专题02 圆（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

专题02 圆 【考点1】圆的定义及性质 【考点2】运用垂径定理直接求线段的长度 【考点3】垂径定理的实际应用 【考点4】同心圆 【考点5】圆周角与圆心角的运用 【考点6】圆内接四边形的综合运用 【考点7】点与圆的位置关系 【考点8】 确定圆的条件 【考点9】根据三角形的外接圆的性质的运用 【考点10】直线与圆的位置关系的判定 【考点11】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算 【考点12】切线的性质与判定的综合运用 【考点13】利用切线长定理的性质求线段长度或周长 【考点14】三角形的内切圆与内心 【考点15】正多边形与圆求角度 【考点16】正多边形与直角坐标系综合 【考点17】弧长的计算 【考点18】计算扇形的面积 【考点19】计算不规则图形的阴影部分面积 【考点20】圆锥的计算 知识点1： 圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点2：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点3： 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点4：圆周角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点5： 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 知识点6：垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点7：点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 知识点8:过三点的圆 1、 过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 知识点 9: 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点10： 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 知识点11：切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点12：三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 知识点13：圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 知识点14： 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点15： 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 知识点16： 扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 知识点17：扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【考点1】圆的定义及性质 【典例1】以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】A、B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，是的直径，点，在圆上，且经过中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【考点2】运用垂径定理直接求线段的长度 【典例2】如图在中，于C，若，，则半径长度为（   ） A．5 B．8 C．10 D．4 【变式2-1】如图， 是的半径， 弦于点D，连接，若的半径为， 的长为， 则的长是 ． 【考点3】垂径定理的实际应用 【典例3】如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米． (1)求该圆弧所在圆的半径； (2)在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆，求支撑杆的高度． 【变式3-1】石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为，拱高（弧的中点到弦的距离）．求这座石拱桥主桥拱的半径． 【变式3-2】如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为8米，拱高（弧的中点到水面的距离）为2米． (1)求主桥拱所在圆的半径； (2)若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）． 【变式3-3】某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度相等都等于，求的长．    【考点4】同心圆 【典例4】如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，若． (1)求的长； (2)若大圆半径为，求小圆的半径． 【变式4-1】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【变式4-2】在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点．    (1)与相等吗？为什么？ (2)若大圆、小圆的半径分别为13和7，，求的长． 【考点5】圆周角与圆心角的运用 【典例5】如图，内接于，，交交⨀O于点A，连接，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，已知是的直径，是弦，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【考点6】圆内接四边形的综合运用 【典例6】如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，四边形内接于，为的直径，，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点7】点与圆的位置关系 【典例7】在平面内的半径为，点到圆心O的距离为，则点P与的位置关系为（   ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．无法确定 【变式7-1】若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【变式7-2】已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（    ） A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不能确定 【变式7-3】已知的直径为8，若，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 【考点8】 确定圆的条件 【典例8】平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（　　） A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4 【变式8-1】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【考点9】根据三角形的外接圆的性质的运用 【典例9】如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式9-2】如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【考点10】直线与圆的位置关系的判定 【典例10】已知的半径为1，直线l上有一点P满足，则直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相切或相离 D．相切或相交 【变式10-1】的直径为6，直线上有一点满足，则与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 【变式10-2】圆的直径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】C 【变式10-3】在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆（    ） A．