2.2.4 点到直线的距离-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第二章 平面解析几何 2.2 直线及其方程 2.2.4 点到直线的距离 (教师独具内容) 课程标准：1．探索并掌握平面上点到直线的距离公式．2．会求两条平行直线间的距离． 教学重点：点到直线的距离公式，两条平行直线之间的距离． 教学难点：点到直线的距离公式的推导过程． 核心素养：1．通过学习点到直线的距离公式的推导过程培养逻辑推理素养、直观想象素养和数学运算素养．2．通过利用点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式解决问题进一步提升数学运算素养． 目录 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 核心概念掌握 目录 * 知识点一　点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \x(\s\up1(01))_________________． [提醒]　(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)点到直线的距离公式对于直线方程中A＝0或B＝0时的情况仍然适用．①A＝0时，d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(C,B)))；②B＝0时，d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(C,A)))． eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) 目录 距离 * 知识点二　两条平行直线之间的距离 (1)两条平行线之间的距离 两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的eq \x(\s\up1(01))_______． (2)两条平行线之间的距离公式 ①P(x1，y1)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2之 间的距离d＝eq \x(\s\up1(02))_______________． ②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝eq \x(\s\up1(03)) _______________． eq \f(|Ax1＋By1＋C2|,\r(A2＋B2)) eq \f(|C2－C1|,\r(A2＋B2)) 目录 * [点拨]　(1)求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式． (2)利用公式求平行线之间的距离时，两条直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． (3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决． ①两条直线都与x轴垂直时，若l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②两条直线都与y轴垂直时，若l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|． 目录 答案 * 1．(点到直线的距离)点P(1，2)到直线2x＋y－4＝0的距离为(　　) A．0 B．2 C．eq \r(5) D．4 2．(已知点到直线的距离求参数)已知点A(3，4)，B(6，m)到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m＝(　　) A．eq \f(7,4) B．－eq \f(29,4) C．1 D．eq \f(7,4)或－eq \f(29,4) 目录 －9或11 答案 * 3．(两条平行直线之间的距离)两平行线4x＋6y＝16与2x＋3y＋18＝0间的距离为__________． 4．(已知两条平行直线之间的距离求参数)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2eq \r(5)，则实数c的值为______________． 　2eq \r(13) 核心素养形成 目录 答案 解析 * 题型一　点到直线的距离　合作研习 A．eq \f(2,5) B．2 C．1 D．3 解析　由题意，点P(1，－2)到直线l：4x－3y＝0的距离为eq \f(|4×1－3×（－2）|,\r(42＋（－3）2))＝2．故选B． 目录 解 * (2)已知P1(2，3)，P2(－4，5)与点A(－1，2)，求过点A且与P1，P2距离相等的直线l的方程． 解　解法一：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，即x＋1＝0，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0， 因为P1，P2到直线l的距离相等， 所以eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))， 化简得|3k－1|＝|3k＋3|，解得k＝－eq \f(1,3)， 故直线l的方程为x＋3y－5＝0． 综上可知，直线l的方程为x＋1＝0或x＋3y－5＝0． 目录 解 * 解法二：因为直线l过点A且与P1，P2距离相等，所以直线l有两种情况(如图所示)． ①当P1，P2在直线l的同侧时，有l∥P1P2，此时可求得直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)， 即x＋3y－5＝0． ②当P1，P2在直线l的异侧时，直线l必过P1P2的中点(－1，4)，此时直线l的方程为x＝－1，即x＋1＝0． 所以所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0． 目录 * 感悟提升 点到直线的距离的求解方法 (1)把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点P(x0，y0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|． (3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 目录 解 * [跟踪训练1]　(1)求点P0(－1，2)到下列直线的距离： ①2x＋y－10＝0；②x＋y＝2；③y－1＝0． 