专题01 一元二次方程（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

专题01 一元二次方程 【考点01】一元二次方程的概念 【考点02】一元二次方程的一般式 【考点03】一元二次方程的解 【考点04】解一元二次方程 【考点05】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【考点06】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【考点07】一元二次方程根与系数的关系 【考点08】有关一元二次方程增长率问题 【考点09】有关一元二次方程传播问题 【考点10】有关一元二次方程单双循环问题 【考点11】有关一元二次方程面积问题 【考点12】有关一元二次方程利润问题 【考点13】有关一元二次方程动点问题 知识点1：一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 知识点2：一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各系数时不要漏掉前面的性质符号。 知识点3：一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 知识点4： 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 知识点5： 解一元二次方程 1.直接开方 注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 知识点6： 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 知识点7：一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 知识点8：一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3. 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 【考点01】一元二次方程的概念 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】若是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为 ． 【考点02】一元二次方程的一般式 【典例2】把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】关于的一元二次方程化简成一般式后，二次项系数为3、其一次项系数为（    ） A．3 B．5 C． D．11 【变式2-2】方程化为一般形式为，其中一次项系数为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2-3】将一元二次方程化为一般形式为 ． 【变式2-4】方程化成一般形式是 ． 【考点03】一元二次方程的解 【典例3】若关于x的一元二次方程有一个根为2，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3-1】已知关于x的一元二次方程，若，则此方程必有一个根为（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式3-2】若关于的一元二次方程的一个解与方程的解相同，则的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D． 【变式3-3】已知m是方程的一个根，则 ． 【变式3-4】若m是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【考点04】解一元二次方程 【典例4】用适当的方法解下列方程 (1) ； (2) (3)． 【变式4-1】解方程 (1) (2) (3) (4) 【考点05】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【典例5】已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【变式5-1】一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【变式5-2】关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式5-3】已知关于x的方程． (1)若该方程有一个根为，求a的值： (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 【考点06】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【典例6】关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【变式6-1】若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式6-2】已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【变式6-3】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 【考点07】一元二次方程根与系数的关系 【典例7】已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值（   ） A． B．3 C．1 D． 【变式7-1】若与是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知m，n 是方程的两实数根，则 ． 【变式7-2】已知关于x的方程的两个根分别为，则的值为 . 【考点08】有关一元二次方程增长率问题 【典例8】为了改善人民群众的居住环境，建设美丽城市，近年来国家投入大量资金改造老旧小区．某市2021年投入资金5000万元，2023年投入资金9800万元． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)已知2023年改造老旧小区98个，如果投入资金年平均增长率和改造每个小区的平均费用保持不变，那么2024年计划投入的资金可以改造老旧小区多少个？ 【变式8-1】某机械厂今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x．那么x满足方程（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】《长安三万里》以全新的思路，呈现出一幅由唐诗浸染而出的绚烂画卷，并于其中探讨了颇具深意的人心旅程，某日该电影的票房约为2亿无，第二、三天持续增长，三天的累计的票房约为6.62亿元，若第二、三天单日票房平均增长率相同，设该增长率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人． (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率． (2)如果能保持这个月平均增长率，第三季度（7月~9月）该馆接待游客总量能否达到50万人？ 【考点09】有关一元二次方程传播问题 【典例9】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225个人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，第三轮有多少个人患流感？ 【变式9-1】在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？ 【变式9-2】春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某办公室最初有两人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有8人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？ 【变式9-2】某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？ 【考点10】有关一元二次方程单双循环问题 【典例10】开学第一节班会课，九（1）班全体学生每两人之间互赠“祝福卡”，祝福学业进步，身心健康．已知共赠“祝福卡”1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】国庆期间，某市一中学发起了“热爱祖国，说句心里话”征集活动．学校学生会主席将征集活动通知发在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发征集活动通知，每个好友转发朋友圈后，再分别邀请n个互不相同的好友将征集活动通知转发朋友圈，以此类推，已知经过两轮转发后，共有人将征集活动通知发在自己的朋友圈，则n所满足的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】2023年5月13日，贵州榕江和美乡村足球超级联赛拉开序幕，这个被称为贵州“村超”的民间足球赛持续升温，吸引全国各地球迷现场“打卡”．某学校开办学校足球联赛，规定每两个班级球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的班级球队有支，根据题意，下面列出的方程正确的是（） A． B． C． D． 【变式10-3】一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了36次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【考点11】有关一元二次方程面积问题 【典例11】禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长为米，中间用一道墙隔开，并在如图所示的二处各留米宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为米．设边长为米． (1)用含的代数式表示的长； (2)饲养室总占地面积可能为平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【变式11-1】在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【变式11-3】社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知空地长，宽，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10000元？ 【考点12】有关一元二次方程利润问题 【典例12】某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，降低成本，2020年出厂价调整为100元． (1)这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． (2)某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？ 【变式12-1】商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． (1)问商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ (2)若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品售价应为多少元？ 【变式12-2】振华商厦准备在月 月销售一种多功能手机专用包，计划从厂家以每个元的价格进货，经过市场营销调查发现当每个手机专用包的售价为元时，月均销量为个，售价每增长元，月均销量就相应减少个． (1)若使这种手机专用包的月均销量不低于个，每个手机专用包售价应不高于多少元？ (2)在（）的条件下，当这种手机专用包销售单价为多少元时，月销售利润是元？ 【考点13】有关一元二次方程动点问题 【典例13】中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的面积S与运动时间t的函数关系式，并确定t的取值范围； (2)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式13-1】中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ________， ________（用含t的代数式表示）； (2)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式13-2】如图所示，在中，，，点P从点B开始沿边以的速度向点A移动，同时点Q也从点B开始沿边以的速度向点C移动，当其中一点到达A或者C时停止运动． (1)几秒后长度为? (2)几秒后的面积是24平方厘米？ 【变式13-3】如图，矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为．    (1)当时，四边形面积是______ (2)当t为何值时，点P和点Q距离是？ (3)当t为何值时，以点P，Q、D为顶点的三角形是等腰三角形． 1．解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 2．方程的根的情况是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 3．已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 4．据工信部数据，2021年我国新能源汽车销售完成352.1万辆，2023年销量创历史新高，达到949.5万辆．设2021年到2023年的年平均增长率为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 5．已知、是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2017 B．2018 C．2022 D．2024 6．某工厂一月份的产值是万元，之后每个月产值的平均增长率为，已知第一季度的总产值是万元．为了求出，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 8．如果非零实数，满足，则有一根是1的方程是（　　） A． B． C． D． 9．今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．一元二次方程的根是 ． 11．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 12．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人． 13．设方程的一个正实数根为，则的值是 ． 14．解方程： (1)； (2)． 15．关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求的值． 16．阅读下面材料，解答问题： 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，． 上述解题方法叫做换元法． 请利用换元法解方程：． 17．某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台． (1)求A，B两款电器每台的售价； (2)经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程 【考点01】一元二次方程的概念 【考点02】一元二次方程的一般式 【考点03】一元二次方程的解 【考点04】解一元二次方程 【考点05】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【考点06】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【考点07】一元二次方程根与系数的关系 【考点08】有关一元二次方程增长率问题 【考点09】有关一元二次方程传播问题 【考点10】有关一元二次方程单双循环问题 【考点11】有关一元二次方程面积问题 【考点12】有关一元二次方程利润问题 【考点13】有关一元二次方程动点问题 知识点1：一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 知识点2：一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各系数时不要漏掉前面的性质符号。 知识点3：一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 知识点4： 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 知识点5： 解一元二次方程 1.直接开方 注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 知识点6： 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 知识点7：一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 知识点8：一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3. 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 【考点01】一元二次方程的概念 【典例1】下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．当时，方程是一元一次方程，故本选项错误； B．方程是一元一次方程，故本选项错误； C．方程是一元三次方程，故本选项错误； D．可化为，是一元二次方程，故本选项正确． 故选：D． 【变式1-1】若是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴． 故选C． 