与x轴相切，与y轴相交 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相切，与y轴相离 【考点11】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算 【典例11】如图，，为的两条弦，过点的切线交延长线于点，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式11-1】如图，是的直径，与切于点，点在上，连接与交于点，过点作交的延长线于点．若，则的长为（   ） A．2 B．2 C．3 D．2 【变式11-2】如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于点D，且．若，则半径长为（     ） A．2 B．3 C． D． 【变式11-3】如图，是的直径，过的延长线上的点作的切线，切点为，点是上一点，连接，，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【考点12】切线的性质与判定的综合运用 【典例12】．如图，为的直径，射线交于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【变式12-1】如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，．      (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【考点13】利用切线长定理的性质求线段长度或周长 【典例13】如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式13-1】如图，、、分别与相切于点、、点，若圆的半径为，，则的周长为(    ) A．10 B．12 C．16 D．20 【变式13-2】如图，是的切线，切点分别是P、C、D．若，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点14】三角形的内切圆与内心 【典例14】如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【变式14-1】如图，中，，内切于点，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【变式14-3】如图，是的外接圆，点M是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点15】正多边形与圆求角度 【典例 5】如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式15-1】如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式15-2】如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（    ） A．30° B．32° C．36° D．40° 【变式15-3】如图，正六边形的边，与相切于点C，F，连接，，则的度数是（    ） A．120° B．144° C．150° D．160° 【变式15-4】如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点16】正多边形与直角坐标系综合 【典例16】如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（    ） A． B．（1，） C．（2，2） D．（3，2） 【变式16-1】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【考点17】弧长的计算 【典例 17】如图，在中，若，，则的长度是（   ）    A．π B． C． D． 【变式171-1】如图，在扇形中，C为的中点，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】如图，点在上，，，．若的半径为，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【变式17-3】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A． B． C． D． 【考点18】计算扇形的面积 【典例18】若一个扇形的半径是6，扇形的圆心角的度数是，则这个扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式18-1】已知一个扇形的圆心角为，半径是6，则这个扇形的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式18-2】如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【考点19】计算不规则图形的阴影部分面积 【典例19】如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式19-1】如图，已知的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【变式19-2】如图，为半圆的直径，且，半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为(　　) A．π B． C． D． 【变式19-3】如图，已知的半径为，是直径，分别以点、为圆心，以的长为半径画弧．两弧相交于、两点，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【变式19-4】如图，扇形的圆心角为直角，，点在弧上，以，为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积和为（　　）      A． B． C． D． 【考点20】圆锥的计算 【典例20】圆锥的底面圆的半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式20-1】若一个圆锥的主视图是等边三角形，则圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式20-2】用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（   ） A． B． C． D． 【变式20-3】如图，已知圆锥底面半径为，其侧面展开图面积是，则该圆锥的母线长为 ． 一、单选题 1．已知的半径为4，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（    ）． A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 2．如图，是的直径，是的切线，A为切点，与交于点D，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，正五边形内接于，与相切于点C，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，正六边形的边，与相切于点C，F，连接，，则的度数是（    ） A．120° B．144° C．150° D．160° 6．如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（        ） A． B． C． D． 7．如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（   ）    A． B． C． D． 8．如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，是的内切圆，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为 ． 12．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是 ． 13．圆锥母线长为，底面圆半径为，则这个圆锥的侧面积等于 （结果保留）． 14．左图是2023年杭州亚运会的会标，抽象成如右图所示的扇形，已知，，，则图形的面积为 ． 三、解答题 15．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 16．