1.1.3 第3课时 直线方程的一般式-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 第3课时　直线方程的一般式 (教师独具内容) 课程标准：1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式.2.会进行直线方程几种形式间的转化． 教学重点：利用直线方程的几种形式解决相应的问题． 教学难点：直线方程各种形式的相互转化及适用范围． 核心素养：通过学习直线方程的一般式，提升逻辑推理及数学抽象素养． 知识点一　直线方程的一般式 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式． (2)适用范围：平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示．反之，任何关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线． (3)特殊情形：①当B≠0时，y＝－x－，它表示平面直角坐标系中一条与x轴不垂直的直线； ②当B＝0，且A≠0时，x＝－，它表示平面直角坐标系中一条与x轴垂直的直线． *知识点二　直线方程的点法式 (1)法向量：与方向向量垂直的向量称为直线的法向量． (2)点法式：已知直线l经过点P(x0，y0)，且它的一个法向量为n＝(A，B)，则方程A(x－x0)＋B(y－y0)＝0是直线l的方程．称这个方程为直线方程的点法式． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式．(　　) (2)任何一条直线的方程的一般式都能与其他几种形式互化．(　　) (3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示垂直于x轴的直线．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1 (2)经过点A(－2，1)，且斜率是的直线方程的一般式为______________________． (3)若直线l方程的一般式为2x－3y＋12＝0，则直线l的斜率是________，在y轴上的截距是________． (4)将直线l方程的一般式x－2y＋4＝0化为截距式为______________________． 答案　(1)D　(2)x－3y＋5＝0　(3)　4　(4)＋＝1 题型一　直线方程的一般式 　(1)已知直线l的倾斜角是直线x－2y＋3＝0的倾斜角的2倍，且直线l过点(3，2)，则直线l方程的一般式为________． [解析]　根据题意，设所求直线的倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝，则有tanθ＝tan2α＝＝＝，故直线l的方程为y－2＝(x－3)，即4x－3y－6＝0. [答案]　4x－3y－6＝0 (2)直线l与两坐标轴在第一象限所围成三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l方程的一般式． [解]　设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且a>0，b>0， 则由已知可得① 当a≥b时，①可化为 解得或(舍去)， 当a<b时，①可化为 解得或(舍去)． 所以直线l方程的截距式为＋y＝1或x＋＝1，化为一般式为x＋4y－4＝0或4x＋y－4＝0. 【条件探究】若本例(2)的条件改为直线l与两坐标轴相交的截距之积为4，截距之差为3，求直线l方程的一般式． 解　设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a，b， 则由已知可得 解方程组可得或或或 故直线l方程的一般式为x＋4y－4＝0或4x＋y＋4＝0或4x＋y－4＝0或x＋4y＋4＝0. 感悟提升　 1．求直线方程的一般式的策略 当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程． 2．不同条件下各种直线方程的选用 在求直线方程时，设一般式并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式，一般选用规律为： (1)已知直线的斜率和直线上某一点的坐标时，选用点斜式； (2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式； (3)已知直线上两点的坐标时，选用两点式； (4)已知直线在x轴、y轴上的截距时，选用截距式． 　菱形的两条对角线长分别为8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在直线方程的一般式． 解　设菱形的四个顶点分别为A，B，C，D，如图所示．根据菱形的对角线互相垂直平分可知，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且A，C关于原点对称，B，D也关于原点对称． 所以A(－4，0)，C(4，0)，B(0，3)，D(0，－3)， 由截距式得＋＝1，即3x－4y＋12＝0，这是直线AB方程的一般式； 由截距式得＋＝1，即3x＋4y－12＝0，这是直线BC方程的一般式； 由截距式得＋＝1，即3x＋4y＋12＝0，这是直线AD方程的一般式； 由截距式得＋＝1，即3x－4y－12＝0，这是直线CD方程的一般式． 题型二　直线方程的一般式与其他形式的互化 　设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值： (1)直线l的斜率为－1； (2)直线l在x轴、y轴上的截距之和为0. [解]　(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2， 由题意得－＝－1，解得k＝5. (2)直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1. 感悟提升 1．一般式化为斜截式的步骤 (1)移项，得By＝－Ax－C； (2)当B≠0时，得斜截式：y＝－x－. 2．一般式化为截距式的步骤 方法一： (1)把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C； (2)当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1； (3)当AB≠0时，化为截距式：＋＝1. 