【变式1-2】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，根据一元二次方程的定义进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点02】一元二次方程的一般式 【典例2】把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题的关键．先计算整式的乘法，再移项整理即可． 【详解】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为， 故选：C． 【变式2-1】关于的一元二次方程化简成一般式后，二次项系数为3、其一次项系数为（    ） A．3 B．5 C． D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，先根据完全平方公式去括号，然后移项合并同类项，一元二次方程的一般式为，其中叫做二次项系数，叫做一次项系数，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴二次项系数为3、其一次项系数为， 故选：C． 【变式2-2】方程化为一般形式为，其中一次项系数为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先根据整式的乘法法则展开，整理，化成一般形式，根据一次项系数的定义解答即可． 【详解】， 整理，得， 即， 一次项系数为． 故选：B． 【变式2-3】将一元二次方程化为一般形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】将一元二次方程化为一般形式为：， 故答案为：． 【变式2-4】方程化成一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的式子叫做一元二次方程的一般式，据此先去括号，然后移项，合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：． 【考点03】一元二次方程的解 【典例3】若关于x的一元二次方程有一个根为2，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的含义，解题的关键是掌握一元二次方程根的含义，方程的根是使得方程成立的未知数的值． 将代入方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程得，， 解得：， 故选：B． 【变式3-1】已知关于x的一元二次方程，若，则此方程必有一个根为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．将代入方程中的左边，得到，由得到方程左右两边相等，即是方程的解． 【详解】解：将代入方程中的左边得：， ∵， ∴是方程的根． 即方程的一个根为． 故选：C． 【变式3-2】若关于的一元二次方程的一个解与方程的解相同，则的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解的概念先解一元一次方程得出，利用一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算． 【详解】解： 解得： 把代入方程得， ， 所以， 所以． 故选：B． 【变式3-3】已知m是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，根据一元二次方程的根的定义，将m代入，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为：3． 【变式3-4】若m是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先根据一元二次方程解的定义得到，则，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 【考点04】解一元二次方程 【典例4】用适当的方法解下列方程 (1)； (2) (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键． （1）把方程化为，再利用配方法解此方程，即可求解； （2）把方程化为，再利用因式分解法解此方程，即可求解； （3）直接利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：由， 得， 得， 故或， 解得，， （2）解：由， 得， 得， 故或， 解得，； （3）解：在方程中，，，， ， ， 解得，． 【变式4-1】解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)无实数根 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）直接开方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可； （3）配方法解方程即可； （4）公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ∴或， ∴； （3） ， ∴； （4） ， ， ∴原方程无实数根． 【考点05】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【典例5】已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键． （1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）先求出x的值，再由方程的两个实数根都是整数，且m是正整数求出m的值即可． 【详解】（1）依题意，得 ， ， ． ∵， ∴方程总有两个实数根； （2）∵ ， ∴，． ∵方程的两个实数根都是整数，且是正整数， ∴或． ∴或． 【变式5-1】一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】， 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【变式5-2】关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况．计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解．一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【变式5-3】已知关于x的方程． (1)若该方程有一个根为，求a的值： (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式等知识点，掌握根的判别式大于零的方程有两个不相等的实数根成为解题的关键； （1）将代入方程得到关于a的方程求解即可； （2）计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可证明结论． 【详解】（1）解：将代入方程可得： ，解得： （2）证明：∵关于x的方程， ∴， ∴对于任意实数a,该方程总有两个不相等的实数根． 【考点06】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【典例6】关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 【变式6-1】若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程， ， 方程有两个实数根， ， 解得， 的取值范围是且， 故选：D． 【变式6-2】已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴实数的取值范围是且． 故答案为：且． 【变式6-3】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，由一元二次方程的二次项系数不能为0得，由方程有两个不相等的实数根可得，由此可解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， 解得且， 故答案为：且． 【考点07】一元二次方程根与系数的关系 【典例7】已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值（   ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系得出，，代入整理后的代数式，即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式7-1】若与是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，得出，的值是解题的关键根据根与系数的关系，可得出，，再根据得出一个关于的一元一次方程，解方程即可得出的值． 【详解】 一元二次方程的两个实数根， ，， ∵，即， ∴， ， 故选． 【变式7-2】已知m，n 是方程的两实数根，则 ． 【答案】9 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，若，是一元二次方程的两根时，，． 