九年级数学期中模拟卷（浙江专用，浙教版九上第1～3章：二次函数+简单事件的概率+圆的基本性质）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期中模拟考试

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九上第1~3章（二次函数+简单事件的概率+圆的基本性质）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是一次函数，故本选项不符合题意； C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是二次函数，故本选项符合题意； 故选D． 2．下列说法正确的是（    ） A．成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件 B．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 C．“夏津明天降雪的概率为”，表示夏津明天一定降雪 D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次必中奖次 【答案】B 【解析】A、成语“水中捞月”所描述的事件是不可能事件，原选项错误，不符合题意； B、自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件，正确，符合题意； C、“夏津明天降雪的概率为”，表示夏津明天降雪的可能性较大，故原选项错误，不符合题意； D、若抽奖活动的中奖概率为 ，则抽奖次未必中奖次，故原选项错误，不符合题意； 故选B ． 3．如图，为的直径，弦，垂足为，，，则线段的长为（    ）    A．5 B．8 C． D． 【答案】B 【解析】连接，    ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B 4．将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下移动1个单位长度，所得抛物线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 则新的函数解析式为：． 故选A． 5．如图，在扇形中，是上一点，且分别是的内接正六边形、内接正五边形的边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接， ∵分别是的内接正六边形、内接正五边形的边， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故选C． 6．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 【答案】B 【解析】的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵y的最小值为， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：a的值为4或， 故选B． 7．为的外接圆，，为的直径，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选B． 8．从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由4条线段中任意取3条，共有4种可能结果， 分别为：2，3，4；2，3，5；3，4，5；2，4，5； 每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5；共3个结果， 所以P（能组成三角形）． 故选A． 9．如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】由图象可知，抛物线开口向下，则，①错误； 由图象可知，抛物线对称轴，结合①中可得，即，②正确； 如图所示： 当时，，③正确； ，， ， 由①知，则，即，则， ，即，④正确； 综上所述，题中结论正确的是②③④，共3个， 故选C． 10．如图，的直径，弦垂直平分半径，动点从点出发在优弧上运动到点停止，在点整个运动过程中，线段的中点的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接OC，设CD交AB于点E． ∵CD垂直平分线段OA， ∴CA=CO， ∵OC=OA， ∴AC=OC=OA， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠CAE=60°， 当点M与C重合时，连接PE，OP， ∵PA=PM， ∴OP⊥AM， ∴∠APO=90°， ∵AE=EO， ∴EP=OA=3， ∵PE=AE=3，∠PAE=60°， ∴△PAE是等边三角形， ∴∠AEP=60°； 在点M整个运动过程中，如下图， ∵点P是AM的中点，点E是AO的中点， ∴， ∴线段AM的中点P的运动轨迹是图中， ∵， ∴的圆心角， ∴运动路径的长=． 故选B． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【答案】7 【解析】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 12．二次函数的最小值是 ． 【答案】 【解析】∵，且， ∴当时，y有最小值，最小值为， 故答案为：． 13．在一个不透明的袋中装有50个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有 【答案】10个 【解析】设袋中红球大约有个， 由题意知： 解得， 故答案为：． 14．若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是 ． 【答案】或0 【解析】∵二次函数的图象与坐标轴有两个公共点， ∴分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解； ①当二次函数的图象与轴有1个公共点时，， 解得； ②当二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，， ∴，与轴有2个公共点，为或， 综上所述，b的值为或0， 故答案为：或0． 15．某公司推出一种高效环保洗涤用品，年初上市后公司经历了亏损到盈利的过程如图的二次函数图象部分刻画了该公司年初以来累积利润万元与销售时间月之间的关系即前个月的利润总和与之间的关系根据图象提供的信息，可求出该公司第个月的利润是 万元．    【答案】5.5 【解析】设累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系为， 把和代入得，， 解得， ， 当时，， 当时，， 万元， 答：该公司第8个月的利润是万元， 故答案为：． 16．如图，四边形中，，的面积为8，则长为 ．    【答案】4 【详解】解：如图，作交的延长线于，取的中点，连接，． ，， 四边形对角互补， ，，，四点共圆， ，， ， ，，，四点在以为圆心的圆上， ， ， ， ，   ， ， ， ，， ， ， ， 或（舍弃），故答案为4． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线． (1)求、的值； (2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标． 