解　①根据点到直线的距离公式得 d＝eq \f(|2×（－1）＋2－10|,\r(22＋12))＝2eq \r(5)． ②直线方程可化为x＋y－2＝0， 所以d＝eq \f(|－1＋2－2|,\r(12＋12))＝eq \f(\r(2),2)． ③因为直线y－1＝0平行于x轴， 所以d＝|2－1|＝1． 目录 解 * (2)已知坐标平面内两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，求实数m的值． 解　由eq \f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋1))＝eq \f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋1))， 得|3m＋5|＝|m－7|， 解得m＝－6或m＝eq \f(1,2)． 故实数m的值为－6或eq \f(1,2)． 目录 答案 解析 * 题型二　两条平行直线之间的距离　合作研习 eq \f(\r(10),20) 解析　解法一：在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d就是两条平行直线之间的距离，因此，两条平行直线之间的距离为d＝eq \f(|2×4＋6×0－9|,\r(22＋62))＝eq \f(1,\r(40))＝eq \f(\r(10),20)． 解法二：直线2x＋6y－9＝0化为x＋3y－eq \f(9,2)＝0，根据平行线间的距离公式d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，得d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2))))),\r(12＋32))＝eq \f(\f(1,2),\r(10))＝eq \f(\r(10),20)． 目录 2x＋y－1＝0 答案 解析 * (2)(2024·合肥一中高二质检)直线l1：2x＋y－4＝0，l2：2x＋y＋2＝0，则与直线l1，l2距离相等的直线方程为_________________． 解析　　令所求直线方程为2x＋y＋c＝0，则eq \f(|c－（－4）|,\r(22＋12))＝eq \f(|c－2|,\r(22＋12))，即|c＋4|＝|c－2|，解得c＝－1，故所求直线方程为2x＋y－1＝0． 目录 * 感悟提升 求两条平行直线间距离的两种思路 (1)利用“化归”法将求两条平行线之间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2且b1≠b2时，d＝eq \f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． 目录 答案 解析 * [跟踪训练2]　(1)(2024·沧州沧县中学高二期末)两条平行直线2x－y＋3＝0与ax－y＋4＝0之间的距离为d，则(　　) A．a＝2，d＝eq \f(1,5) B．a＝2，d＝eq \f(\r(5),5) C．a＝－2，d＝eq \f(\r(5),5) D．a＝－2，d＝eq \f(1,5) 解析　因为直线2x－y＋3＝0与直线ax－y＋4＝0平行，所以－2＋a＝0，解得a＝2，所以两直线分别为2x－y＋3＝0和2x－y＋4＝0，所以d＝eq \f(|3－4|,\r(4＋1))＝eq \f(\r(5),5)．故选B． 目录 答案 解析 * (2)与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0之间的距离为2的直线方程为______________________________________． 　2x－y＋2eq \r(5)－1＝0或2x－y－2eq \r(5)－1＝0 解析　解法一：由已知，可设所求直线的方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它与直线2x－y－1＝0之间的距离d＝eq \f(|C－（－1）|,\r(22＋（－1）2))＝eq \f(|C＋1|,\r(5))＝2，∴|C＋1|＝2eq \r(5)，即C＝2eq \r(5)－1或C＝－2eq \r(5)－1．∴所求直线的方程为2x－y＋2eq \r(5)－1＝0或2x－y－2eq \r(5)－1＝0． 目录 解析 * 解法二：设所求直线的方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，在直线2x－y－1＝0上任取一点A(0，－1)，点A(0，－1)到直线2x－y＋C＝0的距离为eq \f(|1＋C|,\r(22＋（－1）2))＝eq \f(|C＋1|,\r(5))，由题意得eq \f(|C＋1|,\r(5))＝2，解得C＝2eq \r(5)－1或C＝－2eq \r(5)－1．故所求直线的方程为2x－y＋2eq \r(5)－1＝0或2x－y－2eq \r(5)－1＝0． 解法三：设P(x，y)为所求直线上任意一点，则P到2x－y－1＝0的距离为d＝eq \f(|2x－y－1|,\r(22＋（－1）2))＝eq \f(|2x－y－1|,\r(5))＝2，∴2x－y－1＝±2eq \r(5)．∴所求直线的方程为2x－y＋2eq \r(5)－1＝0或2x－y－2eq \r(5)－1＝0． 目录 解 * 解　解法一：因为点(1，2)到直线3x＋4y－12＝0的距离d＝eq \f(|3×1＋4×2－12|,\r(32＋42))＝eq \f(1,5)， 所以(m－1)2＋(n－2)2的最小值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up12(2)＝eq \f(1,25)． 解法二：因为P(m，n)是直线3x＋4y－12＝0上的一点， 所以3m＋4n－12＝0，即n＝eq \f(12－3m,4)， 所以(m－1)2＋(n－2)2＝(m－1)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12－3m,4)－2)) eq \s\up12(2)＝eq \f(25,16)m2－eq \f(7,2)m＋2． 所以当m＝eq \f(\f(7,2),2×\f(25,16))＝eq \f(28,25)时，(m－1)2＋(n－2)2有最小值eq \f(1,25)． 题型三　距离公式的应用　师生共研 目录 解 * 解　①解法一：联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，)) ∴交点P(2，1)． 