2.3.1 抛物线及其标准方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 3.1　抛物线及其标准方程 (教师独具内容) 课程标准：了解抛物线的定义、几何图形和标准方程． 教学重点：抛物线的定义及其标准方程的应用． 教学难点：利用抛物线的定义求轨迹方程． 核心素养：通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养． 知识点一　抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线．这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线． 知识点二　抛物线的标准方程 焦点在x轴的正半轴上，坐标是的抛物线的标准方程是y2＝2px(p>0)，它的准线方程是x＝－，其中p是抛物线的焦点到准线的距离． 对抛物线标准方程y2＝2px(p>0)的理解 (1)抛物线的标准方程是由焦点到准线的距离p以及焦点的位置确定的． (2)焦点坐标中横坐标的值是抛物线标准方程中一次项系数的，准线方程中的数值是抛物线标准方程中一次项系数的－. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　　) (2)抛物线的标准方程中的p表示焦点到准线的距离．(　　) (3)抛物线的方程都是二次函数．(　　) (4)抛物线y2＝x的准线方程是x＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)已知抛物线y2＝2x上一点P(m，2)，则m＝________，点P到抛物线的焦点F的距离为________． (2)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________． (3)若抛物线y2＝16x上一点P到x轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|＝________． 答案　(1)2　　(2)　(3)13 题型一　求抛物线的标准方程 　根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)准线方程为x＝－2； (2)焦点在x轴的正半轴上，且到准线的距离为5； (3)焦点为直线3x－4y－12＝0与x轴的交点． [解]　(1)由题意，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)， 则－＝－2，即p＝4，故所求抛物线的标准方程为y2＝8x. (2)因为抛物线的焦点在x轴的正半轴上，故设其标准方程为y2＝2px(p>0)，焦点到准线的距离为p，则p＝5.故所求抛物线的标准方程为y2＝10x. (3)对于直线3x－4y－12＝0，令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点坐标为(4，0)，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为，即＝4，p＝8，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x. 感悟提升　抛物线标准方程的求法 (1)定义法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程． (2)待定系数法：根据已知条件设出抛物线的标准形式，求出参数p，从而求出标准方程． 　根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的右顶点； (2)抛物线的焦点F在x轴正半轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. 解　(1)双曲线方程可化为－＝1，右顶点为(3，0)， 由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)且＝3， 所以p＝6， 所以抛物线的标准方程为y2＝12x. (2)设所求焦点在x轴正半轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，A(m，－3)(m>0)， 由抛物线的定义，得5＝|AF|＝m＋. 又(－3)2＝2pm，所以p＝1或p＝9， 故所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝18x. 题型二　抛物线的定义及其应用 　(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A. B．1 C. D. [解析]　∵y2＝x的准线方程为l：x＝－， 由题意得|AF|，|BF|分别为A，B到准线l的距离d1，d2(如图所示)．则线段AB的中点到准线的距离为d3＝＝，∴线段AB的中点到y轴的距离为d＝－＝.故选C. [答案]　C (2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标． [解]　如图，作PN⊥l于点N(l为准线)，AB⊥l于点B，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝3＋＝. 此时yP＝2，代入抛物线方程得xP＝2， ∴P点坐标为(2，2)． 【结论探究】如果本例(2)的问题改为“求点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值”，如何解答？ 解　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离． 由图可知，当点P，A(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时所求距离之和最小，最小值为|AF|＝＝. 感悟提升　抛物线的定义及应用 抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线的定义解决最值问题及其他问题的实质． 　已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为(　　) A．2 B．4 C. D.＋1 答案　A 解析　将P到直线l1：x＝－1的距离转化为P到焦点F(1，0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，所以P到直线l1，l2的距离之和的最小值为＝2.故选A. 1．(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝(　　) A．7 B.6 C.5 D.4 答案　D 解析　因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D. 2．若抛物线C：y2＝px(p>0)上的一点A到它的焦点的距离为8，则p＝(　　) A．6 B.8 C.12 D.16 答案　D 解析　由题意，抛物线C：y2＝px(p>0)上的一点A到它的焦点的距离为8，根据抛物线的定义，可得xA＋＝＋＝8，解得p＝16.故选D. 3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，点P在抛物线上，且|PM|＝|PF|，则△PMF的面积为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 答案　B 解析　如图所示，易得F(2，0)，过点P作PN⊥l，垂足为N. ∵|PM|＝|PF|，|PF|＝|PN|，∴|PM|＝|PN|. ∴|MN|＝|PN|.设P，则|t|＝＋2，解得t＝±4，∴△PMF的面积为|MF|·|t|＝×4×4＝8. 4．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________． 答案　2 解析　抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB中点的横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2. 5．已知抛物线y2＝2px(p>0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值为5，求抛物线的方程． 解　抛物线的准线为l：x＝－. ①当点A在抛物线内部时，42<2p·， 即p>时，过M作MA′⊥l，垂足为A′， 则|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|. 当A，M，A′共线时，(|MF|＋|MA|)min＝5，即＋＝5，所以p＝3，满足p>，所以抛物线的方程为y2＝6x. ②当点A在抛物线外部时，42>2p·，即p<时，|MF|＋|MA|≥|AF|，当A，M，F共线时取等号，|AF|＝5，即＝5，所以p＝1或p＝13(舍去)，所以抛物线的方程为y2＝2x. ③当点A在抛物线上，即p＝时，结合②明显不成立． 综上，抛物线的方程为y2＝6x或y2＝2x. 一、选择题 1．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 答案　D 解析　因为抛物线的焦点坐标为，椭圆的右焦点坐标为(2，0)，依题意得＝2，解得p＝4.故选D. 2．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，A(m，n)是抛物线C上的一点， 若|AF|＝， 则△OAF(O为坐标原点)的面积是(　　) A. B.1 C.2 D.4 答案　A 解析　由题可得F，因为|AF|＝＝m＋，所以m＝2，n2＝4，所以△OAF(O为坐标原点)的面积是|OF|·|n|＝××2＝.故选A. 3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是抛物线C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案　A 解析　由题意知，抛物线的准线为x＝－，因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.故选A. 4．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　) A．－ B．－1 C．－ D．－ 答案　C 解析　因为点A在抛物线的准线上，所以－＝－2，所以该抛物线的焦点为F(2，0)，所以kAF＝＝－.故选C. 5．(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程可能为(　　) A．y2＝4x B．y2＝2x C．y2＝8x D．y2＝16x 答案　AD 解析　由已知得，抛物线的焦点为F，设点A(0，2)，抛物线上的点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，解得y0＝4，M.由|MF|＝5得＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8，故C的方程可能为y2＝4x，y2＝16x.故选AD. 二、填空题 6．(2023·全国乙卷)已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________． 答案　 解析　由题意可得()2＝2p×1，则2p＝5，抛物线C的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－，所以A到C的准线的距离为1－＝. 7．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，0)关于原点O对称．点P(x0，y0)在抛物线y2＝4x上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0＝________． 答案　1＋ 解析　∵点B与点A(－1，0)关于原点O对称，∴B(1，0)，根据题意，有kAP·kBP＝2，即·＝2，＝2，又y＝4x0，∴2x0＝x－1，即x－2x0－1＝0，解得x0＝1±，舍去负值，得x0＝1＋. 8．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________． 答案　6 解析　因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，所以A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的3倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6. 三、解答题 9．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，求点A的坐标． 解　由y2＝4x，知F(1，0)． ∵点A在y2＝4x上，∴不妨设A， 则＝，＝. 代入·＝－4， 得＋y(－y)＝－4， 化简，得y4＋12y2－64＝0. ∴y2＝4或y2＝－16(舍去)，∴y＝±2. ∴点A的坐标为(1，2)或(1，－2)． 10．已知抛物线y2＝6x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，点A(2，3)． (1)求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标； (2)求点P到点B的距离与到直线x＝－的距离之和的最小值． 解　(1)将x＝2代入抛物线方程y2＝6x， 得y＝±2. ∵2>3，∴点A在抛物线的内部． 过点P作PQ垂直于抛物线的准线l：x＝－于点Q， 由抛物线的定义， 知|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|， 当P，A，Q三点共线时，|PA|＋|PQ|的值最小，最小值为， 即|PA|＋|PF|的最小值为， 此时点P的纵坐标为3， 代入y2＝6x，得x＝， ∴点P的坐标为. (2)设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d. 显然点B在抛物线的外部． 由抛物线的定义，得|PB|＋d＝|PB|＋|PF|≥|BF|，当B，P，F三点共线(P在线段BF上)时取等号． 又|BF|＝＝， ∴所求最小值为. 1．已知以向量v＝为方向向量的直线l过点，抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点(0，0)关于直线l的对称点在该抛物线的准线上． (1)求抛物线C的方程； (2)设A，B是抛物线C上的两个动点，过点A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若·＋p2＝0(O为坐标原点，A，B异于点O)，试求点N的轨迹方程． 解　(1)由题意可得直线l：y＝x＋，① 过原点且垂直于l的直线方程为y＝－2x，② 联立①②，得x＝－，y＝1. ∵抛物线上的点(0，0)关于直线l的对称点在该抛物线的准线上， ∴－＝－×2， ∴p＝2， ∴抛物线C的方程为y2＝4x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)， 由·＋p2＝0，得x1x2＋y1y2＋4＝0. 又y＝4x1，y＝4x2， 解得y1y2＝－8，③ 直线ON：y＝x，即y＝x.④ 由③④及y＝y1，得点N的轨迹方程为x＝－2(y≠0)． 2．已知A，B是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的两个动点(AB不垂直于x轴)，F为抛物线的焦点，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线过定点Q(6，0)，求此抛物线的方程． 解　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵|AF|＋|BF|＝8， ∴x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p. ∵Q(6，0)在线段AB的垂直平分线上， ∴|QA|＝|QB|， 即(x1－6)2＋y＝(x2－6)2＋y， 又y＝2px1，y＝2px2， ∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0. ∵AB与x轴不垂直， ∴x1≠x2， 故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0， 即p＝4. 从而抛物线的方程为y2＝8x. 97 学科网（北京）股份有限公司 $$