【答案】（1）解：抛物线向右平移个单位长度， 得到的抛物线解析式， 即，………………………………………2分 又， 解得， ，．………………………………………5分 （2）解：抛物线的对称轴是，顶点坐标是．………………………8分 18．（8分）已知一次函数的图象与二次函数 的图象相交于点．        (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式 的解集； (3)当时，抛物线 与直线只有一个交点，求n的取值范围； 【答案】（1）∵二次函数二次函数 的图象相交于点， ∴，； ∴， ∵一次函数的图象过A点和B点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为， 描点作图如下：   ………………………………………3分 （2）由（1）中的图象可得， 不等式 的解集为：或；………………………………5分 （3）把代入 得 ∵， 由图象可知，当时，抛物线 与直线只有一个交点，则n的取值范围是 或；………………………………………8分 19．（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小明从中随机抽取一张卡片是合唱社团的概率是______． (2)小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团S的概率． 【答案】（1）解：∵一共有四个社团，每个社团被抽取的概率相同， ∴小明从中随机抽取一张卡片是合唱社团的概率是；………………………………………4分 （2）解：画树状图如下： ………………………………………6分 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的结果数有6种， ∴小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团S的概率为．……………………………8分 20．（8分）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求． 【答案】（1）∵， ∴， 即点D为的中点；………………………………………3分 （2）∵是的直径，， ∴， ∴，………………………………………4分 ∵是的直径， ∴， ∵ ∴，………………………………………6分 ∴， ∴， ∴．………………………………………8分 21．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，在坐标系中的位置如图所示． (1)将向右平移8个单位长度后得到，请画出． (2)请画出关于原点O的中心对称图形． (3)若将绕某一点旋转可得，则旋转中心的坐标为______． 【答案】（1）解：所作如图所示： ………………………………………2分 （2）解：所作如图所示： ………………………………………5分 （3）解：连接，，如图所示： 这三条线段的交点即是旋转中心， 旋转中心的坐标为．………………………………………8分 22．（10分）如图，为的直径，弦于点E，连接，，，F为中点，且． (1)求的长； (2)当时， ① ； ②求阴影部分的周长和面积． 【答案】（1）解：为的直径， ， 为中点，O为中点， 且， ， ，………………………………………2分 ∵弦于点E， ， ；………………………………………3分 （2）解：①∵弦于点E， ，， ，， ，， ． 故答案为：；………………………………………6分 ②连接， ，， ， ． 在， ，，， ，， 的长，………………………………………8分 阴影部分的周长， 阴影部分的面积．………………………………………10分 23．（10分）根据背景素材，探索解决实际问题 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1所示，乒乓球台规格是矩形，长为米，宽为米，球网高度为米某品牌．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O处的正上方米处P． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上，且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变，在与P水平距离为1m的Q点正上方达到最高点，此时与桌面的高度为．并且乒乓球落在桌面的点M处，以O为原点，桌面中线所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 素材三 如图3所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与O点的水平距离为3米的位置达到最高点，设球达到最高时距离桌面的高度为h米． 问题解决 任务一 研究乒乓球飞行轨迹及落点 （1）求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动的抛物线关系式，并求出点M与O的水平距离． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想把球沿直线擦网击打到O点，他能不能实现，若能实现，请求出击球点位置的高度，若不能实现，请说明理由． 任务三 运动员移动的距离 （3）当时，运动员小亮的球拍A离点O的水平距离为，位于桌面上方，离桌面，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打路线近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为，如图3所示．当球飞行的高度在至时，小亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成功击中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前平移的距离为n，则n的取值范围为 ； 【答案】解：任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为： 设抛物线的解析式为， 将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为，………………………………………2分 当时，，解得：（舍弃负值）， 所以，点M与O的水平距离为；………………………………………3分 任务二：不能实现，理由如下： 设球弹起的抛物线轨迹为， 将代入可得：，解得：， 所以，………………………………………4分 由题意可得：球网上方点的坐标为， 设的解析式为，则，解得：， 所以的解析式为， 由，整理得：， 所以，即方程无解， 所以不能实现；………………………………………6分 任务三，如图：依题意可得，，第二个抛物线的顶点坐标为， 设反弹的抛物线的解析式为：， ∴，解得：， ∴， 令，解得：或； 故击球点的横坐标的取值范围为：， ∴，， ∴．………………………………………10分 24．（12分）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【概念理解】 （1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为． ①求的值． ②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围． 