当直线斜率存在时， 设l的方程为y－1＝k(x－2)， 即kx－y＋1－2k＝0， ∴eq \f(|5k＋1－2k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq \f(4,3)． (2)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点． ①若点A(5，0)到l的距离为3，求直线l的方程； ②求点A(5，0)到l的距离的最大值． 目录 解 * ∴l的方程为y－1＝eq \f(4,3)(x－2)，即4x－3y－5＝0． 而直线斜率不存在时，直线x＝2也符合题意， 故所求直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2． 解法二：设经过两条已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴eq \f(|5（2＋λ）－5|,\r(（2＋λ）2＋（1－2λ）2))＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或eq \f(1,2)． ∴直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2． 目录 解 * ②由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，)) ∴交点P(2，1)． 过P任意作直线l，设d为点A到l的距离， 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)， ∴dmax＝|PA|＝eq \r(10)． 目录 感悟提升 距离公式应用的三种常见类型 (1)最值问题 ①利用对称转化为两点之间的距离问题． ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． ③利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数问题 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解． * 目录 * [跟踪训练3]　(2024·滨州北镇中学高二阶段练习)已知两直线l1与l2，直线l1经过点(0，3)，直线l2经过点(4，0)，且l1∥l2． (1)若l1与l2之间的距离为4，求两直线的方程； (2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程． 目录 解 * 解　(1)①若l1，l2的斜率都存在，设其斜率为k， 由斜截式得l1的方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0， 由点斜式得l2的方程为y＝k(x－4)， 即kx－y－4k＝0， 在直线l1上取点A(0，3)， 则点A到直线l2的距离为d＝eq \f(|3＋4k|,\r(k2＋1))＝4， 解得k＝eq \f(7,24)， ∴l1：7x－24y＋72＝0，l2：7x－24y－28＝0． 目录 解 * ②若l1，l2的斜率都不存在， 则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝4，它们之间的距离为4，满足条件． 综上所述，两条直线的方程为l1：7x－24y＋72＝0，l2：7x－24y－28＝0或l1：x＝0，l2：x＝4． (2)当直线l1，l2均与两点的连线垂直时，l1与l2之间的距离最大，两点连线的直线的斜率为eq \f(0－3,4－0)＝－eq \f(3,4)， ∴直线l1与l2的斜率均为eq \f(4,3)， 此时最大距离为eq \r(（0－4）2＋（3－0）2)＝5， l1：4x－3y＋9＝0，l2：4x－3y－16＝0． 随堂水平达标 目录 1 2 3 4 5 答案 解析 * 1．(2024·北京大兴高二期中)点P(0，1)到直线x－y－1＝0的距离为(　　) A．eq \f(\r(2),2) B．1 C．eq \r(2) D．2 解析　点P(0，1)到直线x－y－1＝0的距离为eq \f(|0－1－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq \r(2)．故选C． 目录 1 2 3 4 5 答案 解析 * 2．(2024·枣庄高二期中)平行直线x＋2y－4＝0与2x＋4y＋7＝0之间的距离为(　　) A．eq \f(3\r(5),5) B．eq \f(11\r(5),5) C．eq \f(3\r(5),2) D．eq \f(3\r(10),2) 解析　将直线x＋2y－4＝0化为2x＋4y－8＝0，所以这两条平行直线之间的距离d＝eq \f(|－8－7|,\r(22＋42))＝eq \f(3\r(5),2)．故选C． 目录 1 2 3 4 5 4 解析 答案 * 3．(2024·青岛第五十八中学高二期中)已知点P(2，3)，点Q是直线l：3x＋4y＋2＝0上的动点，则|PQ|的最小值为________． 解析　|PQ|的最小值即为点P到直线l的距离，故|PQ|的最小值为eq \f(|3×2＋4×3＋2|,\r(32＋42))＝4． 目录 1 2 3 4 5 答案 解析 * 4．(2024·沈阳第二十中学高二月考)已知在△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积S为10，则点C的坐标为_________________． (－1，0)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，8)) 解析　设点C到直线AB的距离为d，由题意知|AB|＝eq \r([3－（－1）]2＋（2－5）2)＝5，直线AB的方程为eq \f(y－2,5－2)＝eq \f(x－3,－1－3)，即3x＋4y－17＝0．因为S＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×5×d＝10，所以d＝4．因为点C在直线3x－y＋3＝0上，设C(x0，3x0＋3)，所以d＝eq \f(|3x0＋4（3x0＋3）－17|,\r(32＋42))＝eq \f(|15x0－5|,5)＝|3x0－1|＝4，解得x0＝－1或x0＝eq \f(5,3)，故点C的坐标为(－1，0)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，8))． 目录 1 2 3 4 5 答案 解析 * 5．(2024·广州中山中学高二月考)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和直线l2：x＋y－5＝0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为________． 　