3.2.2 第2课时 空间向量的数量积-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 第2课时　空间向量的数量积 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握空间向量的数量积.2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.3.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题． 教学重点：数量积运算在空间几何体中的应用． 教学难点：空间向量数量积性质的应用． 核心素养：在理解并应用空间向量数量积的过程中，掌握相关概念和方法，培养数学抽象及数学运算素养． 知识点一　两个向量的夹角 两个向量的夹角被唯一确定，并且〈a，b〉＝〈b，a〉． 当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向相同； 当〈a，b〉＝π时，向量a与b方向相反； 当〈a，b〉＝时，称向量a，b互相垂直，记作a⊥b． 规定：零向量与任意向量垂直． 知识点二　两个向量的数量积 (1)定义 已知两个空间向量a，b，把|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)结论 ①cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)； ②|a|＝； ③a⊥b⇔a·b＝0． (3)运算律 ①交换律：a·b＝b·a； ②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c； ③(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)． 知识点三　投影向量与投影数量 (1)投影向量 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于||b|cos〈a，b〉|． 当〈a，b〉为锐角时，|b|cos〈a，b〉>0(如图1)； 当〈a，b〉为钝角时，|b|cos〈a，b〉<0(如图2)； 当〈a，b〉＝时，|b|cos〈a，b〉＝0(如图3)． (2)投影数量 若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos〈a，b〉＝＝a0·b． 　对空间任意两个非零向量a，b有： (1)〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉； (2)〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于空间任意两个非零向量a，b，a∥b是〈a，b〉＝0的充要条件．(　　) (2)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b.(　　) (3)若a，b均为空间非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．(　　) (4)向量b在向量a方向上的投影向量与向量a在向量b方向上的投影向量相同．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中数量积可能不为零的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 (2)若空间向量a与b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为，则a·b＝________． (3)已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________，b在a方向上的投影数量为________． 答案　(1)A　(2)1　(3)　 题型一　求向量的数量积 　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)·；(2)·； (3)·；(4)·. [解]　(1)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1×cos60°＝. (2)·＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos0°＝. (3)·＝·＝||||·cos〈，〉＝×1×1×cos120°＝－. (4)·＝(＋)·(＋)＝[·(－)＋·(－)＋·＋·]＝[－·－·＋(－)·＋·]＝×＝－. 感悟提升 1．计算空间向量数量积的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 2．在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 　如图所示，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则·等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　A 解析　∵·＝(＋)·(－)＝(－＋－)·(－)＝(－2＋)·(－)＝·－2－·＋·＋2－·，又易知·＝0，·＝0，·＝0，||＝||，∴·＝0.故选A. 题型二　利用数量积求夹角 　已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1，▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，求向量与夹角的余弦值． [解]　设AB＝a，如图所示． ∵＝＋，＝＋， ∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·. ∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， ∴·＝0，·＝0，·＝0且·＝－a2， ∴·＝－a2. 又·＝||||cos〈，〉， ∴cos〈，〉＝＝－. 感悟提升　由数量积求夹角的方法策略 由两个向量的数量积的定义得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求出〈a，b〉的大小． 　三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则向量与夹角的余弦值为________． 答案　 解析　如图所示，设该三棱柱的底面边长为1，依题意有＝＋，＝＋＋＝＋－，则||2＝(＋)2＝2＋2·＋2＝2＋2cos60°＝3，||2＝(＋－)2＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝2，而·＝(＋)·(＋－)＝·＋·－·＋·＋·－·＝＋－1＋＋1－＝1，所以cos〈，〉＝＝＝. 题型三　空间向量数量积的应用 　如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAA1＝∠DAA1＝60°. (1)求AC1的长； (2)求向量在方向上的投影数量． [解]　(1)由题意得·＝0，·＝4×5×cos60°＝10，·＝3×5×cos60°＝. 因为＝＋＋＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝42＋32＋52＋0＋20＋15＝85. 所以AC1的长为. (2)连接A1C1，易知A1C1＝5， 在△A1AC1中，由余弦定理，得 cos∠A1AC1＝＝＝，即cos〈，〉＝，故向量在方向上的投影数量为||cos〈，〉＝×＝. 感悟提升 (1)计算线段的长度通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)． (2)应牢记并能熟练地应用公式 |a＋b＋c|＝＝. (3)求一个向量在另一个向量方向上的投影向量或投影数量时，要紧扣投影向量或投影数量的定义，数形结合进行求解．注意投影数量可正可负． (4)由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可． 　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，F，G分别是棱BC，CD的中点． (1)指出向量 分别在 ，方向上的投影向量； (2)求证：⊥. 