精品解析：黑龙江省绥化市第五中学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

初三数学第一次月考检测试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 由下列线段组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. 、4、5 B. 5、12、13 C. 、、 D. 1、、 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 4. 估计的值应在（ ）之间． A. 2到3 B. 3到4 C. 4到5 D. 5到6 5. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（ ） A. 8m B. 10m C. 16m D. 18m 9. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简（ ） A. B. C. D. 10. 若一个三角形的三边长分别为1、3和，则这个三角形的面积是（ ） A. 3 B. C. D. 11. 如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 12. 已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题3分，共30分） 13. 函数有意义，则自变量x的取值范围是___． 14. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 15. 已知，则________． 16. 比较大小：______ 17. 如果长方形的长为，宽为，则这个长方形的对角线长为________． 18. 若与最简二次根式能合并，则________． 19. 水池中有一根芦苇，长在离岸边远的水底，直立时，芦苇高出水面，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为________． 20. 已知，则________． 21. 如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为________． 22. 观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 三、解答题（共54分） 23. 计算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 24. 某段公路限速是，“流动测速小组”在距离此公路的A处观察，发现有一辆汽车在公路上疾驰，汽车从C处行驶后到达B处，测得，若，则 （1）求的长． （2）这辆汽车超速了吗？并说明理由． 25. 已知：，，求： （1）； （2）． 26. 如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？ 27. 如图所示，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，已知，，求的长． 28. 先阅读，后解答： ； 像上述解题过程中，与，与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程中也称为分母有理化 （1）的有理化因式为________；的有理化因式为________． （2）化简：． （3）计算： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学第一次月考检测试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、，故D正确，符合题意； 故选：D． 2. 由下列线段组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. 、4、5 B. 5、12、13 C. 、、 D. 1、、 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形． 根据两短边的平方和与最长边的平方是否相等即可判定． 【详解】解：A、，能组成直角三角形，不符合题意； B、，能组成直角三角形，不符合题意； C、，组成的三角形不是直角三角形，符合题意； D、，能组成直角三角形，不符合题意； 故选C． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行解答即可． 【详解】A、2是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、，不是最简二次根式； 故选A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 4. 估计的值应在（ ）之间． A. 2到3 B. 3到4 C. 4到5 D. 5到6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，无理数的估算，先根据二次根式的乘除混合计算法则求出，再利用无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值应在4到5之间， 故选：C． 5. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，即可解答． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 故选：B． 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，化简二次根式，根据非负数的性质得到，则，据此计算出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理及其逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，从而得到∠ABC 的度数 ．　 【详解】解：如图，连结AC， 由题意可得： ∴AC=BC，， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠BAC=45°， 故选：A ． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质是解题关键． 8. 由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（ ） A. 8m B. 10m C. 16m D. 18m 【答案】C 【解析】 【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得BC＝8m，AC＝6m， 在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝10米． 所以大树的高度是10＋6＝16米． 故选：C． ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 9. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴化简绝对值，解题的关键是根据数轴得出． 根据数轴得出，则，根据绝对值和二次根式的非负性，即可解答． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴， 故选：D． 10. 若一个三角形的三边长分别为1、3和，则这个三角形的面积是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，在三角形中，若两较小的边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可得该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为1和3，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为1和3， ∴该三角形的面积为， 故选：D． 11. 如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，则，从而得到答案． 【详解】解：如图所示：于， 在中，，，，则由勾股定理可得， 以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点， ， 则， 点表示的数为， 故选：B． 12. 已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 二、填空题：（每小题3分，共30分） 13. 函数有意义，则自变量x的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件进行求解即可． 【详解】要使在实数范围内有意义， 必须 所以x≥1且， 故答案为：x≥1且． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 14. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 15. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0求出，据此求出y的值即可得到答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 比较大小：______ 【答案】< 【解析】 【分析】根据无理数的大小比较方法解答 【详解】，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的大小比较，掌握无理数的大小比较方法是解题的关键． 17. 如果长方形的长为，宽为，则这个长方形的对角线长为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：由题意可得，这个长方形的对角线长为， 故答案为： 18. 若与最简二次根式能合并，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．把化为最简根式，然后根据同类二次根式的定义列出方程求解即可． 【详解】解：， 则由题意得，， 解得：， 故答案为：2． 19. 水池中有一根芦苇，长在离岸边远的水底，直立时，芦苇高出水面，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水的深度为，则芦苇的长度为，根据题意，可得方程，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设水的深度为，则芦苇的长度为， 由题意可得，， 解得， ∴水的深度为， 故答案为：． 20. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．先将所求式子根据完全平方公式进行变形，代入求值后，再求平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵, ∴, 故答案为：． 21. 如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题，本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算． 要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点A，B的最短距离为线段的长， 由上图可知：，， ∴为最短路径． 则蚂蚁爬的最短路线长为． 故答案为：． 22. 观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 【答案】（，且n取整数） 【解析】 【详解】解：∵； ； … ∴第个等式为（，且n取整数）． 三、解答题（共54分） 23. 计算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再计算括号内的二次根式加减法，最后计算二次根式乘法即可； （3）先计算二次根式除法，再计算二次根式加减法即可； （4）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式加减法即可； （5）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后计算加减法即可； （6）先根据完全平方公式去括号，再计算二次根式除法，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ； 【小问6详解】 解： ． 24. 某段公路限速是，“流动测速小组”在距离此公路的A处观察，发现有一辆汽车在公路上疾驰，汽车从C处行驶后到达B处，测得，若，则 （1）求的长． （2）这辆汽车超速了吗？并说明理由． 【答案】（1）的长为 （2） 超速了，理由：， ∵， ∴这里汽车超速了． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． （1）根据勾股定理即可解答； （2）求出汽车的速度即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故的长为． 【小问2详解】 略 25. 已知：，，求： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 26. 如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？ 【答案】7200元 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；由此得四边形由和构成，即可求解． 【详解】解：连接， 在 中，， 在中，，且， 即， ， ， ， 所以需费用（元）． 27. 如图所示，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，已知，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了翻折变换，矩形的性质以及勾股定理．解题关键是找到翻折后相应的直角三角形，再利用勾股定理求解所需线段． 由折叠知，，即可求出和的值；再设，通过折叠的性质得到，最后用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：由折叠知，， 四边形是矩形，且， ，即． 又， 由勾股定理可得，， ，即． ， ． 设，则， 在中，， ， 解得，即． 28. 先阅读，后解答： ； 像上述解题过程中，与，与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程中也称为分母有理化 （1）的有理化因式为________；的有理化因式为________． （2）化简：． （3）计算： 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式分母有理化，二次根式的乘法计算． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）仿照材料中的方法，进行分母有理化即可； （3）把分母有理化得到，据此把所求式子裂项相消并计算求解即可． 【小问1详解】 解：，， ∴的有理化因式是，的有理化因式是， 故答案为：；； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：（n为正整数） ， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $