微专题01 空间向量常规建系技巧与空间中点的坐标表示-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第一册）

2023-2024学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第一册） 微专题01 空间向量常规建系技巧与空间中点的坐标表示（24题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系 题型二 利用线面垂直建立空间直角坐标系 题型三 利用面面垂直关系建立空间直角坐标系 题型四 利用正棱锥的中心与高所在直线建立空间直角坐标系 题型五 利用底面为菱形建立空间直角坐标系 题型六 与动点有关的问题 解答立体几何问题时，利用空间向量是关键.具体应用中需要突破以下四点：第一，建立空间直角坐标系，简化问题表达和计算；第二，确定各点坐标，求解线性方程组；第三，求法向量，这在立体几何中用于解决特定问题十分有用；第四，掌握公式和定理，计算距离、角度、体积等.然而建立合适的空间直角坐标系并求得点的坐标是解决立体几何问题的关键.特别是对不存在三条两两垂直的棱，例如，斜棱柱或斜棱锥等图形.坐标系建得好能让接下的计算简化并减少错误，更关键是节省大量的时间.用空间向量的方法解决立体几何问题, 是综合运用向量知识和其他数学知识, 建立立体图形与空间向量之间的联系, 把立体几何问题转化成向量问题, 这个方法的出现对空间感不太强的同学来说可谓福音. 因此正确地建立空间直角坐标系, 写对每个点的坐标是解决这类问题的关键. 怎样的几何体适合建系解决呢? 建系后如何准确地写出各个点的坐标呢? 一、适合建系的模型有哪些 “系” 就是单位正交基底, 合适的 “系” 可以方便地表示几何体中各个点的坐标, 所以建系的标准是尽量让几何体上的点落在坐标轴上, 或者几何体中的直线与坐标轴平行. 一般什么样的模型适合建系利用坐标解决问题呢? 我们来看具体的例子. 模型一: 两两垂直的三条线段（利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系） 像正方体、长方体这类几何体有明显的两两垂直的三条线段,这里不再赘述.有些问题中虽然没有直接给出两两垂直的线段,但是稍微挖掘一下题设中的条件便能发现这个模型,这种情况也能建系. 示例1：如图，在六面体中，是等边三角形，平面与平面所成角的大小为. (1)证明:; (2)若点为线段上一动点,求直线与平面所成角的正切值的最大值. 分析：由题意得六面体中的是有公共边的3个三角形,且是以公共边为斜边的等腰直角三角形.因为是等边三角形,取的中点,所以,,且.又因为,所以, 所以.这样,一个两两垂直的模型就出现了,可以以为正交基底建系. 模型二: 线面垂直模型 如果没有两两垂直的三条线段, 那么找到线面垂直则是关键, 找到了线面垂直, 再在平面内作出平面直角坐标系, 空间直角坐标系便形成了. 示例2：如图,在五面体 中,已知 平面 , 且 . （1）求证:平面平面; （2）求平面与平面夹角的余弦值. 分析：因为平面，所以只要在平面作出一对互相垂直的直线,便能找到两两垂直的三条直线,所以只需在平面 内作 的垂线. 例如,可以以为原点, 所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 模型三:面面垂直模型 如果题设条件中没有线面垂直模型,那么看到面面垂直模型也是一样的,因为根据面面垂直的性质定理可以很快找到线面垂直模型. 示例3：如图,已知三棱柱,平面平面分别是,的中点. （1）求证:; （2）求直线与平面所成角的余弦值. 分析：因为平面平面,根据面面垂直的性质定理,在其中一个面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面,这样就找到了线面垂直模型.因为,所以为等边三角形.因为是的中点,所以.又平面,所以平面.然后在平面内再作一个平面直角坐标系即可.如图1,在所在平面过点作的垂线,以点为原点,以为正交基底建立空间直角坐标系.也可以以为坐标原点,分别作的平行线作为轴,建立如图2所示的空间直角坐标系.-66- 图1 图2 小结：①两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直，所以要作交线的垂线，并经常以此交线为坐标轴.②轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件，尽可能地让底面上更多的点位于轴上.③利用向量关系进行计算(先设再求).向量方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系计算坐标. 模型四：利用正棱锥的中心与高所在直线建系 示例4：如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上，已知，，，.      分析：如图，为的中点，所以，又平面，所以可以以为坐标原点，过点作交与点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，      模型五：底面为菱形的模型 当底面为菱形时，学生易犯以菱形的两条邻边为坐标系的错误，主要是习惯使然，忽略客观事实，另外要特别注意底角为60°的菱形，连接对角线可分割为两个等边三角形，可利用等边三角形的三线合一构造线线垂直. （1）借助菱形的对角线建系 示例5：如图，平行六面体中，底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，，AC与BD交于O． (1)证明：平面ABCD； (2)求二面角的正弦值． 【解析】（1）∵底面ABCD是边长为2的菱形，∴． ∵，，∴，∴． ∵点O为线段BD中点，∴． 在中，，，， ∴，∴． 则，∴． 又，平面ABCD，平面ABCD， ∴平面ABCD． （2）由（1）知，平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，． 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，即，取，则． ，即，取，则． 设二面角大小为，则． ∴， ∴二面角的正弦值为． （2）借助60°底角的菱形中的等边三角形建系 示例6：如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，，．求二面角的大小． 【解析】（1）证明：如图，取中点，连接，， 在中，，分别为，的中点， 所以且， 在菱形中，因为且， 所以，，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面． （2）解：因为平面，，，平面， 所以，，． 