1.1.1-1.1.2 一次函数的图象与直线的方程 直线的倾斜角、斜率及其关系-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（北师大版2019）

数学 选择性必修·第一册[BS] 　　　 1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 (教师独具内容) 课程标准：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置关系的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 教学重点：直线倾斜角的概念、直线的斜率公式、直线的方向向量的应用． 教学难点：1.直线的倾斜角与斜率的变化关系.2.直线的斜率公式． 核心素养：通过学习直线的倾斜角与斜率，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养． 知识点一　直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角．通常倾斜角用α表示． ①当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0； ②当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为. (2)范围：[0，π)． 知识点二　直线的斜率 (1)定义：称k＝(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． (2)①若直线l垂直于x轴，则它的斜率不存在； ②若直线l不与x轴垂直，则它的斜率存在且唯一． 知识点三　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 (1)倾斜角不是的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足k＝tanα． (2)如图，结合正切函数的图象与性质，可知，斜率k与倾斜角α有如下关系： 当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α∈时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在． (3)如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．由平面向量的知识可知，向量是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度．它们之间的关系是k＝＝tanα(其中x1≠x2)． ①若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量； ②若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角．(　　) (2)任意一条直线都有斜率．(　　) (3)倾斜角越大，斜率也越大．(　　) (4)倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)已知直线经过点A(－2，0)，B(－5，3)，则该直线的倾斜角为(　　) A．150° B．135° C．75° D．45° (2)如图1所示，直线l的倾斜角为________． (3)过点(a，b)与y轴垂直的直线的斜率为________． (4)如图2所示，直线l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为________． (5)过点(0，1)和(－3，0)的直线的斜率为________． 答案　(1)B　(2)135°　(3)0　(4)k1<k3<k2 (5) 题型一　直线的倾斜角 　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° [解析]　通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. [答案]　D 感悟提升　求直线倾斜角的注意点 (1)解答这类问题要抓住：①倾斜角的定义，注意旋转方向；②倾斜角的取值范围为0°≤α<180°；③充分结合图形进行分析． (2)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. 　已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． 答案　60°或120° 解析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°；②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 题型二　直线的斜率 　如图，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，试计算直线l1，l2，l3的斜率． [解]　由已知条件可得，直线l1，l2，l3的斜率都存在． 设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3， 则k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0. 感悟提升　斜率公式 (1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝(x1≠x2)． (2)应用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，要对参数进行讨论． 　已知△ABC的三个顶点分别为A(1，1)，B(－1，－1)，C(2＋，－2－)，求三角形的三边所在直线的斜率． 解　边AB所在直线的斜率kAB＝＝1； 边AC所在直线的斜率kAC＝＝＝－； 边BC所在直线的斜率kBC＝＝＝－. 题型三　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 　已知直线l经过点A(2，3)，B(－1，0)，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率k与倾斜角θ. [解]　由已知，可得＝(－1，0)－(2，3)＝(－3，－3)是直线l的一个方向向量．因此直线l的斜率k＝＝1，直线l的倾斜角θ满足tanθ＝1，从而可知θ＝45°. 感悟提升 (1)若v＝(x，y)是直线l的一个方向向量，则k＝(x≠0)． (2)直线的斜率与倾斜角的关系可利用正切函数y＝tanx的图象分析． 　已知直线l经过点A(－1，2)，B(m，3)． (1)若v＝(－2，2)是直线l的一个方向向量，求m的值； (2)当m∈时，求直线AB的倾斜角θ的取值范围． 解　(1)∵A(－1，2)，B(m，3)， ∴＝(m＋1，1)， 又∥v，∴(m＋1)×2＝1×(－2)， 即m＋1＝－1，解得m＝－2. (2)∵直线l的斜率为＝， 又－≤m＋1<0， ∴≤－，即tanθ≤－， 又0≤θ＜π，∴<θ≤， 即直线AB的倾斜角θ的取值范围为. 题型四　三点共线问题 　已知A(a，2)，B(5，1)，C(－4，2a)三点在同一直线上，求a的值． [解]　解法一：∵5≠－4， ∴三点所在直线的斜率存在， ∴kAB＝＝，kBC＝＝. ∵A，B，C三点在同一直线上，∴kAB＝kBC， ∴＝，解得a＝2或a＝. 