7.2 成对数据的线性相关性-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] (教师独具内容) 课程标准：1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.2.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性． 教学重点：1.样本相关系数的概念及其统计意义.2.利用相关系数比较多组成对数据的线性相关性． 教学难点：推导样本相关系数与标准化数据向量夹角关系的过程． 核心素养：1.通过对样本相关系数的概念及其统计意义的学习，培养数学抽象素养.2.通过利用相关系数比较多组成对数据的线性相关性，培养数学运算素养． 知识点一　样本(线性)相关系数 一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，记 r＝ ＝，称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数．为了计算的方便，样本相关系数计算公式也可写为 r＝，显然，样本(线性)相关系数r的取值范围为[－1，1]． |r|值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；|r|值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱． 知识点二　正相关、负相关、线性不相关 当r>0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时称两个随机变量正相关； 当r<0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时称两个随机变量负相关； 当r＝0时，此时称两个随机变量线性不相关． (1)样本相关系数r也称样本线性相关系数，|r|刻画了样本点集中于某条直线的程度．当r＝0时，只表明成对数据间线性不相关，但不排除它们之间有其他关系． (2)通常当|r|值大于0.75时，我们认为两个变量之间线性关系较强． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)样本相关系数r反映了两个随机变量之间的线性相关程度．(　　) (2)当r＝－1时，表示成对样本数据的线性相关程度比较弱．(　　) (3)当r＝0时，表示成对样本数据之间一定没有关系．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)下列四个选项中，两个变量具有线性关系的是(　　) (2)甲、乙、丙、丁四位同学各自对X，Y两变量的线性相关性做试验，并分别求得样本相关系数r，如下表： 样本相关系数 甲 乙 丙 丁 r －0.82 0.78 0.69 0.87 则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案　(1)B　(2)D 题型一　相关系数的计算 　许多先进国家对驾驶员的培训大多采用室内模拟教学和训练，而后再进行实地训练并考试，这种方法可以大大节约训练的费用．问题是这种方法有效吗？下表是12名学员的模拟驾驶成绩X与实际考试成绩Y的记录(单位：分)： X 98 55 50 87 77 89 79 98 94 83 74 73 Y 95 60 45 85 75 87 75 97 92 80 71 72 试问：X与Y是否具有线性关系？如果具有线性关系，求出Y与X间的样本相关系数，并推断它们的线性相关程度． [解]　画出散点图，如图所示： 观察散点图可知样本点都集中在一条直线附近，所以变量X与Y具有线性关系． 由表中数据，得 ＝×(98＋55＋…＋73)＝79.75， ＝×(95＋60＋…＋72)≈77.83. 由样本相关系数的计算公式可得 ＝ ≈ ≈ ≈0.99. 由样本相关系数r≈0.99，可以推断学员的模拟驾驶成绩与实际考试成绩这两个变量正相关，且线性相关程度很强． 感悟提升　在直接利用样本相关系数公式 计算样本相关系数比较困难时，可以利用其变形形式，即 ，分别计算出 然后代入公式计算即可. [跟踪训练1] 某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表所示： 年收入X/ 万元 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年饮食支 出Y/万元 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 试推断该地家庭的年收入和年饮食支出是否具有线性关系？如果具有线性关系，计算样本相关系数，并推断它们的线性相关程度. 解　画出散点图如图所示： 由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此可以推断该地家庭的年收入和年饮食支出具有线性关系. 由表中数据计算可得=6，=1.83，=406，=35.13， =117.7. 所以样本相关系数 r＝ ＝ ＝ ≈0.91. 由样本相关系数r≈0.91，可以推断该地家庭的年收入和年饮食支出这两个变量正相关，且线性相关程度很强． 题型二　相关系数的应用 　一个生物研究性学习小组，为了研究平均气温与一天内某豆类胚芽生长之间的关系，分别记录了4月6日至11日的平均气温X(单位：℃)与该豆类胚芽一天生长的长度Y(单位：mm)，得到如下数据： 日期 4月6日 4月7日 4月8日 4月9日 4月10日 4月11日 平均气温X/℃ 10 11 13 12 8 6 一天生长的长度Y/mm 22 25 29 26 16 12 画出散点图，推断成对数据是否具有线性关系，并通过样本相关系数推断平均气温X(单位：℃)与该豆类胚芽一天生长的长度Y(单位：mm)的线性相关程度和变化趋势的异同． [解]　画出成对样本数据的散点图，如图所示： 从散点图看，平均气温X(单位：℃)与该豆类胚芽一天生长的长度Y(单位：mm)的样本数据呈现出线性关系． 由样本数据计算得样本相关系数 r＝≈0.996. 