如图，已知是的直径，于点B，D是上异于A、B的一个动点，连接，过O作交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 17．如图，是的直径，点C在半径上，在上取点D，使，过点A作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆 【考点1】圆的定义及性质 【考点2】运用垂径定理直接求线段的长度 【考点3】垂径定理的实际应用 【考点4】同心圆 【考点5】圆周角与圆心角的运用 【考点6】圆内接四边形的综合运用 【考点7】点与圆的位置关系 【考点8】 确定圆的条件 【考点9】根据三角形的外接圆的性质的运用 【考点10】直线与圆的位置关系的判定 【考点11】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算 【考点12】切线的性质与判定的综合运用 【考点13】利用切线长定理的性质求线段长度或周长 【考点14】三角形的内切圆与内心 【考点15】正多边形与圆求角度 【考点16】正多边形与直角坐标系综合 【考点17】弧长的计算 【考点18】计算扇形的面积 【考点19】计算不规则图形的阴影部分面积 【考点20】圆锥的计算 知识点1： 圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：1）圆心；2）半径。 圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 知识点2：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 知识点3： 圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 知识点4：圆周角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点5： 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 知识点6：垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点7：点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 知识点8:过三点的圆 1、 过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 知识点 9: 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点10： 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 知识点11：切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点12：三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 注意：内切圆及有关计算。 （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。 B O A D 知识点13：圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 知识点14： 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 知识点15： 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 知识点16： 扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 知识点17：扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 【考点1】圆的定义及性质 【典例1】以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质． 【详解】解：（1）等弧所对的弦相等，正确，符合题意； （2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意； （3）不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意； （4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题错误，不符合题意； （5）三角形的内心到三角形三边距离相等，正确，符合题意； 正确的命题有2个， 故选：B．． 【变式1-1】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 【变式1-2】A、B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直径最大，一般弦，解答即可． 本题考查了圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】解：根据圆的性质，得最大是圆的直径，为12，最小是一般弦，大于零即． 故选C． 【变式1-3】如图，是的直径，点，在圆上，且经过中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形外角性质得出，根据等腰三角形的性质求出，求出，再求出答案即可．本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 【详解】解：连接，   ，， ， ， 为的中点，， ， ， ， ， 故选：B． 【考点2】运用垂径定理直接求线段的长度 【典例2】如图在中，于C，若，，则半径长度为（   ） A．5 B．8 C．10 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．先根据垂径定理求出的长，设的半径为r，再连接，在中利用勾股定理求出r的值即可． 【详解】解：连接， ∵于C， ∴， 设的半径为r， 则，， ∴，解得， 故选：A． 【变式2-1】如图， 是的半径， 弦于点D，连接，若的半径为， 的长为， 则的长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 【考点3】垂径定理的实际应用 【典例3】如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米． (1)求该圆弧所在圆的半径； (2)在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆，求支撑杆的高度． 【答案】(1)2米； (2)0.4米 【分析】此题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． （1）设弧所在的圆心为，为弧的中点，于，延长至点，设的半径为米，利用勾股定理求出即可； （2）利用垂径定理以及勾股定理得出的长，再求出的长即可． 【详解】（1）设弧所在的圆心为，为弧的中点，于点，延长经过点， 则（米， 设的半径为米，在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即该圆弧所在圆的半径为2米； （2）过作于点， 则（米，米， 在中，（米， （米， （米， 即支撑杆的高度为0.4米． 【变式3-1】石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为，拱高（弧的中点到弦的距离）．求这座石拱桥主桥拱的半径． 【答案】这座石拱桥主桥拱的半径为 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；连接，设，然后根据勾股定理可建立方程求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． 【变式3-2】如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为8米，拱高（弧的中点到水面的距离）为2米． (1)求主桥拱所在圆的半径； (2)若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）． 【答案】(1)主桥拱所在圆的半径长为5米 (2)此时水面的宽度为米 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）连接，设半径 ，在中，利用勾股定理构建方程求解即可； （2）根据勾股定理列式可得的长，最后由垂径定理可得结论． 【详解】（1）∵点是的中点，， ∴经过圆心， 设拱桥的桥拱弧所在圆的圆心为，连接， 设半径， 在中，， 解得． 