先根据一元二次方程根的定义得到，根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】∵m，n 是方程的两实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 【变式7-2】已知关于x的方程的两个根分别为，则的值为 . 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方的根与系数的关系及代数式求值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再将变形为，最后将与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：方程的两个根分别为， ，． ． 故答案为：． 【考点08】有关一元二次方程增长率问题 【典例8】为了改善人民群众的居住环境，建设美丽城市，近年来国家投入大量资金改造老旧小区．某市2021年投入资金5000万元，2023年投入资金9800万元． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)已知2023年改造老旧小区98个，如果投入资金年平均增长率和改造每个小区的平均费用保持不变，那么2024年计划投入的资金可以改造老旧小区多少个？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)137个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，利用该市改造老旧小区年投入资金该市改造老旧小区年投入资金（该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）利用年计划投入的资金可以改造老旧小区的数量该市改造老旧小区年投入资金改造每个小区的平均费用，即可得出答案． 【详解】（1）解：设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， 依题意，得． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． （2）解：根据题意得：（个） 答：2024年计划投入的资金可以改造老旧小区137个． 【变式8-1】某机械厂今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x．那么x满足方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该厂每年的平均增长率为x，则明年生产零件万个，后年生产零件万个，再根据计划明后两年共生产零件132万个列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 【变式8-2】《长安三万里》以全新的思路，呈现出一幅由唐诗浸染而出的绚烂画卷，并于其中探讨了颇具深意的人心旅程，某日该电影的票房约为2亿无，第二、三天持续增长，三天的累计的票房约为6.62亿元，若第二、三天单日票房平均增长率相同，设该增长率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据“三天累计票房6.62亿元”列出一元二次方程即可；掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键． 【详解】解：设该增长率为x，则第二天单日票房为，第三天单日票房为， 根据题意可得出， 故选：C 【变式8-3】在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人． (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率． (2)如果能保持这个月平均增长率，第三季度（7月~9月）该馆接待游客总量能否达到50万人？ 【答案】(1) (2)能达到50万人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）求出第三季度接待游客的总人数，则可得出答案． 【详解】（1）解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为，依题意，得： ， 解得：（舍去）； 答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为． （2）解：8月份接待游客人数：（万人） 9月份接待游客人数：（万人） 第三季度接待游客总人数为：（万人） 答：第三季度（7月～9月）该馆接待游客总量能达到50万人． 【考点09】有关一元二次方程传播问题 【典例9】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225个人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，第三轮有多少个人患流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染14个人 (2)第三轮有3375个人患流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有225人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：， 解得：， ， ∴（不合题意，舍去）， ， 答：每轮传染中平均一个人传染14个人． （2）解：根据（1）可得每轮传染中平均一个人传染14个人， 则第三轮的患病人数为：． 故第三轮有3375个人患流感． 【变式9-1】在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？ 【答案】每轮传播中平均一人传播了11人 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设每轮传播中平均一人传播了x人，根据经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每轮传播中平均一人传播了x人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：或（舍去）． 答：每轮传播中平均一人传播了11人． 【变式9-2】春节过后，甲型流感病毒（以下简称：甲流）开始悄然传播，某办公室最初有两人同时患上甲流，经过两轮传播后，办公室现有8人确诊甲流，请问在两轮传染过程中，平均一人会传染给几个人？ 【答案】在两轮传染过程中，平均一人会传染给1个人． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设在两轮传染过程中，平均一人会传染给个人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据题意列一元二次方程，求解即可得出结论． 【详解】解：设在两轮传染过程中，平均一人会传染给个人，则第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)． 答：在两轮传染过程中，平均一人会传染给1个人． 【变式9-2】某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？ 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是73，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是8． 【考点10】有关一元二次方程单双循环问题 【典例10】开学第一节班会课，九（1）班全体学生每两人之间互赠“祝福卡”，祝福学业进步，身心健康．已知共赠“祝福卡”1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，审清题意找到等量关系是解题的关键．根据每个同学都要送其他个学生贺卡，因此总赠送贺卡数是张，再根据共赠贺卡1980张列方程即可． 【详解】解：由题意得：每个学生需要向其他个学生， 则得方程得： 故选：C． 【变式10-1】国庆期间，某市一中学发起了“热爱祖国，说句心里话”征集活动．学校学生会主席将征集活动通知发在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发征集活动通知，每个好友转发朋友圈后，再分别邀请n个互不相同的好友将征集活动通知转发朋友圈，以此类推，已知经过两轮转发后，共有人将征集活动通知发在自己的朋友圈，则n所满足的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 由题意知，第一轮结束后共有个人，第二轮结束后共有个人，然后列方程，判断作答即可． 【详解】解：由题意知，第一轮结束后共有个人，第二轮结束后共有个人， 依题意得，， 故选：C． 【变式10-2】2023年5月13日，贵州榕江和美乡村足球超级联赛拉开序幕，这个被称为贵州“村超”的民间足球赛持续升温，吸引全国各地球迷现场“打卡”．