【答案】解：（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；理由如下： 在中，令得或， 抛物线与轴的交点为和； 在中，令得或， 抛物线与轴交点为和， 抛物线与抛物线与轴有相同的交点， 又抛物线与抛物线开口方向相同， 抛物线与抛物线围成“月牙线”；………………………………………3分 （2）①在中，令得或， 抛物线与轴交点为和， 把和代入得： ， 解得， ； ∴的值为；………………………………………7分 ②由①知，， 抛物线的顶点为， 抛物线的顶点为，， ， 抛物线在抛物线上方； ，， ， 的值始终不大于2， ， 整理得：， 解得， ， ； 在中，令得， ， 在中，令得， ； ， ； ， 线段长的取值范围是．………………………………………12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B A C B B A C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．7 12． 13．10个 14．或0 15．5.5 16．4 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 【答案】（1）解：抛物线向右平移个单位长度， 得到的抛物线解析式， 即，………………………………………2分 又， 解得， ，．………………………………………5分 （2）解：抛物线的对称轴是，顶点坐标是．………………………8分 18．（8分） 【答案】（1）∵二次函数二次函数 的图象相交于点， ∴，； ∴， ∵一次函数的图象过A点和B点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为， 描点作图如下：   ………………………………………3分 （2）由（1）中的图象可得， 不等式 的解集为：或；………………………………5分 （3）把代入 得 ∵， 由图象可知，当时，抛物线 与直线只有一个交点，则n的取值范围是 或；………………………………………8分 19．（8分） 【答案】（1）解：∵一共有四个社团，每个社团被抽取的概率相同， ∴小明从中随机抽取一张卡片是合唱社团的概率是；………………………………………4分 （2）解：画树状图如下： ………………………………………6分 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的结果数有6种， ∴小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团S的概率为．……………………………8分 20．（8分） 【答案】（1）∵， ∴， 即点D为的中点；………………………………………3分 （2）∵是的直径，， ∴， ∴，………………………………………4分 ∵是的直径， ∴， ∵ ∴，………………………………………6分 ∴， ∴， ∴．………………………………………8分 21．（8分） 【答案】（1）解：所作如图所示： ………………………………………2分 （2）解：所作如图所示： ………………………………………5分 （3）解：连接，，如图所示： 这三条线段的交点即是旋转中心， 旋转中心的坐标为．………………………………………8分 22．（10分） 【答案】（1）解：为的直径， ， 为中点，O为中点， 且， ， ，………………………………………2分 ∵弦于点E， ， ；………………………………………3分 （2）解：①∵弦于点E， ，， ，， ，， ． 故答案为：；………………………………………6分 ②连接， ，， ， ． 在， ，，， ，， 的长，………………………………………8分 阴影部分的周长， 阴影部分的面积．………………………………………10分 23．（10分） 【答案】解：任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为： 设抛物线的解析式为， 将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为，………………………………………2分 当时，，解得：（舍弃负值）， 所以，点M与O的水平距离为；………………………………………3分 任务二：不能实现，理由如下： 设球弹起的抛物线轨迹为， 将代入可得：，解得：， 所以，………………………………………4分 由题意可得：球网上方点的坐标为， 设的解析式为，则，解得：， 所以的解析式为， 由，整理得：， 所以，即方程无解， 所以不能实现；………………………………………6分 任务三，如图：依题意可得，，第二个抛物线的顶点坐标为， 设反弹的抛物线的解析式为：， ∴，解得：， ∴， 令，解得：或； 故击球点的横坐标的取值范围为：， ∴，， ∴．………………………………………10分 24．（12分） 【答案】解：（1）抛物线与抛物线围成“月牙线”；理由如下： 在中，令得或， 抛物线与轴的交点为和； 在中，令得或， 抛物线与轴交点为和， 抛物线与抛物线与轴有相同的交点， 又抛物线与抛物线开口方向相同， 抛物线与抛物线围成“月牙线”；………………………3分 （2）①在中，令得或， 抛物线与轴交点为和， 把和代入得： ， 解得， ； ∴的值为；………………………………………7分 ②由①知，， 抛物线的顶点为， 抛物线的顶点为，， ， 抛物线在抛物线上方； ，， ， 的值始终不大于2， ， 整理得：， 解得， ， ； 在中，令得， ， 在中，令得， ； ， ； ， 线段长的取值范围是．………………………………………12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期期中模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 16.（3分）________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期期中模拟卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11.（3 分）________________ 12.（3 分）________________ 13.（3 分）________________ 14.（3 分）________________ 15.（3 分）________________ 16.（3 分）________________ 三、解答题（共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8 分） 19．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8 分） 21．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九上第1~3章（二次函数+简单事件的概率+圆的基本性质）。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件 B．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 C．“夏津明天降雪的概率为”，表示夏津明天一定降雪 D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次必中奖次 3．如图，为的直径，弦，垂足为，，，则线段的长为（    ）    A．5 B．8 C． D． 4．将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下移动1个单位长度，所得抛物线的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在扇形中，是上一点，且分别是的内接正六边形、内接正五边形的边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 7．为的外接圆，，为的直径，若，则为（    ） A． B． C． D． 8．从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 9．如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，的直径，弦垂直平分半径，动点从点出发在优弧上运动到点停止，在点整个运动过程中，线段的中点的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．的半径为cm，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 12．二次函数的最小值是 ． 13．在一个不透明的袋中装有50个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有 14．若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是 ． 15．某公司推出一种高效环保洗涤用品，年初上市后公司经历了亏损到盈利的过程如图的二次函数图象部分刻画了该公司年初以来累积利润万元与销售时间月之间的关系即前个月的利润总和与之间的关系根据图象提供的信息，可求出该公司第个月的利润是 万元．    16．如图，四边形中，，的面积为8，则长为 ．    三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线． (1)求、的值； (2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标． 18．（8分）已知一次函数的图象与二次函数 的图象相交于点．       (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式 的解集； (3)当时，抛物线 与直线只有一个交点，求n的取值范围； 19．（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小明从中随机抽取一张卡片是合唱社团的概率是______． (2)小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团S的概率． 20．（8分）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求． 21．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，在坐标系中的位置如图所示． (1)将向右平移8个单位长度后得到，请画出． (2)请画出关于原点O的中心对称图形． (3)若将绕某一点旋转可得，则旋转中心的坐标为______． 22．（10分）如图，为的直径，弦于点E，连接，，，F为中点，且． (1)求的长； (2)当时， ① ； ②求阴影部分的周长和面积． 23．（10分）根据背景素材，探索解决实际问题 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1所示，乒乓球台规格是矩形，长为米，宽为米，球网高度为米某品牌．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O处的正上方米处P． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上，且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变，在与P水平距离为1m的Q点正上方达到最高点，此时与桌面的高度为．并且乒乓球落在桌面的点M处，以O为原点，桌面中线所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 素材三 如图3所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与O点的水平距离为3米的位置达到最高点，设球达到最高时距离桌面的高度为h米． 问题解决 任务一 研究乒乓球飞行轨迹及落点 （1）求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动的抛物线关系式，并求出点M与O的水平距离． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想把球沿直线擦网击打到O点，他能不能实现，若能实现，请求出击球点位置的高度，若不能实现，请说明理由． 任务三 运动员移动的距离 （3）当时，运动员小亮的球拍A离点O的水平距离为，位于桌面上方，离桌面，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打路线近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为，如图3所示．当球飞行的高度在至时，小亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成功击中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前平移的距离为n，则n的取值范围为 ； 24．（12分）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【概念理解】 （1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为． ①求的值． ②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九上第 1~3 章（二次函数+简单事件的概率+圆的基本性质）。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列函数一定是二次函数的是（ ） A．𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 B．𝑦 = −𝑥 − 4 C．𝑦 = 2𝑥 − D．𝑣 = 3𝑠 + 𝑠 − 2 2．下列说法正确的是（ ） A．成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件 B．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 C．“夏津明天降雪的概率为0.6”，表示夏津明天一定降雪 D．若抽奖活动的中奖概率为 ，则抽奖50次必中奖1次 3．如图，𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵，垂足为𝐸，𝐴𝐸 = 8，𝐵𝐸 = 2，则线段𝐶𝐷的长为（ ） A．