答：主桥拱所在圆的半径长为5米； （2）设与相交于点，连接， ∴， ∴， 在中，， 答：此时水面的宽度为米． 【变式3-3】某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度相等都等于，求的长．    【答案】 【分析】根据题意和垂径定理得到，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得，即可求得． 【详解】设于交于G，与交于H， ∵， ∴， 设圆拱的半径为r， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴．      【点睛】本题考查了垂径定理的应用，作出辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键． 【考点4】同心圆 【典例4】如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，若． (1)求的长； (2)若大圆半径为，求小圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）如图：作，垂足为E，由垂径定理可得，，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：连接，在中，由勾股定理得到，在中，由勾股定理得到的值，即可解答． 【详解】（1）解：如图：作，垂足为， 由垂径定理知，点是的中点，也是的中点， ∴，， ∴； （2）解：如图：连接， 在中，，， ． 在中， ，， ,即小圆的半径为． 【变式4-1】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴ ，即小圆的半径r为 【变式4-2】在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点．    (1)与相等吗？为什么？ (2)若大圆、小圆的半径分别为13和7，，求的长． 【答案】(1)与相等，理由见解析 (2) 【分析】（1）过点O作于点E，根据垂径定理可得，即可； （2）连接，则，分别在和中，根据勾股定理求出，即可． 【详解】（1）解：与相等，理由如下： 如图，过点O作于点E，    ∵点O为两个同心圆的圆心， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，则，    由（1）得：，， 在中，， 在中， ， ∴． 【考点5】圆周角与圆心角的运用 【典例5】如图，内接于，，交交⨀O于点A，连接，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边对等角，三角形的内角和定理，连接，，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得，根据等腰三角形的性质得出． 【详解】解：如图所示，连接，，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式5-1】如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出及的度数，进而可得出结论，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式5-2】如图，在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据垂径定理可得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 故选：C． 【变式5-3】如图，已知是的直径，是弦，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．先根据圆周角定理得出，，再由直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：， ， 是的直径， ， ． 故选：A 【考点6】圆内接四边形的综合运用 【典例6】如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数为（   ） 如图，四边形为的内接四边形．若，则的度数为（ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．根据圆周角定理得，根据菱形对角相等的性质得，再通过等量代换，结合圆内接四边形的性质求出． 【详解】解：四边形为的内接四边形， ， 由圆周角定理得：， 四边形为菱形， ， ， 解得：， 故选：B． 【变式6-1】如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据圆周角定理，求出的度数，根据圆内接四边形的对角互补，求出的度数即可． 【详解】解：由圆周角定理得，， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：C． 【变式6-2】如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形，根据题意得，可得，即可得答案；掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ， ∴， 故选：C． 【变式6-3】如图，四边形内接于，为的直径，，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆内接四边形和圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，直径所对的圆周角为90度，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，为的直径，， ∴， ∴； 故选A． 【考点7】点与圆的位置关系 【典例7】在平面内的半径为，点到圆心O的距离为，则点P与的位置关系为（   ） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点P到圆心的距离，点P在圆内，根据点与圆的位置关系直接作出判断． 【详解】∵的半径为，点到圆心O的距离为， 即点到圆心O的距离小于圆的半径， ∴点在内， 故选：A． 【变式7-1】若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意得出，从而即可得出答案，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的直径为，所以半径为，点到圆心的距离为， ∴， ∴点与的位置关系为：点在圆上， 故选：B． 【变式7-2】已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（    ） A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵，的半径为3， ∴半径， ∴点P与的位置关系为：点P在圆外． 故选：B． 【变式7-3】已知的直径为8，若，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外⇔； ②点P在圆上⇔；③点P在圆内⇔．点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．比较的半径和点P到点O的距离的大小，即可根据点与圆的位置关系判断点P与位置关系． 【详解】解：∵的直径为8，即圆的半径为4， 而， ∴点P到圆心的距离等于圆的半径， ∴点P在上． 故选：B． 【考点8】 确定圆的条件 【典例8】平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（　　） A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4 【答案】C 【分析】根据四个点在平面上不同的位置确定有四种情况，分别讨论构成圆的个数即可得到答案. 【详解】如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆． 故选：C． 【点睛】此题考查点构成圆的个数，点的位置关系，正确分析点的位置关系是解题的关键. 【变式8-1】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置． 连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点， ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故选：D． 