专题04 相似三角形重要模型之一线三等角（K字型）模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题04 相似三角形重要模型之一线三等角（K字型）模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.一线三等角模型（相似模型） 1 10 模型1.一线三等角模型（相似模型） “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图．是等边三角形，点D，E分别为边，上的点，，若，，则的长为 ．    【答案】或 【分析】根据是等边三角形，得到，，推出，得到，得到，然后代入数值求得结果． 【详解】解：∵是等边三角形，∴，， ∵，， ∴，∴，∴，即， 解得：或，经检验：或是原方程的解，故答案为：或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用． 例2．（2023·北京延庆·九年级统考期中）如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点．(1)求证：；(2)若，且，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，然后利用同角的余角相等得到，即可证明出；（2）首先根据相似三角形的性质得到，即，求出，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形∴， ∵沿直线将翻折，使得点落在边上，∴∴ ∵∴∵∴； （2）∵∴，即解得 ∵四边形是矩形∴ ∵沿直线将翻折，使得点落在边上，∴∴ ∵∴，即解得∴． 【点睛】本题主要考查矩形折叠问题，三角形相似的判定，勾股定理，解题的关键是根据折叠得到相等． 例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，在四边形中，，，且，，若点是上的一点，且，求证：．    【答案】见解析 【分析】当∠BPC=∠A时，∠ABP+∠APB+∠A=180°，而∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此时三角形ABP与三角形DPC相似． 【详解】证明：∵AD∥BC，AD＜BC，AB=DC=2，∴∠A=∠D ∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A ∴∠ABP=∠DPC，∴△ABP∽△DPC． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，根据已知得出∠ABP=∠DPC是解题的关键． 例4．（2024·江苏·三模）（1）问题： 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：． （2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可． 【详解】（1）证明：如题图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°， ∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°，∴∠ADP = ∠BPC， ∴△ADP△BPC，，∴ADBC = APBP， （2）结论仍然成立，理由如下，， 又，， ，设，， ，，∴ADBC = APBP， （3），，，，， 是等腰直角三角形，，，， ，，，， ,，，，． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键． 例5.（23-24八年级上·上海·期中）在中，，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图①，当点在线段上运动时，交于． ①求证：．②当是等腰三角形时，直接写出的长． （2）如图②，当点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出点的位置；若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1) ①证明见解析；②AE的值是1或 2或； (3)存在，D在BC的延长线上，且CD= 2 【分析】(1) ①求出∠B=45°，根据三角形外角性质得出∠1+∠B=∠ADC=45°+∠2．求出即可； ②分为三种情况，①DE=AE,②AD=AE，③AD=DE，根据等腰三角形性质(等腰三角形两边相等)，三角形全等推出即可；(2)存在，可证 得到CD=AC=2． 【详解】解(1) ①∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°。AB=AC,∴∠B=∠C=45° ∵∠ADE=45°,∴∠ADC=∠B+∠1=∠ADE+∠2,即45°+∠1=45°+∠2．∴∠1=∠2． ②解:当△ADE是等腰三角形时，分为以下三种情况: 第一种情况: DE=AE,∵DE=AE,∴∠ADE=∠DAE=45°=∠C,∴∠AED=90°，∠ADC=90° ,即DE⊥．AC． ∴AD= DC．∴E为AC的中点，∴ 第二种情况: AD=AE，此时D和B重合，E和C重合,即AE=AC=2; 第三种情况: AD=DE, 在△ABD和△DCE中． ∴  ,∴BD=CE，AB=DC, 设BD=CE=x,在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°, AB=AC=2, ∴BC= ． ∴DC=-x．∴-x=2,∴x=-2,∴AE= 综合上述: AE的值是1或 2或 (3)解:存在，理由如下：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵∴ ∴ 又∵ ,∴ ， 故存在点，使是等腰三角形，此时D在BC的延长线上，且CD= 2 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识点的应用，用了分类讨论思想． 例6．（2023年内蒙古中考模拟数学模拟试题）如图，在中，，，是的中点，连接，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连接．以下四个结论：；点是的中点；；，其中正确的结论序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明即可判断；设，则，由勾股定理得到，由得到，证明，得到，进而得到，即可判断；由得到，结合即可判断；过点作于，由得到，进而可得，即可判断；掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，∴，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵点是的中点，∴，∴在中，，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∵，∴，故正确；设， ∵点是的中点，∴，在中， ，∴， ∵，∴，∴ ∵，，∴， ∴，∴，∴，∴，故错误； ∵，∴，∴，∵，∴，故正确； 过点作于，如图，∵，∴，∴ ∵，∴， 即，故错误；∴正确的结论是，故选：． 例7．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)相似，证明见解析(3)存在， 【分析】(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得结论；(2)根据题意可证得Rt△AEF≌Rt△DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE垂直平分FG，△CGF是等腰三角形，据此即可证得△AEF与△ECF相似；(3)假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况：①当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种情况不成立；②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝，BF＝，再由△AEF∽△DCE，即可求得k值． 【详解】（1）证明：∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°， ∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠EDC＝90°，∴△AEF∽△DCE； （2）解：△AEF∽△ECF．理由：∵E为AD的中点，∴AE＝DE， ∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∴△AEF≌△DEG(ASA)， ∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∵EF⊥CE，∴CE垂直平分FG， ∴△CGF是等腰三角形．∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC． 又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF； （3）解：存在使得△AEF与△BFC相似．理由：假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况： ①当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立； ②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka， ∵△AEF∽△BCF，∴，∴AF＝，BF＝， ∵△AEF∽△DCE，∴，即， 解得，．∴存在使得△AEF与△BFC相似． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 1．（2024·江苏泰州·三模）如图，在等边中，点F为边上的中点，以F为顶点作一个的角交边于D、E两点，连接，则知道下列哪个条件就可以计算的周长（　　） A．的周长 B．的周长 C．的周长 D．的周长 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握这些性质和判定是解答的关键．取的中点G，连接，在截取，连接，分别证明，得到，再证明得到，，，证明是等边三角形，得到，，证明得到，进而推导出，即可得出答案． 【详解】解：取的中点G，连接，在截取，连接， ∵是等边三角形，∴，， ∴，∴，∴，∴， ∵点F为边上的中点，∴，则，即，又， ∴，∴，又，， ∴，∴，，则， ∵点F为边上的中点，点G是的中点，∴，又， ∴是等边三角形，∴，， ∴，，又，∴，∴， ∴， 则，故知道的周长就可以计算的周长．故选：D． 2．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝ ． 【答案】3． 【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长． 【详解】如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2， 又∵∠BEF＝90°，∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，∴∠FEG＝∠EBC， 又∵∠C＝∠G＝90°，∴△BCE∽△EGF， ∴＝＝，即＝＝，∴FG＝EC，GE＝2＝CD， ∴DG＝EC，设EC＝x，则DG＝x，FG＝x， ∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，∴（x）2+x2＝（）2，解得x2＝9，即CE2＝9， ∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形． 3．（2023春·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 【答案】2.4 【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，∵∠B=60°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°， ∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，∴∠CDF=∠BED，∴△BDE∽△CFD， ∴ ，即，∵等边△ABC的边长为6 ， ∴ ，解得： ．故答案为：2.4 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 4．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在平行四边形中，， 且，点E、F、G 分别为线段上的点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，延长，交于点，过作于，根据平行可得，设，则，再证明，得到，然后在中根据勾股定理求出，可得到与是同一个点，最后在中根据勾股定理求即可． 【详解】延长，交于点，过作于，∵平行四边形中，， ∴，，，，∴，， ∵，∴，，， ∵，∴，∴，∴，∴ 设，则，∴， ∵∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴∴， 在中，∴，解得或（舍去）， ∴，即与是同一个点，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，故答案为：． 5．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为 【答案】 【分析】根据题意证明，列出比例式即可求得y关于x的函数关系式 【详解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°， AB=6、AD=4，AE=x、DF=y， 即故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 6．（23-24九年级·上海·假期作业）如图，等边的边长为6，点在上且，点在上，连接交于点，且，若点是射线上一点，当以、、为顶点的三角形与相似时，则的长为 ． 【答案】4或7． 【分析】由是等边三角形，得出，利用等式性质可得，，以、、为顶点的三角形与相似有一组角相等，再添一组角即可，由M在射线BC上，有两种可能，一种当点在上，一种点在的延长线上，过D作，则有DM∥AB易证是等边三角形，，当点在的延长线上时，作，可证△△和△∽△求出，进而有，综合即可． 【详解】解：是等边三角形，，， ，， 如图，当点在上时，作， ，，∴∥，， 是等边三角形，，， 当点在的延长线上时，作， ，，，△， ，，△， ，，，，综上所述：或7，故答案为：4或7． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，会利用相似三角形的性质列出比例解决问题是关键． 7．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cos∠α＝，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②④ 【分析】①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；②由BD＝6，则DC＝10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；④依据相似三角形对应边成比例即可求得． 【详解】解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C， 又∵∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACD，故①正确； ②作AG⊥BC于G， ∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝，∴BG＝ABcosB， ∴BC＝2BG＝2ABcosB＝2×10×＝16，∵BD＝6，∴DC＝10，∴AB＝DC， 在△ABD与△DCE中，∴△ABD≌△DCE（ASA），故②正确； ③当∠AED＝90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC＝∠AED， ∵∠AED＝90°，∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC， ∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴∠ADE＝∠B＝α且cosα＝，AB＝10，BD＝8， 当∠CDE＝90°时，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE＝90°，∴∠BAD＝90°， ∵∠B＝α且cosα＝，AB＝10，∴cosB＝＝，∴BD＝，故③错误； ④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC＝16，设BD＝y，CE＝x，∴，∴， 整理得：y2−16y＋64＝64−10x，即（y−8）2＝64−10x，∴0＜x≤6.4，故④正确；故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形与全等三角形的判定和性质是解题的关键． 8．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】由平移性质可知，，则四边形是平行四边形，又，则有四边形是矩形，根据同角的余角相等可得，从而证明，由性质得，设，则，，则，解得：，故有，，得出即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，则， 由平移性质可知：，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形， ∴，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，，，∴， 设，则，，∴，解得：， ∴，，∴， ∵点在第四象限，∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质、平移的性质，同角的余角相等等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 9．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，于点E；(1)求证：．(2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，证明相似三角形是解题的关键． （1）由正方形的性质及，易得，，即可得； （2）利用相似三角形的性质及已知，即可求解． 【详解】（1）证明：在正方形中，，∴； ∵，∴，∴，∴； （2）解：∵，∴； ∵，，∴，∴． 10．（2023·上海·九年级假期作业）在矩形中，，，点E是边上一点，交于点M，点N在射线上（如图），且．(1)求证：是和的比例中项；(2)当点N在线段的延长线上时，联结，且与互相垂直，求的长． 【答案】(1)详见解析(2) 【分析】（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）利用，得出比例式求得线段，，利用求得线段，利用（1）的结论求得线段，则． 【详解】（1）证明：，． 四边形为矩形，，，， ，．，，． ，是和的比例中项； （2）如图，与互相垂直，，．    ，．，， ，，，，，． ，．四边形为矩形，， ，，，，，． 由（1）知：，，． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 11．（2024·湖北孝感·模拟预测）（1）【问题情景】：如图1，正方形中，点是边上一点（不与点重合），连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数．以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路： ①小聪：过点作的延长线的垂线；②小明：在上截取，使得； 请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程． （2）【类比探究】如图2，点是菱形的边上一点（不与点重合），，连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，则的度数为______（用含的代数式表示）； （3）【学以致用】：如图3，在（2）的条件下，连接，与相交于点，当时，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）小聪的证明：作交的延长线于，证明，得到，从而证明是等腰直角三角形，，从而得到； 小明的证明：在上截取，使得．证明，得出，则可得出结论；（2）由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可求解；（3）过点作交的延长线于点，证明，得出，在上截取，使，连接，作于点．由（2）可知，，求出和，则可得出答案． 【详解】解：（1）小聪的证明：作交的延长线于， 顺时针旋转得到，，，， 在和中，，， ，，，是等腰直角三角形，， 又，； 小明的证明：在上截取，使得． ∵，由图可知，∴． ∵顺时针旋转得到，∴． ∴，∴． 在和中，，∴， ∴，； （2）如图2，在上截取，使得，连接， ∵四边形是菱形，，， ，，∵将绕点顺时针旋转得到， ，， ，，， ，，， ，故答案为：； （3）过点作交的延长线于点， 设菱形的边长为．，， ，，，， ，由（2）知，，∵，∴， ，，， 在上截取，使，连接，作于点．由（2）可知，， ，，，， ，，，，． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 12．（2024·安徽六安·二模）在矩形的边上取一点，将沿翻折，点的对应点为点． (1)当在边上时，（）如图，若，，求； （）如图，作平分交于，若，求证：； (2)如图，当点在矩形内部时，若平分交于，，直接写出三者关系为：__________． 【答案】(1)（）；（）证明见解析；(2)． 【分析】（）（）由折叠可得，，，由矩形的性质可得，，，进而可得，即可得，设，则，由勾股定理得，求出即可求解；（）如图，过点作于，证明可得，，设，，则，，证明可得，即得，得到，再利用三角形面积可得，得到，得到，得到，即可求证； （）如图，过点作，过点作于，交于点，可得，证明得到，，又由折叠可得，，，即可得到四边形是矩形，得到，，即得，，再由可得，进而得到， 由勾股定理得到，即得，即可求证； 本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：（）由折叠可得，，， ∵四边形为矩形，∴，，， ∴，∴， 设，则，在中，， ∴，解得，∴，故答案为：； （）如图，过点作于，则， ∵平分，∴，又∵，∴， ∴，，设，，则，， ∵，，∴， ∴，即，∴， ∵，， ∴，∴，∴， ∴，∴，即； （2）解：如图，过点作，过点作于，交于点，则， ∵，∴，∴，∵平分，∴， 又∵，∴，∴，， 由折叠可得，，，，∴， ∴四边形是矩形，∴，， ∴，， ∵，，∴为等腰直角三角，∴， ∴，在中，， ∴，∴． 13．（2023秋·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10 【分析】（1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案； 【详解】（1）证明：，，， ，∴，， ，，； （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ，，， ，， ，，，，， ，，，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，，，， ，，， ，，，， ，，， ，，． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． 14．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．    ①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转，点B的对应点为点，点C的对应点为点，连接；②在①中所画图形中，______． 【问题解决】如图2，在中，，延长到D，使，将斜边绕点A顺时针旋转到，连接，求的度数． 【拓展延伸】如图3，在四边形中，，垂足为E，，，，，求的长． 【答案】【操作发现】①见解析，②45；【问题解决】【拓展延伸】5 【分析】【操作发现】①根据旋转的性质找出点B的对应点为点和点C的对应点为点，从而作出旋转后的，并连接；②推导出是等腰直角三角形，从而得到； 【问题解决】过点E作于点H，点H在的延长线上，利用证明，从而得到，，继而证明，从而得到，； 【拓展延伸】如图3中，由，，推出，将绕点A逆时针旋转得到，连接．则，只要证明，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：【操作发现】①如图1中，即为所求．       ②由作图可知，， ∴是等腰直角三角形，∴，故答案为：； 【问题解决】如图2中，过点E作交的延长线于H． ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 【拓展延伸】如图3中，连接， ∵，即垂直平分，∴， 将绕点A逆时针旋转得到，连接．则，    ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴，∴．∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 15．（2023·浙江·九年级专题练习）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作： 第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2； 第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD； 第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G； (1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___； (2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由． ②当时，连接DG，请直接写出___； (3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当时，求AM的长． 【答案】(1)∠CAD=∠GAD；(2)①AD∥BC； ②3(3)9 【分析】（1）根据题目的尺规作图发现AD平分∠CAG即可得到∠CAD=∠GAD； （2）①由AD平分∠CAG再结合等腰三角形ABC的外角可得AD平行BC；②易证，可得（3）以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，由（2）可得， 即可用一线三等角模型构造相似解题． 【详解】（1）由尺规作图步骤发现AD平分∠CAG∴∠CAD=∠GAD； （2）①∵∴ ∵∠CAD=∠GAD, ∴∴AD∥BC ②∵∴∵ ∴ ∴∴∵∴ （3）以M为圆心，MA的长为半径画弧，交射线BA于点N，如图 由（1）（2）可得, 设则∵点P为AB的中点∴ ∵∴∴ ∴∴∴，解得∴． 【点睛】本题考查尺规作图中的作角平分线以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据尺规作图的步骤判断是作角平分线． 16．（2023·甘肃武威·模拟预测）如图，在矩形中，点是边上的一个动点（点与点不重合），连接，过点作，垂足为点，交或的延长线于点． (1)若．①当时，__________________；②已知点是边的中点，当点在边上运动时，能不能经过点？若能，求出的长度；若不能，请说明理由； (2)若．当点在边上运动时，求使得下列两个条件都成立的的取值范围：点始终在边上；点在某一位置时，点恰好与点重合． 【答案】(1)①2；②不能，见解析(2)的取值为12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、二次函数的最值等知识点，利用相似建立函数关系式是解此题的关键．（1）①当时，为等腰直角三角形，从而得到也为等腰直角三角形，可得到，即可得解；②假设过点，则有，证明得出，设，则有，建立二元一次方程，判断方程是否有解，即可得出答案；（2）设，则，根据（1）中的关系式，求出关于的函数关系式，且的最大值小于等于，据此求出的取值范围，再根据点恰好与点重合，则均为直角三角形，利用勾股定理建立关于的一元二次方程，然后又可以求出的取值范围，即可得出的值． 【详解】（1）解：①如图， ， ， ，，， ，，故答案为：2； ②不能；理由如下：假设过点，则有， ∵，∴， 又∵，∴，∴， 设，则有，整理得， ，该方程无解．∴不能经过点； （2）解：由（1）可知，， 设，则，， 当时，有最大值，当点始终在线段上时，，则有，∴， 又，∴，当在某位置时，点恰好与点重合， 则均为直角三角形，在中，有， 在中，有，又∵， ∴，整理得：，，∴， 故的取值为12时，题中两个条件才成立． 17．（22-23九年级上·吉林长春·期中）（1）【问题解决】如图，点在线段上，点在同侧，．