由此可以推断，平均气温X(单位：℃)与该豆类胚芽一天生长的长度Y(单位：mm)正相关，即平均气温X(单位：℃)与该豆类胚芽一天生长的长度Y(单位：mm)有相同的变化趋势，且线性相关程度很强． 感悟提升　判断两个变量X和Y是否具有线性关系，常用的简便方法就是绘制散点图．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就具有线性关系．然后通过计算样本相关系数来推断这两个变量的线性相关程度及变化趋势的异同． 　某知名中学高三年级甲班班主任近期对班上每位同学的成绩作统计分析时，得到某同学的某些成绩数据如下： 第一次考试 第二次考试 第三次考试 第四次考试 数学总分X/分 118 119 121 122 总分年级排名Y/名 133 127 121 119 画出散点图，由样本数据推断该同学的数学总分与该同学的总分年级排名是否具有线性关系，并通过样本相关系数推断该同学的数学总分与该同学的总分年级排名的线性相关程度和变化趋势的异同． 解　画出成对数据的散点图，如图所示： 从散点图看，该同学的数学总分与该同学的总分年级排名的样本数据呈现出线性关系． 由样本数据计算得样本相关系数 r＝≈－0.98. 由此可以推断，该同学的数学总分与该同学的总分年级排名负相关，即该同学的数学总分与该同学的总分年级排名的变化趋势相反，但线性相关程度很强． 1．关于相关关系，下列说法不正确的是(　　) A．样本相关系数是用来判断两个变量之间线性相关程度的量 B．样本相关系数r越大，两个变量的线性相关程度越强 C．当两个变量的样本相关系数r>0时，表明这两个变量正相关 D．样本相关系数r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关程度越强 答案　B 解析　易知A正确；样本相关系数r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关程度越强，B错误，D正确；对于C，当两个变量的样本相关系数r>0时，表明这两个变量正相关，C正确．故选B. 2．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下： 月份 1 2 3 4 5 6 人均销售额/千元 6 5 8 3 4 7 利润率/% 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3 根据表中数据，下列说法正确的是(　　) A．利润率与人均销售额成正比例函数关系 B．利润率与人均销售额成反比例函数关系 C．利润率与人均销售额正相关 D．利润率与人均销售额负相关 答案　C 解析　根据题意，画出利润率与人均销售额的散点图，如图所示： 由散点图，知利润率与人均销售额正相关．故选C. 3．某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，下列关于样本相关系数的比较，其中正确的是(　　) A．r4<r2<0<r1<r3 B．r2<r4<0<r1<r3 C．r2<r4<0<r3<r1 D．r4<r2<0<r3<r1 答案　C 解析　根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条直线附近，说明线性相关程度越强．由题中数据可知①③为正相关，②④为负相关．故r1>0，r3>0，r2<0，r4<0.又①与②中散点图更接近于一条直线，故r1>r3，r2<r4.因此r2<r4<0<r3<r1.故选C. 4．如图所示，有A，B，C，D，E 5组数据，去掉________(请用A，B，C，D，E作答)组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关性． 答案　D 解析　∵A，B，C，E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远，∴去掉D点剩下的4组数据的线性相关性较强． 5．最近《交通安全法》实施后，某市交通管理部门以周为单位，记录的每周查处的酒驾人数与该周内出现的交通事故数量如下： 酒驾人数X 80 147 121 100 96 103 87 交通事故数量Y 19 31 30 23 25 24 20 根据表中的样本数据，推断酒驾人数与交通事故数量这两个变量是否具有线性关系？如果具有线性关系，计算样本相关系数，并推断它们的线性相关程度． 解　画出散点图，如图所示： 从散点图可以看出样本点从左向右呈带状分布，且在一条直线附近，由此推断酒驾人数与交通事故数量这两个变量具有线性关系． 由样本数据计算得样本相关系数 r＝≈0.94. 由此可以推断酒驾人数与交通事故数量这两个变量正相关，且相关程度很强． 一、选择题 1．下列有关样本相关系数r的说法正确的是(　　) A．r越大，表示线性相关程度越弱 B．r越小，表示线性相关程度越强 C．|r|≤1，且|r|值越接近0，表示线性相关程度越弱 D．|r|≥1，且|r|值越大，表示线性相关程度越弱 答案　C 解析　样本相关系数r的取值范围为[－1，1]，当|r|值越接近1时，表示成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|值越接近0时，表示成对样本数据的线性相关程度越弱，故A，B，D错误，C正确．故选C. 2．给定两个变量X与Y的一组样本数据，求得样本相关系数r＝－0.990，则(　　) A．X与Y不具有线性关系 B．X与Y正相关 C．X与Y的线性相关程度很强 D．X与Y的相关程度很弱 答案　C 解析　∵样本相关系数r＝－0.990，其绝对值很接近于1，∴X与Y的线性相关程度很强．故选C. 3．对两个变量X，Y进行线性相关分析，得样本相关系数r1＝0.7859，对两个变量U，V进行线性相关分析，得样本相关系数r2＝－0.9568，则下列判断正确的是(　　) A．变量X与Y正相关，变量U与V负相关，变量X与Y的线性相关程度较强 B．变量X与Y负相关，变量U与V正相关，变量X与Y的线性相关程度较强 C．变量X与Y正相关，变量U与V负相关，变量U与V的线性相关程度较强 D．变量X与Y负相关，变量U与V正相关，变量U与V的线性相关程度较强 答案　C 解析　由样本相关系数r1＝0.7859>0，知变量X与Y正相关．