7.3 独立性检验问题-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] (教师独具内容) 课程标准：1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用． 教学重点：1.独立性检验的基本思想.2.独立性检验的应用． 教学难点：独立性检验的基本思想． 核心素养：1.通过学习2×2列联表和独立性检验的基本思想，培养数学抽象素养.2.通过利用独立性检验解决问题，培养数学建模及数学运算素养． 知识点一　2×2列联表 吸烟情况 患肺癌情况 患肺癌 未患肺癌 吸烟 56 1932 不吸烟 23 4567 上面是一张2行2列的表，在统计中称为2×2列联表． 知识点二　独立性检验的基本思想 设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝1；变量B：B1，B2＝1. 通过观察得到如表的数据： A B B1 B2 总计 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 统计学家选取统计量χ2＝来检验变量之间是否独立． 统计上已经证明：在变量A，B独立的前提下，当样本量很大时，χ2近似服从一个已知的分布χ2(1)．当χ2较大时，说明变量之间不独立．在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断． (1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； (2)当χ2>2.706时，有90%的把握判断变量A，B有关联； (3)当χ2>3.841时，有95%的把握判断变量A，B有关联； (4)当χ2>6.635时，有99%的把握判断变量A，B有关联． 独立性检验是数据统计的一种方法，是数学中的一种基本理论，是数学体系中对数据关系进行探索的一种基本思想．判断两个随机事件是否相关可以通过独立性检验来考查． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响．(　　) (2)χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量．(　　) (3)当χ2<2.706时，我们有90%的把握认为随机事件A与B有关系．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)某校为了检验高中数学新课程改革的成果，在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下面2×2列联表所示(单位：人)，则其中m＝________，n＝________． 班级 成绩 80分及以上 80分以下 总计 试验班 32 18 50 对照班 24 m 50 总计 56 44 n (2)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 是否爱好 性别 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 经计算得χ2＝≈7.8. 给出下列两个结论： ①有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”； ②有99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”． 其中正确的是________． 答案　(1)26　100　(2)① 题型一　2×2列联表 　在一项有关医疗保健的社会调查中，调查的男性有530人，女性有670人，发现其中男性中喜欢吃甜食的有117人，女性中喜欢吃甜食的有492人，请作出性别与喜欢吃甜食的列联表． [解]　作2×2列联表如下： 性别 吃甜食情况 喜欢吃甜食 不喜欢吃甜食 总计 男 117 413 530 女 492 178 670 总计 609 591 1200 感悟提升　对问题中的不同数据分成不同的类别，然后列表．注意列联表中的类别书写格式与数据也要对应清晰． 　“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表： 平均每周进行马拉松长跑训练的天数 不大于2天 3天或4天 不少于5天 人数 30 130 40 若某人平均每周进行马拉松长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”． (1)经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数； (2)根据上表的数据，填写下面2×2列联表． 性别 参与者情况 热烈参与者 非热烈参与者 总计 男 140 女 55 总计 解　(1)以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，可得该市“热烈参与者”的人数约为20000×＝4000. (2)由题意可得2×2列联表如下： 性别 参与者情况 热烈参与者 非热烈参与者 总计 男 35 105 140 女 5 55 60 总计 40 160 200 题型二　独立性检验的基本思想及应用 　(1)在吸烟与患肺癌是否相关的研究中，下列说法正确的是(　　) A．若χ2>6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，那么在100个吸烟的人中必有99个人患有肺癌 B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺癌 C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指有5%的可能性使得推断出现错误 D．以上三种说法都不正确 [解析]　若χ2>6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，而不是在100个吸烟的人中必有99个人患肺癌，故A不正确；99%是指吸烟与患肺癌有关的概率，而不是吸烟的人有99%的可能患有肺癌，故B不正确；C显然正确，D不正确． [答案]　C (2)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 性别 服务评价 满意 不满意 总计 男 40 10 50 女 30 20 50 总计 70 30 100 ①分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； ②能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：χ2＝. 90% 95% 99% χ2 >2.706 >3.841 >6.635 　　[解]　①由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的频率为＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8. 女顾客中对该商场服务满意的频率为＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6. ②χ2＝≈4.762. 