求证：． （2）【探究应用】如图，在中，，，直线，与之间距离是1，与之间距离是2，且、、分别经过点，则边的长为______． （3）【拓展延伸】如图，在中，，点是边的中点，点分别在边上，．若，，则的长为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由知，据此得，从而得证；（2）过点作，交于，交于，易证，运用相似三角形的性质可得出，然后在Rt中运用勾股定理可求出，进而求出，再在Rt中，根据勾股定理求出的值； （3）根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ，，； (2) 解：如图，过点作，交于，交于， 在中，，，， 直线，，，， ，，，， ，，在Rt中，，， 在Rt中，，故答案为：； (3)解： ， ，，， 点是边的中点，，，，，故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 18．（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）数学模型学习与应用．【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得∠1=∠D；又，可以通过推理得到≌．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的长；(2)【拓展】在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，，，．若为直角三角形，求CD的长； (3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B为平面内任一点．是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标． 【答案】(1)(2)3(3)或 【详解】（1）解：∵， ∴，∴， 又∵，∴∽，∴， 即，∴． （2）解：如图4，当时， ∵，，∴∽，∴， ∵，∴点D为BC的中点，∴． 如图5，当时， ∵，∴，过点A作，交BC于点F， ∴，，，不合题意，舍去，∴． （3）解：分两种情况：①如图6所示，过A作AC⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，则∠C＝90°，∴四边形OECD是矩形 ∵点A的坐标为（2，4），∴AD＝2，OD＝CE＝4，∵∠OBA＝90°，∴∠OBE+∠ABC＝90°， ∵∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠OBE， 在△ABC与△BOE中， ∴△ABC≌△BOE（AAS），∴AC＝BE，BC＝OE， 设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x，∴AC＝BE＝x－2，∴CE＝BE+BC＝x－2+x＝OD＝4， ∴x＝3，x－2＝1，∴点B的坐标是（3，1）； ②如图7，同理可得，点B的坐标（－1，3），综上所述，点B的坐标为（3，1）或（－1，3）． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 19．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】（2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见详解（2）成立，理由见详解（3）5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）通过等量代换得到，再结合，证明，则，即可作答．（2）与（1）过程类似，通过等量代换得到，结合，证明，则，即可作答．（3）因为点为直角顶点作等腰，得，与（1）过程类似，通过等量代换得到，证明，得出的值，再证明，列式代入数值，即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴∴ ∵∴∴∴； （2）成立，理由如下：∵∴ 即∵∴∴∴； （3）∵是等腰三角形∴ ∵，∴与（1）、（2）同理，得 ∵∴∵∴ ∵∴∴即 解得（为线段，负值舍去）∴． 20．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，，点D为边的中点，点在边上移动（点E不与点A、B重合），点F直线上，满足，连接． (1)如图1，求证：；(2)如图2，当，时，求的值； (3)如图3，若，，是否存在一点E，使得，若存在，求出的值（用含有m的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)14；(3)存在，． 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，（1）由得到，由三角形外角的性质得到，已知,得到，即可得到结论； （2）由和是BC边中点得到，再由证明，则，过点E作于点M，解三角形求出，，，即可得到．（3）当时，可得，进而可得， 进而得出，由此即可解题. 【详解】（1）解：证明：，， ，， ，，；∵，∴， ∵，, ∴，∴； （2）由（1），，是BC边中点，，， ，，，， 连接AD，，，，， 过点E作于点G，，，， 在中，，； （3）当时，， 又，，，， 由（1）可知，，， ，，，，． 【点睛】此题涉及相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、等腰三角形性质、30度直角三角形性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质进行比例转换，得出线段的关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相似三角形重要模型之一线三等角（K字型）模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.一线三等角模型（相似模型） 1 10 模型1.一线三等角模型（相似模型） “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图．是等边三角形，点D，E分别为边，上的点，，若，，则的长为 ．    例2．（2023·北京延庆·九年级统考期中）如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点．(1)求证：；(2)若，且，求的长．    例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，在四边形中，，，且，，若点是上的一点，且，求证：．    例4．（2024·江苏·三模）（1）问题： 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：． （2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长． 例5.（23-24八年级上·上海·期中）在中，，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图①，当点在线段上运动时，交于． ①求证：．②当是等腰三角形时，直接写出的长． （2）如图②，当点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出点的位置；若不存在，请简要说明理由． 例6．