专题04 对称图形-圆（考题猜想，压轴必刷57题9种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题04 对称图形—圆（压轴必刷57题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 垂径定理压轴题型 题型二 圆周角压轴题型 题型三 直线与圆的位置关系压轴题型 题型四 弧长、扇形面积和圆锥压轴题型 题型五 圆中多结论问题 题型六 圆中翻折、旋转问题 题型七 圆中新定义问题 题型八 圆中各类最值问题 题型九 江苏各市考查圆的压轴大题 一．垂径定理压轴题型 1．如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 2．如图在中，是直径，P为上一点（点P不与A，B两点重合），弦过点P，． （1）若，则的长为 ． （2）当点P在上运动时（保持不变），则 ． 3．如图，是的直径，为圆上一点，且，的半径为，为圆上一动点，为的中点，则长度的最大值是 ．    4．如图，四边形内接于，为直径，，于． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长； (3)在（）条件下，如图，是线段上一点，，连接并延长交于，求的长． 5．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为，点A在上，点B为线段中点，过点B作垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为，试探究点的轨迹． 【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点在一个确定的圆上，下面是部分证明过程： 证明： 证明过程缺失 ∴点在以点______为圆心，______为半径的圆上． （1）请你补全证明中的缺失过程． 【结论应用】（2）如图②，的半径为，点A与点C在上且．点B为线段上的点，且，过点B作的垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为．当点P从点A运动到点C时，点的运动路径长为______． 【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件“”去掉，其它条件不变，为直径．点D到点距离d的取值范围是______． 二．圆周角压轴题型 1．如图，内接于，，连接并延长，交于点D，于点E，交于点F，连接．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．在中，直径，是圆上除外的一点，分别是的中点，是弦的中点，则的取值范围是 ． 3．已知在等边中，将线段绕点旋转，得到线段，连接，． (1)如图，将线段绕点顺时针旋转，若，则 ，四边形的面积为 ； (2)在图中依题意补全图形，并求的度数； 取的中点，连接，交直线于点，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 4．如图，为的内接三角形，，，点为弧上一点，连接． (1)如图1，当时，垂足为，连接并延长分别交，于点． ①______； ②求证：． (2)如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接，如果，求线段的长． 三．直线与圆的位置关系压轴题型 1．如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，斜边，内切圆I切各边为D，E，F，连结，作交于G，则长为（    ） A．7 B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点，，若在直线上存在点P满足，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，，点在对角线上运动（不与点重合），为的外接圆，当与矩形的边相切时，的半径为 ． 5．定理证明： （1）如图1，，是的两条切线，切点分别为，，求证：； 定理应用： （2）如图2，是⊙的内接等腰三角形，，，是的切线，若，求四边形的面积． 6．如图，四边形是的内接四边形，对角线为直径，过点作的延长线于点，是的切线． (1)写出图中一个与相等的角_______； (2)求证：平分； (3)若，，求的半径． 四．弧长、扇形面积和圆锥压轴题型 1．如图，同一个圆中的两条弦、相交于点．若，，则与长度之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知是圆O的直径，，是圆O的切线，圆O与交于点F，点E是的中点，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ． 3．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点O作交于点E，以点O为圆心，长为半径画弧，分别交，，，于点M，N，P，Q，若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）    4．综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． (1)特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ． (2)问题提出：求证：． (3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 5．如图，为的弦，为的直径，与相交于点，连接，，，过点作于点． (1)求证：； (2)当时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 五．圆中多结论问题 1．图1是一张圆形纸片；如图2，将圆形纸片作两次对折，且折痕，垂足为点；如图3，把纸片展开后，再将圆形纸片沿弦折叠，使两点，重合，折痕与相交于点，连接，，，．下列四个结论中错误的是（    ） A．四边形是菱形 B．为等边三角形 C． D． 2．已知正方形的边长为4，点是平面内的一动点，连接，且，点是上一点，，连接，下列结论错误的是（    ） A．的最小值是3 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是5 3．如图，正方形中，E是上一点， 将沿翻折得，点A的对应点是点F，直线与交于点H，与的平分线交于点G，连接，下列说法：①；②；③若连接，则；④若正方形边长为2，E为的中点，则．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在菱形中，，对角线，交于点，动点在边上（不与点重合），连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，，现有以下结论：①点，之间的距离为定值；②；③的值可以是；④或．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 5．如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．下列结论正确的 ．（填序号） ；当时，点恰好落在弧上；当与半圆相切时，；当点从点运动到点时，线段扫过的面积是． 六．圆中翻折、旋转问题 1．如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ） A．3 B． C． D．2 3．如图，菱形中，，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为上一点，且，连接，则线段的最小值为 ．    4．如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿 所在直线把翻折到的位置，交于点，连接． （1）的最小值是 ； （2）若为直角三角形，则的长为 ． 5．如图，在矩形中，，将边翻折到，使点D的对应点E在边上；再将边翻折到，点A的对应点为F，连接． （1）若，则的长为 ； （2）若点F为的内心，则的长为 ． 七．圆中新定义问题 1．定义：点P、点Q分别为两个图形、上任一点，如果线段的长度存在最小值时，就称该最小值为图形和的“近距离”；如果线段的长度存在最大值时，就称该最大值为图形和的“远距离”．线段和是平面直角坐标系中的两个图形，其中，点，，半径为1．下列关于线段与的“距离”说法，正确的是（   ） A．“近距离”是4 B．“近距离”是5 C．“远距离”是6 D．“远距离”是8 2．定义：一个圆分别与一个三角形的三条边各有两个交点，且所截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”现有一个斜边长为的等腰直角三角形，当“等弦圆”最大时，这个圆的半径为( ) A． B． C． D． 3．平面直角坐标系中，的半径为1，A、B为外两点，．给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．若点A的坐标为，记线段到的“平移距离”为d，d的取值范围为 ．    4．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做三角形的“等弦圆”．如图，中，，，当的等弦圆最大时，这个圆的半径为 ． 5．定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 例如：如图1，线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆； 【初步思考】 （1）边长为的正方形的最小覆盖圆的半径是______； （2）如图2，边长为的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是______； 【深入研究】 （1）请分别作出图3中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）如图4，在正方形网格中建立的平面直角坐标系中，的顶点位于坐标原点，顶点、的坐标分别为、．则的最小覆盖圆的圆心坐标为______，半径长为______；如图5，钝角中，，，则的最小覆盖圆的半径为______． 【生活应用】 某地有四个村庄，，，（其位置如图6所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到及图中相关各角度等数据，四边形区域最小覆盖圆的半径为______． 6．定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． (2)在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 八．圆中各类最值问题 1．如图，矩形中，，，P为边上一点（不与A、D重合），连接，过C点作，垂足为点E，点F为的中点，则的最小值是（   ）    A．3 B． C． D． 2．如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧， ，为的中点，当运动时，线段的最大值为（  ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值（    ） A． B．4 C． D． 4．如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，是矩形左侧一点，连接、，且，连接，为的中点，连接，则的最大值为 ． 7．如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ． 8．如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是 ． 9．如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，．若点D的坐标为，则的最小值为 ． 10．如图，在正方形中，点M，N分别为上的动点，且，交于点E，点F为的中点，点P为上一个动点，连接，若，则的最小值为 ．    九．江苏各市考查圆的压轴大题 1．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： (1)方程 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”； (2)求证：关于x的“勾氏方程”必有实数根； (3)如图2，的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，．若关于x的方程是“勾氏方程”，连接AD，求的度数． 2．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）数学兴趣小组的同学在探究等分问题的过程中，得到了很多成果． 成果一：制作了三分角仪．图（1）是示意图，点B在半径延长线上，，，足够长．若要将三等分，只需要适当放置三分角仪，使点A在上，点B落在上，当与半相切时，就将三等分了； 成果二：创造了只用圆规将圆四等分的方法．如图（2），具体步骤为：①将六等分，等分点分别是点A、B、C、D、E、F；②分别以点A、D为圆心，长为半径作弧，交于点G；③以点A为圆心，长为半径作弧，交于点M、N，则点A、M、D、N将四等分． (1)请你说明三分角仪的正确性； (2)证明点A、M、D、N是⊙O四等分点． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图1，四边形内接于为直径，过点C作于点E，连接AC． (1)求证：； (2)如图2，连结，若，，求与弧围成阴影部分的面积． 4．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知的半径弦于点D，，点P为弦所对的弧上的一点．      (1)如图1，若点P为弦所对的劣弧上的一点，延长交的延长线于点Q，且，则________，________； (2)如图2，若点P为弦所对的优弧上的一点，连接交于点Q，且，过点P作的切线，交的延长线相交于点E，已知，求的长． 5．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，是的直径；与相切于点，点在上，且． (1)求证：是的切线； (2)过点作于点，交于点，若， ①图中阴影部分面积是______； ②连接，若的内切圆圆心为，则线段的长为______． 6．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）阅读理解： （1）【学习心得】 学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．    ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 °． ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴， ∴ ，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 7．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，内接于，为的直径，点为上的一动点，且在上方（点不与点A，重合），． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)连接，求证：； (3)若关于直线的对称图形为，连接，试探究，，三者之间的等量关系，并证明你的结论． 8．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）【数学认识】数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系． 【构造模型】 （1）如图①，已知，在直线上用直尺与圆规作点，使得：．（简要说明作图方法，并保留作图痕迹） 【应用模型】 已知是的内接三角形． （2）如图②，若的半径，，求的最大值并说明理由． （3）如图③，已知线段，为的弦，用直尺与圆规作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 9．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）【特例感知】 （1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点D，，若，则 ， ． 【类比迁移】 （2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，过点D作，垂足为F，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，若，，，则的内心与外心之间的距离为______． 10．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，以为直径的交边于点D、H，连接，过点C作． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的切线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (2)在（1）的条件下，若，，求的直径； (3)连接与交点G恰好落在上，若，直接写出弦和围成的图形的面积． 11．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，则叫做射门角．如图2，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【经验感知】如图3，若球员在直线上跑动，随时准备射门，是否存在某一点，使得射门角最大．人们发现：当且仅当经过两点的圆与直线相切于点时，最大，并称此时的为最大射门角．如图4，为球门，直线是足球场的底线，直线，垂足为，若，球员丙带球沿直线向底线方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是． （1）尺规作图：作经过两点并且与直线相切于点的（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出最大射门角的度数． 【理解应用】 （1）如图5，正方形网格中，点均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在（    ） A．点        B．点或点          C．线段（异于端点）上一点     D．线段（异于端点）上一点 （2）如图6，矩形是足球场的示意图，其中宽，球门，且．点分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点处带球，沿方向跑动，球员戊在上何处才能使射门角（）最大，直接写出此时的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题04 对称图形—圆（压轴必刷57题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！110 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 垂径定理压轴题型 题型二 圆周角压轴题型 题型三 直线与圆的位置关系压轴题型 题型四 弧长、扇形面积和圆锥压轴题型 题型五 圆中多结论问题 题型六 圆中翻折、旋转问题 题型七 圆中新定义问题 题型八 圆中各类最值问题 题型九 江苏各市考查圆的压轴大题 一．垂径定理压轴题型 1．如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，连接，利用垂径定理可得是的垂直平分线，则；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式（当D，P，F在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论． 【详解】解：如图，连接，    ∵为的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵P是直径上的动点，， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴当D，P，F在一条直线上时，取最小值， ∵， ∴最小值8，此时在E点，F在C点， 当在B点，F在C点时取最大值， ∵点F是弧上动点，且与点B、C不重合， ∴． 故选：C． 2．如图在中，是直径，P为上一点（点P不与A，B两点重合），弦过点P，． （1）若，则的长为 ． （2）当点P在上运动时（保持不变），则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，完全平方公式等知识点，关键是作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理来解决问题． （1）作于，得到，由，得到圆的半径长，由是等腰直角三角形，得到的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长． （2）由，得到，因此，得到，即可解决问题． 【详解】解：（1）作于， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：． （2）由（1）知， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，是的直径，为圆上一点，且，的半径为，为圆上一动点，为的中点，则长度的最大值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形、垂径定理的推论等知识，连接，作于点，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 【详解】解：如下图，连接，作于点， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，， 连接，当点在的延长线上时，的值最大， ∵， ∴， 又∵， ∴在中，， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴的最大值为， 故答案为：． 4．如图，四边形内接于，为直径，，于． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长； (3)在（）条件下，如图，是线段上一点，，连接并延长交于，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）连接，证明是等边三角形，得，然后 弧长公式求解即可； （）连接，交于点，设，则，由勾股定理求出，则，，根据弧、弦、圆心角的关系得，证明，由，，得，从而求解； （）连接，过作于点，则，由勾股定理求出，，然后分别证明，，最后根据性质即可求解． 