由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异． 感悟提升　独立性检验的关注点 (1)步骤：列表，计算，判断． (2)注意：①χ2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心． ②判断时把计算结果与临界值比较，其值越大，有关的可信度越高． 　在某医院，因为患心脏病而住院的600名男性病人中有200人秃顶，而另外750名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有150人秃顶． (1)填写下面秃顶与患心脏病列联表： 是否秃顶 患病类型 患心脏病 患其他病 总计 秃顶 不秃顶 总计 据表中数据估计秃顶病患中患心脏病的概率P1和不秃顶病患中患心脏病的概率P2，并用两个估计概率判断秃顶与患心脏病是否有关； (2)能否有99%的把握认为秃顶与患心脏病有关？请说明理由． 解　(1)完成列联表如下： 是否秃顶 患病类型 患心脏病 患其他病 总计 秃顶 200 150 350 不秃顶 400 600 1000 总计 600 750 1350 P1＝＝，P2＝＝， 由于P1远大于P2，所以判断秃顶与患心脏病有关． (2)由题可知， χ2＝＝ ≈30.86＞6.635， 所以有99%的把握认为秃顶与患心脏病有关． 1．下列说法不正确的是(　　) A．变量A与B独立，即两个变量互不影响 B．变量A与B关系越密切，则χ2就越大 C．χ2的大小是判定变量A与B是否相关的唯一根据 D．若判定两个变量A与B相关，则A发生B可能发生，也可能不发生 答案　C 解析　变量A与B独立，即两个变量互不影响，A正确；由独立性检验的意义知，B正确；χ2的大小是判定变量A与B是否相关的一种方法，不是唯一依据，C不正确；若变量A与B相关，则A发生B可能发生，也可能不发生，D正确．故选C. 2．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表(单位：人)： 文化程度 月收入 2000元以下 2000元及以上 总计 高中文化以上 9 44 53 高中文化及以下 19 30 49 总计 28 74 102 由上表中数据计算得 χ2＝≈6.073，则认为“文化程度与月收入有关系”的把握为(　　) A．1% B．90% C．95% D．99% 答案　C 解析　由于6.073>3.841，故有95%的把握认为“文化程度与月收入有关系”． 3．(多选)下列关于统计量χ2的说法正确的是(　　) A．可以为负值 B．χ2的值越大，两个变量有关系的把握越大 C．当χ2<2.706时，可以认为两个变量是没有关联的 D．χ2＝ 答案　BC 解析　χ2的值不可能为负值，故A错误；易知B正确；由两个变量独立性的判断标准知，C正确；χ2＝，故D错误．故选BC. 4．下面2×2列联表中a，b的值分别为________． A B B1 B2 总计 A1 a 21 73 A2 2 25 27 总计 b 46 答案　52，54 解析　因为a＋21＝73，所以a＝52.又因为a＋2＝b，所以b＝54. 5．为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下表： 子女吸烟情况 父母吸烟情况 吸烟 不吸烟 总计 吸烟 237 83 320 不吸烟 678 522 1200 总计 915 605 1520 试问：父母吸烟对子女是否吸烟有影响吗？ 解　由2×2列联表中的数据得 χ2＝≈32.52 >6.635. 所以有99%的把握认为父母吸烟对子女是否吸烟有影响． 一、选择题 1．对于变量X与Y的统计量χ2，下列说法正确的是(　　) A．χ2越大，“X与Y有关系”的可信程度越小 B．χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小 C．χ2越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小 D．χ2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大 答案　B 解析　χ2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大．即χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．故选B. 2．利用独立性检验对两个变量是否有关系进行研究时，若有99%的把握认为变量A与B有关系，则具体计算出的数据应该是(　　) A．χ2>6.635 B．χ2<6.635 C．χ2>3.841 D．χ2<3.841 答案　A 解析　有99%的把握认为变量A与B有关系时，应为χ2>6.635.故选A. 3．为了研究患慢性支气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以下的人，调查结果如表所示： 是否吸烟 患慢性支气管炎情况 患慢性支气管炎 未患慢性支气管炎 总计 吸烟 43 162 205 不吸烟 13 121 134 总计 56 283 339 根据以上数据，则认为吸烟与患慢性支气管炎有关的把握为(　　) A．99% B．95% C．90% D．无充分依据 答案　A 解析　因为χ2＝≈7.469>6.635.故选A. 4．(多选)千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了A地区的100天日落和夜晚天气的情况，得到如下2×2列联表： 日落云里走 夜晚天气 下雨 未下雨 总计 出现 25 5 30 未出现 25 45 70 总计 50 50 100 并计算得到χ2≈19.05，下列小波对A地区天气判断正确的是(　　) A．A地区夜晚下雨的概率约为 B．在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为 C．有99%的把握认为“日落云里走”是否出现与当晚是否下雨有关 D．出现“日落云里走”，有99%的把握认为夜晚会下雨 答案　ABC 解析　因为夜晚下雨的天数一共有50天，所以夜晚下雨的概率约为＝，故A正确；未出现“日落云里走”夜晚下雨的有25天，未出现“日落云里走”的一共有70天，所以在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为＝，故B正确；因为χ2≈19.05>6.635，所以有99%的把握认为“日落云里走”是否出现与当晚是否下雨有关，故C正确，D错误．故选ABC. 5．(多选)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩，得到如下列联表： 班级 成绩 优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 总计 105 已知在这105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　) A．列联表中c的值为30，b的值为35 B．列联表中c的值为20，b的值为45 C．根据列联表中的数据，有95%的把握认为成绩与班级有关系 D．根据列联表中的数据，没有95%的把握认为成绩与班级有关系 答案　BC 解析　∵在这105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，∴成绩优秀的人数为105×＝30，非优秀的人数为105－30＝75，∴c＝30－10＝20，b＝75－30＝45，∴χ2＝≈6.109>3.841.∴根据列联表中的数据，有95%的把握认为成绩与班级有关系． 二、填空题 6．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示： 年龄 收看节目类型 文艺节目 新闻节目 总计 20岁至40岁 40 18 58 大于40岁 15 27 42 总计 55 45 100 由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？________(填“是”或“否”)． 答案　是 解析　因为在20岁至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的． 7．在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则χ2的值变为原来的________倍． 答案　2 解析　公式χ2＝中所有值变为原来的2倍，则 ＝2χ2， 故χ2的值也变为原来的2倍． 8．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行调查，结果如下表： 生活是否规律 患胃病情况 患胃病 未患胃病 总计 不规律 60 260 320 有规律 20 200 220 总计 80 460 540 根据以上数据，________(填“能”或“不能”)有99%的把握认为40岁以上的人患胃病与生活规律有关． 答案　能 解析　由公式，得χ2＝≈9.638.因为9.638>6.635，所以能有99%的把握认为40岁以上的人患胃病与生活规律有关． 三、解答题 9．安全正点、快捷舒适、绿色环保的高速铁路越来越受到中国人民的青睐．为了解动车的终到正点率，某调查中心分别随机调查了甲、乙两家公司生产的动车的300个车次的终到正点率，得到如下列联表： 公司 终到正点率 低于0.95 不低于0.95 甲公司生产的动车 100 200 乙公司生产的动车 110 190 (1)根据上表，分别估计这两家公司生产的动车的终到正点率不低于0.95的概率； (2)能否有90%的把握认为甲、乙两家公司生产的动车的终到正点率是否低于0.95与生产动车的公司有关？ 解　(1)用频率估计概率，甲公司生产的动车的终到正点率不低于0.95的概率约为＝； 乙公司生产的动车的终到正点率不低于0.95的概率约为＝. (2)因为χ2＝＝＜1， 所以χ2＜2.706， 所以没有90%的把握认为甲、乙两家公司生产的动车的终到正点率是否低于0.95与生产动车的公司有关． 1．某企业为在推进中国式现代化新征程中展现更大作为，在提升员工敬业精神和员工管理水平上实施新举措制定新方案．现对员工敬业精神和员工管理水平进行评价，从企业中选出200人进行统计，其中对员工敬业精神和员工管理水平都满意的有50人，对员工敬业精神满意的人数是总人数的40%，对员工管理水平满意的人数是总人数的45%. (1)完成对员工敬业精神和员工管理水平评价的2×2列联表，根据2×2列联表，是否有99%的把握认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关？ 企业对员工敬业精神的评价 企业对员工管理水平的评价 对员工管理水平满意 对员工管理 水平不满意 总计 对员工敬业精神满意 对员工敬业精神不满意 总计 (2)在统计学中常用T(B|A)＝表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，现从该企业员工中任选一人，A表示“选到对员工管理水平不满意”，B表示“选到对员工敬业精神不满意”，请利用样本数据，估计T(B|A)的值． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. 90% 95% 99% χ2 >2.706 >3.841 >6.635 解　(1)由题意可得关于对员工敬业精神和员工管理水平评价的2×2列联表如下： 企业对员工敬业精神的评价 企业对员工管理水平的评价 对员工管理水平满意 对员工管理水平不满意 总计 对员工敬业精神满意 50 30 80 对员工敬业精神不满意 40 80 120 总计 90 110 200 由表中数据计算得 χ2＝≈16.498>6.635， 所以有99%的把握认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关． (2)因为T(B|A)＝＝＝＝＝＝， 所以估计T(B|A)的值为. 2．(2023·全国甲卷)为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物)． (1)设指定的两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望； (2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好) 对照组： 17．3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26．1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3 实验组： 5．4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14．4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0 (ⅰ)求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表： ＜m ≥m 对照组 实验组 (ⅱ)根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用？ 参考数据： 90% 95% 99% χ2 >2.706 >3.841 >6.635 解　(1)依题意，X的可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. (2)(ⅰ)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排好后第20位与第21位数据的平均数， 由于原数据已经按从小到大排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可， 可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3，17.3，18.4，19.2，20.1，20.2，20.4，21.5，23.2，23.6，…， 故第20位数据为23.2，第21位数据为23.6， 所以m＝＝23.4， 故列联表为 ＜m ≥m 对照组 6 14 实验组 14 6 (ⅱ)由(ⅰ)可得，χ2＝＝6.4＞3.841， 所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$