5 B．8 C．4√5 D．2√10 4．将抛物线𝑦 = 𝑥 先向左平移 3 个单位长度，再向下移动 1 个单位长度，所得抛物线的是（ ） A．𝑦 = (𝑥 + 3) − 1 B．𝑦 = (𝑥 + 3) + 1 C．𝑦 = (𝑥 − 3) − 1 D．𝑦 = (𝑥 − 3) + 1 5．如图，在扇形𝑂𝐴𝐶中，𝐵是𝐴𝐶上一点，且𝐴𝐵, 𝐵𝐶分别是⊙𝑂的内接正六边形、内接正五边形的边，则∠𝐵 的度数为（ ） A．96° B．104° C．114° D．132° 6．已知二次函数𝑦 = 𝑎(𝑥 − 2) − 𝑎(𝑎 ≠ 0)，当−1 ≤ 𝑥 ≤ 4时，y的最小值为−4，则 a的值为（ ） A． 或 4 B．4 或− C．− 或 4 D．− 或 7．⊙𝑂为△𝐴𝐵𝐶的外接圆，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，𝐶𝐷为⊙𝑂的直径，若∠𝐴𝐶𝐷 = 25°，则∠𝐵𝐷𝐶为（ ） A．45° B．50° C．55° D．60° 8．从 2，3，4，5 四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（ ） A． B． C． D． 9．如图，二次函数𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)的图象经过点(1,2)，且与𝑥轴的交点的横坐标分别为𝑥 ，𝑥 ， 其中−1 < 𝑥 < 0，1 < 𝑥 < 2．下列结论：①𝑎 > 0；②2𝑎 + 𝑏 < 0；③𝑎 − 𝑏 + 𝑐<0；④对任意𝑚 > 0， 𝑎(𝑚 + 1) < 𝑎 − 𝑏𝑚都成立，其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 10．如图，⊙𝑂的直径𝐴𝐵 = 12，弦𝐶𝐷垂直平分半径𝑂𝐴，动点𝑀从点𝐶出发在优弧𝐶𝐵𝐷上运动到点𝐷停止， 在点𝑀整个运动过程中，线段𝐴𝑀的中点𝑃的运动路径长为（ ） A．3𝜋 B．4𝜋 C．5𝜋 D．6𝜋 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … 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分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团 活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母𝑀,𝐹,𝑊, 𝑆依次表 示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡 片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小明从中随机抽取一张卡片是合唱社团𝑀的概率是______． (2)小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡 片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团 S的概率． 20．（8 分）如图，圆内接四边形𝐴𝐵𝐷𝐶，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝑂𝐷 ⊥ 𝐵𝐶交𝐵𝐶于点 E． (1)求证：点 D为BC的中点； (2)若𝐵𝐸 = 4，𝐴𝐶 = 6，求𝐷𝐸． 21．（8 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直 角坐标系，△ 𝐴𝐵𝐶在坐标系中的位置如图所示． (1)将△ 𝐴𝐵𝐶向右平移 8 个单位长度后得到△ 𝐴 𝐵 𝐶 ，请画出△ 𝐴 𝐵 𝐶 ． (2)请画出△ 𝐴 𝐵 𝐶 关于原点 O的中心对称图形△ 𝐴 𝐵 𝐶 ． (3)若将△𝐴𝐵𝐶绕某一点旋转可得△ 𝐴 𝐵 𝐶 ，则旋转中心的坐标为______． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 22．（10 分）如图，𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵于点 E，连接𝐴𝐶，𝐵𝐶，𝐵𝐷，F为𝐴𝐶中点，且𝑂𝐹 = 1． (1)求𝐵𝐷的长； (2)当∠𝐷 = 30°时， ①𝐶𝐷 = ； ②求阴影部分的周长和面积． 23．（10 分）根据背景素材，探索解决实际问题 乒乓球发球机的运动路线 素 材 一 如图 1 所示，乒乓球台规格是矩形，长为2.8米，宽 为1.5米，球网高度为0.14米某品牌．乒乓球发球机 的出球口在桌面中线端点 O处的正上方0.25米处 P． 素 材 二 如图 2 所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上， 且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变， 在与 P水平距离为 1m的 Q点正上方达到最高点， 此时与桌面的高度为0.45m．并且乒乓球落在桌面的 点 M处，以 O为原点，桌面中线所在直线为𝑥轴， 建立平面直角坐标系． 素 材 三 如图 3 所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与 O 点的水平距离为 3 米的位置达到最高点，设球达到 最高时距离桌面的高度为 h米． 问题解决 任 务 一 研究乒乓球飞行轨迹及落点 （1）求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓 球运动的抛物线关系式，并求出点M与 O的 水平距离． 任 务 二 击球点的确定 （2）当ℎ = 0.2时，运动员小亮想把球沿直线 擦网击打到 O点，他能不能实现，若能实现， 请求出击球点位置的高度，若不能实现，请说 明理由． 任 务 三 运动员移动的距离 （3）当ℎ = 时，运动员小亮的球拍 A离点 O 的水平距离为3.8m，位于桌面上方，离桌面 0.2m，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打路 线𝐴𝐵近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为 45°，如图 3 所示．当球飞行的高度在 至 时， 小亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成功击 中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前 平移的距离为 n，则 n的取值范围为 ； 24．（12 分）定义：由两条与 x 轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月 牙线”． 【概念理解】 （1）抛物线𝑦 = 2(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)与抛物线𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 + 2是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 （2）抛物线𝑦 = (𝑥 − 1) − 2与抛物线𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎 > 组成一个如图所示的“月牙线”，与𝑥 轴有相同的交点𝑀，𝑁（点𝑀在点𝑁的左侧），与𝑦轴的交点分别为𝐴,𝐵． ①求𝑎: 𝑏: 𝑐的值． ②已知点𝑃(𝑥 ,𝑚)和点𝑄(𝑥 , 𝑛)在“月牙线”上，𝑚 > 𝑛，且𝑚− 𝑛的值始终不大于 2，求线段𝐴𝐵长的取 值范围． 