连接，因为，，且， （或者证 所以，在菱形中，，即为正三角形， 又因为为中点，所以， 以为原点，，，所在的直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 因为且． 又因为为正三角形且，所以， 则，，，则，， 由平面，可得平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 所以，所以二面角的大小为． 二、如何正确表示点的坐标 建立了合适的空间直角坐标系后, 如何正确表示出点的坐标呢? 尤其是一些不易观察到点在坐标轴上的射影的问题, 我们应该如何处理? 有哪些策略呢? 1.观察点在坐标轴上的射影得到点的坐标 对于比较规则的几何体,可以直接观察到点在坐标轴上的投影,如坐标轴上的点,正方体、长方体的顶点等都是可以直接观察得到坐标的,这类问题比较简单,不再举例说明. 2.利用平面直角坐标系得出点的坐标（平面化） 有些几何体的图形比较复杂,而且直观图中的长度、角度与平面图形的长度、角度是有出入的,这些图形的坐标不容易观察,这时我们不妨将立体图中的平面图单独作出来,并在平面图上画出对应的平面直角坐标系,这样就能准确写出点的坐标了. 3.利用坐标轴上的点平移得到点的坐标 在一些几何体中,有时孤立地看某个点,不方便观察其在坐标轴上的投影,如果它跟坐标轴上的另一个点构成了一个与坐标轴平行的向量,那么可以将这个点看成坐标轴上的点沿着坐标轴的方向平移后得到的点,只需改变坐标中的一个参数即可. 4.公式法 对中点、等分点、重心等点可用公式求解； 若点， 则线段的中点坐标；三角形的重心； 点在线段上且，则. 5.利用向量相等或线性运算或共线定理得到点的坐标 还有些点所在的直线或线段没有明显的特征,无法直接观察得到点的坐标,这时就需要借助向量算一算了. 利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标； 利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标； 三点共线问题：如若点，若点在线段上，则可设，利用待定系数法求出！ 注：若,则. 6.利用参数表示动点的坐标 有时点是某条线段或直线上的动点,此时一般需引进参数,利用向量共线定理表示出动点的坐标,然后根据已知条件列出相应关系式,综合运用各种知识解出参数.涉及动点问题时,一般先借助参数将动点表示出来,然后利用相关向量表达题设中几何元素之间的关系, 题型一 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系 1．（22-23高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 2．（22-23高二上·河北保定·期末）如图，三棱柱中，，，，点为的中点，且.    (1)求证：平面； (2)若为正三角形，求与平面所成角的正弦值. 3．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面四边形中，，是边长为2的正三角形，为的中点，将沿折到的位置，.    (1)求证：； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 4．（2025·四川巴中·模拟预测）在直三棱柱中，在上，且．    (1)证明：； (2)当四棱锥的体积为时，求平面与平面所成二面角的正弦值． 5．（2024·江西·一模）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，，，，，，点E在BC上，且．    (1)证明：平面APE； (2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值． 题型二 利用线面垂直建立空间直角坐标系 6．（23-24高三上·四川雅安·期中）如图，在三棱锥中，平面，，且，为的中点，在上，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 7．（2024·四川·一模）如图，在三棱锥中，平面，. (1)求证；平面平面； (2)若，，三棱锥的体积为100，求二面角的余弦值. 8．（2024·云南大理·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，，．求二面角的大小． 题型三 利用面面垂直关系建立空间直角坐标系 9．（2025·广东·模拟预测）如图，在四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，．    (1)证明：平面平面； (2)若二面角的正切值为，求四面体与四面体的体积之比． 10．（2024·广东珠海·一模）如图，三棱柱中，侧面底面，， ，点是棱的中点． (1)证明：； (2)求面与面夹角的正切值． 11．（23-24高二下·浙江温州·期末）在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 12．（23-24高二下·浙江宁波·期中）如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，． (1)求该多面体的体积V； (2)在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型四 利用正棱锥的中心与高所在直线建立空间直角坐标系 13．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，正三棱锥中，E，F分别是侧棱AC，AD的中点，连接EF． (1)判断AB与EF的位置关系，说明理由； (2)若，，求平面BCD与平面BEF所成角的余弦值． 14．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，在正四棱锥点分别在上，且． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 15．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，三棱锥是正三棱锥，E，F分别为，的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由. 16．（16-17高二下·上海宝山·期末）如图，点O为正四棱锥的底面中心，四边形为矩形，且，.    (1)求正四棱锥的体积； (2)设E为侧棱PA上的点，且，求直线BE与平面PQC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 题型五 利用底面为菱形建立空间直角坐标系 17．