【考点9】根据三角形的外接圆的性质的运用 【典例9】如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：， 故选：B． 【变式9-1】若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，由直角三角形的圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半即可得出结果． 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形，10是斜边长， 直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点， 三角形外接圆的半径斜边的一半， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，熟记直角三角形的圆心为斜边中点，半径等于斜边的一半是解决问题的关键． 【变式9-2】如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为r，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，，求出，根据勾股定理求出，即可求出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】连接，，延长交于D， ∵等边三角形是， ∴，，， ∴， ∴ 由勾股定理得：， ∴ 则的面积是 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积等知识点的应用，关键是能正确作辅助线后求出的长，题目具有一定的代表性，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力． 【变式9-3】在Rt△ABC中，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，则它的外接圆的面积为（） A．100πcm² B．15πcm² C．25πcm² D．50πcm² 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，可得出外接圆的半径，进而得出其面积 【详解】如图所示： ∵AC＝6cm，BC＝8cm， ∴AB= ∴外接圆的半径r= ∴外接圆的面积为25πcm² 故选C. 【点睛】考查了直角三角形外接圆的半径与斜边的关系，解题关键是由题意画出图形，再运用直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半求解. 【考点10】直线与圆的位置关系的判定 【典例10】已知的半径为1，直线l上有一点P满足，则直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相切或相离 D．相切或相交 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键； 根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和相交得；②直线l和相切得；③直线l和相离得．分垂直于直线l，不垂直直线l两种情况讨论． 【详解】解：当垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离，与l相切； 当不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离，与直线l相交． 所以，直线l与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 【变式10-1】的直径为6，直线上有一点满足，则与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和相交；②直线l和相切；③直线l和相离．分垂直于直线l，不垂直直线l两种情况讨论． 【详解】如图， 当垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离，与l相切； 当不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离，与直线l相交． 故直线l与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 【变式10-2】圆的直径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】C 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟记圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系是解题的关键．比较圆心到直线距离与圆半径的大小关系，进行判断即可． 【详解】解：∵圆的直径是， ∴半径为． ∵圆心与直线上某一点的距离是， ∴圆心到直线的距离小于半径， ∴因此直线与圆相交． 故选C． 【变式10-3】在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆（    ） A．与x轴相切，与y轴相交 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相切，与y轴相离 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离．由已知点可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系． 【详解】解：点到x轴为4，等于半径4， 点到y轴的距离为2，小于半径4， 故该圆与x轴相切，与y轴相交， 故选：A． 【考点11】利用切线的性质求有关的角度/边长的运算 【典例11】如图，，为的两条弦，过点的切线交延长线于点，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理．连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质即可求得． 【详解】解：连接，   与相切于， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式11-1】如图，是的直径，与切于点，点在上，连接与交于点，过点作交的延长线于点．若，则的长为（   ） A．2 B．2 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，平行线的性质，根据切线的性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，即可解答． 【详解】解：与切于点， ， ∵， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【变式11-2】如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于点D，且．若，则半径长为（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，含度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握切线的性质. 连接，根据直径所对圆周角是直角可得，根据切线性质可得, 然后根据,证明，进而可以解决问题. 【详解】∵为的直径, ∴, ∴,如图, 连接, ∵与相切于点, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴半径长为. 故选:B. 【变式11-3】如图，是的直径，过的延长线上的点作的切线，切点为，点是上一点，连接，，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质可知，再根据圆周角的性质及直角三角形的性质即可解答．本题考查了切线的性质，圆周角的性质，直角三角形的性质，掌握切线的性质及圆周角的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 故选． 【考点12】切线的性质与判定的综合运用 【典例12】．如图，为的直径，射线交于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角的直角三角形的性质等知识点，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得证； （2）根据题意求出，根据含角的直角三角形的性质计算，得到答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵直线是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式12-1】如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，．      (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）作，垂足为点H，连接，根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，然后根据角平分线的性质，即可求证； （2）根据勾股定理求出的长，可得，设的半径为r，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作，垂足为点H，连接，    ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 即是的平分线， ∵点O在上，与相切于点E， ∴，且是的半径， ∴，是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． ∴的半径长为3． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识是解题的关键． 【考点13】利用切线长定理的性质求线段长度或周长 【典例13】如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得和则可求得答案． 【详解】解：∵分别切于A、B，切于点E， ∴， ∴， 即的周长为12， 故选：D． 【变式13-1】如图，、、分别与相切于点、、点，若圆的半径为，，则的周长为(    ) A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，根据题意得出，，，，进而得出周长，连接，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：连接， 、、分别与相切于点、、点， ，，，， 周长， 在中，， ， 周长． 故选：C． 【变式13-2】如图，是的切线，切点分别是P、C、D．若，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理，由于是⊙O的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：∵为的切线， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． 故选：A． 【考点14】三角形的内切圆与内心 【典例14】如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据即可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 【变式14-1】如图，中，，内切于点，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理、切线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理，连接、，，由切线长定理可得，，，证明四边形是正方形，设，则，，由勾股定理可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，， ， 由切线长定理可得，，， ，， ，， ，，，， 四边形是正方形， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， 的半径为， 故选：D． 【变式14-2】如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由切线长定理得出，，，根据勾股定理，得．整理得，再由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：设， 根据切线长定理，得，，， 根据勾股定理，得， 整理，得， ∴， 则的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆、切线长定理、勾股定理以及三角形面积公式等知识；熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 【变式14-3】如图，是的外接圆，点M是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查三角形的内切圆的定义与性质．由点是的内心，得，，则，而，据此求解即可得到问题的答案． 【详解】解：点是的内心， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 故选：B． 【考点15】正多边形与圆求角度 【典例 5】如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可． 【详解】解：∵五边形是的内接正五边形， ∴五边形的中心角的度数为， 故选D． 【点睛】本题考查圆内接正多边形的中心角．熟练掌握正多边形的中心角的计算公式：，是解题的关键． 【变式15-1】如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：    ∵正六边形内接于， ∴∠COD= =60°，则∠COE=120°， ∴∠CME= ∠COE=60°， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键． 【变式15-2】如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（    ） A．30° B．32° C．36° D．40° 【答案】C 【分析】连接OA，OE，由圆的内接正多边形先得到中心角的度数，再由圆周角定理即可求得∠ADE的度数． 【详解】 如上图所示，连接OA，OE ∵五边形ABCDE是正五边形 ∴ ∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆 ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形及圆周角定理，熟练掌握相关角度的计算方法是解决本题的关键． 【变式15-3】如图，正六边形的边，与相切于点C，F，连接，，则的度数是（    ） A．120° B．144° C．150° D．160° 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案． 【详解】解：∵正六边形的边，与相切于点C，F， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， 在五边形中， ， 故选：A． 【变式15-4】如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【考点16】正多边形与直角坐标系综合 【典例16】如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（    ） A． B．（1，） C．（2，2） D．（3，2） 【答案】A 【分析】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，连接，作于Q，由正六边形的性质得到，得到，勾股定理求出，再证得四边形是矩形，得到，即可得到点P的坐标 【详解】如图，连接，作于Q， 由正六边形的性质可得． 在中，． ∴． ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∴点P的坐标为． 【变式16-1】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质、坐标与图形变化—旋转、勾股定理、等边三角形的判定与性质，连接、，设交轴于点，由正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理求出，再根据旋转的性质得出第次旋转结束时，点的坐标为，第次旋转结束时，点的坐标为，第次旋转结束时，点的坐标为，第次旋转结束时，点的坐标为，从而得到次为一个循环，由此即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，设交轴于点， ，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴， ，轴，，， 是等边三角形，， ，， ， ， 将六边形绕点逆时针旋转，每次旋转， 第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， …， 为次一个循环， ， 第2024次旋转结束时，点的坐标为， 故选：D． 