3eq \r(2) 解析　由题意得，线段AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和直线l2：x＋y－5＝0距离相等的直线，记为l，则M到原点距离最小值为原点到直线l的距离，设直线l：x＋y＋m＝0，则eq \f(|m＋7|,\r(2))＝eq \f(|m＋5|,\r(2))，解得m＝－6，所以直线l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式可得，M到原点的距离的最小值为eq \f(6,\r(2))＝3eq \r(2)． 课后课时精练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 一、选择题 1．若两平行直线x＋2y＋m＝0(m>0)与x－ny－3＝0之间的距离是eq \r(5)，则m＋n＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．－2 解析　由直线x＋2y＋m＝0(m>0)与x－ny－3＝0平行可得－n＝2，即n＝－2，则直线x＋2y＋m＝0(m>0)与x＋2y－3＝0的距离为eq \r(5)，所以eq \f(|m＋3|,\r(12＋22))＝eq \r(5)，解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝2＋(－2)＝0．故选A． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 2．(2024·菏泽高二期中)点(5，2)到直线(m－1)·x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为(　　) A．eq \r(13) B．2eq \r(13) C．eq \r(15) D．2eq \r(15) 解析　直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化为(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,－x－y＋5＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝－4，))所以直线过定点(9，－4)，点(5，2)到直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距离的最大值为d＝eq \r(（5－9）2＋[2－（－4）]2)＝2eq \r(13)．故选B． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 3．(2024·银川一中高二质检)已知5x＋12y＝60，则eq \r(x2＋y2)的最小值是(　　) A．2eq \r(3) B．eq \f(7\r(10),20) C．eq \f(3,4) D．eq \f(60,13) 解析　eq \r(x2＋y2)表示原点与直线5x＋12y－60＝0上的点的距离，所以eq \r(x2＋y2)的最小值是原点到直线5x＋12y＝60的距离eq \f(|－60|,\r(52＋122))＝eq \f(60,13)．故选D． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在直线的方程分别为3x＋4y＋C1＝0和3x＋4y＋C2＝0，则|C1－C2|＝(　　) A．2eq \r(3) B．2eq \r(5) C．2 D．4 解析　因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为eq \f(|1－3|,\r(12＋（－2）2))＝eq \f(2,\r(5))，直线3x＋4y＋C1＝0和3x＋4y＋C2＝0之间的距离为eq \f(|C1－C2|,\r(32＋42))＝eq \f(|C1－C2|,5)，则eq \f(|C1－C2|,5)＝eq \f(2,\r(5))，即|C1－C2|＝2eq \r(5)．故选B． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 * 5．(多选)已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝eq \f(4,3)x D．y＝2x＋1 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 * 解析　所给直线上的点到定点M的距离能否取4，可通过求各直线上的点到点M的最小距离，即点M到直线的距离来分析．对于A，因为d＝eq \f(5＋1,\r(2))＝3eq \r(2)>4，故直线上不存在点到M的距离等于4，不是“切割型直线”；对于B，因为d＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；对于C，因为d＝eq \f(20,\r(42＋32))＝4，所以直线上存在一点，使之到点M的距离等于4，是“切割型直线”；对于D，因为d＝eq \f(11,\r(5))＝eq \f(11\r(5),5)>4，故直线上不存在点到M的距离等于4，不是“切割型直线”．故选BC． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [－9，－1] 答案 解析 * 二、填空题 6．(2024·北京铁路二中高二期中)点P(2，eq \r(3))到直线x＋eq \r(3)y＋t＝0的距离不超过2，则实数t的取值范围是____________． 解析　因为点P(2，eq \r(3))到直线x＋eq \r(3)y＋t＝0的距离不超过2，所以d＝eq \f(|2＋\r(3)×\r(3)＋t|,\r(12＋（\r(3)）2))≤2，解得－9≤t≤－1，即实数t的取值范围是[－9，－1]． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 7．已知直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：x－2y＋4＝0，在l1上任取一点A，在l2上任取一点B，连接AB，取AB的靠近点A的三等分点C，过C作l1的平行线l3，则l1与l3间的距离为________． 解析　过A作AD⊥l2于点D，交l3于点E，如图所示，因为l1∥l2∥l3，且由题意得eq \f(|AC|,|AB|)＝eq \f(1,3)，所以Rt△ABD∽Rt△ACE，且eq \f(|AE|,|AD|)＝eq \f(|AC|,|AB|)＝eq \f(1,3)，又直线l1与l2间的距离|AD|＝eq \f(|1－4|,\r(12＋（－2）2))＝eq \f(3\r(5),5)，所以l1与l3间的距离|AE|＝eq \f(1,3)|AD|＝eq \f(\r(5),5)． eq \f(\r(5),5) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 8．