2.1.2 椭圆的简单几何性质-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 1.2　椭圆的简单几何性质 (教师独具内容) 课程标准：掌握椭圆的简单几何性质． 教学重点：利用椭圆的几何性质解决问题． 教学难点：椭圆离心率对椭圆形状的影响． 核心素养：通过研究椭圆的几何性质及运用椭圆的几何性质解决问题，提升逻辑推理、数学抽象及数学运算素养． 知识点一　椭圆的简单几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴x轴、y轴，对称中心(0，0) 顶点 (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±c，0) (0，±c) 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝(0<e<1) 知识点二　椭圆的离心率对椭圆形状的影响 (1)椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即＝e，显然0<e<1. (2)如图①，e越接近于1，椭圆就越扁．反之，如图②，e越接近于0，椭圆就越接近于圆．当a＝b时，它的方程为x2＋y2＝a2.这时c＝0，两个焦点重合，图形变为圆． 椭圆简单几何性质的几点说明 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质． (2)明确a，b，c的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，c是半焦距，不要与长轴长、短轴长、焦距混淆，由a2＝b2＋c2，可知长度分别为a，b，c的三条线段构成一个直角三角形，且长度为a的线段是斜边．这说明，以椭圆任意一个短轴的端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形，而且短轴端点与焦点的连线长为a.如图所示，|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a. (3)椭圆上的所有点中，到焦点距离最大和最小的点，分别是长轴的两个端点．若椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1(－a，0)，A2(a，0)到右焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c.(　　) (2)椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．(　　) (3)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长为a.(　　) (4)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D．x2＋＝1 (2)椭圆＋y2＝1的离心率为________． (3)设P(m，n)是椭圆＋＝1上任意一点，则m的取值范围是________． 答案　(1)A　(2)　(3)[－5，5] 题型一　椭圆的几何性质 　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标． [解]　椭圆的方程可化为＋＝1， ∵m－＝>0， ∴m>. ∴椭圆的焦点在x轴上． 即a2＝m，b2＝，c＝＝. 由e＝，得＝，∴m＝1. ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1. ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为，，四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，，. 感悟提升　解决有关椭圆的问题一般应先弄清椭圆的类型，而椭圆的类型又决定于焦点的位置． (1)要掌握好椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率． (2)熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质，这些基本概念是解决计算问题、证明问题、求解轨迹问题及其他有关问题的基础和关键． 　下列对椭圆C1：＋＝1(a>b>0)和椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的几何性质的表述，正确的是(　　) A．范围相同 B．顶点坐标相同 C．焦点坐标相同 D．离心率相同 答案　D 解析　椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b，顶点坐标是(－a，0)，(a，0)，(0，－b)，(0，b)，焦点坐标是(－c，0)，(c，0)，离心率e＝；椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤y≤a，－b≤x≤b，顶点坐标是(－b，0)，(b，0)，(0，－a)，(0，a)，焦点坐标是(0，－c)，(0，c)，离心率e＝.综上所述，二者只有离心率相同． 题型二　利用椭圆的几何性质求标准方程 　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是6，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. [解]　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)． 由已知得2a＝6，所以a＝3. 又e＝＝，所以c＝2. 所以b2＝a2－c2＝9－4＝5. 所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)由题意知焦点在x轴上，故可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，且两焦点分别为F′(－3，0)，F(3，0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 感悟提升　求椭圆标准方程的常用方法 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法． (2)根据已知条件“选标准，定参数”．其一般步骤为：①确定焦点所在的坐标轴；②求出a2，b2的值；③写出标准方程． 　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)； (2)过点(3，0)，且离心率e＝. 解　(1)由题意知2a＝4b，所以a＝2b. 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．