，∴，∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，，由（1）同理可证，， ∴，，∴，， ∴．    【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，准确证明三角形全等或相似，并熟练运用其性质是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 学科网（北京）股份有限公司 $$