精品解析：陕西省洛南中学2022-2023学年高二下学期3月月考文科数学试题

2022-2023学年度第二学期第一次月考 高二数学（文科）试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则 A. B. C. D. 2. 利用反证法证明“若，则中至少有一个不为0”时，应假设（ ） A. 至多有一个为0 B. 都不为0 C. 不都为0 D. 都为0 3. 如图是一个结构图，在框①②中应分别填入（ ） A. 分数，无理数 B. 分数，虚数 C. 无理数，虚数 D. 小数，虚数 4. 如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）． 根据该折线图，下列说法错误的是（ ） A. 城镇人口与年份呈现正相关 B. 乡村人口与年份的相关系数接近 C. 城镇人口逐年增长率大致相同 D. 可预测乡村人口仍呈现下降趋势 5. 下列的三句话，若按照演绎推理的“三段论”模式，排列顺序正确的应是（ ） ①是周期函数；②是三角函数；③三角函数是周期函数. A. ③②① B. ②①③ C. ②③① D. ①②③ 6. 根据如下样本数据得到的回归直线方程为，则下列结论不正确的是（ ） 2 3 4 5 6 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2 A. B. C. D. 预计时， 7. 下列四个推理中，属于类比推理的是（ ） A. 因为铜、铁、铝、金、银等金属能导电，所以一切金属都能导电 B. 若双曲线的焦距是实轴长的倍，则此双曲线的离心率为，类似的，若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为 C. 一切奇数都不能被整除，是奇数，所以不能被整除 D. 在数列中，，可以计算出，，，所以推出的 8. 观察下列各式：，，，，…，则的末尾数字为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 9. 用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 10. 目前，全国所有省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.已知某班甲、乙同学都选了物理和地理科目，且甲同学的另一科目会从化学、生物、政治这3科中选1科，乙同学的另一科目会从化学、生物这2科中选1科，则甲、乙所选科目相同的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 执行下边的程序框图，输出的（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 甲、乙、丙三位教师分别在商洛市的商南、山阳、洛南的三所中学里教授语文、数学、英语，则依据下列说法可以判断乙工作的地方和教的学科分别是（ ） ①甲不在商南工作，乙不在山阳工作；②在商南工作的教师不教英语学科； ③在山阳工作的教师教语文学科；④乙不教数学学科. A. 商南，语文 B. 洛南，英语 C. 山阳，数学 D. 洛南，数学 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知复数满足，且复数的实部是虚部的倍，则实数的值是______. 14. 某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为，用事件表示“甲同学答对第一道题”，事件表示“甲同学答对第二道题”，则______． 15. 下表是某单位1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 1 2 3 4 用水量y 4 5 a 7 由散点图可知，用水量y与月份x之间具有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则表中的值为______. 16. 设复数，满足，，则=__________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 某单位对其30名员工的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数（说明：图中饮食指数低于70的人，喜食蔬菜；饮食指数高于70的人，喜食肉类）. 喜食蔬菜 喜食肉类 总计 35岁以上 35岁以下 总计 （1）根据所给数据完成下面的2×2列联表； （2）能否有99%的把握认为该单位员工的饮食习惯与年龄有关？ 独立性检验的临界值表： 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 参考公式：， 18. 已知复数（，是虚数单位）. （1）若是纯虚数，求的值； （2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第三象限，求的取值范围. 19. 某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取.甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为，在面试中“通过”的概率依次为，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么 （1）甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？ （2）甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率. 20. （1）已知，，用分析法证明：； （2）已知正实数，且，用综合法证明： 21. 设数列的前项和为，且满足 （1）求，，的值，并由此猜想数列的通项公式； （2）写出用三段论证明数列是等比数列的大前提、小前提、结论. 22. 近年来，随着互联网的发展，网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为了解网约车在某省的发展情况，调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的两项指标数，数据如下表所示： 城市1 城市2 城市3 城市4 城市5 指标数 3 5 6 7 9 指标数 5 6 7 8 9 （1）由表中数据可知，与具有较强的线性相关关系，请利用相关系数加以说明；（精确到0.01） （2）建立关于的线性回归方程，并预测当指标数为8时，指标数的估计值． 相关系数参考值：当时，线性相关程度一般；当时，线性相关程度较高． 参考公式：，线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 参考数据：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年度第二学期第一次月考 高二数学（文科）试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数运算法则求解即可. 【详解】．故选D． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 2. 利用反证法证明“若，则中至少有一个不为0”时，应假设（ ） A. 至多有一个为0 B. 都不为0 C. 不都为0 D. 都为0 【答案】D 【解析】 【分析】 “”的否定是“” 【详解】假设要否定结论“中至少有一个不为0”，即假设为“都为0”. 故选:D 【点睛】此题为基础题，考查“至多”、“至少”、“都不”、“不都”等逻辑词的含义. 3. 如图是一个结构图，在框①②中应分别填入（ ） A. 分数，无理数 B. 分数，虚数 C. 无理数，虚数 D. 小数，虚数 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合实数与复数的分类，即可求解. 【详解】根据实数的分类，可得①中应填入无理数；根据复数的分类，可得②中应填入虚数. 故选：C. 4. 如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）． 根据该折线图，下列说法错误的是（ ） A. 城镇人口与年份呈现正相关 B. 乡村人口与年份的相关系数接近 C. 城镇人口逐年增长率大致相同 D. 可预测乡村人口仍呈现下降趋势 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的折线图，结合相关系数的概念，以及回归分析的含义，逐项判定，即可求解. 【详解】根据近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图，可得： 对于A中，城镇人口与年份呈现上升趋势，所以关城镇人口与年份正相关，所以A正确； 对于B中，乡村人口与年份呈现下降趋势，且比较均匀的分布在直线的两侧， 所以乡村人口与年份的相关系数接近，所以B错误； 对于C中，城镇人口与年份呈现上升趋势，且比较均匀的分布在直线的两侧， 所以城镇人口逐年增长率大致相同，所以C正确； 对于D中，乡村人口与年份呈现下降趋势，且比较均匀的分布在直线的两侧， 可预测乡村人口仍呈现下降趋势，所以D正确. 故选：B. 5. 下列的三句话，若按照演绎推理的“三段论”模式，排列顺序正确的应是（ ） ①是周期函数；②是三角函数；③三角函数是周期函数. A. ③②① B. ②①③ C. ②③① D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据三段论，大前提，小前提，结论的顺序排序即可. 【详解】根据题意可知，大前提为：三角函数是周期函数； 小前提为：是三角函数； 结论为：是周期函数. 故选：A 6. 根据如下样本数据得到的回归直线方程为，则下列结论不正确的是（ ） 2 3 4 5 6 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2 A. B. C. D. 预计时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格中的数据，求得样本中点的坐标，结合由随着的增大而趋于减小，逐项判定，即可求解. 【详解】由表格中的数据，可得，， 所以样本点的中心的坐标为， 对于B中，由随着的增大而趋于减小，可得的斜率，所以B正确； 对于A中，当时，可得，所以A正确； 对于C中，将样本中心代入回归方程，可得，所以C正确； 对于D中，由由随着的增大而趋于减小，预计时，，所以D错误. 故选：D. 7. 下列四个推理中，属于类比推理的是（ ） A. 因为铜、铁、铝、金、银等金属能导电，所以一切金属都能导电 B. 若双曲线的焦距是实轴长的倍，则此双曲线的离心率为，类似的，若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为 C. 一切奇数都不能被整除，是奇数，所以不能被整除 D. 在数列中，，可以计算出，，，所以推出的 【答案】B 【解析】 【分析】根据合情推理与演绎推理的特点即可得到答案. 