方法二： (1)令x＝0求直线在y轴上的截距b； (2)令y＝0求直线在x轴上的截距a； (3)当ab≠0时，代入直线方程的截距式得＋＝1. 由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式． 　设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解　(1)当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为零，当然相等， ∴a＝2，此时l的方程为3x＋y＝0. 若a≠2，由截距存在且均不为零有＝a－2， 即a＋1＝1， ∴a＝0，此时l的方程为x＋y＋2＝0. (2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2. ∴ 或 解得a≤－1. 综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－1]． 题型三　直线方程的点法式 　已知直线l经过点A(3，1)，且n＝(2，－3)是直线l的一个法向量，求直线l的方程． [解]　由题意，知直线l方程的点法式为2(x－3)－3(y－1)＝0，化为一般式，得2x－3y－3＝0. 感悟提升　如果直线l方程的一般式为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，设P0(x0，y0)为直线l上一个固定的点，P(x，y)为直线l上任意一点，则两式相减可得A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. 若记n＝(A，B)，则上式说明n与向量＝(x－x0，y－y0)的数量积为0，因此n⊥，即n＝(A，B)为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量． 　已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)，求AB的中垂线方程． 解　因为＝5，＝－2， 所以AB的中点坐标为(5，－2)， 易知＝(－6，8)是AB中垂线的一个法向量，故所求方程为－6(x－5)＋8(y＋2)＝0，即3x－4y－23＝0. 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　) A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 答案　D 解析　由直线方程的一般式可知，要使方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为0.故选D. 2．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB方程的一般式是(　　) A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0 答案　A 解析　易知A(－1，0)，∵|PA|＝|PB|，∴点P在线段AB的垂直平分线，即直线x＝2上，∴B(5，0)．∵PA，PB关于直线x＝2对称，∴直线PB的斜率kPB＝－1，∴直线PB的方程为y－0＝－(x－5)，即x＋y－5＝0. 3．已知直线l1的方程是ax－y＋b＝0，直线l2的方程是x＋by－a＝0(ab≠0)，则下列各图中正确的是(　　) 答案　A 解析　由直线l1的方程是ax－y＋b＝0，直线l2的方程是x＋by－a＝0(ab≠0)，可得l1：y＝ax＋b，l2：y＝－x＋.对于A，l1：a>0，b>0，l2：a>0，b>0，A正确；对于B，l1：a>0，b<0，l2：a<0，b<0，矛盾；对于C，l1：a<0，b>0，l2：a>0，b>0，矛盾；对于D，l1：a<0，b>0，l2：a<0，b<0，矛盾．故选A. 4．若直线方程的截距式＋＝1化为斜截式为y＝－2x＋b，化为一般式为bx＋ay－8＝0，且a>0，则a＋b＝________． 答案　6 解析　由＋＝1，得斜截式为y＝－x＋b，一般式为bx＋ay－ab＝0，∴－＝－2，－ab＝－8，即解得或 ∵a>0，∴a＝2，b＝4，∴a＋b＝6. 5．求经过点A(－2，2)且与两坐标轴所围成三角形的面积是1的直线方程的一般式． 解　由题意，知直线的斜率存在且不为0. 设直线的斜率为k(k≠0)，则直线的方程为y－2＝k(x＋2)，其与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，2k＋2)， 由直线与两坐标轴所围成三角形的面积为1， 得·|2k＋2|＝1， 整理得2(k＋1)2＝|k|，即2k2＋4k＋2＝k(k>0)或2k2＋4k＋2＝－k(k<0)， 解得k＝－或k＝－2， 故所求直线方程的一般式为x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0. 一、选择题 1．过点且斜率为的直线方程的一般式为(　　) A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0 C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0 答案　C 解析　依题意，直线方程的点斜式为y－＝(x＋1)，转化为方程的一般式为3x－2y＋6＝0.故选C. 2．已知直线l经过点O(0，0)，而且n＝(3，－4)是直线l的一个法向量，则直线l方程的一般式为(　　) A．4x＋3y＝0 B．4x－3y＝0 C．3x－4y＝0 D．3x＋4y＝0 答案　C 解析　因为n＝(3，－4)是直线l的一个法向量，所以由点法式方程可得，3(x－0)－4(y－0)＝0，即3x－4y＝0.故选C. 3.已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则(　　) A．若c>0，则a>0，b>0 B．若c>0，则a<0，b>0 C．若c<0，则a>0，b<0 D．若c<0，则a>0，b>0 答案　D 解析　由ax＋by＋c＝0得，斜率k＝－，直线在x轴、y轴上的截距分别为－，－.如题图，k<0，即－<0，∴ab>0.∵－>0，－>0，∴ac<0，bc<0.故若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0.故选D. 4．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l方程的一般式为(　　) A．15x－10y－6＝0 B．15x－10y＋6＝0 C．6x－4y－3＝0 D．6x－4y＋3＝0 答案　A 解析　由题意，可知直线l的斜率k＝，故可设直线l的方程为y＝x＋b，则有－b＝1，解得b＝－，所以直线l的方程为y＝x－，即15x－10y－6＝0.故选A. 5．将直线l：y＝－(x－2)绕点(2，0)顺时针旋转30°得到直线l′，则直线l′方程的一般式为(　　) A．x＋y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2＝0 答案　D 解析　由已知，可得直线l的倾斜角为120°，且点(2，0)为直线l上的点，绕点(2，0)顺时针旋转30°后，所得直线l′的倾斜角为120°－30°＝90°，直线l′恰好与x轴垂直，方程为x－2＝0.故选D. 二、填空题 6．已知△ABC的三个顶点分别为A(1，－1)，B(2，2)，C(4，1)，则BC边上的中线所在直线的方程为________． 答案　5x－4y－9＝0 解析　线段BC的中点坐标为D，即D，所以直线AD的方程为＝，即BC边上的中线所在直线的方程为5x－4y－9＝0. 7．若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围为________． 答案　 解析　直线方程可化为y＝(3－2t)x－6，所以3－2t≤0，解得t≥. 8．已知m∈R，过定点A的动直线是x＋my－2＝0，过定点B的动直线是mx－y－m＋3＝0，则过点A和点B的直线方程是________． 答案　3x＋y－6＝0 解析　易知直线x＋my－2＝0过定点A(2，0)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)，则过点A(2，0)和点B(1，3)的直线方程是＝，即3x＋y－6＝0. 三、解答题 9．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式． (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)斜率为4，且在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是－3，－1. 解　(1)由直线方程的点斜式，可知所求直线的方程为y－3＝(x－5)，化为一般式为x－y＋3－5＝0. (2)由直线方程的斜截式，可知所求直线的方程为y＝4x－2，化为一般式为4x－y－2＝0. (3)由直线方程的两点式，可知所求直线的方程为＝，化为一般式为2x＋y－3＝0. (4)由直线方程的截距式，可知所求直线的方程为＋＝1，化为一般式为x＋3y＋3＝0. 10．已知直线l：＋＝1. (1)若直线l的斜率为2，求实数m的值； (2)若直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程． 解　(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)， 则直线l的斜率k＝＝2，则m＝－4. (2)由m>0，4－m>0，得0<m<4， 则△AOB的面积 S＝＝， 易知当m＝2时，S取得最大值2， 此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 1．在平面直角坐标系中，过点P(3，1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B. (1)若＝，求直线l方程的一般式； (2)求当·取得最小值时直线l的方程． 解　设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0. (1)∵＝， ∴(3－a，1)＝(－3，b－1)， 即解得 ∴直线l的方程为＋＝1， 即2x＋3y－9＝0. (2)∵A，P，B三点共线， ∴＝， 整理得＋＝1， ∴·＝(3－a，1)·(－3，b－1) ＝3a＋b－10＝(3a＋b)－10 ＝＋≥2＝6， 当且仅当＝，即a＝b＝4时等号成立， ∴当·取得最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0. 2．在①直线BC的斜率为；②直线AC的斜率为这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下面的问题． 已知以角A为顶角的等腰三角形ABC的顶点A(－1，2)，B(－3，2)，________． (1)求直线AC方程的一般式； (2)求直线BC方程的一般式； (3)求角A的角平分线所在直线方程的一般式． 解　若选①： (1)因为A(－1，2)，B(－3，2)， 所以AB∥x轴． 直线BC的斜率为，则直线BC的倾斜角为30°，因为△ABC是以角A为顶角的等腰三角形，所以直线AC的倾斜角为60°，如图所示： 因为A(－1，2)，直线AC的倾斜角为60°， 所以直线AC的方程为y－2＝(x＋1)， 其一般式为x－y＋2＋＝0. (2)因为B(－3，2)，直线BC的倾斜角为30°， 所以直线BC的方程为y－2＝(x＋3)， 其一般式为x－y＋3＋2＝0. (3)由(2)可知，角A的角平分线所在直线的倾斜角为120°，斜率为－， 所以角A的角平分线所在直线的方程为y－2＝－(x＋1)， 其一般式为x＋y－2＋＝0. 若选②： (1)直线AC的斜率为，则直线AC的倾斜角为60°，因为△ABC是以角A为顶角的等腰三角形，所以直线BC的倾斜角为30°或120°，如图所示． 因为A(－1，2)，直线AC的斜率为， 所以直线AC的方程为y－2＝(x＋1)， 其一般式为x－y＋2＋＝0. (2)因为B(－3，2)，直线BC的倾斜角为30°或120°，所以直线BC的方程为y－2＝(x＋3)或y－2＝－(x＋3)， 其一般式为x－y＋3＋2＝0或x＋y＋3－2＝0. (3)由题意可知，角A的角平分线所在直线的倾斜角为120°或30°，其斜率为－或， 所以角A的角平分线所在直线的方程为y－2＝－(x＋1)或y－2＝(x＋1)， 其一般式为x＋y－2＋＝0或x－y＋2＋1＝0. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$