2.3.2 抛物线的简单几何性质-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 3.2　抛物线的简单几何性质 (教师独具内容) 课程标准：1.了解抛物线的简单几何性质.2.能用抛物线的简单几何性质解决一些简单问题． 教学重点：根据抛物线的方程、图形研究抛物线的几何性质． 教学难点：抛物线几何性质的应用． 核心素养：通过研究抛物线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养． 知识点　　抛物线的简单几何性质 图形 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 性质 焦点坐标 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 1．抛物线是圆锥曲线中最为特殊的一种曲线(e＝1)，由于抛物线上任一点到其焦点与到其准线的距离都是相等的，所以应充分利用图形及抛物线的定义进行相互转化，有利于灵活解题． 2．抛物线不是双曲线的一支，抛物线无渐近线． 抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的、有开口的光滑曲线，但是它们的图形性质是完全不同的，事实上，从开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越大，而抛物线的开口越来越趋于扁平． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线没有渐近线．(　　) (2)抛物线有对称轴，无对称中心．(　　) (3)抛物线的开口大小由抛物线的离心率决定．(　　) (4)抛物线x2＝y与抛物线y2＝x的离心率相同．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)抛物线y＝x2的准线方程为________． (2)顶点在原点，对称轴为x轴，且顶点到焦点的距离为3的抛物线的标准方程为________． (3)已知点P在抛物线y2＝－5x上，且点A(－3，0)，则|PA|的最小值为________． 答案　(1)y＝－2　(2)y2＝12x或y2＝－12x (3) 题型一　由抛物线的几何性质求标准方程 　抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆＋＝1的短轴所在的直线，抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，求抛物线的标准方程及准线方程． [解]　因为椭圆＋＝1的短轴在x轴上，所以抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)， 因为抛物线的焦点到抛物线的顶点的距离为4，所以＝4，即p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝16x或y2＝－16x，准线方程分别为x＝－4或x＝4. 感悟提升　求抛物线的标准方程的四个步骤 (1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口方向)； (2)设方程(根据对称轴和开口方向设出标准方程)； (3)找关系(根据条件列出关于p的方程)； (4)得出抛物线的标准方程． 　已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线的方程． 解　由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上． 故可设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)． 设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，∴点A与点B关于x轴对称， ∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2， ∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4， 得x2＋3＝4，∴x＝±1， ∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，得()2＝±a，∴a＝±3. ∴所求抛物线的方程是y2＝3x或y2＝－3x. 题型二　与抛物线有关的轨迹问题 　若动圆与圆(x－5)2＋y2＝4外切，且与直线x＋3＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A．y2＝－20x B．y2＝－10x C．y2＝20x D．y2＝10x [解析]　设圆(x－5)2＋y2＝4的圆心为C1(5，0)，动圆圆心为P(x，y)，半径为r，如图，作直线x＝－5，x＝－3，PQ垂直于直线x＝－5，Q为垂足，因圆P与直线x＝－3相切，故圆P到直线x＝－5的距离|PQ|＝r＋2，又|PC1|＝r＋2，因此P到C1(5，0)的距离与P到直线x＝－5的距离相等，动圆圆心P的轨迹为抛物线，焦点为C1(5，0)，准线为直线x＝－5，顶点为(0，0)，开口向右，可得p＝10，方程为y2＝20x.故选C. [答案]　C 感悟提升　求抛物线轨迹的方法 抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件． 　平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程． 解　解法一：设点P的坐标为(x，y)，则有 ＝|x|＋1. 两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|. 所以y2＝ 即动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)． 解法二：由题意，动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，由于点F(1，0)到y轴的距离为1， 故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件； 当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1，0)与到直线x＝－1的距离相等， 故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x. 故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)． 