解法二：∵＝(5－a，－1)，＝(－4－a，2a－2)，A，B，C三点在同一直线上， ∴(5－a)×(2a－2)＝－1×(－4－a)， 即2a2－11a＋14＝0，解得a＝2或a＝. 感悟提升　斜率公式解决三点共线问题 (1)利用斜率证明A，B，C三点共线：①若过任意两点的直线的斜率都不存在，则三点共线；②若过任意两点的直线的斜率都存在，且kAB＝kAC，则直线AB与直线AC的倾斜角相等，又直线AB，AC都过点A，所以直线AB，AC重合，从而说明A，B，C三点共线． (2)利用向量和向量是否共线也能判断A，B，C三点是否共线． 　已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(－1，b)四点在同一直线上，求直线的斜率k及a，b的值． 解　由题意可知， kAB＝＝2，kAC＝＝，kAD＝＝， 所以k＝2＝＝， 解得a＝4，b＝－3. 所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3. 1．过点A(1，－3)和B(2，4)的直线的斜率为(　　) A．1 B．－7 C．7 D. 答案　C 解析　k＝＝7. 2．已知A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则a，b的值为(　　) A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝2 C．a＝2，b＝3 D．a＝3，b∈R且b≠1 答案　D 解析　由直线AB的倾斜角是90°，可知直线AB垂直于x轴，所以A，B两点的横坐标相等，纵坐标不相等，于是a＝3，b∈R且b≠1.故选D. 3．若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于(　　) A．1±或0 B.或0 C. D.或0 答案　A 解析　由题意知三点所在直线的斜率存在，则kAB＝kBC，即＝，整理得a3－2a2－a＝0，解得a＝1±或0. 4．若直线l的一个方向向量v＝，则直线l的倾斜角θ＝________． 答案　 解析　由tanθ＝k＝＝tan，且0≤θ＜π，得θ＝. 5.如图，已知三点A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 解　直线AB的斜率kAB＝＝； 直线BC的斜率kBC＝＝＝－； 直线CA的斜率kCA＝＝＝1. 由kAB>0及kCA>0知，直线AB与直线CA的倾斜角均为锐角； 由kBC<0知，直线BC的倾斜角为钝角． 一、选择题 1．若经过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为(1，1)，则y＝(　　) A．－ B. C．－1 D．1 答案　C 解析　由题意可得＝1，解得y＝－1.故选C. 2．已知经过(5，m)和(m，8)两点的直线的斜率大于1，则m的取值范围是(　　) A．(5，8) B．(8，＋∞) C. D. 答案　D 解析　由k＝>1，解得5<m<. 3．直线l的倾斜角α∈，则其斜率的取值范围为(　　) A. B．(1，) C. D. 答案　B 解析　直线l的倾斜角为α，则斜率为tanα，y＝tanx在上为增函数．由于直线l的倾斜角α∈，所以其斜率的取值范围为，即(1，)．故选B. 4．若a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 答案　B 解析　＝表示函数y＝ln x图象上的点(x，y)与点D(1，0)连线的斜率，如图所示．令a＝kDA，b＝kDB，c＝kDC，由图可知kDC<kDB<kDA，即c<b<a. 5．(多选)下列各组点中，在同一直线上的是(　　) A．(－2，3)，(－7，5)，(3，－5) B．(3，0)，(6，4)，(－3，－8) C．(4，5)，(3，4)，(－2，－1) D．(1，3)，(2，5)，(－2，3) 答案　BC 解析　利用斜率公式求解． 二、填空题 6．已知点A(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝2，则点B的坐标为________． 答案　(1，0)或(0，－2) 解析　设B(x，0)或B(0，y)，则kAB＝或kAB＝，由kAB＝2，解得x＝1或y＝－2. 7．已知直线l的斜率k＝－2，A(5，－3)，B(4，x)，C(－1，y)是这条直线上的三个点，则x＝________，y＝________． 答案　－1　9 解析　由k＝－2＝kAB＝kAC，得＝－2，＝－2，所以x＝－1，y＝9. 8．若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值为________． 答案　 解析　∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴＝，∴a＋b＝ab，∴＋＝. 三、解答题 9．四边形ABCD的四个顶点分别是A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，D(－2，2)，分别求四条边所在直线的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． 解　kAB＝＝4，kBC＝＝，kCD＝＝－4，kDA＝＝. ∵kAB>0，kBC>0，kCD<0，kDA>0， ∴直线AB，BC，DA的倾斜角为锐角，直线CD的倾斜角为钝角． 10．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 解　(1)如图，由题意可知，直线PA的斜率kPA＝＝－1，直线PB的斜率kPB＝＝1， ∵l与线段AB相交， ∴k≥kPB或k≤kPA或k不存在，则k的取值范围是k≤－1或k≥1或k不存在． (2)由(1)知tanα≤－1或tanα≥1， 又0°≤α<180°， ∴90°<α≤135°或45°≤α<90°， 又α＝90°时，直线l垂直于x轴，与线段AB有公共点，也满足要求， ∴45°≤α≤135°. 1．求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． 解　当m＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为α＝90°. 当m≠1时，由斜率公式可得k＝＝. ①当m>1时，k＝>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. ②当m<1时，k＝<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 2．已知直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，直线l2的斜率为，求l1，l3，l4的斜率． 解　设直线l1，l2，l3，l4的倾斜角分别为α，2α，3α，4α. 由0≤4α<π，得0≤α<. 由已知，得tan2α＝＝， 解得tanα＝(tanα＝－3舍去)，则 tan3α＝tan(α＋2α)＝＝， tan4α＝＝， 即直线l1，l3，l4的斜率分别为，，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$