代入点(2，－6)，得＋＝1或＋＝1，将a＝2b代入，得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13， 故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)当椭圆的焦点在x轴上时， 有a＝3，＝， 所以c＝，所以b2＝a2－c2＝9－6＝3， 所以椭圆的标准方程为＋＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时，有b＝3，＝， 所以＝，解得a2＝27， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 题型三　椭圆的实际应用题 　我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a，b分别为椭圆的长半轴长、短半轴长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)． [解]　以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． 设轨道方程为＋＝1(a>b>0)， 且c＝. ∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34， ∴a＝438，c＝396. 于是b2＝a2－c2＝35028， ∴探测器运行的轨道方程为＋＝1. 设变轨时，探测器位于点P(x0，y0)，则 x＋y＝ab≈81975.1，＋＝1， 解得x0≈239.7，y0≈156.7， ∴－R≈187. 故探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里． 感悟提升　处理与椭圆有关的实际问题的一般步骤：首先结合所给的图形及题意建立适当的平面直角坐标系，然后利用相关的几何知识分析问题． 注意：椭圆上一点到焦点的距离d的取值范围为a－c≤d≤a＋c，等号分别对应天文上的近日点与远日点． 　已知某荒漠上F1，F2两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以F1，F2为一条对角线的平行四边形区域建农艺园，按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km. (1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程； (2)问农艺园的最大面积能达到多少？ 解　(1)以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F1(－1，0)，F2(1，0)． 设平行四边形的另两个顶点为P(x，y)，Q(x′，y′)， 则由已知得|PF1|＋|PF2|＝4. 由椭圆的定义知点P在以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆上(不含左、右顶点)，此时a＝2，c＝1，则b＝. 所以点P的轨迹方程为＋＝1(y≠0)， 同理点Q的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． (2)S▱PF1QF2＝|F1F2|·|yP|≤2c·b＝2(km2)， 所以当P为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大，为2 km2. 题型四　椭圆的离心率问题 　已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率． [解]　解法一：由已知可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，因为c2＝a2－b2，F1(－c，0)，PF1⊥F1A， 所以P，即P， 因为AB∥PO，所以kAB＝kOP， 即－＝－， 所以b＝c，所以a2＝2c2，所以e＝＝. 解法二：由解法一可知P， 又因为△PF1O∽△BOA， 所以＝， 所以＝，所以b＝c，所以a2＝2c2， 所以e＝＝. 感悟提升　由离心率的定义可知，求e的值，就是求a和c的值或a与c的关系，很多题目由于受到已知条件的限制不能同时解出a和c的值，只能将条件整理成a与c的关系式，进而求出. 　已知F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设P(m，n)，∵·＝c2＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2，∴m2＋n2＝2c2，2c2－m2＝n2　①，把P(m，n)代入椭圆＋＝1，得b2m2＋a2n2＝a2b2　②，把①代入②，得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2，∴b2≤2c2，∴a2≤3c2，∴e＝≥.又m2＝≤a2，∴a2≥2c2，∴e＝≤.综上，椭圆离心率的取值范围是.故选C. 1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(　　) A．(±13，0) B．(0，±10) C．(0，±13) D．(0，±) 答案　D 解析　由题意知a＝13，b＝10，焦点在y轴上，所以c＝＝＝.故焦点坐标为(0，±)． 2．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m＝(　　) A．4 B．5 C．7 D．8 答案　D 解析　因为椭圆的长轴在y轴上，所以a2＝m－2，b2＝10－m，因为焦距为4，所以c＝2.所以c2＝a2－b2＝2m－12＝4.所以m＝8. 3．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A. 4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________，△AF1F2的面积的最大值为________． 答案　＋＝1　8 解析　由△ABF2的周长为4a＝16，得a＝4，又由离心率为，即＝，得c＝2，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，所以椭圆C的方程为＋＝1.当点A为短轴的端点时，△AF1F2的面积最大，此时S△AF1F2＝×2cb＝8. 5．若椭圆mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 解　椭圆方程可化为＋＝1. ①当0<m<4时，a＝2，b＝，c＝， 由e＝＝＝，得m＝3，∴b＝，c＝1. ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为4，2， 焦点坐标为(－1，0)，(1，0)， 顶点坐标为(－2，0)，(2，0)，(0，－)，(0，)． ②当m>4时，a＝，b＝2，c＝， 由e＝＝＝，得m＝， ∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4， 焦点坐标为，， 顶点坐标为，，(－2，0)，(2，0)． 一、选择题 1．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B．