（2023年内蒙古中考模拟数学模拟试题）如图，在中，，，是的中点，连接，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连接．以下四个结论：；点是的中点；；，其中正确的结论序号是（    ） A． B． C． D． 例7．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由． 1．（2024·江苏泰州·三模）如图，在等边中，点F为边上的中点，以F为顶点作一个的角交边于D、E两点，连接，则知道下列哪个条件就可以计算的周长（　　） A．的周长 B．的周长 C．的周长 D．的周长 2．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝ ． 3．（2023春·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 4．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在平行四边形中，， 且，点E、F、G 分别为线段上的点，，，则 ． 5．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为 6．（23-24九年级·上海·假期作业）如图，等边的边长为6，点在上且，点在上，连接交于点，且，若点是射线上一点，当以、、为顶点的三角形与相似时，则的长为 ． 7．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cos∠α＝，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 8．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 9．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，于点E；(1)求证：．(2)若，求的值． 10．（2023·上海·九年级假期作业）在矩形中，，，点E是边上一点，交于点M，点N在射线上（如图），且．(1)求证：是和的比例中项；(2)当点N在线段的延长线上时，联结，且与互相垂直，求的长． 11．（2024·湖北孝感·模拟预测）（1）【问题情景】：如图1，正方形中，点是边上一点（不与点重合），连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数．以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路： ①小聪：过点作的延长线的垂线；②小明：在上截取，使得； 请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程． （2）【类比探究】如图2，点是菱形的边上一点（不与点重合），，连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，则的度数为______（用含的代数式表示）； （3）【学以致用】：如图3，在（2）的条件下，连接，与相交于点，当时，若，求的值． 12．（2024·安徽六安·二模）在矩形的边上取一点，将沿翻折，点的对应点为点． (1)当在边上时，（）如图，若，，求； （）如图，作平分交于，若，求证：； (2)如图，当点在矩形内部时，若平分交于，，直接写出三者关系为：__________． 13．（2023秋·广东深圳·九年级校考阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 14．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．    ①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转，点B的对应点为点，点C的对应点为点，连接；②在①中所画图形中，______． 【问题解决】如图2，在中，，延长到D，使，将斜边绕点A顺时针旋转到，连接，求的度数． 【拓展延伸】如图3，在四边形中，，垂足为E，，，，，求的长． 15．（2023·浙江·九年级专题练习）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中，如图1，进行了如下操作： 第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图2； 第二步，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD； 第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G； (1)填空；写出∠CAD与∠GAD的大小关系为___； (2)①请判断AD与BC的位置关系，并说明理由． ②当时，连接DG，请直接写出___； (3)如图3，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC，当时，求AM的长． 16．（2023·甘肃武威·模拟预测）如图，在矩形中，点是边上的一个动点（点与点不重合），连接，过点作，垂足为点，交或的延长线于点． (1)若．①当时，__________________；②已知点是边的中点，当点在边上运动时，能不能经过点？若能，求出的长度；若不能，请说明理由； (2)若．当点在边上运动时，求使得下列两个条件都成立的的取值范围：点始终在边上；点在某一位置时，点恰好与点重合． 17．（22-23九年级上·吉林长春·期中）（1）【问题解决】如图，点在线段上，点在同侧，．求证：． （2）【探究应用】如图，在中，，，直线，与之间距离是1，与之间距离是2，且、、分别经过点，则边的长为______． （3）【拓展延伸】如图，在中，，点是边的中点，点分别在边上，．若，，则的长为______． 18．（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）数学模型学习与应用．【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得∠1=∠D；又，可以通过推理得到≌．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的长；(2)【拓展】在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，，，．若为直角三角形，求CD的长； (3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B为平面内任一点．是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标． 19．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】（2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 20．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，，点D为边的中点，点在边上移动（点E不与点A、B重合），点F直线上，满足，连接． (1)如图1，求证：；(2)如图2，当，时，求的值； (3)如图3，若，，是否存在一点E，使得，若存在，求出的值（用含有m的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$