【详解】选项A是归纳推理，选项B是类比推理，选项C是演绎推理，选项D是归纳推理与演绎推理. 故选：B. 【点睛】本题考查合情推理与演绎推理的区别，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理. 8. 观察下列各式：，，，，…，则的末尾数字为（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据前几个数找到末位数循环的周期为，即可得答案. 【详解】因为， 所以末位数循环的周期为，且， 所以与的末位数字相同，所以末位数字为. 故选：C. 9. 用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】通过对数函数的运算性质，求得，即可得出答案． 【详解】解：， ∴ 即 故选A. 【点睛】本题考查对数函数的运算性质，属于基础题． 10. 目前，全国所有省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.已知某班甲、乙同学都选了物理和地理科目，且甲同学的另一科目会从化学、生物、政治这3科中选1科，乙同学的另一科目会从化学、生物这2科中选1科，则甲、乙所选科目相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意先列出所有的基本事件，再列出甲、乙所选科目相同的基本事件，求其比值即可. 【详解】甲、乙同学所选的科目情况有：（化学，化学），（化学，生物），（生物，化学），（生物，生物），（政治，化学），（政治，生物），共6种，其中甲、乙同学所选的科目相同的情况有（化学，化学），（生物，生物），共2种， 故所求概率． 故选：B. 11. 执行下边的程序框图，输出的（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据框图循环计算即可. 【详解】执行第一次循环，， ， ； 执行第二次循环，， ， ； 执行第三次循环，， ， ，此时输出. 故选：B 12. 甲、乙、丙三位教师分别在商洛市的商南、山阳、洛南的三所中学里教授语文、数学、英语，则依据下列说法可以判断乙工作的地方和教的学科分别是（ ） ①甲不在商南工作，乙不在山阳工作；②在商南工作的教师不教英语学科； ③在山阳工作的教师教语文学科；④乙不教数学学科. A. 商南，语文 B. 洛南，英语 C. 山阳，数学 D. 洛南，数学 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知进行排除，最终得出结果即可． 【详解】由乙不在山阳工作，而在山阳工作的教师教语文学科，则乙不教语文学科； 又乙不教数学学科，所以乙教英语学科，而在商南工作的教师不教英语学科， 故乙在洛南教英语学科， 故选：B． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知复数满足，且复数的实部是虚部的倍，则实数的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】将z化简成，利用解方程即可. 【详解】由已知，，因复数的实部是虚部的倍， 所以，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查复数的概念以及复数的除法运算，考查学生的计算能力，是一道基础题. 14. 某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为，用事件表示“甲同学答对第一道题”，事件表示“甲同学答对第二道题”，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率的计算公式进行求解即可. 【详解】由已知可知：， 所以， 故答案为： 15. 下表是某单位1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 1 2 3 4 用水量y 4 5 a 7 由散点图可知，用水量y与月份x之间具有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则表中的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由表格中的数据，求得样本中心代入回归方程，即可求解. 【详解】由表格中的数据，可得， 把代入回归方程，可得，解得. 故答案为：. 16. 设复数，满足，，则=__________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果. 方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算. 【详解】方法一：设，， ， ，又，所以，， . 故答案为：. 方法二：如图所示，设复数所对应的点为,, 由已知, ∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴， ∴. 【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 某单位对其30名员工的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数（说明：图中饮食指数低于70的人，喜食蔬菜；饮食指数高于70的人，喜食肉类）. 