2.1 坐标法-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（人教B版2019）

第二章 平面解析几何 2.1 坐标法 (教师独具内容) 课程标准：1．掌握数轴上向量的坐标公式，会用向量法推导出数轴上两点之间的距离公式、中点坐标公式．2．了解并掌握平面直角坐标系内的两点之间的距离公式、中点坐标公式及其推导过程．3．能用坐标法解决几何问题． 教学重点：1．两点之间的距离公式、中点坐标公式．2．坐标法． 教学难点：用坐标法解决相关问题． 核心素养：1．通过对两点之间距离公式及坐标法的学习提升直观想象素养．2．通过建立平面直角坐标系、利用坐标法解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 目录 核心概念掌握 核心素养形成 课后课时精练 随堂水平达标 核心概念掌握 目录 x2－x1 |x2－x1| * 知识点一　数轴上的基本公式 如果数轴上点A(x1)，B(x2)，线段AB的中点为M(x)，则 (1)向量eq \o(AB,\s\up16(→))的坐标为eq \x(\s\up1(01))__________________； (2)|AB|＝|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝eq \x(\s\up1(02))____________； (3)x＝eq \x(\s\up1(03))______________． [拓展]　在数轴上，点A(x1)，B(x2)，用绝对值定义两点间的距离，表示为d(A，B)＝|x1－x2|．若A，B，C是数轴上任意三点，则d(A，B)≤d(A，C)＋d(B，C)． eq \f(x1＋x2,2) 目录 (x2－x1，y2－y1) * 知识点二 　平面直角坐标系中的基本公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两点，M(x，y)是线段AB的中点，则 (1)eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \x(\s\up1(01))__________________________； (2)|AB|＝|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝eq \x(\s\up1(02))__________________________； (3)x＝eq \x(\s\up1(03))___________，y＝eq \x(\s\up1(04))_______________． eq \f(x1＋x2,2) eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) eq \f(y1＋y2,2) 目录 * [点拨]　对两点间距离公式的几点说明 (1)公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为 |AB|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)． (2)坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广． (3)若B点为原点，则 |AB|＝|OA|＝2,1)eq \r(x＋yeq \o\al(2,1)) ． (4)若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时|AB|＝|x2－x1|． (5)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时|AB|＝|y2－y1|． 注意：(4)(5)在应用时，可根据实际情况去掉绝对值号，解题更容易． 目录 * [拓展]　(1)中点问题可看成中心对称问题，即线段AB的中点M就是线段AB的对称中心，或点A关于点M的对称点为点B．由此得P(x，y)关于G(x0，y0)的对称点P′的坐标为(2x0－x，2y0－y)． (2)三角形的重心坐标公式：以A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)为顶点的△ABC的重心的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))． 目录 * 知识点三　坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题．这种解决问题的方法称为坐标法． 目录 答案 * 1．(数轴上的基本公式)下列说法正确的是(　　) A．点M(x)位于点N(2x)的左侧 B．数轴上等长的向量是相等的向量 C．在数轴上，点A(x1)，B(x2)，则向量eq \o(AB,\s\up16(→))在数轴上的坐标为x2－x1 D．有方向的直线是数轴 2．(坐标法)已知△ABC的三个顶点分别是A(－a，0)，B(a，0)和Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(\r(3),2)a))，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 目录 0或6 (4，9) 答案 * 3．(两点间的距离公式)设A(3，4)，在x轴上有一点P(x，0)，使得|PA|＝5，则x＝______________． 4．(中点坐标公式)点P(2，－1)关于点M(3，4)的对称点Q的坐标为________． 核心素养形成 目录 －6或4 (－5，0)或(11，0) 答案 解析 * 题型一　两点间的距离公式及其应用　合作研习 解析　　|AB|＝|x2－x1|＝5，即|x1＋1|＝5，解得x1＝－6或x1＝4． (2)已知平面直角坐标系中的点A(3，6)，x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为_______________________． 解析　设点P的坐标为(x，0)，由|AP|＝10，得eq \r(（x－3）2＋（0－6）2)＝10，解得x＝11或x＝－5，所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0)． 目录 证明 * (3)已知△ABC三个顶点分别为A(－a，0)，B(a，0)，C(0，eq \r(3)a)．求证：△ABC是等边三角形． 证明　由两点间距离公式，得 |AB|＝eq \r(（a＋a）2＋（0－0）2)＝2|a|， |BC|＝eq \r(（0－a）2＋（\r(3)a－0）2)＝2|a|， |CA|＝eq \r(（－a－0）2＋（0－\r(3)a）2)＝2|a|． ∴|AB|＝|BC|＝|CA|，故△ABC是等边三角形． 目录 感悟提升 两点间的距离公式应用的几种形式 (1)求点的坐标：求到某点的距离满足某些条件的点P(x，y)的坐标时，需要根据已知条件列出关于x，y的方程或方程组，解之即可． (2)判断三角形的形状：从三边边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是直角三角形． (3)判断三点共线：根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线． (4)求参数：利用两点间的距离公式得到含参数的方程，解之即可． * 目录 3或－1 答案 解析 * (2)(2024·南京第九中学高二月考)已知△ABC的三个顶点分别为A(4，1)，B(－3，2)，C(0，5)，则△ABC的周长为________． [跟踪训练1]　(1)已知数轴上三点A，B，C的坐标分别为x1，x2，x3，若x2＝1，x3＝2，且|AB|＝2|BC|，则x1的值为____________． 12eq \r(2) 解析　由题意，得|AB|＝|1－x1|，|BC|＝|2－1|＝1，又|AB|＝2|BC|，所以|1－x1|＝2，解得x1＝3或x1＝－1． 解析　　∵A(4，1)，B(－3，2)，C(0，5)，∴|AB|＝eq \r(（－3－4）2＋（2－1）2)＝eq \r(50)＝5eq \r(2)，|BC|＝eq \r([0－（－3）]2＋（5－2）2)＝eq \r(18)＝3eq \r(2)，|AC|＝eq \r(（0－4）2＋（5－1）2)＝eq \r(32)＝4eq \r(2)．∴△ABC的周长为|AB|＋|BC|＋|AC|＝5eq \r(2)＋3eq \r(2)＋4eq \r(2)＝12eq \r(2)． 目录 答案 解析 * (3)已知点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是________． 　eq \f(1,2) 解析　点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，由两点间距离公式得到|AB|＝eq \r(（4－a）2＋（a＋3）2)＝eq \r(2a2－2a＋25)，根据二次函数的性质得到最小值在对称轴处取得，又对称轴为a＝eq \f(1,2)，故实数a的值是eq \f(1,2)． 目录 解 * 题型二　中点坐标公式的应用　合作研习 [解]　由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,2)＝1，,\f(5＋y,2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－3.)) 目录 解 * (2)求点M(4，3)关于点N(5，－3)的对称点． 解　设所求点的坐标为(x，y)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋4,2)＝5，,\f(y＋3,2)＝－3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝－9，)) 故所求对称点的坐标为(6，－9)． 目录 解 * (3)已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(0，0)，B(2，0)，D(1，3)，求顶点C的坐标． 解　∵平行四边形的对角线互相平分， ∴平行四边形对角线的中点坐标相同． 设顶点C的坐标为(x，y)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0＋x,2)＝\f(2＋1,2)＝\f(3,2)，,\f(0＋y,2)＝\f(0＋3,2)＝\f(3,2)，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3，))即顶点C的坐标为(3，3)． 目录 感悟提升 利用中点坐标公式解决问题的策略 (1)中点坐标公式常用于求线段的中点、三角形的中线长、平行四边形的对角线交点等，解决这类问题的关键是根据几何概念与性质，提炼出点之间的“中点关系”，从而根据中点坐标公式解决． (2)因为两点关于其中点对称，所以利用中点坐标公式可以解决中心对称问题． * 目录 (－2，－6) 答案 解析 * [跟踪训练2]　已知△ABC三边AB，BC，CA的中点分别为P(3，－2)，Q(1，6)，R(－4，2)，则顶点A的坐标为______________． 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，因为△ABC三边AB，BC，CA的中点分别为P(3，－2)，Q(1，6)，R(－4，2)，由中点坐标公式可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝6，,x2＋x3＝2，,x1＋x3＝－8，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝－4，,y2＋y3＝12，,y1＋y3＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－2，,y1＝－6，))故顶点A的坐标为(－2，－6)． 目录 解 * 证明　如图所示，以B为坐标原点，取AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系． 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c， 则A(－a，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，C(c，0)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(\r(3)a,2)))， 于是|AE|＝eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(c,2)－（－a）))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)c,2)－0))\s\up12(2)) ＝eq \r(a2＋ac＋\f(c2,4)＋\f(3c2,4))＝eq \r(a2＋ac＋c2)， |CD|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)－c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)－0))\s\up12(2))＝eq \r(\f(a2,4)＋ac＋c2＋\f(3a2,4))＝eq \r(a2＋ac＋c2)． 所以|AE|＝|CD|． 题型三　坐标法的应用　师生共研 目录 感悟提升 坐标法解决平面几何问题的思路 (1)建立坐标系，用坐标表示有关的量． (2)进行有关代数运算． (3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 提醒：建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算． * 目录 解 * 证明　如图所示，以A为坐标原点，Rt△ABC的直角边AB， AC所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)， 设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)． 因为点M是BC的中点， 故点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋b,2)，\f(c＋0,2)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，\f(c,2)))． 由两点间的距离公式得|BC|＝eq \r(b2＋c2)，|AM|＝eq \r(\f(b2,4)＋\f(c2,4))＝eq \f(\r(b2＋c2),2)，所以|AM|＝eq \f(1,2)|BC|． [跟踪训练3]　已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系．求证：|AM|＝eq \f(1,2)|BC|． 目录 解 * 题型四　构造几何模型解决代数问题　师生共研 (x2＋x＋1)INCLUDEPICTURE"例4.TIF" INCLUDEPICTURE "例4.TIF" \* MERGEFORMAT 　求函数y＝－eq \r(x2－x＋1)的值域． 解　显然函数的定义域为R，函数的解析式可化为y＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))－eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))． 设P(x，0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))为平面上三点， 则|PA|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))， |PB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))， y＝|PB|－|PA|． ∵||PB|－|PA||<|AB|，且|AB|＝1， ∴|y|<1，即－1<y<1，故函数的值域为(－1，1)． 目录 感悟提升 对于涉及无理式，其中含二次三项式的，我们可以联想到两点间的距离公式，即构造两点间的距离公式，再结合平面几何知识求解(证)． * 目录 解 * [跟踪训练4]　求函数y＝eq \r(x2＋1)＋eq \r(x2－4x＋8)的最小值． 解　∵函数的解析式可化为y＝eq \r(（x－0）2＋（0－1）2)＋eq \r(（x－2）2＋（0－2）2)． 令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)，则问题转化为在x轴上求一点P(x，0)，使得|PA|＋|PB|取最小值． ∵A关于x轴的对称点为A′(0，－1)， ∴|PA|＝|PA′|， ∵|PA′|＋|PB|≥|A′B|， ∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B| ＝eq \r(（2－0）2＋（2＋1）2)＝eq \r(4＋9)＝eq \r(13)． 即函数y＝eq \r(x2＋1)＋eq \r(x2－4x＋8)的最小值为eq \r(13)． 随堂水平达标 目录 1 2 3 4 5 答案 解析 * 1．(2024·长沙一中高二月考)已知线段AB的端点A(3，4)及中点O(0，3)，则点B的坐标为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(7,2))) B．(－3，2) C．(3，2) D．(3，10) 解析　设B(x，y)，已知AB的端点A(3，4)及中点O(0，3)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝\f(3＋x,2)，,3＝\f(4＋y,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝2，))故点B的坐标为(－3，2)．故选B． 目录 1 2 3 4 5 答案 解析 * 2．(多选)数轴上点P，M，N的坐标分别为－2，8，－6，则有(　　) A．eq \o(MN,\s\up16(→))的坐标与eq \o(NM,\s\up16(→))的坐标相等 B．|MP|＝10 C．eq \o(PN,\s\up16(→))的坐标为－4 D．eq \o(MP,\s\up16(→))的坐标为10 解析　数轴上的两点对应向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，故eq \o(MN,\s\up16(→))的坐标与eq \o(NM,\s\up16(→))的坐标不相等，A不正确；数轴上两点间的距离一定是非负的，|MP|＝|eq \o(MP,\s\up16(→))|＝|－2－8|＝10，B正确；eq \o(PN,\s\up16(→))的坐标为－6－(－2)＝－4，C正确；eq \o(MP,\s\up16(→))的坐标为－2－8＝－10，D不正确．故选BC． 目录 1 2 3 4 5 答案 解析 * 3．(多选)数轴上一点P(x)，它到点A(－8)的距离是它到点B(－4)的距离的2倍，则点P的坐标x可以是(　　) A．0 B．－4 C．eq \f(16,3) D．－eq \f(16,3) 解析　|x－(－8)|＝2|x－(－4)|，解得x＝0或x＝－eq \f(16,3)．故选AD． 目录 1 2 3 4 5 0 答案 解析 * 4．(2024·大同一中高二阶段考试)已知点(0，2)是点(－2，b)与点(2，4)的对称中心，则b＝________． 解析　∵点(0，2)是点(－2，b)与点(2，4)的对称中心，∴b＋4＝2×2，即b＝0． 目录 1 2 3 4 5 　0 答案 解析 * 5．函数y＝|eq \r(x2－2x＋5)－eq \r(x2－4x＋5)|的最小值为________，最大值为________． eq \r(2) 解析　函数可化为y＝|eq \r(（x－1）2＋（0－2）2)－eq \r(（x－2）2＋（0－1）2)|，表示点M(x，0)到定点A(1，2)与B(2，1)的距离之差的绝对值．当|MA|＝|MB|时，y取最小值0；当A，B，M三点共线时，||MA|－|MB||＝|AB|，此时ymax＝|AB|＝eq \r(（2－1）2＋（1－2）2)＝eq \r(2)． 课后课时精练 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 解析　设D(x，y)，由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)＝2，,\f(y＋1,2)＝4，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝7，))∴D(1，7)．∴|CD|＝eq \r(（1－1）2＋（7－5）2)＝2．故选A． 一、选择题 1．已知A(3，1)，B(2，4)，C(1，5)，且点A关于点B的对称点为D，则|CD|＝(　　) A．2 B．4 C．eq \f(\r(34),2) D．eq \f(17,2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 2．已知A(x，－eq \r(xy))和B(y，eq \r(xy))两点，则|AB|＝(　　) A．x＋y B．|x－y| C．－x－y D．|x＋y| 解析　|AB|＝eq \r(（x－y）2＋（－\r(xy)－\r(xy)）2)＝eq \r(x2＋y2＋2xy)＝eq \r(（x＋y）2)＝|x＋y|． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 3．(2024·大庆一中高二月考)已知线段AB的中点为坐标原点，且A(x，2)，B(3，y)，则x＋y＝(　　) A．5 B．－1 C．1 D．－5 解析　由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝\f(x＋3,2)，,0＝\f(y＋2,2)，))则x＝－3，y＝－2，故x＋y＝－5．故选D． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 4．已知菱形的三个顶点分别为(a，b)，(－b，a)，(0，0)，则它的第四个顶点是(　　) A．(2a，b) B．(a－b，a＋b) C．(a＋b，b－a) D．(a－b，b－a) 解析　令A(a，b)，B(－b，a)，C(0，0)，因为三条线段AB，AC，BC中必有一条为对角线，另两条为相邻两边，由菱形的性质(相邻两边长度相等)及|AC|＝|BC|＝eq \r(a2＋b2)，得AB为对角线．设菱形的第四个顶点为D(x0，y0)，由中点坐标公式，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)＝\f(x0＋0,2)，,\f(b＋a,2)＝\f(y0＋0,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝a－b，,y0＝a＋b，))即菱形的第四个顶点的坐标为(a－b，a＋b)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 5．(多选)对于eq \r(x2＋2x＋5)，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 解析　由题意，可得eq \r(x2＋2x＋5)＝eq \r(（x＋1）2＋4)＝eq \r(（x＋1）2＋（0±2）2)＝eq \r(（x＋1）2＋（－1－1）2)，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故A不正确．故选BCD． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 1 答案 解析 * 二、填空题 6．在数轴上，已知A(3)，B(－1)，则|AB|＝________，AB中点的坐标为________． 解析　由题意，|AB|＝|－1－3|＝4，AB中点的坐标为eq \f(3－1,2)＝1． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 7．(2024·广州六中高二月考)若动点P的坐标为(x，1－x)，x∈R，则动点P到原点的距离的最小值是_____________． 解析　由两点间的距离公式得所求距离为eq \r(x2＋（1－x）2)＝eq \r(2x2－2x＋1)＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2))，所以最小值为eq \r(\f(1,2))＝eq \f(\r(2),2)． eq \f(\r(2),2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 * 8．(2024·阜新高二期中)已知三角形的三个顶点分别为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)，则BC边上的中线AM的长为________． 解析　设BC的中点M的坐标为(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(10＋2,2)＝6，,y＝\f(4＋（－4）,2)＝0，))即点M的坐标为(6，0)，所以|AM|＝eq \r(（6－7）2＋（0－8）2)＝eq \r(65)． 　eq \r(65) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解 * 解　设线段AB的中点E的坐标为(x，y)， 则x＝eq \f(－4＋2,2)＝－1，y＝eq \f(3＋5,2)＝4， 则E(－1，4)， 则|CE|＝eq \r(（－1－6）2＋（4－3）2)＝5eq \r(2)， |DE|＝eq \r([－1－（－3）]2＋（4－0）2)＝2eq \r(5)． 设线段BC的中点F的坐标为(m，n)， 则m＝eq \f(2＋6,2)＝4，n＝eq \f(5＋3,2)＝4，则F(4，4)， 则|AF|＝eq \r([4－（－4）]2＋（4－3）2)＝eq \r(65)， |DF|＝eq \r([4－（－3）]2＋（4－0）2)＝eq \r(65)． 三、解答题 9．已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)，E，F分别为边AB，BC的中点，求|CE|，|DE|，|AF|，|DF|． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 证明 * 10．已知四边形ABCD是一个长方形，且M是ABCD所在平面上任意一个点，求证：|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2． 证明　因为四边形ABCD是长方形，故以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，不妨设B，D两点的坐标分别为(a，0)，(0，b)，则C(a，b)， 设M(x，y)，故|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2， |BM|2＋|DM|2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2， 故|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2，即证． 目录 1 2 解 * 1．(2024·成都石室中学高二月考)求函数f(x)＝eq \r(x2－6x＋13)＋eq \r(x2－10x＋29)的最小值． 解　因为f(x)＝eq \r(x2－6x＋13)＋eq \r(x2－10x＋29) ＝eq \r(（x－3）2＋4)＋eq \r(（x－5）2＋4)， 所以f(x)为点A(3，2)和P(x，0)之间的距离与B(5，－2)和P(x，0)之间的距离之和， 即f(x)＝|PA|＋|PB|，如图， 由三角不等式可知，|PA|＋|PB|≥|AB|，当且仅当点A，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|有最小值|AB|＝eq \r(（3－5）2＋[2－（－2）]2)＝2eq \r(5)，即f(x)的最小值为2eq \r(5)． 目录 1 2 证明 * 2．在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|．求证：△ABC为等腰三角形． 证明　如图，作AO⊥BC，垂足为O，以O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0)(b<d<c)． 因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|， 所以由距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)， 即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)． 又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c． 所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形． 　　　　　　　　　　　　　 R $$