由样本相关系数r2＝－0.9568<0，知变量U与V负相关．又|r1|<|r2|，所以变量U与V的线性相关程度比变量X与Y的线性相关程度强．故选C. 4．(2023·天津高考)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示．其中相关系数r＝0.8245，下列说法正确的是(　　) A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245 答案　C 解析　因为相关系数r＝0.8245>0.75，所以花瓣长度和花萼长度的相关性较强，并且呈正相关，所以A，B错误，C正确；因为相关系数与样本的数据有关，所以当样本发生变化时，相关系数也可能会发生变化，所以D错误．故选C. 5．(多选)如图是某市2023年4月至2024年3月每月最低气温(℃)与最高气温(℃)的折线统计图，已知每月最低气温与最高气温的样本相关系数r＝0.83，则下列结论正确的是(　　) A．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为正相关 B．月温差(月最高气温－月最低气温)的最大值出现在10月 C．9～12月的月温差相对于5～8月，波动性更大 D．每月最高气温与最低气温的平均值在前6个月逐月增加 答案　ABC 解析　由每月最低气温与最高气温的样本相关系数r＝0.83，可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为正相关，由所给的折线图可以看出月温差(月最高气温－月最低气温)的最大值出现在10月，9～12月的月温差相对于5～8月，波动性更大，每月的最高气温与最低气温的平均值在前5个月逐月增加，第6个月开始减少，所以A，B，C正确，D错误．故选ABC. 二、填空题 6．用样本相关系数公式求得甲、乙、丙3组不同成对数据的相关系数分别为0.81，－0.98，0.63，则________组数据的线性相关程度最弱． 答案　丙 解析　因为样本相关系数r的绝对值越接近0，表示成对数据的线性相关程度越弱，而1>|－0.98|>|0.81|>|0.63|，所以丙组数据的线性相关程度最弱． 7．某单位为了了解用电量Y(单位：千瓦时)与气温X(单位：℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下表格： 气温X/℃ 18 13 10 －1 用电量Y/千瓦时 24 34 38 64 由表中数据可知，气温与用电量这两个变量________(填“正”或“负”)相关，样本相关系数r约为________(精确到0.001)． 答案　负　－0.997 解析　由表中数据可知，随着气温的降低，用电量逐渐升高，故气温与用电量这两个变量负相关．由表中数据可得样本相关系数r＝＝≈－0.997. 8．在下列各图中，线性相关性最强的是________． 答案　① 解析　对于①，图中各点成带状分布，这组变量具有较强的线性相关性；对于②，③，④，图中所示的散点图中，样本点成片状分布，两个变量的线性相关性相对较弱，或不具有线性相关性．故线性相关性最强的是①. 三、解答题 9．某厂的生产原料耗费X(单位：百万元)与销售额Y(单位：百万元)之间有如下的对应关系： X 2 4 6 8 Y 30 40 50 70 (1)画出散点图，并推断X与Y是否具有线性关系； (2)计算X与Y的样本相关系数，并刻画它们的线性相关程度． 解　(1)画出散点图如图所示： 从散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断X与Y具有线性关系． (2)因为＝5，＝47.5， =120，=9900，=1080， 故样本相关系数r＝＝≈0.9827. 由样本相关系数r≈0.9827，可以推断生产原料耗费与销售额这两个变量正相关，且相关程度很强． 10．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量X(万辆) 100 102 108 114 116 PM2.5的浓度Y(微克/立方米) 78 80 84 88 90 画出散点图，推断成对数据是否具有线性关系，并通过样本相关系数推断车流量与PM2.5的浓度的相关程度和变化趋势的异同． 解　画出成对样本数据的散点图，如图所示： 从散点图看，车流量与PM2.5的浓度的样本数据具有线性关系． 由样本数据计算得样本相关系数 r＝≈0.998. 由此可以推断，车流量与PM2.5的浓度正相关，即车流量与PM2.5的浓度有相同的变化趋势，且相关程度很强． 1．某产品的广告费用X(单位：万元)与销售额Y(单位：万元)的统计数据如下表： 广告费用X/万元 4 2 3 5 销售额Y/万元 49 26 39 54 根据此表提供的数据，请推断广告费用与销售额之间是否具有线性关系以及线性相关程度和变化趋势的特征． 解　根据表中数据画出散点图，如图所示， 从散点图可以看出广告费用与销售额之间具有线性关系，且是正相关． 由样本数据计算得样本相关系数\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1)) r＝≈0.98. 由此可以推断，广告费用与销售额之间有相同的变化趋势，且相关程度很强． 2．某大学生利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至11月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，得到销售单价X(单位：元)和销售量Y(单位：件)之间的一组数据如下表所示： 月份 7 8 9 10 11 销售单价X/元 9 9.5 10 10.5 11 销售量Y/件 11 10 8 6 5 画出散点图，推断销售单价与销售量之间是否具有线性关系以及线性相关程度和变化趋势的异同． 解　画出成对样本数据的散点图，如图所示， 从散点图可以看出销售单价与销售量之间具有线性关系，且是负相关． 由样本数据计算得样本相关系数 r＝≈－0.99. 由此可以推断销售单价与销售量之间变化趋势相反，但相关程度很强． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$