【变式16-2】如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，经过第2026次旋转后，顶点D在的位置，先求出点的坐标，再证明即可． 【详解】解：连接，，把绕点顺时针旋转至，过点作轴于点，过点作轴于点，    在正六边形中，，， ， ， 将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转， ，即8次旋转一周， 余2， ， 故经过第2026次旋转后，顶点D在的位置， ， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 【考点17】弧长的计算 【典例 17】如图，在中，若，，则的长度是（   ）    A．π B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理可得，继而根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的长． 故选：B． 【变式171-1】如图，在扇形中，C为的中点，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，判定是等边三角形，推出，由圆心角、弧、弦的关系得到，由弧长公式即可求出；本题考查圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定，弧长的计算，关键是判定是等边三角形，掌握弧长公式． 【详解】解：连接 ∵， ∴是等边三角形 ∴ ∵C为的中点， ∴ ∴ ∴的长 故选：B． 【变式17-2】如图，点在上，，，．若的半径为，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，弧长公式，连接，由可得，进而得，即得，得到，再根据圆周角定理可得，，即可得，最后根据弧长公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：． 【变式17-3】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质和弧长的计算公式，掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，然后根据弧长的公式计算即可． 【详解】三角形是等边三角形，边长为1 ， 第一段圆弧圆心角：， 第二段圆弧圆心角：， 以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧）， 以此类推，可以知道每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1， 所以蚊香的长度为， 故选：B． 【考点18】计算扇形的面积 【典例18】若一个扇形的半径是6，扇形的圆心角的度数是，则这个扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算．熟记公式是解题的关键．根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：扇形的半径为6，圆心角为， 扇形的面积是：． 故选：C 【变式18-1】已知一个扇形的圆心角为，半径是6，则这个扇形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了扇形的面积计算，关键是掌握扇形面积计算公式． 根据扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则 进行计算即可． 【详解】解：∵扇形的圆心角为，半径是6， ∴． 故选：A． 【变式18-2】如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据90度的圆周角所对的弦是直径可知是直径，则，再利用勾股定理即可求得的长，把圆心角是90度，半径是代入扇形的面积公式即可求得扇形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴是直径， ∴， 在中，由勾股定理求得：， ， 故选C．    【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，勾股定理，圆周角定理，解题关键是熟记扇形面积公式． 【考点19】计算不规则图形的阴影部分面积 【典例19】如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正六边形的性质和扇形的面积计算，连接，过点B作，先计算正六边形的面积，再计算扇形的面积，相减即可得出答案． 【详解】解：连接，过点B作，如图， ∵正六边形的边长为4， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，， ∴ 同理可证，， ∴， ∴， 又， ∴图中阴影部分的面积为 故选：A 【变式19-1】如图，已知的半径是2，点A、B、C在⊙O上，若四边形是菱形，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积的计算和菱形的性质，连接，交点，根据菱形及直角三角形的性质求出和的值，然后根据阴影部分的面积等于 解题即可. 【详解】如图，连接，交点， ∵圆的半径为， ， 又四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， 在 中，利用勾股定理可知， ， ， 则图中阴影部分面积为 ， 故选C. 【变式19-2】如图，为半圆的直径，且，半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为(　　) A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求扇形面积公式，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：半圆绕点顺时针旋转，点旋转到的位置， ，， ， 故选：C． 【变式19-3】如图，已知的半径为，是直径，分别以点、为圆心，以的长为半径画弧．两弧相交于、两点，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，如图所示，连接，，根据题意可得是等边三角形，可算出的值，结合图形可得，，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：的半径为，是直径， ∴，， 如图所示，连接，，    ∴，且是等边三角形， ∴，则， 在中，，则， ∴， 整理得，， ∵以点、为圆心，以的长为半径画弧， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查不规则图形面积的计算方法，掌握扇形面积的计算方法，图形结合分析方法是解题的关键． 【变式19-4】如图，扇形的圆心角为直角，，点在弧上，以，为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积和为（　　）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用勾股定理求出，根据，计算即可． 【详解】解：如图，连接，    四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查扇形的面积的计算，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握割补法求阴影部分的面积． 【考点20】圆锥的计算 【典例20】圆锥的底面圆的半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：依题意，圆锥的底面圆的半径为，高为， ∴这个圆锥的母线长， 则这个圆锥的侧面积． 故选：B． 【变式20-1】若一个圆锥的主视图是等边三角形，则圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥及其侧面展开图的扇形的相关计算，设圆心角的度数为，主视图的等边三角形的边长是，则圆锥底面直径是，底面周长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长的公式计算即可．解题的关键是掌握：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形的弧长． 【详解】解：设圆心角的度数为，主视图的等边三角形的边长是，则圆锥底面直径是，底面周长是， ∴， 解得：， ∴圆锥侧面展开图的圆心角的度数为． 