喜食蔬菜 喜食肉类 总计 35岁以上 35岁以下 总计 （1）根据所给数据完成下面的2×2列联表； （2）能否有99%的把握认为该单位员工的饮食习惯与年龄有关？ 独立性检验的临界值表： 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 参考公式：， 【答案】（1）答案见解析 （2）有的把握认为该单位员工的饮食习惯与年龄有关 【解析】 【分析】（1）根据茎叶图中的数据，即可得到列联表； （2）由（1）中列联表中的数据，求得的值结合附表，即可得到结论. 【小问1详解】 解：根据茎叶图中的数据，填写列联表如下所示： 喜食蔬菜 喜食肉类 总计 35岁以上 16 2 18 35岁以下 4 8 12 总计 20 10 30 【小问2详解】解：由（1）中列联表中的数据， 可得, 故有的把握认为该单位员工的饮食习惯与年龄有关 18. 已知复数（，是虚数单位）. （1）若是纯虚数，求的值； （2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先由复数的除法运算求得，再结合复数的类型列方程组求解即可； （2）先求出，再结合复数在复平面上对应的点位于的象限列方程组求解即可. 【详解】解：（1）， ∵是纯虚数， ∴， 得. （2）∵， ∴， 由复数在复平面上对应的点位于第三象限， 则，解得， 故的取值范围为. 【点睛】本题考查了复数的除法运算及共轭复数，重点考查了复数在复平面上对应的点位于的象限，属基础题. 19. 某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取.甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为，在面试中“通过”的概率依次为，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么 （1）甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？ （2）甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率. 【答案】（1）甲获得录取的可能性大； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求出甲､乙两人被录取的概率并比较大小，即得结果. （2）应用对立事件、独立事件的概率求法，结合互斥事件的加法公式求恰有一人获得录取的概率. 【小问1详解】 记“甲通过笔试”为事件，“甲通过面试”为事件，“甲获得录取”为事件A，“乙通过笔试”为事件，“乙通过面试”为事件，“乙获得录取”为事件B，则 ，，即， 所以甲获得录取的可能性大. 【小问2详解】 记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C，则. 20. （1）已知，，用分析法证明：； （2）已知正实数，且，用综合法证明： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用分析法，结合基本不等式，即可得证； （2）根据题意，利用基本不等式证得，，，进而证得结论. 【详解】证明：（1）要证明，只需证， 即证：，即证：， 因为，，可得，所以， 所以，当且仅当时，等号成立； （2）因为，且， 可得，当且仅当时，等号成立， 同理可得，， 三个式子相加，可得，当且仅当时，等号成立. 21. 设数列的前项和为，且满足 （1）求，，的值，并由此猜想数列的通项公式； （2）写出用三段论证明数列是等比数列的大前提、小前提、结论. 【答案】（1），，； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，令，和，求得，，的值，由此猜想数列的通项公式； （2）根据题意，由三段论推理的结构形式，结合等比数列的定义，即可得到答案. 【小问1详解】 解：由数列的前项和为，且满足 当时，可得，即，可得； 当时，可得，即，可得； 当时，可得，即，可得， 并由此猜想数列的通项公式. 【小问2详解】 解：大前提：在数列中，若，则数列是等比数列； 小前提：在数列中，，可得； 结论：数列是等比数列. 22. 近年来，随着互联网的发展，网约车服务在我国各城市迅猛发展，为人们出行提供了便利，但也给城市交通管理带来了一些困难．为了解网约车在某省的发展情况，调查机构从该省抽取了5个城市，分别收集和分析了网约车的两项指标数，数据如下表所示： 城市1 城市2 城市3 城市4 城市5 指标数 3 5 6 7 9 指标数 5 6 7 8 9 （1）由表中数据可知，与具有较强的线性相关关系，请利用相关系数加以说明；（精确到0.01） （2）建立关于的线性回归方程，并预测当指标数为8时，指标数的估计值． 相关系数参考值：当时，线性相关程度一般；当时，线性相关程度较高． 参考公式：，线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 参考数据：，． 【答案】（1） 由表得，， ∴，， ， ∴该指标与指标具有较高的线性相关程度． （2），预测当指标数为8时，指标数的估计值为8.4 【解析】 【分析】（1）根据公式计算即可. （2）根据公式计算可得回归方程，再代入求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 则， ∴关于的线性回归方程为， 将代入，得， 故预测当指标数为8时，指标数的估计值为8.4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $