2.2.2 双曲线的简单几何性质-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 2.2　双曲线的简单几何性质 (教师独具内容) 课程标准：1.了解双曲线的简单几何性质.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题． 教学重点：用坐标法解决一些与双曲线的几何性质有关的问题． 教学难点：与渐近线及离心率有关的一些问题． 核心素养：通过研究双曲线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养． 知识点　　双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图 形 性质 焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c 关系 c2＝a2＋b2 范围 x≤－a或x≥a，且y∈R y≤－a或y≥a，且x∈R 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0) A1(0，－a)， A2(0，a) 轴 实半轴长为a，虚半轴长为b 离心率 e＝(e>1) 渐近线 y＝±x y＝±x 1．双曲线上的所有点中，到焦点距离最小的点，是离该焦点最近的实轴的端点． 2．双曲线的渐近线及其求法 渐近线是双曲线的特有几何性质，求双曲线的渐近线方程的方法较多，一是可以利用以双曲线的顶点、虚轴端点为边中点的矩形的对角线方程求得，也可以运用下列方法求得： 将－＝1(a>0，b>0)中的“1”换为“0”即得双曲线的渐近线方程－＝0，即±＝0，即y＝±x. 注意：与双曲线－＝1共渐近线的双曲线方程可以设为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)，即“1”换为“λ”． 3．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(　　) (2)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(　　) (3)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)已知双曲线C：y2－＝1，则该双曲线的实轴长为________． (2)已知双曲线－＝1(b>0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________． (3)已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±3x，则该双曲线的离心率为________． 答案　(1)2　(2)2　(3) 题型一　双曲线的几何性质 　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长，并作出草图． [解]　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝， 因此顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4. 作出草图如图： 感悟提升　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 画几何图形，先画双曲线位于第一象限的部分，根据对称性，再画出双曲线在其他三个象限的部分． 　双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长分别为________，________，焦点坐标为________． 答案　4　3　(0，－5)，(0，5) 解析　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程为－＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，c＝＝＝5，所以焦点坐标为(0，－5)，(0，5)． 题型二　双曲线的离心率问题 　设双曲线－＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过A(a，0)，B(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率． [解]　∵直线l过点A(a，0)，B(0，b)， ∴直线l的方程为＋＝1， 即bx＋ay－ab＝0. ∵原点到直线l的距离为c， ∴＝c，即ab＝c2， 两边平方并化简，得16a2b2＝3c4， ∴16a2(c2－a2)＝3c4， ∴3c4－16a2c2＋16a4＝0， 两边同时除以a4， 得－＋16＝0， 即3e4－16e2＋16＝0. 解得e2＝4或. ∵b>a>0， ∴>1， ∴e2＝＝1＋>2， ∴e2＝4， ∴e＝2. 故所求双曲线的离心率为2. 感悟提升　求双曲线离心率的常用方法 (1)依据条件求出a，c，计算e＝. (2)依据条件建立a，b，c的关系式，一种是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝ 求解． 　已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，则双曲线的离心率为________． 答案　1＋ 解析　设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，则y＝±.由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，∴＝2c，∴b2＝2ac，∴c2－2ac－a2＝0，∴－2×－1＝0，即e2－2e－1＝0，∴e＝1＋或e＝1－(舍去)，∴所求双曲线的离心率为1＋. 题型三　双曲线的渐近线问题 　求与双曲线－＝1共渐近线且过点A(2，－3)的双曲线的方程及其离心率． [解]　解法一：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x. 若焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)． 因为＝，所以b＝a.　① 因为点A(2，－3)在所求的双曲线上， 所以－＝1.　② 联立①②所得的方程组无解； 若焦点在y轴上，设所求双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)． 因为＝，所以a＝b.　③ 因为点A(2，－3)在所求的双曲线上，所以－＝1，　④ 联立③④得a2＝，b2＝4. 所以所求双曲线的方程为－＝1，且离心率e＝. 解法二：设与双曲线－＝1共渐近线的双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)． 因为点A(2，－3)在所求的双曲线上， 所以λ＝－＝－， 所以所求双曲线的方程为－＝－， 即－＝1. 从而可求得离心率e＝. 感悟提升　一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用已知双曲线和方程－＝λ(λ≠0)求双曲线方程较为简便．然后根据题设中的另一条件确定参数λ的值，例如：与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；以y＝±x(m>0，n>0)为渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论．本题的解法主要运用了分类讨论思想和参数思想． 　已知双曲线－＝1(b>0)的右焦点为(2，0)． (1)求双曲线的方程； (2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积． 解　(1)因为双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线的方程为－＝1， 所以c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，所以b2＝1， 所以双曲线的方程为－y2＝1. (2)因为a＝，b＝1， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x， 设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B， 令x＝－2， 则y＝±， 则|AB|＝，记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S， 则S＝××2＝. 1．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　) A．2 B. C. D．1 答案　D 解析　因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.故选D. 2．双曲线y2－＝－1的虚轴长是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 答案　A 解析　双曲线y2－＝－1化成标准方程为－y2＝1，所以b＝1，2b＝2，即虚轴长为2. 3．(多选)双曲线C：－＝λ(λ≠0)，当λ变化时，以下说法正确的是(　　) A．焦点坐标变化 B．顶点坐标变化 C．渐近线不变 D．离心率不变 答案　ABC 解析　当λ>0时，双曲线的焦点和顶点在x轴上，当λ<0时，双曲线的焦点和顶点在y轴上，且焦点坐标、顶点坐标均随λ的变化而变化，而离心率随λ正负的变化而变化，在方程－＝λ中，令λ＝0，得y＝±x，即为双曲线C的渐近线方程，不随λ的变化而变化．故选ABC. 4．双曲线5y2－4x2＝－20的实轴长为________，虚轴长为________，渐近线方程为________，离心率为________． 答案　2　4　y＝±x　 解析　双曲线5y2－4x2＝－20化为标准方程为－＝1，∴a＝，b＝2，∴c＝3，双曲线的焦点在x轴上．∴双曲线的实轴长为2a＝2，虚轴长为2b＝4，渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝＝. 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为； (2)焦距为20，渐近线方程为y＝±x. 解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上， 且c＝13，又＝， 所以a＝5，b2＝c2－a2＝144， 故双曲线的标准方程为－＝1. (2)当焦点在x轴上时， 设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 因为＝，且2c＝20，所以c＝10， 又c2＝a2＋b2，所以a2＝80，b2＝20. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1； 当焦点在y轴上时， 设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 因为＝，即b＝2a， 又2c＝20，所以c＝10. 又c2＝a2＋b2，所以a2＝20，b2＝80. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 综上所述，所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 一、选择题 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　C 解析　因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.又离心率e＝＝＝＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选C. 2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　A 解析　因为双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，又P(2，1)在双曲线C的渐近线上，所以＝，即a＝2b.又2c＝10，c＝5，且a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.故所求双曲线C的方程为－＝1. 3．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设直线FB的斜率为－，则与其垂直的渐近线的斜率为，所以有－＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，两边同时除以a2可得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．故选D. 4．(2023·天津高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 解析　解法一：不妨取渐近线y＝x，此时直线PF2的方程为y＝－(x－c)，与y＝x联立，解得即P.因为直线PF2与渐近线y＝x垂直，所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝x(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF2|＝＝＝b，所以b＝2.因为F1(－c，0)，P，且直线PF1的斜率为，所以＝，化简得＝，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以＝，整理得a2－2a＋2＝0，即(a－)2＝0，解得a＝.所以双曲线的方程为－＝1.故选D. 