故选：D． 【变式20-2】用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长=圆锥的底面周长，用扇形的弧长，可求圆锥的底面半径，利用勾股定理得出答案． 【详解】解：∵扇形的弧长， ∴圆锥的底面半径为， ∴这个圆锥形筒的高为． 故选：B． 【变式20-3】如图，已知圆锥底面半径为，其侧面展开图面积是，则该圆锥的母线长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求得圆锥的底面周长，然后根据“圆锥的侧面积=底面周长×母线长”即可到关于母线长的方程，解方程求得母线长． 【详解】圆锥的底面周长是：， 设圆锥的母线长是，则， 解得：； 故答案为：12． 一、单选题 1．已知的半径为4，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（    ）． A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，当时，则点P在圆外；当时，点P在圆上；当时，点P在圆内，根据点P与圆的位置关系的判定方法对点M与位置关系进行判断． 【详解】解：∵的半径为4， ∴点M到圆心的距离大于圆的半径， ∴点M在圆外． 故选：C． 2．如图，是的直径，是的切线，A为切点，与交于点D，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形两锐角互余，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得，根据AC是的切线得到，即可求出答案．正确理解圆周角定理及切线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的切线，A为切点， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴ 故选：C 4．如图，正五边形内接于，与相切于点C，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，首先根据正多边形的性质得到，然后证明出，得到，然后切线的性质得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，， ∵四边形是正五边形 ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵与相切于点C， ∴ ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正多边形和圆，全等三角形的性质和判定，圆切线的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 5．如图，正六边形的边，与相切于点C，F，连接，，则的度数是（    ） A．120° B．144° C．150° D．160° 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案． 【详解】解：∵正六边形的边，与相切于点C，F， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， 在五边形中， ， 故选：A． 6．如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，根据垂径定理可得，由圆周角定理可得即可求解． 【详解】∵交于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7．如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由根据圆内接四边形的性质得，求出，然后由圆周角定理即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 【详解】∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，在中，，把绕点A顺时针旋转后，得到，则点B走过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，求弧长，旋转的性质，先利用勾股定理得到，再由由旋转的性质可得，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可得， ∴点B走过的路径长为， 故选：D． 9．如图，是的内切圆，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内切圆的定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形的弧长以及勾股定理，先根据留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠）得出圆锥的底面半径为，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：留下的扇形的弧长为， 则圆锥的底面半径为， 圆锥的高为． 故选：C 二、填空题 11．如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由可得，，进而利用勾股定理求出即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的性质，两点之间距离公式，确定外心的性质是解题的关键． 先根据点坐标建立平面直角坐标系，由外心的性质得到点为与垂直平分线的交点，设，通过两点之间距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设外心为，连接， ∴点为与垂直平分线的交点， ∴点在直线上，， 设， 由得，， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．圆锥母线长为，底面圆半径为，则这个圆锥的侧面积等于 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵底面圆半径为， ∴底面圆的周长为， ∴圆锥的侧面积：， 故答案为：． 14．左图是2023年杭州亚运会的会标，抽象成如右图所示的扇形，已知，，，则图形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查与扇形相关的阴影部分面积计算，正确识别阴影部分面积为两个扇形面积之差，以及正确运用扇形面积公式进行计算是解题的关键．图形的面积为扇形的面积与扇形的面积之差． 【详解】解：∵， ∴， ∴图形的面积为， 故答案为：． 三、解答题 15．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识； （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，为的弦， ， ，， ， ， ； （2）如图，连接， ，为的弦， ，， ∴ 设的半径是， ∴， 解得， 的半径是5． 16．如图，已知是的直径，于点B，D是上异于A、B的一个动点，连接，过O作交于点C． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定： （1）连接，由得：，根据平行的性质可得，，进而可得，再证明，可得，问题得证； （2）设的半径为x，则：，，在中，由勾股定理得：，可得，解方程即可求解． 【详解】（1）如图，连接，    由得：， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵D在上， ∴是的切线； （2）设的半径为x，则：，， ∵是的切线， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 17．如图，是的直径，点C在半径上，在上取点D，使，过点A作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，切线的性质，一元二次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据圆周角定理可得，再根据切线的性质可得，根据等腰三角形的性质和对顶角相等可知，从而可知，证得； （2）设，则，，，，根据勾股定理列出方程求解即可得出的值，从而求得的半径． 【详解】（1）证明：是的直径， ，即． 为的切线， ， ． ， ， 又， ， ． （2）解：设，则． ， ， ，． ， ， ， 解得（舍去）或， ， ，即的半径为5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$