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版九上第1~3章（二次函数+简单事件的概率+圆的基本性质）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列函数一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件 B．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 C．“夏津明天降雪的概率为”，表示夏津明天一定降雪 D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次必中奖次 3．如图，为的直径，弦，垂足为，，，则线段的长为（    ）    A．5 B．8 C． D． 4．将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下移动1个单位长度，所得抛物线的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在扇形中，是上一点，且分别是的内接正六边形、内接正五边形的边，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 7．为的外接圆，，为的直径，若，则为（    ） A． B． C． D． 8．从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 9．如图，二次函数的图象经过点，且与轴的交点的横坐标分别为，，其中，．下列结论：①；②；③；④对任意，都成立，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，的直径，弦垂直平分半径，动点从点出发在优弧上运动到点停止，在点整个运动过程中，线段的中点的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 12．二次函数的最小值是 ． 13．在一个不透明的袋中装有50个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有 14．若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是 ． 15．某公司推出一种高效环保洗涤用品，年初上市后公司经历了亏损到盈利的过程如图的二次函数图象部分刻画了该公司年初以来累积利润万元与销售时间月之间的关系即前个月的利润总和与之间的关系根据图象提供的信息，可求出该公司第个月的利润是 万元．    16．如图，四边形中，，的面积为8，则长为 ．    三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线． (1)求、的值； (2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标． 18．（8分）已知一次函数的图象与二次函数 的图象相交于点．        (1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； (2)根据函数图象，直接写出不等式 的解集； (3)当时，抛物线 与直线只有一个交点，求n的取值范围； 19．（8分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小明从中随机抽取一张卡片是合唱社团的概率是______． (2)小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团S的概率． 20．（8分）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求． 21．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，在坐标系中的位置如图所示． (1)将向右平移8个单位长度后得到，请画出． (2)请画出关于原点O的中心对称图形． (3)若将绕某一点旋转可得，则旋转中心的坐标为______． 22．（10分）如图，为的直径，弦于点E，连接，，，F为中点，且． (1)求的长； (2)当时， ① ； ②求阴影部分的周长和面积． 23．（10分）根据背景素材，探索解决实际问题 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1所示，乒乓球台规格是矩形，长为米，宽为米，球网高度为米某品牌．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O处的正上方米处P． 素材二 如图2所示，假设每次发出的乒乓球都落在中线上，且球的运动路线是一条抛物线，且形状固定不变，在与P水平距离为1m的Q点正上方达到最高点，此时与桌面的高度为．并且乒乓球落在桌面的点M处，以O为原点，桌面中线所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 素材三 如图3所示，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与O点的水平距离为3米的位置达到最高点，设球达到最高时距离桌面的高度为h米． 问题解决 任务一 研究乒乓球飞行轨迹及落点 （1）求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动的抛物线关系式，并求出点M与O的水平距离． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想把球沿直线擦网击打到O点，他能不能实现，若能实现，请求出击球点位置的高度，若不能实现，请说明理由． 任务三 运动员移动的距离 （3）当时，运动员小亮的球拍A离点O的水平距离为，位于桌面上方，离桌面，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打路线近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为，如图3所示．当球飞行的高度在至时，小亮可以获得最佳击球效果．小亮想要成功击中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前平移的距离为n，则n的取值范围为 ； 24．（12分）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”． 【概念理解】 （1）抛物线与抛物线是否围成“月牙线”？说明理由． 【尝试应用】 （2）抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为． ①求的值． ②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段长的取值范围． 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