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.    (1)证明：； (2)若M是棱BC上的点，且满足，求二面角的余弦值.    18．（23-24高二上·云南迪庆·期末）如图形中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 19．（23-24高一下·河北廊坊·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，点E，F分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的大小为. ①求二面角的余弦值； ②求点F到平面的距离. 20．（2024·湖南长沙·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形， ，点 ， 分别为和的中点. (1)求证: 平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 题型六 与动点有关的问题 21．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面.    (1)求证：平面平面. (2)求二面角的余弦值. (3)为平面内一点，若平面，求的长.          22．（23-24高三上·江苏南通·期中）如图，且，，且，且，平面，. (1)设面BCF与面EFG的交线为，求证：； (2)证明: (3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由. 23．（23-24高一下·广东广州·期末）如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．    (1)当为何值时，平面平面? (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 24．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． $$2023-2024学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第一册） 微专题01 空间向量常规建系技巧与空间中点的坐标表示（24题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系 题型二 利用线面垂直建立空间直角坐标系 题型三 利用面面垂直关系建立空间直角坐标系 题型四 利用正棱锥的中心与高所在直线建立空间直角坐标系 题型五 利用底面为菱形建立空间直角坐标系 题型六 与动点有关的问题 解答立体几何问题时，利用空间向量是关键.具体应用中需要突破以下四点：第一，建立空间直角坐标系，简化问题表达和计算；第二，确定各点坐标，求解线性方程组；第三，求法向量，这在立体几何中用于解决特定问题十分有用；第四，掌握公式和定理，计算距离、角度、体积等.然而建立合适的空间直角坐标系并求得点的坐标是解决立体几何问题的关键.特别是对不存在三条两两垂直的棱，例如，斜棱柱或斜棱锥等图形.坐标系建得好能让接下的计算简化并减少错误，更关键是节省大量的时间.用空间向量的方法解决立体几何问题, 是综合运用向量知识和其他数学知识, 建立立体图形与空间向量之间的联系, 把立体几何问题转化成向量问题, 这个方法的出现对空间感不太强的同学来说可谓福音. 因此正确地建立空间直角坐标系, 写对每个点的坐标是解决这类问题的关键. 怎样的几何体适合建系解决呢? 建系后如何准确地写出各个点的坐标呢? 一、适合建系的模型有哪些 “系” 就是单位正交基底, 合适的 “系” 可以方便地表示几何体中各个点的坐标, 所以建系的标准是尽量让几何体上的点落在坐标轴上, 或者几何体中的直线与坐标轴平行. 一般什么样的模型适合建系利用坐标解决问题呢? 我们来看具体的例子. 模型一: 两两垂直的三条线段（利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系） 像正方体、长方体这类几何体有明显的两两垂直的三条线段,这里不再赘述.有些问题中虽然没有直接给出两两垂直的线段,但是稍微挖掘一下题设中的条件便能发现这个模型,这种情况也能建系. 示例1：如图，在六面体中，是等边三角形，平面与平面所成角的大小为. (1)证明:; (2)若点为线段上一动点,求直线与平面所成角的正切值的最大值. 分析：由题意得六面体中的是有公共边的3个三角形,且是以公共边为斜边的等腰直角三角形.因为是等边三角形,取的中点,所以,,且.又因为,所以, 所以.这样,一个两两垂直的模型就出现了,可以以为正交基底建系. 模型二: 线面垂直模型 如果没有两两垂直的三条线段, 那么找到线面垂直则是关键, 找到了线面垂直, 再在平面内作出平面直角坐标系, 空间直角坐标系便形成了. 示例2：如图,在五面体 中,已知 平面 , 且 . （1）求证:平面平面; （2）求平面与平面夹角的余弦值. 分析：因为平面，所以只要在平面作出一对互相垂直的直线,便能找到两两垂直的三条直线,所以只需在平面 内作 的垂线. 例如,可以以为原点, 所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 模型三:面面垂直模型 如果题设条件中没有线面垂直模型,那么看到面面垂直模型也是一样的,因为根据面面垂直的性质定理可以很快找到线面垂直模型. 示例3：如图,已知三棱柱,平面平面分别是,的中点. （1）求证:; （2）求直线与平面所成角的余弦值. 分析：因为平面平面,根据面面垂直的性质定理,在其中一个面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面,这样就找到了线面垂直模型.因为,所以为等边三角形.因为是的中点,所以.又平面,所以平面.然后在平面内再作一个平面直角坐标系即可.如图1,在所在平面过点作的垂线,以点为原点,以为正交基底建立空间直角坐标系.也可以以为坐标原点,分别作的平行线作为轴,建立如图2所示的空间直角坐标系.-66- 图1 图2 小结：①两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直，所以要作交线的垂线，并经常以此交线为坐标轴.②轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件，尽可能地让底面上更多的点位于轴上.③利用向量关系进行计算(先设再求).向量方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系计算坐标. 模型四：利用正棱锥的中心与高所在直线建系 示例4：如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上，已知，，，.      分析：如图，为的中点，所以，又平面，所以可以以为坐标原点，过点作交与点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，          模型五：底面为菱形的模型 当底面为菱形时，学生易犯以菱形的两条邻边为坐标系的错误，主要是习惯使然，忽略客观事实，另外要特别注意底角为60°的菱形，连接对角线可分割为两个等边三角形，可利用等边三角形的三线合一构造线线垂直. （1）借助菱形的对角线建系 示例5：如图，平行六面体中，底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，，AC与BD交于O． (1)证明：平面ABCD； (2)求二面角的正弦值． 【解析】（1）∵底面ABCD是边长为2的菱形，∴． ∵，，∴，∴． ∵点O为线段BD中点，∴． 在中，，，， ∴，∴． 则，∴． 又，平面ABCD，平面ABCD， ∴平面ABCD． （2）由（1）知，平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，． 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，即，取，则． ，即，取，则． 设二面角大小为，则． ∴， ∴二面角的正弦值为． （2）借助60°底角的菱形中的等边三角形建系 示例6：如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，，．求二面角的大小． 【解析】（1）证明：如图，取中点，连接，， 在中，，分别为，的中点， 所以且， 在菱形中，因为且， 所以，，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面． （2）解：因为平面，，，平面， 所以，，． 连接，因为，，且， （或者证 所以，在菱形中，，即为正三角形， 又因为为中点，所以， 以为原点，，，所在的直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 因为且． 又因为为正三角形且，所以， 则，，，则，， 由平面，可得平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 所以，所以二面角的大小为． 二、如何正确表示点的坐标 建立了合适的空间直角坐标系后, 如何正确表示出点的坐标呢? 尤其是一些不易观察到点在坐标轴上的射影的问题, 我们应该如何处理? 有哪些策略呢? 1.观察点在坐标轴上的射影得到点的坐标 对于比较规则的几何体,可以直接观察到点在坐标轴上的投影,如坐标轴上的点,正方体、长方体的顶点等都是可以直接观察得到坐标的,这类问题比较简单,不再举例说明. 2.利用平面直角坐标系得出点的坐标（平面化） 有些几何体的图形比较复杂,而且直观图中的长度、角度与平面图形的长度、角度是有出入的,这些图形的坐标不容易观察,这时我们不妨将立体图中的平面图单独作出来,并在平面图上画出对应的平面直角坐标系,这样就能准确写出点的坐标了. 3.利用坐标轴上的点平移得到点的坐标 在一些几何体中,有时孤立地看某个点,不方便观察其在坐标轴上的投影,如果它跟坐标轴上的另一个点构成了一个与坐标轴平行的向量,那么可以将这个点看成坐标轴上的点沿着坐标轴的方向平移后得到的点,只需改变坐标中的一个参数即可. 4.公式法 对中点、等分点、重心等点可用公式求解； 若点， 则线段的中点坐标；三角形的重心； 点在线段上且，则. 5.利用向量相等或线性运算或共线定理得到点的坐标 还有些点所在的直线或线段没有明显的特征,无法直接观察得到点的坐标,这时就需要借助向量算一算了. 利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标； 利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标； 三点共线问题：如若点，若点在线段上，则可设，利用待定系数法求出！ 注：若,则. 6.利用参数表示动点的坐标 有时点是某条线段或直线上的动点,此时一般需引进参数,利用向量共线定理表示出动点的坐标,然后根据已知条件列出相应关系式,综合运用各种知识解出参数.涉及动点问题时,一般先借助参数将动点表示出来,然后利用相关向量表达题设中几何元素之间的关系, 题型一 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系 1．（22-23高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用中位线定理证明，然后由线面平行的判定定理证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可； （3）求出的坐标，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可． 【详解】（1）证明：因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 故平面； （2）由于平面， 所以平面， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则,1,，,1,，,0,，,0,，,0,， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 故， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为， 又平面的法向量为， 所以点到平面的距离为． 2．（22-23高二上·河北保定·期末）如图，三棱柱中，，，，点为的中点，且.    (1)求证：平面； (2)若为正三角形，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量求线面角所成的角, 【详解】（1）取中点，连接，    因为，是中点， ， 因为，是中点， -所以， 又，平面， 所以平面，又平面 又，平面 所以平面. （2）因为为正三角形，所以. 过点作的延长线为轴，以为轴， 过点作的平行线为轴，如图建立空间直角坐标系，    则，，，，，， ， 设平面的法向量为，则 令，得 设与平面所成角为，. 与平面所成角的正弦值为. 3．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，在平面四边形中，，是边长为2的正三角形，为的中点，将沿折到的位置，.    (1)求证：； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先证明，即可得到，从而得到平面，即可证明，再证明平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，再由空间向量法计算可得. 【详解】（1）依题意是边长为2的正三角形，为的中点，所以， 所以，，，，， 则，所以，又，即，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令， 设直线与平面所成角为，则    ， 所以直线与平面所成角的正弦值为.    4．（2025·四川巴中·模拟预测）在直三棱柱中，在上，且．    (1)证明：； (2)当四棱锥的体积为时，求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证垂直. （2）先根据已知四棱锥的体积求的长，再利用空间向量求二面角的三角函数. 【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，且，所以两两垂直，故可以为原点，建立如图空间直角坐标系：    设，则，，，，. 所以，. 因为, 所以.故. （2）因为梯形的面积： ， ，所以. 所以，，所以. 设平面的法向量为， 则，取. 取平面的法向量为：， 设平面与平面所成的二面角为， 则，所以. 5．（2024·江西·一模）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，，，，，，点E在BC上，且．    (1)证明：平面APE； (2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明，，证明平面APE，又，得证平面APE． （2）以点P为坐标原点，建立空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为，，， 所以，， 因为，所以， 因为，平面PBC，所以平面PBC， 因为平面PBC，所以， 因为，，， 所以，， 取BC的中点，则，且， 所以点A到BC的最短距离为3， 因为，所以点E，重合，， 因为，平面APE，平面APE，所以平面APE， 因为在平行四边形ABCD中，，所以平面APE． （2）    由（1）知，PB，PC，PA两两垂直， 以点P为坐标原点，PB，PC，PA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面PCD的法向量为，则有得 取，则，得， 设直线AE与平面PCD所成角为， 则， 所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为． 题型二 利用线面垂直建立空间直角坐标系 6．（23-24高三上·四川雅安·期中）如图，在三棱锥中，平面，，且，为的中点，在上，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）不妨设，结合余弦定理和相似三角形，即可以点为原点建立空间直角坐标系，根据即可得证. （2）由（1）可得相应点的坐标，平面的法向量可直接取，然后求出平面的法向量，即可利用向量进行求解. 【详解】（1）不妨设，又， 在中，， ，则， 所以，又， ，且也为等腰三角形． ，则， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，， ， 则，所以． （2）由（1）可知，， 平面的法向量可取为， 且，， 设平面的法向量为， 则，可取， ， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 7．（2024·四川·一模）如图，在三棱锥中，平面，. (1)求证；平面平面； (2)若，，三棱锥的体积为100，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面得到，再结合，可证明平面，从而可求解； （2）由题意知求出，建立空间直角坐标系，再利用空间面面夹角向量方法，从而可求解. 【详解】（1）证明：由题意得平面，因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）因为，，，所以， 又因为三棱锥的体积为，即，得， 由题意可得以为原点，分别以平行于，及，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，则， 设二面角为，则. 所以锐二面角的余弦值为. 8．（2024·云南大理·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，，．求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）添加适当辅助线，证明出四边形为平行四边形，再通过线线平行证明线面平行； （2）由线面垂直得出线线垂直，再证明为正三角形，得出，建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，再利用公式求解，即可求出二面角． 【详解】（1）证明：如图，取中点，连接，， 在中，，分别为，的中点， 所以且， 在菱形中，因为且， 所以，，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面． （2）解：因为平面，，，平面， 所以，，． 连接，因为，，且， （或者证 所以，在菱形中，，即为正三角形， 又因为为中点，所以， 以为原点，，，所在的直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 因为且． 又因为为正三角形且，所以， 则，，，则，， 由平面，可得平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 所以，所以二面角的大小为． 题型三 利用面面垂直关系建立空间直角坐标系 9．（2025·广东·模拟预测）如图，在四面体ABCD中，是正三角形，是直角三角形，，．    (1)证明：平面平面； (2)若二面角的正切值为，求四面体与四面体的体积之比． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点O，连接，，得到，再由是正三角形，得到，利用面面垂直的判定证明； （2）以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式列出方程，即可求解. 【详解】（1）由题设得，，从而. 又是直角三角形，所以. 取AC的中点O，连接DO、BO，则DO⊥AC且， 又是正三角形，故. 则中，，又， 所以，故. 而且都在面，故面， 而面，所以平面ACD⊥平面ABC.    （2）设， ，结合（1）结论， 以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，易知平面的法向量为， 设，由，可得，得， 设面的法向量为，则， 取，得，所以， 因为二面角的正切值为，则， 又，解得，所以， 所以到底面的距离与到底面的距离之比为， 所以四面体与四面体的体积之比.    10．（2024·广东珠海·一模）如图，三棱柱中，侧面底面，， ，点是棱的中点． (1)证明：； (2)求面与面夹角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由侧面底面得底面，进而可证； （2）向量法求面与面的夹角. 【详解】（1）因为三棱柱中， 故四边形为菱形，又因，点是棱的中点， 故， 又侧面底面，侧面底面， 侧面， 所以底面，又底面，故. （2）因， ，故为直角三角形， 故， 如图分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 由（1）可知，，，故，， 则， 由题意平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为， 则即，令，则，， 则， 设面与面夹角为，则， 故， 面与面夹角的正切值为. 11．（23-24高二下·浙江温州·期末）在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）结合中点，利用面面垂直的性质定理证明平面，从而利用线面垂直的性质定理得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）过作交于点，设，建立空间直角坐标系，然后利用向量法求解二面角的正弦值即可. 【详解】（1），为中点， . 又平面平面，平面平面，平面， 平面，而平面， . 又为的中点， ，又， . 又平面， 平面. （2）过作交于点，设， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 故，，，. 设为平面的法向量，则，即， ，取，则， 是平面的一个法向量. 设为平面的法向量，则，即， ，取，则， 是平面的一个法向量. 设二面角的大小为，则， ， 二面角的正弦值为. 12．（23-24高二下·浙江宁波·期中）如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，． (1)求该多面体的体积V； (2)在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，. 【分析】（1）取中点，连接，求证平面，即可由求出该多面体的体积. （2）先求证两两垂直，建立空间直角坐标系，设，依据已知条件求出和平面的法向量，再依据即可计算求解，进而得解. 【详解】（1）取中点，连接，则由为正三角形得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又由题意， 所以该多面体的体积. （2）连接，由题意以及（1）可知且， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 所以由平面可知两两垂直， 所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以，， 设，则， 所以， 设是平面的一个法向量，则， 所以，即，取，则， 所以直线和平面所成的角的正弦值为 ， 整理得，解得（舍去）或， 所以在棱上存在点P，使得直线和平面所成的角大小为，此时. 题型四 利用正棱锥的中心与高所在直线建立空间直角坐标系 13．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，正三棱锥中，E，F分别是侧棱AC，AD的中点，连接EF． (1)判断AB与EF的位置关系，说明理由； (2)若，，求平面BCD与平面BEF所成角的余弦值． 【答案】(1)异面垂直，证明见解析. (2) 【分析】（1）先证明AB与EF异面，再证明即可得出结果. （2）法一：先用二面角的定义求出二面角的位置，再解三角形得出二面角的余弦值；法二：建系，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）   AB与EF异面垂直． 直线EF在平面ACD内，且点A在直线EF在外， 点B在平面ACD外，所以AB与EF是异面直线． 取中点，连接，因为为等腰三角形，为正三角形， ，且都在面内， 所以， 所以 所以，所以AB⊥EF． 进而AB与EF异面垂直． （2）法一：    取等边的中心O，连接AO，，由图像可知为中点，连接，则，过做的平行线， 因为，所以， 因为，所以， 因为为平面BCD与平面BEF的公共边， 故为平面BCD与平面BEF所成的二面角， 因为底面为正三角形，且，的中心O 所以, 所以, 又因为 所以 所以余弦值等于 法二：    取等边的中心O，连接AO，OC，则， ，作Oy垂直OC，如图所示建立空间直角坐标系． 则A，B，C，D， E，F 有， 取平面BEF的法向量， 则 ，取，解得 取平面BCD得法向量 ， 则平面BCD与BEF所成角的余弦值 14．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，在正四棱锥点分别在上，且． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点分别为以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，由，即可证明； （2）分别求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案. 【详解】（1）在正四棱锥中，取中点分别为以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． 则 因为所以 所以 因为 所以，即． （2）设平面的一个法向量为 ， ， 取，，得 又因为平面的一个 法向量为 所以 所以二面角的余弦值为． 15．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，三棱锥是正三棱锥，E，F分别为，的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由. 【答案】(1) (2)平行，距离为 【分析】(1)先证，，然后得出平面SAC.建立适当的直角坐标系，再利用平面的法向量，即可求解. (2)利用向量在平面BDF的法向量上的投影，即可求解. 【详解】（1）连接AC，交BD于点O，连接SO，因为四边形ABCD是菱形，所以O为AC，BD的中点，且， 因为三棱锥是正三棱锥，，O为BD的中点，所以，平面SAC, 平面SAC, 又，所以平面SAC. 作平面BCD于H，则H为正三角形BCD的中点，H在线段OC上，且，，，. 如图，以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，C.，D.，，，， 所以，，， 设是平面EBF的法向量， 则， 则，设是平面DBF的法向量， 则，取， 所以， 又因为二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为. （2）直线SA与平面BDF平行. 法1:连接OF，由（1）知O为AC的中点，又F为SC的中点，所以， 又因为平面BDF，平面BDF，所以直线平面BDF. 法2:由（1）知是平面BDF的一个法向量， 又，，所以， 所以， 所以，又因为平面BDF，所以直线平面BDF. 设点A与平面BDF的距离为h，则h即为直线SA与平面BDF的距离， 因为，是平面DBF的一个法向量， 所以， 所以点A与平面BDF的距离为， 所以直线SA与平面BDF的距离为. 16．（16-17高二下·上海宝山·期末）如图，点O为正四棱锥的底面中心，四边形为矩形，且，.    (1)求正四棱锥的体积； (2)设E为侧棱PA上的点，且，求直线BE与平面PQC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接求棱锥的体积即可； （2）以O为原点，分别以、、的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面PQC的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）由已知可得，， 故底面正方形ABCD的边长，所以正四棱锥的 体积为； （2）以O为原点，分别以、、的方向为x、y与z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 易得、、、、. 设平面PQC的一个法向量为， 则，所以. 又，， 即，解得， 可取，依题意可得， 设，则，则有， 故，故，从而， 设直线BE和平面PQC所成角为， 则， 因为，所以， 故直线BE和平面PQC所成角的大小为.      题型五 利用底面为菱形建立空间直角坐标系 17．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.    (1)证明：； (2)若M是棱BC上的点，且满足，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据线面垂直的性质得，再根据线面垂直的判定定理得平面，从而利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，然后利用法向量求法求出平面和平面的法向量，再利用向量法求解即可. 【详解】（1）在四棱台中，延长后必交于一点， 故四点共面，因为平面，平面，故， 连接，因为底面四边形为菱形，故， 平面，故平面， 因为平面，所以.    （2）过点A作的垂线，交与点N，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），    设，则，由于，故， 则，， 则，，， 记平面的法向量为， 则，即，令， 则，即， 平面的法向量可取为， 则. 所以二面角的余弦值为. 18．（23-24高二上·云南迪庆·期末）如图形中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到为的中位线，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以所在的直线分别为轴，以过点作的垂线所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为底面是菱形，且与交于点，则点为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，可得， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）解：以所在的直线分别为轴，以过点作的垂线所在的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又由， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成的角的正弦值为. 19．（23-24高一下·河北廊坊·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，点E，F分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的大小为. ①求二面角的余弦值； ②求点F到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2)①；② 【分析】（1）取中点，连接，通过证明，再证平面. （2）先证平面，以的交点为原点，建立空间直角坐标系，用空间向量的方法求二面角和点到面的距离. 【详解】（1）如图： 取中点，连接，. 因为为中点，所以且， 又四边形为菱形，且为中点，所以且， 所以且. 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）如图： 连接，，交于点， 因为四边形为菱形，所以，且为，的中点， 又因为，所以，，平面，且， 所以平面，易得为直线与平面所成的角的平面角， 则，又，，， 所以，，，， 以为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，， ，，，. 所以，，，. ①设平面的法向量为 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 所以二面角的余弦值为：. ②点平面的距离为：. 20．（2024·湖南长沙·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形， ，点 ， 分别为和的中点. (1)求证: 平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过作于点，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）过作于点，连接，由，得≌， 则，即，而， 因此，又平面，则平面，平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，， 则，， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设平面 的一个法向量 ， 则由 ，取， 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 题型六 与动点有关的问题 21．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，，平面平面.    (1)求证：平面平面. (2)求二面角的余弦值. (3)为平面内一点，若平面，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理先证，由面面垂直的性质得出，结合勾股定理及线面垂直的判定证明平面即可； （2）法一、利用二面角的定义结合第一问得出二面角的一个平面角，再由余弦定理计算即可；法二、以B为中心建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可； （3）法一、利用线线垂直、线面垂直的性质与判定作出平面，解三角形即可；法二、利用（2）的坐标系，设坐标结合空间向量基本定理及空间向量数量积计算求G点坐标即可. 【详解】（1）    连接，在中，， ， 则，，， 平面平面，，平面平面， 平面，平面，所以， 在中，, 又， ∴， 在中：，∴， 又，平面， 平面，且平面， 平面平面. （2）法一、由上可知：，则二面角的一个平面角为， 在中，由余弦定理知； 法二、如图建系：设轴与交于，过P作与E， 设，则，    ∴， ， 解之得， 易知，所以， 则， 设为平面的一个法向量，则：， 令，则，所以， 易知是平面的一个法向量， 设二面角的一个平面角为，则， 由图形可知该二面角为钝角，所以； （3）法一：过作，垂足为，过作， 在中，过作，过作， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 而平面，所以平面，即G为所求. 分别延长交于，连接， 过作，由（1）易知，平面， 平面，    ∴，设，， ∴，则，设，    在平面内，由几何关系知， 所以； 法二：取（2）的坐标系，则，，，设，所以， 又：，即， 22．（23-24高三上·江苏南通·期中）如图，且，，且，且，平面，. (1)设面BCF与面EFG的交线为，求证：； (2)证明: (3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)线段BE上存在点P，且时使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为 【分析】（1）由线面平行的判定定理和性质定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可； （3）则以D为原点，建立空间直角坐标系，先求出点坐标，直线DP的方向向量与平面ABE的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案. 【详解】（1）因为，，所以， 又平面，平面， 所以面，又平面，平面平面， 所以. （2）因为且，所以四边形ADGE为平行四边形， 又，所以四边形ADGE为菱形，所以AG⊥DE. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以CD⊥面， 又面，所以，又， 平面，所以面，又面， 所以. （3）由于，，，平面，， 则以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，如图， 于是，，设平面ABE的法向量为， 则，，令，得， 假设线段BE上存在点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为. 设，， ， 解得：. 所以线段BE上存在点P，且时,使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为. 23．（23-24高一下·广东广州·期末）如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．    (1)当为何值时，平面平面? (2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）先探索面面垂直的必要条件，再证明充分性即可. （2）由（1）得面面垂直、线面垂直关系，建立空间直角坐标系，用向量方法表示线面角的正弦值，建立关于的方程求解即可 （3）借助体积公式可得当平面时，三棱锥的体积最大，借助等体积法计算可得内切球半径. 【详解】（1）连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 若平面平面， 由平面平面，平面，， 则平面，平面，则， 所以. 下面证明当时，平面平面. 证明：由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故当时，平面平面； （2）由（1）知，，则平面平面. 在平面内过作， 由平面平面，平面， 则平面，平面，则. 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得或（舍去）， 故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为；    （3）设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 【点睛】方法点睛：空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出或找到截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径；三是建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用有关半径等的等量关系解方程组可得. 24．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证， 翻折后，则有，， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 所以平面平面. （2）因为平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以，， 平面的一个法向量为，，， 则，令，可得， 则，整理可得， 因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且. $$