1.1.3 第2课时 直线方程的两点式-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 第2课时　直线方程的两点式 (教师独具内容) 课程标准：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式与截距式． 教学重点：会求直线方程的两点式、截距式． 教学难点：能利用直线方程的两点式、截距式解决相应的问题． 核心素养：通过学习直线方程的两点式及截距式，提升逻辑推理及数学抽象素养． 知识点一　直线方程的两点式 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两点式 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 ＝ 斜率存在且不为0 知识点二　直线方程的截距式 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0 ＋＝1 斜率存在且 不为0， 不过原点 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)斜率不存在的直线方程有两点式．(　　) (2)与x轴平行的直线方程没有两点式．(　　) (3)过原点的直线方程没有截距式．(　　) (4)过点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程的两点式为＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)过点A(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(　　) A．x＋y＝5 B．x－y＝5 C．x＋y＝5或x－4y＝0 D．x－y＝5或x－4y＝0 (2)过点A(1，1)，B(2，3)的直线方程的两点式为______________． (3)过点C(0，2)，D(－3，0)的直线方程的截距式为____________． (4)已知直线＋＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为________． 答案　(1)C　(2)＝　(3)＋＝1　(4)±2 题型一　直线方程的两点式 　已知三角形的顶点分别是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求AC边所在直线的方程，以及该边上的中线所在直线的方程． [解]　过点A(－5，0)，C(0，2)的直线方程的两点式为＝，整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC边所在直线的方程． 设线段AC的中点为D(x，y)，则AC边上的中线是顶点B与AC边的中点D的连线． 因为即D. 由两点式得直线BD的方程为＝， 整理可得8x＋11y＋9＝0. 此方程即为AC边上的中线所在直线的方程． 感悟提升　直线方程的两点式的适用范围及注意事项 (1)已知不垂直于两坐标轴的直线上的两点，便可以利用直线的两点式求其方程． (2)由于减法运算的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序弄错而致误，错误的原因是没有将实际解题中的数与公式中的字母对应起来，只有深刻理解公式，才能避免类似“低级”错误． 　已知△ABC的三个顶点分别为A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程． 解　∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点的横坐标相同， ∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2. ∵A(2，－1)，C(4，1)， ∴由直线方程的两点式可得直线AC的方程为＝，即x－y－3＝0. ∵B(2，2)，C(4，1)， ∴由直线方程的两点式可得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0. 题型二　直线方程的截距式 　直线l过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程． [解]　设直线l的方程为＋＝1， 由已知得a＋b＝12.① 又直线l过点(－3，4)， 所以＋＝1.② 由①②解得或 故直线l的方程为＋＝1或＋＝1， 即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0. 【条件探究】在本例中若改为截距之积为6，又如何求直线l的方程？ 解　设直线l的方程为＋＝1， 由已知得ab＝6.① 又直线l过点(－3，4)，所以＋＝1.② 由①②解得或 故直线l的方程为＋＝1或＋＝1， 即2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. 感悟提升　直线方程的截距式的适用范围 如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况． 　(1)求过点A(－3，4)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程； (2)求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程． 解　(1)①当直线l在两坐标轴上的截距不为零时，设其方程为＋＝1. 将点A(－3，4)代入上式，有＋＝1， 解得a＝－7， 所以直线l的方程为x－y＋7＝0； ②当直线l在两坐标轴上的截距均为零时，显然可设直线方程为y＝kx，将点A(－3，4)代入可得k＝－， 所以直线l的方程为4x＋3y＝0. 