【详解】（1）如图，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为； （2）如图，连接，交于点， ∵，， ∴设，则， ∵， ∴， 在中由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）如图，连接，过作于点，则， 由（）得：，， ∴， ∴，同理得：， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，弧长公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理及推论，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 5．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为，点A在上，点B为线段中点，过点B作垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为，试探究点的轨迹． 【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点在一个确定的圆上，下面是部分证明过程： 证明： 证明过程缺失 ∴点在以点______为圆心，______为半径的圆上． （1）请你补全证明中的缺失过程． 【结论应用】（2）如图②，的半径为，点A与点C在上且．点B为线段上的点，且，过点B作的垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为．当点P从点A运动到点C时，点的运动路径长为______． 【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件“”去掉，其它条件不变，为直径．点D到点距离d的取值范围是______． 【答案】（1）A，2；（2） （3） 【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握对称的性质，能够确定点的运动轨迹是解题的关键； （1）利用对称性可知，再由圆的定义可得在以A为圆心，2为半径的圆上； （2）作O点关于直线l的对称点，则在以为圆心，2为半径的的圆上，再求点的运动路径即可； （3）作O点关于直线l的对称点M，在以M为圆心，2为半径的的圆上，当直线l经过直径时，有最小值2，当直线l经过点A时，有最大值． 【详解】（1）∵点B为线段中点， ∴ ∴O、A点关于直线l对称 ∵点P关于直线l的对称点为， ∴ ∴以A为圆心，2为半径的圆上； （2）作O点关于直线l的对称点 ∵点P关于直线l的对称点为， ∴ ∵点P是上一动点， ∴在以为圆心，2为半径的的圆上， ∴点的运动路径长 （3）作O点关于直线l的对称点M ∵点P关于直线l的对称点为， ∴在以M为圆心，2为半径的的圆上 当直线l经过直径时，有最小值2, 当直线l经过点A时，有最大值 ∴ 二．圆周角压轴题型 1．如图，内接于，，连接并延长，交于点D，于点E，交于点F，连接．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，依次判断，，，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解:连接， ∵且， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 而交于, 则为的重心 连接， ∵ ∴， ∵，，        ∴， ∴， ∵ ∵ ∴ ， ∴ ， ∴， 则，， ∴，    ∵， ∴，， ，       ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴   ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选A． 2．在中，直径，是圆上除外的一点，分别是的中点，是弦的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，由圆周角定理可得，，即得，利用勾股定理可得，再根据三角形的三边关系得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ∵分别是的中点， ∴，， ∴，， ∵是直径， ∴， 即， ∴， ∵直径， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．已知在等边中，将线段绕点旋转，得到线段，连接，． (1)如图，将线段绕点顺时针旋转，若，则 ，四边形的面积为 ； (2)在图中依题意补全图形，并求的度数； 取的中点，连接，交直线于点，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，； (2)；，理由如下见解析． 【分析】（）由是等边三角形，，，证明，，则，，由即可求解，由旋转可知，，则， 同理可得:，然后利用角度和差即可求解； （）设， 则，进而表示出和，进一步得出结果； 在上截取，连接，设则，，根据等腰三角形的性质得，，则，，再证明共圆，根据圆周角定理的，，从而证明是等边三角形，最后，根据全等三角形的性质和线段和差即可求证． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角度和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，圆周角定理等知识，掌握知识点的应用及正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 设，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 同理可得:， ∴， 故答案为：，； （2）如图， 设，则， ∵， ∴， ， ∴； ，理由如下： 如图， 在上截取，连接， 设则，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴共圆， 如图， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，为的内接三角形，，，点为弧上一点，连接． (1)如图1，当时，垂足为，连接并延长分别交，于点． ①______； ②求证：． (2)如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接，如果，求线段的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)4 【分析】（1）①由垂径定理可得，由等腰三角形的性质可得，再由8字模型求解即可； ②连接，根据圆周角定理及等腰三角形的判定和性质证明即可； （2）连接，延长，过A作于D，根据圆周角定理可得平分，再根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， 故答案为：； ②证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ． （2）解：连接，延长，过A作于D， ， ， ，， ， ， ， ， 平分， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】标题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 三．直线与圆的位置关系压轴题型 1．如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、切线长定理，勾股定理，三角形的面积，设与相切于点，设正方形的边长为 ，由切线长定理得，，，设，，在中，由勾股定理得，即得，又由，得，即得，得到，即可求解，掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：设与相切于点，设正方形的边长为 ， ∵是切线， ∴，，， 设，， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为， 故选：． 2．如图，中，斜边，内切圆I切各边为D，E，F，连结，作交于G，则长为（    ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】连结，则，由，根据勾股定理求得，再证明四边形是正方形，由，求得，则，所以，因为，所以，而，则四边形是平行四边形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】连结， ∵与分别相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题重点考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，点，，若在直线上存在点P满足，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角与圆心角的关系，直线与圆相切的时候m取得最值点，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据题意等腰直角三角形，分两种情况进行讨论，当E在上方时，以E为圆心，为半径作圆，设直线与相切，切点为P，此时m的值最大，求出此时m的值，同理当E在下方时求出m的值，即可得出答案． 【详解】解：如图，作等腰直角三角形，    ，， ，， E在y轴上， 当E在上方时，以E为圆心，为半径作圆，此时上存在点满足， 设直线与相切，切点为P，此时m的值最大， 设直线与x轴交于点C，与y轴交于点D， 连接，则，直线， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 由直线可知， ， ， ， 当E在下方时，同理得，    m的取值范围是， 故选：A． 4．如图，在矩形中，，，点在对角线上运动（不与点重合），为的外接圆，当与矩形的边相切时，的半径为 ． 【答案】2或 【分析】当与和相切时，点为的中点，此时的半径为2；当与相切点时，连接，延长交于点，根据切线的性质得到，根据矩形性质得到，根据垂径定理得到，设的半径为，则，，在中利用勾股定理得到，然后解方程得到此时的半径． 【详解】解：当与和相切时，为的直径，点A和为切点， 点为的中点，此时的半径为2； 当与相切点时， 连接，延长交于点，如图， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 设的半径为，则，， 在中，， 解得， 即此时的半径为， 综上所述，的半径为2或． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了圆与矩形综合．熟练掌握矩形性质，圆切线的性质：垂径定理，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 5．定理证明： （1）如图1，，是的两条切线，切点分别为，，求证：； 定理应用： （2）如图2，是⊙的内接等腰三角形，，，是的切线，若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由切线的性质得到，再由等边对等角得到，则可证明，进而证明． （2）先证明，由切线的性质得到，则，由圆周角定理得到，则，由平行线的性质得到，则可证明，得到，进而可证明是等边三角形，是等边三角形，则四边形是菱形，作于点，则，，求出，则． 【详解】（1）证明：如图1，连接、、， ，是的两条切线，切点分别为，， ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图2，连接、，则， ， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， 作于点，则，， ， ， 四边形的面积是． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，等边三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，圆周角定理等等，正确作出辅助线是解题的关键. 6．如图，四边形是的内接四边形，对角线为直径，过点作的延长线于点，是的切线． (1)写出图中一个与相等的角_______； (2)求证：平分； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3)的半径长为． 【分析】本题考查切线的性质，角平分线的判定，垂径定理，根据题干的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）由直径所对的圆周角是直角可知，即可得出结论，此题答案不唯一，符合题意即可． （2）连接，根据切线的性质可得，由已知条件可推出，，进而可推出，即可得到结论． （3）连接，过点作，垂足为，根据垂径定理可得，进而可证明四边形是矩形，从而可得，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：是的直径， ， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：如图，连接， ．是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （3）解：连接，过点作，垂足为． ．，． ，． ． 四边形是矩形． ． 在中，根据勾股定理得： ． ． 即的半径长为． 四．弧长、扇形面积和圆锥压轴题型 1．如图，同一个圆中的两条弦、相交于点．若，，则与长度之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，以为边作等边，则，而，则在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，，证明，再证明，（当，，三点共线时取等号），再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，以为边作等边，则，而， ∴， ∴点在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，， ∴，， ∴ ， ∵，（当，，三点共线时取等号）， 当时，半径最小，此时半径为， ∴此时与长度的和最小，最小值为：． 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形的三边关系的应用，三角形外接圆的含义，圆周角定理的应用，弧长的计算，确定弧长和取最小值时圆心的位置是解题的关键． 2．如图，已知是圆O的直径，，是圆O的切线，圆O与交于点F，点E是的中点，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是切线的性质、平行四边形的性质、圆周角定理及扇形面积公式，正确作出辅助线是解决此题的关键． 如图：连接，根据平行四边形的性质及圆的性质可得，再根据中位线定理得，然后由切线的性质及扇形面积公式、三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接OF， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是圆O的直径， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴F是的中点， ∴， ∵是圆O的切线， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：． 3．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点O作交于点E，以点O为圆心，长为半径画弧，分别交，，，于点M，N，P，Q，若，，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）    【答案】 【分析】根据菱形的性质，勾股定理，正弦函数，扇形的面积公式，解答即可． 【详解】解：∵ 菱形，，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，正弦函数，扇形的面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 4．综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． (1)特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ． (2)问题提出：求证：． (3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)彩带长度的最小值为． 【分析】（1）圆锥的底面周长等于扇形的弧长，求出，再根据半径经过的中点，得到，即可求出与OB的夹角； （2）根据（1）即可证明结论； （3）先求出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，得到，再连接，利用勾股定理得到长，即可求出彩带长度的最小值． 【详解】（1）由题意可知，圆锥的底面周长等于扇形的弧长， ， ， ，， ， 经过的中点， ， ， 与OB的夹角为， 故答案为：，； （2）由（1）得：， ； （3），， ， 圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，如下图， ， ， 连接，即为彩带长度的最小值， ，， 由勾股定理得：， 彩带长度的最小值为． 【点睛】本题考查了圆锥的性质，弧长公式，同弧或等弧所对的圆心角相等，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 5．如图，为的弦，为的直径，与相交于点，连接，，，过点作于点． (1)求证：； (2)当时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理求出，，根据直角三角形的性质求出，则，再根据角的和差即可得证； （2）根据圆周角、弧的关系求出，再根据垂径定理推理即可得证； （3）结合（2）求出，，由勾股定理得到，再根据图中阴影部分的面积求解即可． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）证明：， ， 为的直径， ； （3）解：连接，如图所示： 由（2）知，，， ， ，， ，， ， ， 图中阴影部分的面积． 【点睛】题考查了扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练运用扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理是解题的关键． 五．圆中多结论问题 1．图1是一张圆形纸片；如图2，将圆形纸片作两次对折，且折痕，垂足为点；如图3，把纸片展开后，再将圆形纸片沿弦折叠，使两点，重合，折痕与相交于点，连接，，，．下列四个结论中错误的是（    ） A．四边形是菱形 B．为等边三角形 C． D． 【答案】D 【分析】由翻折性质以及垂径定理证明菱形即可判断A；由等边对等角作出判断即可；先判断为等边三角形，再根据勾股定理即可得出结论；利用扇形面积公式求出结果即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ． 由垂径定理知垂直平分， ，互相垂直平分， 四边形是菱形，故选项A正确，不符合题意； ， ， ． ， ， ，． 同理可得， ， 是等边三角形，故选项B正确，不符合题意； ， ，， ． ，， 是等边三角形， ， ， ，故选项C正确，不符合题意； 设圆的半径为，则， ， ，故选项D错误，符合题意． 故选：D 【点睛】本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键． 2．已知正方形的边长为4，点是平面内的一动点，连接，且，点是上一点，，连接，下列结论错误的是（    ） A．的最小值是3 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是5 【答案】C 【分析】由题意得到点P在以点B为圆心，的长为半径的圆上运动，点Q在以点B为圆心，长为1半径的圆上运动，在上取点M，使得，连接，根据动点的运动轨迹，结合点到圆上的最值距离，利用勾股定理逐一求值判断即可． 【详解】解：如图，由题意可得：点P在以点B为圆心，的长为半径的圆上运动，点Q在以点B为圆心，长为1半径的圆上运动， 在上取点M，使得，连接， A、当点三点共线时，即点M与点Q重合，有最小值， ， ， 的最小值为3，正确，不符合题意； B、当点三点共线时，即点P与点N重合，有最小值， ， ， 最小值为，正确，不符合题意； C、为定值， 有最大值时，有最大值， 如图，当点三点共线，且点B在点D与点P中间时，有最大值， ， ，此时， 的最大值是，错误，符合题意； D、， ， ， 当点三点共线时，即点P与点G重合，有最小值，最小值为的长， ， ， 的最小值为5，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了点到圆上距离的最值问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，正确作出辅助线找到动点轨迹是解题的关键． 3．如图，正方形中，E是上一点， 将沿翻折得，点A的对应点是点F，直线与交于点H，与的平分线交于点G，连接，下列说法：①；②；③若连接，则；④若正方形边长为2，E为的中点，则．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等腰直角三角形的性质与判定，先由折叠的性质可得，再由角平分线的定义可得，进而证明，则是等腰直角三角，即可判断①；证明四点共圆，即可判断②；证明四点共圆，即可判断③；在中，由勾股定理得，由等面积法得到，则，即，即可判断④． 【详解】解：根据翻折可知，点A和点F关于对称， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴．故①正确； 如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四点共圆， ∴，故②正确； 如图所示，连接， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∴，故③正确； ∵正方形的边长为2，点E是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有4个， 故选：D． 4．如图，在菱形中，，对角线，交于点，动点在边上（不与点重合），连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，，现有以下结论：①点，之间的距离为定值；②；③的值可以是；④或．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②④ 【分析】本题考查菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，连接，根据菱形的性质和垂直平分线得到是的中位线，得到，然后逐个推理即可． 