1.1.3 第1课时 直线方程的点斜式-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 1.3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 (教师独具内容) 课程标准：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式与斜截式． 教学重点：会求直线方程的点斜式、斜截式． 教学难点：能利用直线方程的点斜式、斜截式解决相应的问题． 核心素养：通过推导直线方程的点斜式及斜截式的过程，提升逻辑推理及数学抽象素养． 知识点一　直线l的方程 一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程． 知识点二　直线方程的点斜式 (1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线方程为y－y0＝k(x－x0)，称为直线方程的点斜式． (2)经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线方程为y＝y0，经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线方程为x＝x0． 知识点三　直线方程的斜截式 (1)方程y＝kx＋b中的k为直线l的斜率，b为直线l在y轴上的截距． (2)称y＝kx＋b为直线方程的斜截式． 1．关于点斜式的几点说明 (1)直线方程的点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知一点P(x0，y0)和斜率k.只有这两个条件都具备，才可以写出直线方程的点斜式． (2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线． (3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线． 2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线方程的斜截式．截距不是距离，可正、可负也可为零． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线的倾斜角为0°时，过(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.(　　) (2)直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念．(　　) (3)直线方程的点斜式不能表示坐标平面上的所有直线．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 (2)过点P(－1，2)，且倾斜角为60°的直线方程的点斜式为________________________． (3)已知直线l：y＝2－x，则直线l的斜率是________，在y轴上的截距为________． (4)斜率为2，且过点A(0，3)的直线方程的斜截式为______________________． 答案　(1)C　(2)y－2＝(x＋1) (3)－　2　(4)y＝2x＋3 题型一　直线方程的点斜式 　分别求满足下列条件的直线方程的点斜式． (1)过点(－1，2)，且斜率为3； (2)已知点A(3，3)，B(－1，5)，过线段AB的中点且倾斜角为60°； (3)过点(－1，2)且直线的一个方向向量为v＝(2，－1)． [解]　(1)y－2＝3(x＋1)． (2)斜率k＝tan60°＝，AB的中点为(1，4)，则该直线方程的点斜式为y－4＝(x－1)． (3)直线的一个方向向量为v＝(2，－1)， ∴k＝＝－，故该直线方程的点斜式为y－2＝－(x＋1)． 感悟提升　直线方程的点斜式的适用范围 已知直线上一点的坐标以及直线的斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示直线，点斜式应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，过点(x0，y0)的直线方程为x＝x0. 　写出下列直线方程的点斜式： (1)过点P(－4，3)，且斜率k＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x轴平行； (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点． 解　(1)∵直线过点P(－4，3)，且斜率k＝－3， ∴该直线方程的点斜式为y－3＝－3(x＋4)． (2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0， ∴该直线方程的点斜式为y－(－4)＝0×(x－3)． (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点的直线的斜率kPQ＝＝＝－1. 又直线过点P(－2，3)， ∴该直线方程的点斜式为y－3＝－(x＋2)． 题型二　直线方程的斜截式 　根据条件写出下列直线方程的斜截式： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. [解]　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5. (2)由于倾斜角α＝150°， 则斜率k＝tan150°＝－， 由斜截式可得所求直线方程为y＝－x－2. (3)由于直线的倾斜角为60°，则其斜率k＝tan60°＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，则直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. 感悟提升　直线方程的斜截式的求解策略 (1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别． (2)直线方程的斜截式y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式，利用k，b的几何意义进行判断． 　(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线方程的斜截式； (2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线方程的斜截式； (3)已知直线方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标． 解　(1)易知k＝－1，b＝－2，由直线方程的斜截式知，所求直线方程为y＝－x－2. (2)由于直线的斜率k＝－，且过点A(6，－4)，则直线方程的点斜式为y＋4＝－(x－6)，化为斜截式为y＝－x＋4. (3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线方程的斜截式知，直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0，1)． 1．直线y＝k(x＋2)＋3必过一定点，则该定点为(　　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，－3) D．(－2，3) 答案　D 解析　直线方程可化为y－3＝k(x＋2)，由直线方程的点斜式可知该直线的斜率为k，且过点(－2，3)． 2．(多选)方程y＝ax＋表示的直线可能是(　　) 答案　AB 解析　易知a≠0，当a>0时，>0，即直线的斜率为正，直线在y轴上的截距为正，A符合；当a<0时，<0，即直线的斜率为负，直线在y轴上的截距为负，B符合．故选AB. 3．倾斜角为120°，在y轴上的截距是－3的直线方程的斜截式为________． 答案　y＝－x－3 解析　∵所求直线的倾斜角为120°，∴它的斜率k＝tan120°＝－，又b＝－3，∴所求直线方程的斜截式为y＝－x－3. 4．斜率为2的直线与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为________． 答案　y＝2x＋2或y＝2x－2 解析　设直线方程为y＝2x＋b，当x＝0时，y＝b，当y＝0时，x＝－，则S＝＝1，b＝±2，故所求直线方程为y＝2x＋2或y＝2x－2. 5．已知直线y＝－x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过点P(3，－4)； (2)过点(－2，0)； (3)在y轴上的截距为3. 解　设直线y＝－x＋5的倾斜角为α， 则直线y＝－x＋5的斜率k＝tanα＝－，所以α＝150°. 故直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝. (1)过点P(3，－4)， 由直线方程的点斜式，得y＋4＝(x－3)， 即y＝x－－4. (2)过点(－2，0)，由直线方程的点斜式， 得y－0＝(x＋2)，即y＝x＋. (3)在y轴上的截距为3， 由直线方程的斜截式，得y＝x＋3. 一、选择题 1．已知直线方程y－3＝(x－4)，则这条直线经过的点和倾斜角分别为(　　) A．(4，3)，60° B．(－3，－4)，30° C．(4，3)，30° D．(－4，－3)，60° 答案　A 解析　由直线方程的点斜式易知直线过点(4，3)，且斜率为，所以倾斜角为60°. 2．已知ab>0，bc>0，则直线ax＋by＝c经过(　　) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 答案　B 解析　把直线ax＋by＝c化为y＝－x＋，∵ab>0，bc>0，∴－<0，>0.故直线经过第一、二、四象限． 3．已知直线l的倾斜角为45°，且过点(1，2)，则在直线l上的点是(　　) A．(0，1) B．(－2，3) C．(3，3) D．(3，2) 答案　A 解析　直线l的斜率k＝tan45°＝1，且过点(1，2)，则直线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1，将A，B，C，D中的各点的坐标代入，可知A正确． 4．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线是(　　) A．x＝－1 B．y＝1 C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1) 答案　C 解析　∵直线y＝x－2的斜率为，∴所求直线的斜率为，又直线过点(－1，1)，∴其直线方程为y－1＝(x＋1)． 5．(多选)在同一直角坐标系中，直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2(k1>k2，b1<b2)的图象可能是(　　) 答案　AB 解析　在C中，b1>b2，不符合题意；在D中，k1<k2，不符合题意．故选AB. 二、填空题 6．直线y＝2x－3在y轴上的截距为________． 答案　－3 解析　对于直线y＝2x－3，当x＝0时，y＝－3，故直线y＝2x－3在y轴上的截距为－3. 7．直线过点(2，－3)，且在y轴上的截距为－5，则这样的直线方程为________． 答案　y＝x－5 解析　由题意，得直线的斜率存在．设直线方程为y－(－3)＝a(x－2)，显然a≠0，令x＝0，得y＝－2a－3，－2a－3＝－5，解得a＝1.故所求直线的方程为y＋3＝x－2，即y＝x－5. 8．直线l1过点P(－1，2)，斜率为－，则直线l1方程的点斜式为________________，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，则直线l2方程的点斜式为________________． 答案　y－2＝－(x＋1)　y－2＝－(x＋1) 解析　直线l1方程的点斜式为y－2＝－(x＋1)．∵k1＝－＝tanα1，∴α1＝150°.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan120°＝－，∴直线l2方程的点斜式为y－2＝－(x＋1)． 三、解答题 9．已知直线m的一个方向向量为v＝(3，)，直线l的倾斜角为直线m的倾斜角的2倍．求当直线l分别满足下列条件时直线l方程的点斜式： (1)过点P(3，－4)； (2)与y轴的交点为(0，－3)． 解　∵直线m的一个方向向量为v＝(3，)， ∴直线m的斜率为， 则直线m的倾斜角为30°， ∴直线l的倾斜角为60°， ∴直线l的斜率为tan60°＝. (1)∵直线l过点P(3，－4)， ∴直线l方程的点斜式为y－(－4)＝(x－3)． (2)∵直线l与y轴的交点为(0，－3)， ∴直线l方程的点斜式为y－(－3)＝(x－0)． 10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l方程的斜截式． (1)过定点A(－3，4)； (2)斜率为. 解　(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4(k≠0)， 则直线l与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，3k＋4)， 由已知，得＝3， 解得k＝－或－. ∴直线l方程的斜截式为y＝－x＋2或y＝－x－4. (2)设直线l在y轴上的截距为b， 则直线l方程的斜截式是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b， 由已知，得|－6b·b|＝6，解得b＝±1. ∴直线l方程的斜截式为y＝x＋1或y＝x－1. 1．已知△ABC的两个顶点A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求： (1)边AB所在直线的方程； (2)边AC和BC所在直线方程的点斜式． 解　(1)∵A，B两点的纵坐标均为1， ∴边AB所在直线的方程为y＝1. (2)由(1)知AB平行于x轴， 当点C在第一象限时，kAC＝tan60°＝， kBC＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1， ∴边AC所在直线方程的点斜式为y－1＝(x－1)，边BC所在直线方程的点斜式为y－1＝－(x－5)； 当点C在第四象限时，kAC＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－，kBC＝tan45°＝1， ∴边AC所在直线方程的点斜式为y－1＝－(x－1)，边BC所在直线方程的点斜式为y－1＝x－5. 2．已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l过定点； (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 解　(1)证明：由y＝kx＋2k＋1， 得y－1＝k(x＋2)． 由直线方程的点斜式可知，直线l过定点(－2，1)． (2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)． 当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足即 解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是－≤k≤1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$