综上所述，直线l的方程为x－y＋7＝0或4x＋3y＝0. (2)由题意知，当直线l在两坐标轴上的截距均为零时，直线l的方程为2x－5y＝0； 当直线l在两坐标轴上的截距不为零时， 设直线l的方程为＋＝1， 将点(5，2)代入上式，得＋＝1， 解得a＝. 所以直线l的方程为x＋2y－9＝0. 综上，所求直线l的方程为2x－5y＝0或x＋2y－9＝0. 题型三　直线方程的综合应用 　若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为________． [解析]　∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. ①若直线l在两坐标轴上的截距相等，且设为a，则直线l的方程为＋＝1，即x＋y－a＝0.∵|a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，∴直线l的方程为x＋y±6＝0； ②若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a，故直线l的方程为＋＝1，即x－y－a＝0.∵|－a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，∴直线l的方程为x－y±6＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0. [答案]　x＋y±6＝0或x－y±6＝0 感悟提升　利用截距求面积 (1)截距式是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与两坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与两坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便． (2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线方程的截距式，由于不知道截距的大小，因此需要进行分类讨论． 　直线l过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，O为坐标原点． (1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程． 解　(1)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 由题意知，a＋b＋＝12， 又因为直线l过点P， 所以＋＝1，即5a2－32a＋48＝0， 解得或 所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1. (2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 由题意知，ab＝12，＋＝1，消去b， 得a2－6a＋8＝0， 解得或 所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1. 1．已知直线的截距式方程为－＝1，则该直线在y轴上的截距是(　　) A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b 答案　B 解析　令x＝0，得y＝－b2，即该直线在y轴上的截距是－b2. 2．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为(　　) A．－ B．－ C. D．2 答案　A 解析　直线的方程为＝，化为截距式为＋＝1，则直线在x轴上的截距为－. 3．(多选)下列语句中正确的是(　　) A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过任意两个不同点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示 C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 D．斜率存在且经过定点的直线都可以用y＝kx＋b表示 答案　BD 解析　A中，当直线的斜率不存在时，不能表示，A错误；B正确；C中方程不能表示与坐标轴垂直的直线，C错误；D正确．故选BD. 4．过点(0，3)，且在两坐标轴上的截距之和等于5的直线方程是________． 答案　3x＋2y－6＝0 解析　设直线方程为＋＝1，则 解得∴所求直线的方程为＋＝1，即3x＋2y－6＝0. 5．已知△ABC的三个顶点分别为A(－4，0)，B(0，2)，C(4，－4)，求这个三角形的三边所在直线的方程． 解　kAC＝＝－， 由直线方程的点斜式，得直线AC的方程为y－0＝－(x＋4)， 即x＋2y＋4＝0. ∵A(－4，0)，B(0，2)， ∴由直线方程的截距式，得直线AB的方程为＋＝1， 即x－2y＋4＝0. ∵B(0，2)，C(4，－4)， ∴由直线方程的两点式，得直线BC的方程为＝， 即3x＋2y－4＝0. ∴三边AC，AB，BC所在直线的方程分别为x＋2y＋4＝0，x－2y＋4＝0，3x＋2y－4＝0. 一、选择题 1．下列说法中正确的是(　　) A．若直线l在x轴、y轴上的截距都是负数，则直线l的倾斜角为锐角且不过第二象限 B.－＝1与＋＝－1是直线方程的截距式 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在x轴、y轴上的截距分别是2，－3的直线方程为＋＝1 答案　D 解析　依题意知，直线l的截距式方程为＋＝1(a>0，b>0)，显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，所以A错误；因为方程－＝1与＋＝－1不符合直线方程的截距式的结构特点，所以B错误；因为斜截式的直线包含截距为0的情况，因此不可以化为截距式，如直线y＝2x，所以C错误；直线在x轴、y轴上的截距分别是2，－3，根据直线方程的截距式，可得直线的方程为＋＝1，所以D正确． 2．若直线l过点(－1，－1)和(2，5)，且点(1011，b)在直线l上，则b的值为(　　) A．2010 B．2020 C．2023 D．2022 答案　C 解析　由题意得，直线l方程的两点式为 ＝，即y＝2x＋1，将点(1011，b)代入方程，得b＝2×1011＋1＝2023. 3．已知△ABC的两个顶点A(－3，0)，B(2，1)，△ABC的重心G(－1，1)，则AB边中线所在直线的方程为(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0 答案　A 解析　设点C的坐标为(x0，y0)，则由重心的坐标公式得解得 所以点C的坐标为(－2，2)．设AB的中点为D，则可得点D的坐标为，所以AB边中线CD所在直线的方程为＝，即x＋y＝0. 4．两直线－＝1与－＝1的图象可能是图中的(　　) 答案　B 解析　直线－＝1在x轴、y轴上的截距分别是m，－n.直线－＝1在x轴、y轴上的截距分别是n，－m.因此四个截距中两正两负，对照选项中图形可知B正确．故选B. 5．(多选)过点P(1，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线的方程可能为(　　) A．y＝－2x B．y＝－x－1 C．y＝x－3 D．y＝2x－4 答案　ABC 解析　当直线经过原点时，直线的方程为y＝－2x.当直线不经过原点时，设直线的方程为＋＝1或＋＝1.把(1，－2)代入可得a＝－1或b＝3，可得直线的方程为x＋y＝－1，x－y＝3，即y＝－x－1，y＝x－3.综上，满足条件的直线的方程可能是y＝－2x，y＝－x－1或y＝x－3.故选ABC. 二、填空题 6．一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射后，经过点B(－1，6)，则入射光线所在的直线方程为________，反射光线所在的直线方程为____________． 答案　y＝2x－4　y＝－2x＋4 解析　∵点B(－1，6)关于x轴的对称点为B′(－1，－6)，由两点式可得直线AB′的方程为＝，即y＝2x－4.同理，点A(3，2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)，∴由两点式可得直线A′B的方程为＝，即y＝－2x＋4.∴入射光线所在的直线方程为y＝2x－4，反射光线所在的直线方程为y＝－2x＋4. 7．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________． 答案　3 解析　直线AB的方程为＋＝1，P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，所以xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3，即xy的最大值是3. 8．经过点P(－3，－2)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 答案　y＝x或y＝x＋1 解析　①当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－2＝k×(－3)，k＝，故直线方程为y＝x；②当截距不为0(不过原点)时，设直线方程为－＝1，将点(－3，－2)代入，得a＝－1，故直线方程为y＝x＋1.综上，所求直线的方程为y＝x或y＝x＋1. 三、解答题 9．已知直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点且线段AB的中点为P(4，1)，求直线l的方程． 解　由题意可设A(x，0)，B(0，y)， 由中点坐标公式可得 解得 所以A(8，0)，B(0，2)． 由直线方程的截距式得直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0. 10．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求： (1)顶点C的坐标； (2)直线MN的方程． 解　(1)设C(x0，y0)， 则AC边的中点为M，BC边的中点为N， 因为M在y轴上，所以＝0得x0＝－5. 又因为N在x轴上， 所以＝0， 所以y0＝－3，即C(－5，－3)． (2)由(1)可得M，N(1，0)，所以直线MN的方程为＋＝1，即5x－2y－5＝0. 1．已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程． 解　设直线l：＋＝1(a>0，b>0)， 因为直线l过点M(2，1)，所以＋＝1， 则1＝＋≥2＝2，所以ab≥8，当且仅当＝＝时取等号，所以△AOB面积的最小值为ab＝4，此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0. 2．A是直线l：y＝3x上的第一象限内的一点，B(3，2)为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，求使△AOC面积最小的点A的坐标． 解　如图，设点A的坐标为(m，3m)(m>0)． ①当直线AB不垂直于x轴时，由两点式得直线AB的方程为 ＝. 令y＝0，得xC＝. 因为点C在x轴的正半轴上， 所以>0，即m>. 所以△AOC的面积 S＝××3m＝ ＝×＝× ≥× ＝×8＝. 当且仅当m＝时等号成立，此时点A的坐标为； ②当直线AB与x轴垂直时，点A的坐标为(3，9)，此时S△AOC＝×3×9＝>. 综上所述，△AOC面积的最小值为，此时点A的坐标为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$