题型三　抛物线的简单几何性质 　如图，已知边长为2的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴． (1)求以O为顶点且过点A，B的抛物线方程； (2)求抛物线的焦点坐标、准线方程及离心率e. [解]　(1)如图，设AB⊥x轴于E，则由△AOB是等边三角形，且|AB|＝2得E(，0)，∴A(，1)． 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 则1＝2p·，∴2p＝. ∴抛物线的方程为y2＝x. (2)由(1)知2p＝， ∴＝， ∴抛物线的准线方程为x＝－， 焦点坐标为，离心率e＝1. 感悟提升　求抛物线的标准方程及其几何性质的题目，关键是求抛物线的标准方程，若能得出抛物线的标准方程，则其几何性质就会迎刃而解，但要注意抛物线的开口方向． 　已知抛物线x2＝8y. (1)求该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量y的范围； (2)若P是该抛物线上一点，点Q(0，4)，求|PQ|的取值范围． 解　(1)抛物线x2＝8y的顶点为(0，0)，焦点为(0，2)，准线方程为y＝－2，对称轴为y轴，变量y的范围为[0，＋∞)． (2)设P(x0，y0)，则x＝8y0(y0≥0)， 则|PQ|＝＝＝≥＝4， 当且仅当y0＝0时，|PQ|min＝4. 所以|PQ|的取值范围为[4，＋∞)． 题型四　抛物线的实际应用题 　“中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥，如图1，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称． 如图2，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8(部分)组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知|AB|＝44 m，∠A＝45°，|AC1|＝4 m，|C1C2|＝5 m，立柱C2D2的长为5.55 m. (1)求立柱C1D1及横梁D1D8的长； (2)求抛物线D1OD8的方程和桥梁的拱高|OH|. [解]　(1)由题意知，∠A＝45°，|AC1|＝4 m， 则|C1D1|＝4 m. 因为ABD8D1是等腰梯形，由对称性知， |AH|＝|HB|＝|AB|＝×44＝22 m，|AC1|＝|C8B|＝4 m， |C1H|＝|C1C8|＝(|AB|－|AC1|－|C8B|)＝×(44－4－4)＝×36＝18 m. 所以|D1D8|＝|C1C8|＝36 m. 综上，|C1D1|＝4 m，|D1D8|＝36 m. (2)由(1)知点D1的横坐标为－18， 则点D2的横坐标为－(18－5)＝－13， 设点D1，D2的纵坐标分别为y1，y2， 由图形知|y1－y2|＝|5.55－4|＝1.55. 设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)， 将点D1，D2代入， 得 两式相减得2p(y2－y1)＝182－132＝155， 解得2p＝100， 故抛物线方程为x2＝－100y. 因此，当x＝－18时，y＝－x2＝－×324＝－3.24， 故|y1|＝3.24 m， 所以桥梁的拱高|OH|＝3.24＋4＝7.24 m. 综上，抛物线D1OD8的方程为x2＝－100y，桥梁的拱高|OH|为7.24 m. 感悟提升　求解抛物线实际应用题的五个步骤 (1)建系：建立适当的坐标系； (2)假设：设出合适的抛物线的标准方程； (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程； (4)求解：求出所要求出的量； (5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题． 　喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，9 m为半径的圆上，则管柱OA的长是多少？ 解　如图所示，建立平面直角坐标系，设点B的坐标为(0，0)，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)， 因为点C(5，－5)在抛物线上， 所以25＝－2p·(－5)， 因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y. 因为点A(－4，y0)在抛物线上， 所以16＝－5y0， 即y0＝－3.2， 所以OA的长为5－3.2＝1.8 m. 所以管柱OA的长为1.8 m. 1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝±3y B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．x2＝±6y 答案　C 解析　因为顶点在原点，对称轴是y轴，则抛物线开口向上或向下，由＝3，得p＝6.故方程为x2＝±2py＝±12y. 2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设抛物线的焦点为F，顶点为O，由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而点F的坐标为，所以点P的横坐标为，代入抛物线的方程得y＝±，故点P的坐标为.故选B. 3.如图，南北方向的公路L，A地在公路正东2 km处，B地在A地北偏东60°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地的距离相等，现要在曲线PQ上某处建一座码头M，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B修建公路的费用都为a万元/km，那么，修建这两条公路的总费用最低是(　　) A．(2＋)a万元 B．(2＋1)a万元 C．5a万元 D．6a万元 答案　C 解析　依题意知，曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线，根据抛物线的定义知，欲使从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线L的距离即可．∵B地在A地北偏东60°方向2 km处，∴B到点A的水平距离为3 km，∴B到直线L的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低是5a万元．故选C. 4．已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________． 答案　 解析　设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝＝＝＝.所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝. 5．已知动点M(x，y)到点F(－3，0)的距离比点M到直线x－4＝0的距离小1，求点M的轨迹方程． 解　因为动点M(x，y)到点F(－3，0)的距离比点M到直线x－4＝0的距离小1， 所以点M(x，y)到点F(－3，0)的距离和点M到直线x－3＝0的距离相等， 点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝3为准线的抛物线，所以＝3，则p＝6， 故点M的轨迹方程为y2＝－12x. 一、选择题 1．抛物线y＝x2上一点A(x0，2)到其对称轴的距离为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　B 解析　抛物线的对称轴为y轴，把A(x0，2)代入y＝x2，得x＝16，即|x0|＝4，故点A到y轴的距离为4. 2．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 答案　C 解析　方程5＝|3x＋4y－12|可化为＝，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M的轨迹是抛物线．故选C. 3．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　) A. B. C. D．3 答案　A 解析　设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为d＝ ＝，当m＝时，d取得最小值，为.故选A. 4．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　) A．(6，＋∞) B．[6，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞) 答案　D 解析　∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴＝3，即p＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)． 5．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　) A．(0，2) B．[0，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　C 解析　设圆的半径为r，因为F(0，2)是圆心，抛物线C的准线方程为y＝－2，由圆与准线相交知4<r.因为点M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，所以x＝8y0，又点M(x0，y0)在圆x2＋(y－2)2＝r2上，所以x＋(y0－2)2＝r2>16，所以8y0＋(y0－2)2>16，即有y＋4y0－12>0，解得y0>2或y0<－6，又因为y0≥0，所以y0>2.故选C. 二、填空题 6．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＝2，则|BF|＝________． 答案　2 解析　因为抛物线的方程为y2＝4x，所以p＝2，F(1，0)．又|AF|＝2，所以xA＋＝2，所以xA＋1＝2，所以xA＝1，即AB⊥x轴，F为AB的中点，所以|BF|＝|AF|＝2. 7．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a，0)满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是________． 答案　(－∞，2] 解析　设点Q的坐标为.由|PQ|≥|a|，得|PQ|2≥a2，即y＋≥a2，整理得y(y＋16－8a)≥0.∵y≥0，∴y＋16－8a≥0，即a≤2＋恒成立．而2＋的最小值为2，∴a≤2. 8．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为________，四边形ABED的面积为________． 答案　4　3＋6 解析　由题意，不妨设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，解得p＝4，故C的焦点到准线的距离为4.易知四边形ABED是梯形，梯形的上底长|DE|＝2，下底长|AB|＝4，高为＋＝3，故四边形ABED的面积为×(2＋4)×3＝3＋6. 三、解答题 9．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线的方程及|OM|的值． 解　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 则其焦点坐标为，准线方程为x＝－. ∵M在抛物线上， ∴M到焦点的距离等于其到准线的距离， 即＝2＋＝3. 解得p＝2，y0＝±2， ∴抛物线的方程为y2＝4x. 点M(2，±2)， 根据两点间的距离公式有 |OM|＝＝2. 10．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程． 解　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)， 设A(x0，y0)，由题意知M. 因为|AF|＝3，所以y0＋＝3， 因为|AM|＝，所以x＋＝17， 所以x＝8，代入x＝2py0，得 8＝2p，解得p＝2或p＝4. 所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y. 1．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程． 解　由已知得抛物线的焦点为F， ∵抛物线关于x轴对称，|OA|＝|OB|， ∴A，B两点关于x轴对称． 设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)， ∵△ABO的垂心恰是抛物线的焦点， ∴BF⊥OA. 则kBF·kOA＝－1，即·＝－1. 又y＝2px0，∴x0＝p. ∴直线AB的方程为x＝. 2．一抛物线拱桥跨度为52 m，水面距拱顶6.5 m，一竹排上载有一宽4 m，高6 m的大木箱，问竹排能否安全通过？ 解　如图所示，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，抛物线上一点B(2，y)， 易知A(26，－6.5)， 由262＝－2p×(－6.5)，得p＝52， ∴抛物线的方程为x2＝－104y. 当x＝2时，y＝－， ∵6.5－＝>6， ∴竹排能安全通过． 97 学科网（北京）股份有限公司 $$