【详解】解：如图，连接， 由题可得是的中点，是的中点， 是 的中位线， ， 点在平行于的直线上运动， 点，之 间的距离不为定值， ①说法错误； 当点在线段上时， 四边形是菱形，， ，，， ， ； 当点在线段上时，此时点在直线上方， ∴， 或， ④说法正确； ∵是的垂直平分线， ， 菱形的对角线，交于点， ， 点，，，在以线段为直径的圆上， ∴， ∴， 在中，， ②说法正确； 当点与点重合时，取最小值， 此时， ∵为定值， ∴取最小值时，得最小值， 最小值大于，故不可能取到． 故③说法错误． 故答案为：②④． 5．如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．下列结论正确的 ．（填序号） ；当时，点恰好落在弧上；当与半圆相切时，；当点从点运动到点时，线段扫过的面积是． 【答案】 【分析】由点与点关于对称可得，再根据即可证到；连接，证明，，，是等边三角形即可，连接，，易证是等边三角形，，根据含角的直角三角形的性质求出长，首先根据对称性确定线段扫过的图形，然后探究出该图形与的关系，就可求出线段扫过的面积． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故正确， 连接，如图所示： ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴点与点重合， 即：与重合， ∴， ∴点恰好落在弧上，故正确， 连接，，如图所示： ∵与半圆相切， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴，故错误， ∵点与点关于对称，点与点关于对称， ∴当点从点运动到点时，点的运动路径与关于对称，点的运动路径与关于对称， ∴扫过的图形面积就是图中和面积， ∴， ， ∴扫过的面积为，故错误， 综上正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，切线的性质，轴对称的性质，含角的直角三角形判定和性质，求图形面积等知识，熟练掌握几何图形的性质和判定是解题的关键． 六．圆中翻折、旋转问题 1．如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键．延长交于点D，过点B作于点H，连结，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到，利用勾股定理求出的长，进一步求出和的长，再根据等腰三角形三线合一性质，得到，由此即得答案． 【详解】延长交于点D，过点B作于点H，连结， 和是圆周角所对的弧， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为6的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵点M为中点，点A为中点， ∴是的中位线， ∴； 在中，， ∴， ∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转， ∴点C在以O为圆心，半径为6的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，解直角三角形，三角形中位线定理，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键． 3．如图，菱形中，，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为上一点，且，连接，则线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】如图，延长到，使得，连接，，，则是的中位线，，证明是等边三角形，可求，则，由翻折的性质可知，，则在以为圆心，8为半径的圆上运动，当三点共线时，最小，即最小，由勾股定理求，则最小的，最小的，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，，，      ∴是的中位线， ∴， 由菱形的性质可知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴在以为圆心，8为半径的圆上运动， ∴当三点共线时，最小，即最小， 由勾股定理得，， ∴最小的， ∴最小的， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，中位线，圆的定义，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，中位线，圆的定义，勾股定理是解题的关键． 4．如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿 所在直线把翻折到的位置，交于点，连接． （1）的最小值是 ； （2）若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】 1或 【分析】（1）找到点的运动轨迹，用三角形三边关系确定的最小值即可； （2）分两种情形画出图形，构造直角三角形用勾股定理解决问题． 【详解】解：（1）由题意可得，， 在以为圆心为半径的圆上，如图一所示： 在点运动过程中，在中，由三边关系得， ， 在变化过程中，和保持不变， 故的最小值为，即如图二所示： 在中，，， ，， ， 在中，，， ， 故的最小值为． （2）为直角三角形，分两种情况： ①， 在中，，， ， 设，， 在中，，，， ， 解得， 即． ②，过点作交的延长线与点，如图四所示： 由折叠的性质可知，， ， ， ， 设， 在中，，， 在和中 ， 在中，，，， ， 解得：． 综上，的长是1或． 【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是看出运动点的轨迹，学会分类讨论的思想解决问题． 5．如图，在矩形中，，将边翻折到，使点D的对应点E在边上；再将边翻折到，点A的对应点为F，连接． （1）若，则的长为 ； （2）若点F为的内心，则的长为 ． 【答案】 1 【分析】（1）由翻折的性质可得，再利用矩形的性质和勾股定理求出，则； （2）如图所示，过点F作于H，连接，设交于G，由矩形的性质得到；由点F为的内心，得到，，则是等腰直角三角形，可得；证明，即可证明，得到，进一步证明，得到，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）由翻折的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （2）如图所示，过点F作于H，连接，设交于G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点F为的内心， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴； 设，则， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形内心的定义，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 七．圆中新定义问题 1．定义：点P、点Q分别为两个图形、上任一点，如果线段的长度存在最小值时，就称该最小值为图形和的“近距离”；如果线段的长度存在最大值时，就称该最大值为图形和的“远距离”．线段和是平面直角坐标系中的两个图形，其中，点，，半径为1．下列关于线段与的“距离”说法，正确的是（   ） A．“近距离”是4 B．“近距离”是5 C．“远距离”是6 D．“远距离”是8 【答案】C 【分析】本题考查了坐标，圆的性质，“近距离”与“远距离”的定义，解题的关键是理解题意，正确应用新定义解题．结合平面直角坐标系，画出相应的图形，根据“近距离”与“远距离”的定义，得出答案． 【详解】如图所示， 点距离线段最近，为与线段的近距离，，， 点距离线段最远，为与线段的远距离，，， ， ． 故选：C． 2．定义：一个圆分别与一个三角形的三条边各有两个交点，且所截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”现有一个斜边长为的等腰直角三角形，当“等弦圆”最大时，这个圆的半径为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当等弦圆最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点，连接交于，连接，，再证明经过圆心，，分别求解，，，设的半径为，再分别表示、，，再利用勾股定理求解半径即可． 【详解】解：如图，当等弦圆最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点，连接交于，连接，， ，， ，过圆心，， ，，． ， 设的半径为， ， ， ， ， 整理得：， 解得， ， 不符合题意，舍去， 当等弦圆最大时，这个圆的半径为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用等知识．熟练掌握以上知识是解本题的关键． 3．平面直角坐标系中，的半径为1，A、B为外两点，．给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．若点A的坐标为，记线段到的“平移距离”为d，d的取值范围为 ．    【答案】 【分析】本题考查点到圆上的距离，由题意知，点A到的距离最小时，d取最小值，点A到的距离最大时，d取最大值，由此可解． 【详解】点A的坐标为， ， 线段的位置变换，可以看做是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在内找到与之平行，且长度为1的弦即可， 如图，当点在线段上时，取最小值，    如图，当点在线段的延长线上时，取最大值，    综上可知，d的取值范围为：， 故答案为：． 4．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做三角形的“等弦圆”．如图，中，，，当的等弦圆最大时，这个圆的半径为 ． 【答案】/ 【分析】先根据圆周角定理说明当过C时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，此时最大，再过点O分别作弦的垂线，垂足分别为P、N、M， ，进而得到，然后利用直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．掌握圆周角定理、垂径定理以及正确做出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等， ∴圆心O就是三角形的内心， ∴当过C时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，此时最大， 过点O分别作弦的垂线，垂足分别为P、N、M， ∵， ∴， ∵，， ∴, ∵， ∴ 设，则， ∴，解得，即， 在中， ． 故答案为：． 5．定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 例如：如图1，线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆； 【初步思考】 （1）边长为的正方形的最小覆盖圆的半径是______； （2）如图2，边长为的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是______； 【深入研究】 （1）请分别作出图3中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）如图4，在正方形网格中建立的平面直角坐标系中，的顶点位于坐标原点，顶点、的坐标分别为、．则的最小覆盖圆的圆心坐标为______，半径长为______；如图5，钝角中，，，则的最小覆盖圆的半径为______． 【生活应用】 某地有四个村庄，，，（其位置如图6所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到及图中相关各角度等数据，四边形区域最小覆盖圆的半径为______． 【答案】【初步思考】（）；（）；【深入探究】（）见解析；（），，；【生活应用】． 【初步思考】（）边长为的正方形的最小覆盖圆，就是以以正方形的对角线为直径的圆，从而求出答案； （）两个正方形组合而成的矩形的最小覆盖圆就是以矩形的对角线为直径的圆； 【深入探究】（）按题意画出图形即可； （）网格中找出和垂直平分线交点，再根据勾股定理求得半径，的中点是覆盖圆圆心，是半径； 【生活应用】的外接圆就是四边形的最小覆盖圆，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】【初步思考】（）∵正方形的边长为， ∴由勾股定理，得正方形的对角线长为：， ∴最小覆盖圆的半径是， 故答案为：； （）∵矩形的长为，宽为，由勾股定理，得矩形的对角线长为， ∴最小覆盖圆的半径是， 故答案为：； 【深入探究】（）如图所示：分别作垂直平分线即可； （）如图， 和垂直平分线的交点在， 由网格可知：， 如图， 将两点覆盖，到最小距离是点的位置，即，此时可以覆盖点， ∴的最小覆盖圆的半径是； 故答案为：，，； 【生活应用】解：∵的最小覆盖圆可以将四边形覆盖， ∴四边形的最小覆盖圆是的外接圆， 作直径，连，如图， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， ∴，即， ∴ ∴四边形的最小覆盖圆半径为． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理，垂直平分线，正方形和矩形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 6．定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． (2)在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形、正方形； (2)①的最小值是4；②；③或． 【分析】（1）根据菱形、正方形的对角线平分一组对角可得出答案； （2）①当，时，与最小，此时最小；利用直角 三角形的性质可求解； ②过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，证明，，得出，从而得到平分，即可求解； ③先证明，，，四点共圆，不规则分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形、矩形的对角线不一定平分平行四边形、矩形的角， ∴平行四边形、矩形不一定是“可折四边形”； ∵菱形、正方形的对角线平分一组对角， ∴菱形、正方形一定是“可折四边形”； 故答案为：菱形、正方形． （2）解：①当，时，与最小， ∴此时最小； ∵，对角线平分． ∴ ∴， ∴ 答：的最小值为4； ②如图1，过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G， ① 又平分，平分 ， ② ①×2－②得 ∵，，， 又平分，平分 ∴， 平分 ∴ ③如图2 过作，， 又∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 则，，，四点共圆 ∴， 当时，如图3 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ． 当时，如图4 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴同理可求得，，， ． 综上，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．本题综合性较强，注意分类讨论，以免漏解． 八．圆中各类最值问题 1．如图，矩形中，，，P为边上一点（不与A、D重合），连接，过C点作，垂足为点E，点F为的中点，则的最小值是（   ）    A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点O，再取中点G，点E的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆弧，连接，可知，所以点F的轨迹是以G为圆心，以1为半径的圆弧，当点D、F、G共线时，值最小，再进一步可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 如图，取中点O，再取中点G，连接，， ∴，，    ∵，， ∴点E的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆弧， ∵点F为的中点， ∴， ∴点F的轨迹是以G为圆心，以1为半径的圆弧， 当点D、F、G共线时，值最小， 连接， ∴， ∴最小为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，圆的确定，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧， ，为的中点，当运动时，线段的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的基础知识，中位线的判定和性质的综合，掌握正方形的性质，四点共圆，圆周角定理，合理作出辅助线是解题的关键． 根据题意，连接交于点，可得四点共圆，根据圆周角定理可得点在圆上，连接，当点三点共线时，的值最大，根据正方形的边长，中位线的判定，圆的半径等知识可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，如图所示，连接交于点， ∴点四边共圆，即在上，为直径， ∴，根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得，点在上， ∵正方形的边长为，即， ∴， 如图所示，连接， ∵点是中点，点是中点， ∴， ∵点在上， ∴， 当点三点共线时，的值最大， ∴， 故选：C． 3．如图，在矩形中，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，点的轨迹等知识，连接与交于点O，连接证明点O是的中点，求出，再判断出点G的运动轨迹为，即可求出绪论． 【详解】解：连接与交于点O，连接 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴点O为的中点， 连接则与交于点O， 由折叠得， 又 ∴， ∴ 又， ∴ ∴G在以O为圆心，为半径的圆弧上运动，E在A处时，G与C重合，E在P处时，G与B重合， ∴G的运动轨迹为， ∴连接并延长，交于时，最大， 当共线时，即G与重合时，最大， ∴， ∵P为的中点，O为的中点， ∵， ∴, 即的最大值为， 故选：C 4．如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，为的中点，可得，则在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当四点共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形，， ∴，， ∵分别，的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 当四点共线时，最小， 此时，， ∴， ∴， 即的最小值为：， 故选B 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键． 5．如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质、直径所对的圆周角是直角、 勾股定理, 熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据矩形的性质，证明，故可得在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动，连接交弧于点，此时取最小值，利用勾股定理算出，即可算出． 【详解】解：∵，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图所示，连接交弧于点，此时取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为， 故选． 6．如图，在矩形中，，，是矩形左侧一点，连接、，且，连接，为的中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】此题主要是考查了点到圆的最值，勾股定理，三角形的中位线定理．延长到点，使，取中点，连接并延长交于点，取中点，连接，则，利用勾股定理求得的长，则可得的最大值，利用中位线定理可得的最大值． 【详解】解：延长到点，使，取中点，作为直径的，连接并延长交于点，取中点，连接， 矩形， 四边形为矩形， 则， 点为中点，点为中点， 为中位线， ，， ， 为圆上一动点， 当点三点共线时，， 此时为最大值， 的最大值为． 故答案为：6． 7．如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，最短路径问题，熟练掌握圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，是解答本题的关键． 作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，然后根据垂径定理得到，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长. 连接, ， ∴， ∴弧的度数是， 则弧的度数是 ， 根据垂径定理得弧的度数是：， 则 又， 则 故答案为：． 8．如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先根据等边三角形的性质证明，得出，进而得到，从而得到点G在以AC为弦、所对圆周角为的一段弧上运动，然后作辅助线图如图，得到（当且仅当三点共线时取=），得出的最小值即为，再求出即得答案． 【详解】解：∵等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点G在以为弦、所对圆周角为的一段弧上运动， 设这段弧所在的圆心为O，连接，如图， 则（当且仅当三点共线时取）， ∴的最小值即为， 设交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为；． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理以及圆的相关知识，得出点G取最小值的位置是解题的关键． 9．如图，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，P为上一动点，Q为弦上一点，．若点D的坐标为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，勾股定理，关键是作出辅助圆，当Q与重合时，最小．连接，过Q作，交于M，以M为圆心，为半径作圆，连接交于，得到，求出的长，推出，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接，过Q作，交于M，以M为圆心，为半径作圆，连接交于， ∴， ∵， ∴， ∵D的坐标是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴P， ∴， ∴， ∴Q在M上， ∴当Q与重合时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 10．如图，在正方形中，点M，N分别为上的动点，且，交于点E，点F为的中点，点P为上一个动点，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】证明，则，，如图，取的中点，则在以为圆心，为直径的圆上运动，作关于对称的点，连接，连接交于，则，由，可知当四点共线时，最小为，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，取的中点，则在以为圆心，为直径的圆上运动，作关于对称的点，连接，连接交于，    ∴， ∴， ∴当四点共线时，最小为， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理是解题的关键． 九．江苏各市考查圆的压轴大题 1．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1），通过对梯形ABCD面积的不同方法计算，来验证勾股定理．a、b、c分别是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾氏方程”． 请解决下列问题： (1)方程 （填“是”或“不是”）“勾氏方程”； (2)求证：关于x的“勾氏方程”必有实数根； (3)如图2，的半径为10，AB、CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，．若关于x的方程是“勾氏方程”，连接AD，求的度数． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“勾氏方程”的定义即可判断； （2）利用勾股定理以及“勾氏方程”的定义即可解决问题； （3）如图，连接，，作于E，作的延长线交于F，利用勾股定理求出，在利用全等三角形的判断与性质推导出即可解决问题． 【详解】（1）解：是 “勾氏方程”，理由如下： ∵中，， ∴， ∴，能构成直角三角形， ∴方程是“勾氏方程”； （2）解：∵关于的方程是“勾氏方程”， ∴构成直角三角形，c是斜边， ∴， ∵， ∴， ∴关于的“勾氏方程”必有实数根． （3）解：连接，，作于E，作的延长线交于F，如下图：    ∵关于x的方程是“勾氏方程”， ∴，10构成直角三角形，10是斜边， ∴ ∵，， ∴，， ∴，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定及性质、圆周角定理等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾氏方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等． 2．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）数学兴趣小组的同学在探究等分问题的过程中，得到了很多成果． 成果一：制作了三分角仪．图（1）是示意图，点B在半径延长线上，，，足够长．若要将三等分，只需要适当放置三分角仪，使点A在上，点B落在上，当与半相切时，就将三等分了； 成果二：创造了只用圆规将圆四等分的方法．如图（2），具体步骤为：①将六等分，等分点分别是点A、B、C、D、E、F；②分别以点A、D为圆心，长为半径作弧，交于点G；③以点A为圆心，长为半径作弧，交于点M、N，则点A、M、D、N将四等分． (1)请你说明三分角仪的正确性； (2)证明点A、M、D、N是⊙O四等分点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先利用垂直平分得到，再根据切线长定理得到平分，即，于是判断就将三等分； （2）如图（2），连接，设的半径为，先证明弧为半圆，，则为直径，所以，再计算出，由作法得，，则，接着利用勾股定理计算出，所以，判断出为等腰直角三角形，，则M点为弧的中点，同理可得N点为弧的中点． 【详解】（1）证明：∵，，即垂直平分， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴为的切线， ∵与半相切， ∴平分， ∴， 即就将三等分； （2）解：如图（2），连接，设的半径为， ∵点A、B、C、D、E、F是六等分， ∴弧为半圆，， ∴为直径， ∴， ∴， 由作法得，， ∴， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴M点为弧的中点， 同理可得N点为弧的中点， ∴点A、M、D、N是⊙O四等分点． 【点睛】本题考查了作图一复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了切线长定理和正多边形和圆． 3．（23-24九年级上·江苏南通·期中）如图1，四边形内接于为直径，过点C作于点E，连接AC． (1)求证：； (2)如图2，连结，若，，求与弧围成阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识是解本题的关键． （1）先判断出，然后用等角的余角相等即可证明结论； （2）求出和，再利用面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴与弧围成阴影部分的面积为：． 4．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知的半径弦于点D，，点P为弦所对的弧上的一点．      (1)如图1，若点P为弦所对的劣弧上的一点，延长交的延长线于点Q，且，则________，________； (2)如图2，若点P为弦所对的优弧上的一点，连接交于点Q，且，过点P作的切线，交的延长线相交于点E，已知，求的长． 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）连接，则，由，根据垂径定理得，则，所以，由，求得，由，得，求得，则，于是得到问题的答案； （2）连接，则，由，，得，，由，得，则，所以，而，可求得，由切线的性质得，则，所以，则． 【详解】（1）解：如图1，连接，则， ∴， ∵于点D，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30，45； （2）解：如图2，连接，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相切于点P， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴PE的长是 【点睛】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于360°、切线的性质定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 5．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，是的直径；与相切于点，点在上，且． (1)求证：是的切线； (2)过点作于点，交于点，若， ①图中阴影部分面积是______； ②连接，若的内切圆圆心为，则线段的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）连接､，证明，得出，得出．即可得出结论； （2）①作于点，得到是等边三角形．然后在中得到．由直角三角形的性质得出，根据，即可得出结果； ②根据题意求出，由为正的内心，由勾股定理即可求出解答 . 【详解】（1）证明：连接､， 点在上， 为半径． 与相切于点， ． ． 在和中， ， ． ． ． 是的切线． （2）①作于点， ， ，． 四边形是矩形． ． ． ． ， 是等边三角形． ． ． ． ． 在中，,则， ∴ ∵ ∴， ． ②如图所示 是等边三角形， 又为正的内心，则 【点睛】本题考查了三角形的内切圆、切线的性质与判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积公式、等腰三角形的性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和切线的判定与性质是解题的关键． 6．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）阅读理解： （1）【学习心得】 学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．    ①类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 °． ②类型二，“定角+定弦”：如图，中，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴， ∴ ，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． （2）【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． （3）【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【答案】（1）① 28度；②见解析；（2）4；（3）①相等且垂直，见解析；② 【分析】(1) ①根据圆的定义，构造辅助圆，运用圆周角定理计算即可；②根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上，构造辅助圆，运用圆的性质计算即可． (2) 根据圆的定义，构造辅助圆，运用圆得性质计算即可． (3) 根据直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上，构造辅助圆，运用圆的性质，弧长公式计算即可． 本题主要考查圆的基础知识，熟练掌握圆的定义，构造辅助圆的基本方法是解题的关键． 【详解】（1）①∵，， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，    如图1，． （2），， ，，， 点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小，    点是的中点，， 在中，，，， ，． 最小值为4． （2）如图3，连接，    点，点关于直线对称， ，点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点在线段上时，有最小值， ，，， ∴的最小值为． （3）①结论：， 理由：∵四边形是正方形， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴，， ，，， ，． ②如图4，连接，交于点O， ∵点P在运动中保持，    ∴点P的运动路径是以为直径的圆的， ∴点P的运动路径长为． 7．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，内接于，为的直径，点为上的一动点，且在上方（点不与点A，重合），． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)连接，求证：； (3)若关于直线的对称图形为，连接，试探究，，三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)为等腰直角三角形 (2)证明见解析 (3)，证明见解 【分析】（1）由直径所对的圆周角为可得：，再根据圆周角定理可得，再结合可得，由等角对等边可得即可解答； （2）如图：作交的延长线于点D，因为，所以，则，所以，再证明可得，所以，则 即可； （3）如图：延长交于点，连接，由轴对称的性质得，则，所以，，则，再根据圆周角定理可得、，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：， ∴ 又， ， 又是该外接圆的直径 ， 为等腰直角三角形 （2）解：如图：作，并延长交于点， ， 为等腰直角三角形， ， 由勾股定理可知， ， 由（1）可知为等腰直角三角形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， （3）解：，证明如下： 如图，延长交于点，连接， ， 为等腰直角三角形 由勾股定理可求得：， 又， 又， ，即， 为直径， ， 在Rt中，有， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识点，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 8．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）【数学认识】数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系． 【构造模型】 （1）如图①，已知，在直线上用直尺与圆规作点，使得：．（简要说明作图方法，并保留作图痕迹） 【应用模型】 已知是的内接三角形． （2）如图②，若的半径，，求的最大值并说明理由． （3）如图③，已知线段，为的弦，用直尺与圆规作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）当点在的延长线上时，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，连接，即为所求；当点在的延长线上时，以点为圆心， 长为半径画弧，交的延长线于点，连接，即为所求； （2）由三角形两边之和大于第三边可得，连接并延长至，使得，连接，当最长时，即时，最长，由此可求出最终结果； （3）第1步：作的垂直平分线交于点；第2步：以点为圆心，为半径作；第3步：以为圆心，的长为半径画弧交于点；第4步：连接交于点． 【详解】解：如图，当点在的延长线上时，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，连接，即为所求；当点在的延长线上时，以点为圆心， 长为半径画弧，交的延长线于点，连接，即为所求；    （2）， 如图，连接并延长至，使得，连接， ， 为定角， 为定角， 当最长时，即时，最长， ， ， ， 最长为 （3）如图，第步：作的垂直平分线交于点； 第步：以点为圆心，为半径作； 第步：以为圆心，的长为半径画弧交于点； 第步：连接交于点． 则． 【点睛】本题考查圆的综合，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握尺规作图的方法，定弦定角与圆的关系是解题的关键． 9．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）【特例感知】 （1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点D，，若，则 ， ． 【类比迁移】 （2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，过点D作，垂足为F，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，若，，，则的内心与外心之间的距离为______． 【答案】（1）3，；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）作于点F，求得，，利用勾股定理和面积法即可求解； （2）结论：．只要证明，推出，，推出即可解决问题； （3）过点D作，交的延长线于点F，，交于点E，连接，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接．由（1）（2）可知，四边形是正方形，是对角线．由切线长定理可知：，推出，由面积法可知内切圆半径为2，在中，理由勾股定理即可解决问题； 【详解】解；（1）作于点F， ∵平分，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：3，； （2）如图，结论：． 理由：作于，连接，． 平分，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ． （3）如图，过点D作，交的延长线于点F，，交于点E，连接，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接．由（1）（2）可知，四边形是正方形，是对角线． ， 正方形的边长为， 由（2）可知：， ， 由切线长定理可知：， ， 设内切圆的半径为， 则 解得， 即， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 10．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，以为直径的交边于点D、H，连接，过点C作． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的切线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (2)在（1）的条件下，若，，求的直径； (3)连接与交点G恰好落在上，若，直接写出弦和围成的图形的面积． 【答案】(1)图形见解析 (2) (3) 【分析】（1）以C为圆心，为半径画弧交于点F，连接即为所求，根据圆周角定理及邻补角定义求出，利用证明，根据全等三角形的性质及平行线的性质推出，根据切线的判定定理即可得解； （2）根据圆周角定理及等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求解即可； （3）根据三角形中线的性质及圆周角定理推出是的垂直平分线，结合线段垂直平分线的性质推出是等边三角形，进而推出和是等边三角形，结合等边三角形的性质及平角定义求出，结合三角形中位线性质及平行线间的距离相等求出，进而求出弦和围成的图形的面积，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，以C为圆心，为半径画弧交于点F，连接即为所求，理由如下： 为直径的交边于点D， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 为的直径， 为的切线； （2）解：如图，连接， 是的直径， ， 又， ， ， ， 由（1）知，， 设， ， ， ， 即的直径为8； （3）解：如图，连接， ， ， 是的中线， 是的中线， 与交点G恰好落在上， 是的中线， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 是等边三角形， ， ， 和是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴弦和围成的图形的面积， ∵直径， ， ∴弦和围成的图形的面积为． 【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的判定、作图、全等三角形的判定于性质、圆周角定理、勾股定理、扇形面积的计算等知识，熟练掌握圆周角定理、勾股定理、扇形面积的计算公式并作出合理的辅助线是解题的关键． 11．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，则叫做射门角．如图2，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【经验感知】如图3，若球员在直线上跑动，随时准备射门，是否存在某一点，使得射门角最大．人们发现：当且仅当经过两点的圆与直线相切于点时，最大，并称此时的为最大射门角．如图4，为球门，直线是足球场的底线，直线，垂足为，若，球员丙带球沿直线向底线方向运球，已知丙运球过程中的最大射门角是． （1）尺规作图：作经过两点并且与直线相切于点的（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出最大射门角的度数． 【理解应用】 （1）如图5，正方形网格中，点均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在（    ） A．点        B．点或点          C．线段（异于端点）上一点     D．线段（异于端点）上一点 （2）如图6，矩形是足球场的示意图，其中宽，球门，且．点分别是上的点，，一位左前锋球员戊从点处带球，沿方向跑动，球员戊在上何处才能使射门角（）最大，直接写出此时的长度． 【答案】[提出问题] 甲自己射门好，理由见解析；[经验感知]（1）作图见解析；（2）；[理解应用] （1）C；（2） 【分析】[提出问题]根据同弧所对的圆周角，以及三角形外角的性质可得，，然后作答即可； [经验感知]（1）由题意知，过三点，分别作的垂直平分线，交点即为圆心，然后作圆即可； （2）如图4，连接，于，是的切点，四边形是矩形，，则，是等边三角形，然后根据圆周定理求最大射门角的度数即可； [理解应用]（1）如图5，连接，作的垂直平分线的交点为，连接，，由，可知四点共圆，如图5，则，然后作答即可； （2）如图，过作与相切，切点为， 线段的垂直平分线交于点，于，、的延长线交点为，则是最大的射门角，，，均为等腰直角三角形，，，设的半径为，则，，，由勾股定理得，，即，计算求解满足要求的值，根据，计算求解即可． 【详解】[提出问题]解：甲自己射门好，理由如下： 如图2，记与过两点的圆的交点为，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴甲自己射门好； [经验感知]（1）如图4，即为所求； （2）如图4，连接，于， ∵是的切点， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∴最大射门角的度数为； [理解应用]（1）解：如图5，连接，作的垂直平分线的交点为，连接，， 由勾股定理得，， ∴， ∴四点共圆，如图5， ∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大， 故选：C； （2）解：∵，，， ∴， 如图，过作与相切，切点为， 线段的垂直平分线交于点，于，、的延长线交点为，则是最大的射门角， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 由题意知，，， ∴均为等腰直角三角形， ∴，， 设的半径为，则，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴射门角（）最大，此时的长度为米． 【点睛】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，作垂线，垂直平分线的性质，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．理解题意，熟练掌握圆的知识是解题的关键． $$