解法二：因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且|PF2|＝2，所以b＝2，再结合选项，排除B，C；若双曲线方程为－＝1，则F1(－2，0)，F2(2，0)，渐近线方程为y＝±x，不妨取渐近线y＝x，则直线PF2的方程为y＝－(x－2)，与渐近线方程y＝x联立，得P，则kPF1＝，又直线PF1的斜率为，所以双曲线方程－＝1不符合题意，排除A.故选D. 5．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．F2到双曲线C的一条渐近线的距离为1 D．△PF1F2的面积为1 答案　ACD 解析　对于A，由题意可知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故A正确；对于B，由题意可得F1(－，0)，F2(，0)，则以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；对于C，F2(，0)到双曲线C的一条渐近线y＝x的距离为1，故C正确；对于D，由题意可得F1(－，0)，F2(，0)，设P(x0，y0)，由·＝0，得(－－x0)·(－x0)＋y＝0，整理得x－2＋y＝0，又x－y＝1，所以x0＝±，y0＝±，则△PF1F2的面积为|F1F2|·|y0|＝1，故D正确．故选ACD. 二、填空题 6．(2023·北京高考)已知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)，离心率为，则C的方程为________． 答案　－＝1 解析　令双曲线C的实半轴长、虚半轴长分别为a，b，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c＝2，由双曲线C的离心率为，得＝，解得a＝，则b＝＝，所以C的方程为－＝1. 7．若双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________． 答案　(－12，0) 解析　双曲线的方程可变为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，又e∈(1，2)，则1<<2，解得－12<k<0. 8．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________． 答案　 解析　解法一：依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cos∠F1AF2＝＝＝，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2，故e＝＝. 解法二：依题意，得F1(－c，0)，F2(c，0)，令A(x0，y0)，B(0，t)，因为＝－，所以(x0－c，y0)＝－(－c，t)，则x0＝c，y0＝－t，又⊥，所以·＝·(c，t)＝c2－t2＝0，则t2＝4c2，又点A在C上，则－＝1，整理得－＝1，则－＝1，所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2·(c2－a2)，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，又e>1，所以e＝＝. 解法三：由解法二得A，t2＝4c2，所以|AF1|＝＝ ＝＝，|AF2|＝ ＝＝ ＝，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即－＝2a，即c＝a，所以C的离心率e＝＝＝. 三、解答题 9．已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆＋＝1有相同的顶点，求此双曲线的标准方程． 解　因为椭圆＋＝1的顶点为(－5，0)，(5，0)，(0，－3)，(0，3)． 当相同的顶点为(－5，0)，(5，0)时，双曲线的焦点在x轴上，且a＝5. 又＝＝2， 所以c＝10，从而b2＝75， 所以双曲线的标准方程为－＝1； 当相同的顶点为(0，－3)，(0，3)时，双曲线的焦点在y轴上，且a＝3. 又e＝＝＝2，所以c＝6， 所以b2＝c2－a2＝36－9＝27， 所以双曲线的标准方程为－＝1. 综上可知，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 10．已知双曲线E：－＝1(m>0)． (1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程； (2)若双曲线E的离心率为e∈，求实数m的取值范围． 解　(1)当m＝4时，双曲线的方程为－＝1， 所以a＝2，b＝，c＝3，所以双曲线E的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，顶点坐标为(－2，0)，(2，0)，渐近线方程为y＝±x. (2)因为e2＝＝＝1＋，e∈，所以<1＋<2，解得5<m<10，所以实数m的取值范围是(5，10)． 1．已知双曲线－＝1的一个焦点为(2，0)． (1)求双曲线的实轴长和虚轴长； (2)若已知点M(4，0)，且点N(x，y)是双曲线上的任意一点，求|MN|的最小值． 解　(1)由题意可知，m＋3m＝4， ∴m＝1. ∴双曲线的方程为x2－＝1. ∴双曲线的实轴长为2，虚轴长为2. (2)由x2－＝1，得y2＝3x2－3， ∴|MN|＝＝ ＝＝. 又x≤－1或x≥1， ∴当x＝1时，|MN|取得最小值3. 2．已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的距离等于它到渐近线的距离的2倍． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为48，求此双曲线的方程． 解　(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0， 则F2到渐近线的距离为＝b(其中c是双曲线的半焦距)， 所以由题意知c＋a＝2b. 又因为a2＋b2＝c2， 解得b＝a， 故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y＝0. (2)因为∠F1PF2＝60°， 由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝4c2.① 又由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a， 平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，② ①②相减得|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2. 根据三角形的面积公式得 S＝|PF1|·|PF2|sin60°＝·4b2＝b2＝48，得b2＝48. 再由(1)得a2＝b2＝27， 故所求双曲线的方程是－＝1. 97 学科网（北京）股份有限公司 $$