已知M(x，y)是直线x＋y＋1＝0上的任意一点，则式子S＝eq \r(x2＋y2－2x－2y＋2)的最小值为__________，此时点M的坐标为__________． 解析　∵x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2，∴上式可看成是一个动点M(x，y)到一个定点N(1，1)距离的平方，即为点N与直线l：x＋y＋1＝0上任意一点M(x，y)距离的平方．∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离d，即|MN|min＝d＝eq \f(|1＋1＋1|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－1,x－1)＝1，,x＋y＋1＝0，))得x＝y＝－eq \f(1,2)，即此时点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)))． eq \f(3\r(2),2) 　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2))) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 解　设点M(x，y)为∠A的平分线上的任意一点，由两点式易得AC所在直线的方程为x－5y＋12＝0，AB所在直线的方程为5x－y－12＝0． 由角平分线的性质可知，直线AD上任意一点到直线AC，AB的距离相等， 即eq \f(|x－5y＋12|,\r(26))＝eq \f(|5x－y－12|,\r(26))， ∴x－5y＋12＝5x－y－12或x－5y＋12＝y－5x＋12，整理，得y＝－x＋6或y＝x． 结合图形，可知kAC<kAD<kAB，即eq \f(1,5)<kAD<5， 则y＝－x＋6不符合题意，舍去． 故∠A的平分线AD所在直线的方程为y＝x． 三、解答题 9．在△ABC中，已知点A(3，3)，B(2，－2)，C(－7，1)，求∠A的平分线AD所在直线的方程． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 10．已知正方形的中心为点M(－1，0)，一条边所在直线的方程是x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． 解　点M到直线x＋3y－5＝0的距离为d＝eq \f(|－1－5|,\r(12＋32))＝eq \f(3\r(10),5)， 设与直线x＋3y－5＝0平行的直线为x＋3y＋C＝0(C≠－5)， ∴eq \f(|－1＋C|,\r(10))＝eq \f(3\r(10),5)， 解得C＝7(C＝－5舍去)， ∴直线方程为x＋3y＋7＝0． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 设另两条边所在直线的方程为3x－y＋m＝0， ∵eq \f(|－3＋m|,\r(10))＝eq \f(3\r(10),5)，∴|m－3|＝6， 解得m＝－3或m＝9， 故另两条边所在直线的方程为3x－y－3＝0，3x－y＋9＝0． 综上，正方形其他三边所在直线的方程为x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0，3x－y＋9＝0． 目录 1 2 解 * 解　如图所示，结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离． 由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3． 由两平行线间的距离公式，得l1与l3间的距离d＝eq \f(|3－（－3）|,\r(22＋（－1）2))＝eq \f(6\r(5),5)， 即点P到直线l3的距离为eq \f(6\r(5),5)． 1．已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，求点P到直线l3的距离． 目录 1 2 解 * 2．(2024·沈阳法库县高级中学高二联考)已知直线l：x－2y＋4＝0，点A(0，4)，B(－2，－4)，点P(m，n)在直线l上移动． (1)求m2＋n2－2m＋2n的最小值； (2)求||PB|－|PA||的最大值，以及取最大值时点P的坐标． 解　(1)因为m2＋n2－2m＋2n＝(m－1)2＋(n＋1)2－2， 令d＝eq \r(（m－1）2＋（n＋1）2)，则原式为d2－2， 点(1，－1)到直线x－2y＋4＝0的距离是d的最小值，即dmin＝eq \f(|1＋2＋4|,\r(5))＝eq \f(7\r(5),5)， 所以原式的最小值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7\r(5),5))) eq \s\up12(2)－2＝eq \f(39,5)． 目录 1 2 解 * (2)设A(0，4)关于直线l：x－2y＋4＝0的对称点为A′(a，b)， 则eq \f(a,2)－2×eq \f(4＋b,2)＋4＝0，eq \f(b－4,a)×eq \f(1,2)＝－1，解得a＝eq \f(8,5)，b＝eq \f(4,5)， 因为P为直线l上的点，所以||PB|－|PA||＝||PB|－|PA′||≤|A′B|，当且仅当P，A′，B三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|A′B|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(8,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4－\f(4,5)))\s\up12(2))＝6， 直线A′B的方程为y＋4＝eq \f(\f(4,5)＋4,\f(8,5)＋2)(x＋2)，即y＝eq \f(4,3)x－eq \f(4,3)， 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,y＝\f(4,3)x－\f(4,3)，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，)) 所以||PB|－|PA||的最大值为6，此时P(4，4)． 　　　　　　　　　　　　　 R $$