专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.胡不归模型（最值模型） 2 10 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（2024·广东·二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． 例2．（2024·辽宁营口·模拟预测）在矩形中，，，是边上任意一点，则的最小值是 ． 例3．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 例4．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 例5．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 例6．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 例7．（2024·重庆·九年级校考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 1．（2023·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（2023上·四川乐山·九年级统考期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（2023秋·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 4．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．    （1） °；（2）的最小值为 ． 5．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 6．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使，连接，点M，N分别是线段上的动点，连接，则的最小值为 ． 7．（2023上·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在长方形中，对角线．将长方形沿对角线折叠，得，点 M 是线段上一点．则的最小值为 ． 8．（2023·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ． 9．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 10．（2023·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 11．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．    12．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在 中， ，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若是的中点，P为边上一动点，则的最小值为 13．（2023·吉林·二模）【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离． 【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________． 【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________． 14．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．①四边形是正方形吗？请说明理由；②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 15．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    16．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长为6的菱形中，，连接，点 E，F分别是边，上的动点，且，连接，，． (1)如图①，当点E是边的中点时，求的度数； (2)如图②，当点E是边上任意一点时，的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由；(3)若点P是线段上的一个动点，连接，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.胡不归模型（最值模型） 2 10 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（2024·广东·二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出AD=AB=4，∠BAC=∠CAD=15°，以AB为一边，在AB下方作∠BAE=∠BAC=15°，过点P作PF⊥AE，过点D作DH⊥AE，由含有30度直角三角形的性质可得PF=，DP+，结合图形可得当D、P、F三点共线时，取得最小值，最小即为DH长度，利用锐角三角函数求解即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，∠BAD=30°，∴AD=AB=4，∠BAC=∠CAD=15°， 如图所示，以AB为一边，在AB下方作∠BAE=∠BAC=15°，过点P作PF⊥AE，过点D作DH⊥AE， ∴∠EAP=30°，∠PFA=90°，∠DHA=90°，∴PF=，∴DP+， 当D、P、F三点共线时，取得最小值，最小即为DH长度， 在Rt∆DHA中，∠DAH=45°，∴，故答案为：． 【点睛】题目主要考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 例2．（2024·辽宁营口·模拟预测）在矩形中，，，是边上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加辅助线，构造含的直角三角形，是解题的关键． 过点作直线，使与的夹角为30°，过点作，垂足为点，则的最小值即为的最小值，过点作，垂足为点，的最小值，先证明，再由解三角形求出即可求解． 【详解】解：过点作直线，使与的夹角为30°，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ∵，∴，∴， ∵，∴当和在同一直线上时，最小，最小值为， ∵，且，∴， ∵∴，， ∴，∴，∴， ∴的最小值为．故答案是：． 例3．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最 小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果． 【详解】解：连接AC，作 ∵是正方形且边长为4，∴，，， ∵，∴，∴， ∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG， ∵，，∴，∵，∴， 设，则，∴，解得：， 设，则，∵，∴，解得： ∴，故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG． 例4．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，构造直角三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，连接，根据平行四边形的性质，得到，由30度所对的直角边等于斜边一半，得到，进而得到，即，当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，此时，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，连接， ，，，在中，， ，，， 当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，此时， 在中，，，， 即的最小值为，故答案为：． 例5．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案． 【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， 则， ∴， ∴ ． 即的最小值为6．故选B． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 例6．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 【答案】0 【分析】作于，可得出，从而得的最小值，将变形为，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是正方形，，，的最小值为0， ∵，∴的最小值为0，故答案为：0． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段． 例7．（2024·重庆·九年级校考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②和 走完全程所需时间为 ． 【分析】（1）利用四边相等的四边形是菱形进行证明即可；（2）①构造直角三角形求即可； ②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间． 【详解】（1） 四边形 是矩形， ， 与 交于点O,且 关于 对称， ，， 四边形 是菱形； （2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ， 关于 的对称图形为 ， ， 在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点， 为 的中位线 ，   ，同理可得： 为 的中点， ，   ， ； ②过点P作 交 于点 ， 由 运动到 所需的时间为3s， 由①可得，， 点Q以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A， 即：， 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小. 如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短.， 在 中，设， ， ，解得： ， ，和 走完全程所需时间为． 1．（2023·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在中利用三角函数即可解得MH． 【详解】解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点， ∵菱形中，，∴，为等边三角形， ∴，，∴在中，，∴， ∴此时得到最小值，， ∵，，∴，又∵，∴,故选：B. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键． 2．（2023上·四川乐山·九年级统考期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，，∴，∵＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，，∴是等边三角形，∴， 在中，，∴，∴，∴， ∴，∴，∴的最小值为12，故选：D． 【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题． 3．（2023秋·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案． 【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， 则，∴， ∴， ． 即的最小值为6．故选B． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．    （1） °；（2）的最小值为 ． 【答案】 2 【分析】（1）由矩形的性质得到，又由得到是等边三角形，则，即可得到答案；（2）过点P作于点E，过点M作于点F，证明，进一求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴， ∴，故答案为：． （2）过点P作于点E，过点M作于点F，    在中，由（1）知：，∴，∴， 在矩形中，，∵，∴， 在中，，∴，∴的最小值为2，故答案为：2． 【点睛】此题考查了矩形的性质、含的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质、含的直角三角形的性质是解题的关键． 5．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 6．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使，连接，点M，N分别是线段上的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，作于，于，于，则四边形是矩形，，由题意可求，，，则，，由，可知当三点共线且时，最小，为，求的长，进而可求最小值， 【详解】解：如图，作于，于，于，则四边形是矩形，∴， ∵平行四边形中，，，，， ∴，，∴，∴，∴， ∴，∴当三点共线且时，最小，为， ∵，∴，由勾股定理得，， ∴最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，含的直角三角形，等边对等角，勾股定理等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 7．（2023上·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在长方形中，对角线．将长方形沿对角线折叠，得，点 M 是线段上一点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，进而得到当三点共线时，的值最小为的长，再根据点到直线，垂线段最短，得到当时， 最小，即点与点重合，再利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵在长方形中，对角线， ∴，∴， ∵将长方形沿对角线折叠，得， ∴，∴， 过点作于点，连接，过点作于点，则：，， ∵，∴，∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵点到直线，垂线段最短，∴当时， 最小，即点与点重合， ∵，∴，∴， ∴，即：的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最短．解题的关键是理解两点之间线段最短，以及点到直线垂线段最短，添加辅助线构造特殊三角形． 8．（2023·黑龙江绥化·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，对角线、相交于点O，．点E是的中点，若点F是对角线上一点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点F作于点G，证明为等边三角形，推出，则，，进而得出，当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值，证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解． 【详解】解：过点F作于点G，如图， ∵四边形为矩形，∴，，∵，∴为等边三角形， ∴，，∴，． ∵，∴，，∴， 当点E、F、G在同一条直线上时，取最小值， ∵点E是的中点，∴，则， ∵，∴，∴，∴，解得：， 综上：的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，找出． 9．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 【答案】6 【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再将原式变形，进而得出PA+PD最小值，进而得出答案． 【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P， ∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=， ∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD）， ， 此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键． 10．（2023·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．证明BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，再根据B′H≥B′F，求出B′F即可解决问题． 【详解】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H． 与x轴交于点C，与y轴变于点A， 令x=0，y=，令y=0,得x= ∴A（0，），C（，0）， ∴OA＝，OC＝，∴AC==2OA，∴∠ACO＝30°， ∵EH⊥OC，∴EH＝EC，∵BB′＝DE，BB′∥DE，∴四边形DBB′E是平行四边形，∴BD＝B′E， ∵BM∥AC，∴∠BMC＝∠ACO＝30°，∵∠BCM＝90°，BC＝，∴BM＝2BC＝3， ∴B′M＝1＋3，∵∠MFB′＝90°，∴B′F＝MB′＝， ∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，∴BD＋EC≥， ∴BD＋EC的最小值为，故答案为． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 11．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．    【答案】①③④⑤ 【分析】①首先根据垂直平分，可得；然后根据折叠的性质，可得，据此判断出为等边三角形，即可判断出．②首先根据，，求出；然后在中，根据，求出的大小即可．③证明所以．④构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．⑤首先过点作，在同一条直线上且时的值最小． 【详解】解：如图，连接，      垂直平分，，根据折叠的性质，可得：， ，为等边三角形，，即结论①正确； ，，， ，即结论②不正确． ∵折叠，∴，∴ ∵∴∴ ∴，即结论③正确．设，则， ∵，，∴，在中由， ∴，解得：，即，即结论④正确． 过点H作，是等边三角形，，∴， 在同一条直线上且时的值最小， 此时，的最小值是， 即结论⑤正确．故答案为：①③④⑤． 【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握． 12．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在 中， ，，则．请在这一结论的基础上继续思考：若是的中点，P为边上一动点，则的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，正确找出当点与点重合时，取得最小值是解题关键．过作于，过点作于，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质可得，再两点之间线段最短、垂线段最短可得的最小值为，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过作于，过点作于，连接， ，点是的中点，， ，，为正三角形，∴ ，，，， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 即的最小值为的长，，，，， 即的最小值为，故答案为：． 13．（2023·吉林·二模）【问题原型】如图①，在，，，求点C到的距离． 【问题延伸】如图②，在，，．若点M在边上，点P在线段上，连结，过点P作于Q，则的最小值为__________． 【问题拓展】如图③，在矩形中，，点E在边上，点M在边上，点F在线段上，连结，若，则的最小值为__________． 【答案】[问题原型]；[问题延伸]；[问题拓展] 【分析】[问题原型]过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再结合等面积法即可求解； [问题延伸]连接，过点作于，过点作于．根据题意可得的最小值等于的长，再由当时，的长最小，可得的最小值等于的长，再根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再结合等面积法即可求解； [问题拓展]过点F作于点H，连接，过点E作于点G，根据直角三角形的性质可得在，从而得到，继而得到的最小值等于，再由当时，的长最小，即的长最小，可得的最小值等于，即可求解． 【详解】解：[问题原型]∶如图，过点作于，过点作于． ∵，∴．在中，． ∵，∴．∴点到的距离为． [问题延伸]∶如图，连接，过点作于，过点作于． ∵，∴的最小值等于的长， ∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合，∴的最小值等于的长， ∵，∴．在中，． ∵，∴．即的最小值为；故答案为：； [问题拓展]∶如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G， 在中，，∴，∴， ∴的最小值等于， ∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合，∴的最小值等于， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∴，即的最小值等于． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 14．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．①四边形是正方形吗？请说明理由；②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 【答案】①是，理由见解析；② 【分析】①如图3，连接，证明，所以，；由折叠可知，，，由四边形内角和和平角的定义可得，所以，则，所以四边形是菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论； ②作交的延长线于点，作于点，可证明，由此可得；易证是等腰直角三角形，所以，则，可得，则；作关于的对称点，则，可得，求出的值即可得出结论． 【详解】解：①如图3，连接， 由（2）的结论可知，， 四边形是正方形，是正方形的对角线，，， ，，，， 由折叠可知，，，，， ，，，， ，四边形是菱形，，菱形是正方形； ②如图4，作交的延长线于点，作于点， ，由上知四边形是正方形， ，，，， ，，，； ，，是等腰直角三角形，， ，，，； 如图4，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点， 则是等腰直角三角形，，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长．，， ，，，， ，即的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角 形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 15．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    【答案】(1)见详解(2) 【分析】（1）根据菱形的性质证明，再结合是的垂直平分线，即可证明； （2）过点N作于点F，连接，，则，故，此时，在中，进行解直角三角形即可． 【详解】（1）证明：连接，            ∵四边形是菱形，∴，， ∵，∴，∴， ∵是的垂直平分线，∴，∴； （2）解：过点N作于点F，连接， ∵，∴，∵，∴， 当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图： 即，∴在中，，∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解直角三角形，正确添加辅助线是解决本题的关键． 16．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长为6的菱形中，，连接，点 E，F分别是边，上的动点，且，连接，，． (1)如图①，当点E是边的中点时，求的度数； (2)如图②，当点E是边上任意一点时，的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由；(3)若点P是线段上的一个动点，连接，求的最小值． 【答案】(1)(2)不改变，见解析(3) 【分析】（1）由菱形可得，，从而，是等边三角形，根据“三线合一”可得 ，，进而证得点F是边的中点，从而，根据即可解答； （2）由（1）得到，是等边三角形，从而，，进而证得，得到，从而； （3）过点P作于点 G，连接，过点F作于点，交于点，则，因此，当点F，P，G三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，过点D作于点H，的最小值即为的长，在中通过解直角三角形即可解答． 【详解】（1）∵四边形是菱形，边长为6，∴，， ∴，是等边三角形，∴， ∵点E是边的中点，∴，， ∵，∴∴点F是边的中点， ∴，∴； （2）的度数不改变，证明如下： 由（1）得到，是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴， ∴； （3）如图，过点P作于点 G，连接，过点F作于点，交于点， ∵，∴在中， ∴  ∴当点F，P，G三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，过点D作于点H， ∵四边形是菱形，∴，∴的最小值即为的长， ∵，是等边三角形，∴，∴的最小值为． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，垂线段最短，解直角三角形．正确作出辅助线，综合运用相关知识，采用转化思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$