x2＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 答案　B 解析　椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知其焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝，又2b＝2，所以b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，故所求椭圆的标准方程为x2＋＝1. 2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为焦点在x轴上，所以a＝，b＝，所以c＝＝，e＝＝＝，所以m＝. 3．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则△B2OF2为等腰直角三角形，所以＝. 4．椭圆＋＝1与椭圆＋＝k(k>0)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 答案　D 解析　将椭圆＋＝k(k>0)化为标准方程＋＝1(k>0)．易知椭圆＋＝1的长轴长是8，短轴长是6，焦距是2，离心率e＝＝.而椭圆＋＝1(k>0)的长轴长是8，短轴长是6，焦距是2，离心率e＝＝，所以两椭圆的离心率相等．故选D. 5．(多选)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆的离心率可能是(　　) A．1 B. C. D. 答案　BC 解析　设该椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，因为·＝0，所以点M的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又点M总在椭圆内部，所以该圆在椭圆的内部，因此c<b，c2<b2＝a2－c2，即e2＝<.所以e∈.故选BC. 二、填空题 6．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为________． 答案　 解析　根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9.又因为a2－b2＝c2，c>0，所以a＝5，c＝4，故e＝＝. 7．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为________． 答案　－1 解析　如图，连接BF2.因为△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点．所以F2B⊥BF1，∠BF2F1＝30°，又因为|F1F2|＝2c，所以|BF1|＝c，|BF2|＝c，由椭圆的定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以＝－1.所以椭圆的离心率e＝－1. 8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________，此时点P的坐标为________． 答案　6　(2，0) 解析　由椭圆＋＝1可得F(－1，0)，O(0，0)．设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.当x＝2时，y＝0，即此时点P的坐标为(2，0)． 三、解答题 9．求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8； (2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为. 解　(1)由题意知，2c＝8，c＝4， 所以e＝＝＝， 所以a＝8，从而b2＝a2－c2＝48， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由已知，得所以 从而b2＝9，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 10．已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0)． (1)求椭圆E的标准方程； (2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围． 解　(1)由题意可得，c＝1，a＝2， ∴b2＝a2－c2＝3. ∴椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)设M(x0，y0)(x0∈(－2，2))， 则＋＝1.① ＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)， 由MP⊥MH可得·＝0， 即(t－x0)(2－x0)＋y＝0.② 由①②消去y0， 整理得t(2－x0)＝－x＋2x0－3. ∵x0≠2，∴t＝x0－. ∵－2<x0<2，∴－2<t<－1. ∴实数t的取值范围为(－2，－1)． 1．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离之和为8海里的地方发现过鱼群．以A，B所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求曲线C的标准方程； (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，问能否确定P处的位置(点P的坐标)? 解　(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆， 则c＝2，a＝4，故b2＝a2－c2＝12， 所以曲线C的标准方程是＋＝1. (2)由于A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3， 故点P距A，B两岛的距离比为5∶3， 故点P距A，B两岛的距离分别为5海里、3海里． 设P(x，y)，由|PB|＝3，得＝3， 由 得x＝2，y＝±3， 所以点P的坐标为(2，3)或(2，－3)． 2．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关． 解　(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a. 在△F1PF2中，由余弦定理可知， 4c2＝m2＋n2－2mncos60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)． ∴≥，即e≥. 又0<e<1， ∴椭圆离心率e的取值范围是. (2)证明：由(1)知mn＝b2， ∴S△F1PF2＝mnsin60°＝b2， 即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关． 97 学科网（北京）股份有限公司 $$