解　(1)由正方体的性质，易知向量在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为. (2)证明：设正方体的棱长为a， ∵·＝(＋＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋·＋·＋· ＝·＋·＝a2－a2＝0， ∴⊥. 1．下列命题中，正确命题的个数为(　　) ①＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b；③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a. A．4 B．3 C．2 D．1 答案　B 解析　∵a·a＝|a|2，∴＝|a|，故①正确；m(λa)·b＝(mλa)·b＝mλa·b＝(mλ)a·b，故②正确；a·(b＋c)＝a·b＋a·c，(b＋c)·a＝b·a＋c·a＝a·b＋a·c，即a·(b＋c)＝(b＋c)·a，故③正确；a2b＝|a|2b，b2a＝|b|2a，故④不一定正确．故选B. 2．已知a，b为空间向量，|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　　) A．60° B．30° C．135° D．45° 答案　D 解析　∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝1－1××cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝.∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°. 3．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案　A 解析　由题图可知，AB与上底面垂直，因此AB⊥BPi(i＝1，2，…，8)，则·＝·(＋)＝||2＝1(i＝1，2，…，8)． 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与夹角的大小为________，在方向上的投影数量为________． 答案　60°　 解析　根据向量的线性运算可得·＝(＋)·＝2＝1.由题 意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，从而〈，〉＝60°.因为||＝，所以在方向上的投影数量为||cos〈，〉＝×＝. 5.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点． 证明：⊥. 证明　因为·＝(＋＋)·(＋＋)＝(＋＋)·＋(＋＋)·＋(＋＋)·， 又(＋＋)·＝2＋0＋(－1)＝1，(＋＋)·＝0＋(－1)＋0＝－1，(＋＋)·＝0， 所以·＝1＋(－1)＋0＝0，因此⊥. 一、选择题 1．正方体ABCD－A′B′C′D′中，〈，〉＝(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 答案　D 解析　连接BD，A′D，因为B′D′∥BD，△A′BD为正三角形，所以∠A′BD＝60°，由向量夹角的定义可知〈，〉＝120°，即〈，〉＝120°. 2．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 答案　B 解析　因为·＝0，·＝0，·＝0，所以·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2>0，所以cos∠CBD＝>0，故∠CBD是锐角．同理·>0，·>0，可得∠BCD，∠BDC都是锐角，故△BCD是锐角三角形．故选B. 3.如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么(　　) A.·＜· B.·＝· C.·＞· D.·与·不能比较大小 答案　C 解析　易知AE⊥BC，∴·＝0，·＝(＋)·＝·(－)＋·＝||||cos120°－||||·cos120°＋||||cos120°＜0.∴·＞·. 4．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则向量与的夹角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　C 解析　＝＋＋，∴·＝(＋＋)·＝·＋2＋·＝0＋12＋0＝1，又||＝2，||＝1.∴cos〈，〉＝＝＝.∴向量与的夹角是60°. 5．正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是(　　) A．2 B. C. D. 答案　D 解析　如图所示，设＝a，＝b，＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.因为＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c，所以||2＝a2＋b2＋c2＋2＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5，所以|EF|＝. 二、填空题 6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量在向量上的投影数量为________． 答案　1 解析　∵＝，DD1⊥CD，∴在上的投影向量为，故投影数量为1. 7．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________． 答案　－ 解析　由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0，即18＋25λ＋(1＋λ)×3×5×cos135°＝0，∴λ＝－. 8．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________． 答案　－13 解析　∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13. 三、解答题 9.已知正四面体O－ABC的棱长为1. 求：(1)(－)·(＋)； (2)|＋|. 解　(1)(－)·(＋)＝·(＋)＝·＋· ＝1×1×cos60°＋1×1×cos120°＝0. (2)|＋|＝|＋－|＝ ＝ ＝. 10.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是a，CD1和DC1交于点O. (1)求·； (2)求与夹角的余弦值． 解　(1)正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1＝a，〈，〉＝，故·＝a×a×cos＝a2. (2)由题意知，·＝0，·＝0，·＝0，＝＋＝＋(＋)， ||＝ ＝＝， ·＝－·＝－·＝－a2， 故cos〈，〉＝＝＝－. 1.如图，正方形ABCD与正方形ABEF的边长均为1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<)． (1)求MN的长度； (2)当a为何值时，MN的长度最小． 解　(1)由已知得||＝，||＝||＝a. ＝，＝， ＝＋＋ ＝＋＋ ＝(＋)＋＋ ＝(＋)－＋(－＋) ＝－， ||＝ ＝ ＝ ＝(0<a<)． 即MN的长度为(0<a<)． (2)由(1)知当a＝，即M，N分别是AC，BF的中点时，MN的长度最小，最小值为. 2.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为. (1)若侧棱长为1，求证：⊥； (2)若向量与的夹角为，求侧棱的长及向量在方向上的投影数量． 解　(1)证明：＝＋，＝＋. ∵BB1⊥平面ABC， ∴·＝0，·＝0. 又△ABC为正三角形， ∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝. ∵·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋2＋· ＝||·||cos〈，〉＋2 ＝－1＋1＝0， ∴⊥. (2)结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1. 又||＝＝＝||， ∴cos〈，〉＝＝， ∴||＝2， 即侧棱长为2. 则||＝＝， 故向量在方向上的投影数量为 ||cos〈，〉＝×＝. 249 学科网（北京）股份有限公司 $$