某学校开办学校足球联赛，规定每两个班级球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的班级球队有支，根据题意，下面列出的方程正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用比赛的总场数=参加比赛的班级球队数(参加比赛的班级球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 【变式10-3】一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了36次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设到会的人数为x人，则每个人握手次，根据总共握手36次，列方程即可． 【详解】解：依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【考点11】有关一元二次方程面积问题 【典例11】禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长为米，中间用一道墙隔开，并在如图所示的二处各留米宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为米．设边长为米． (1)用含的代数式表示的长； (2)饲养室总占地面积可能为平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)饲养室总占地面积能为平方米，此时的长为米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练运用矩形的面积公式建立方程是解题的关键． （1）利用BC边长可建围墙的总长边长，可用含的代数式表示的长； （2）根据饲养室总占地面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合墙长为米，即可确定结论． 【详解】（1）解：∵可建围墙（不包括门）的总长为米，且边长为米， ∴边长为：； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：饲养室总占地面积能为平方米，此时的长为米． 【变式11-1】在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长个纸边的宽度）×（风景画的宽个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程． 【详解】解：依题意，设金色纸边的宽为，则有：， 故选：C． 【变式11-2】如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的边AB的长为或时，能围成一个面积为的羊圈 (2)羊圈的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． （1）设羊圈的边的长为，则边的长为根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【详解】（1）解：设羊圈的边的长为，则边的长为，根据题意，得， 化简，得， 解方程，得，，当时，， 当时，． 答：当羊圈的边的长为或时，能围成一个面积为的羊圈． （2）不能，理由如下：根据题意，得， 化简，得， ， ∴该方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到 【变式11-3】社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知空地长，宽，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10000元？ 【答案】(1)米 (2)50元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可； 【详解】（1）解：根据道路的宽为米， ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． （2）解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为10000元， 根据题意得： ， 解得， 答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入为10000元． 【考点12】有关一元二次方程利润问题 【典例12】某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，降低成本，2020年出厂价调整为100元． (1)这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率． (2)某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？ 【答案】(1)这两年平均下降率约为 (2)单价应降15元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）平均下降率为x，由2018年的出厂价下降率年出厂价可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设单价降价y元，则每天的销售量是台，根据总利润=每台利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出结果． 【详解】（1）解：设这两年平均下降率为x， 根据题意得：， 解得， ∵， ∴； 答：这两年平均下降率约为； （2）解：设单价降价y元， 则每天的销售量是台， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：单价应降15元． 【变式12-1】商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． (1)问商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ (2)若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品售价应为多少元？ 【答案】(1)一天可获利润2000元 (2)商店经营该商品一天要获利润2160元时，每件商品应售价应为98元或92元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的实际应用，一元二次方程的应用． （1）不降价时，利润等于不降价时商品的单件利润乘以商品的件数． （2）可根据：降价后的单件利润乘以降价后销售的商品的件数等于2160，来列出方程，求出未知数的值，进而求出商品的售价． 【详解】（1）解：若商店经营该商品不降价，则一天可获利润（元）． （2）解：设后来该商品每件降价x元，依题意，得 ， 即． 解得，． 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）． 故商店经营该商品一天要获利润2160元时，每件商品应售价应为98元或92元． 【变式12-2】振华商厦准备在月 月销售一种多功能手机专用包，计划从厂家以每个元的价格进货，经过市场营销调查发现当每个手机专用包的售价为元时，月均销量为个，售价每增长元，月均销量就相应减少个． (1)若使这种手机专用包的月均销量不低于个，每个手机专用包售价应不高于多少元？ (2)在（）的条件下，当这种手机专用包销售单价为多少元时，月销售利润是元？ 【答案】(1)每个手机专用包售价应不高于元； (2)当该这种手机专用包销售单价为元时，销售利润是元． 【分析】（）设每个手机专用包售价为元，根据题意列出，然后求解即可； （）由题意列方程，然后解方程检验即可； 本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 【详解】（1）设每个手机专用包售价为元， 依题意得： 解得：， ∴的最大值为， ∴每个手机专用包售价应不高于元； （2）依题意得： 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴当该这种手机专用包销售单价为元时，销售利润是元． 【考点13】有关一元二次方程动点问题 【典例13】中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的面积S与运动时间t的函数关系式，并确定t的取值范围； (2)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，使得的面积为． 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列出代数式和一元二次方程是解此题的关键． （1）根据路程速度时间表示出、，再由和三角形面积公式即可得到答案； （2）利用三角形的面积公式得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ∵， ∴； （2）解：由题意得，， 解得或（舍去）， ∴当时，使得的面积为． 【变式13-1】中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ________， ________（用含t的代数式表示）； (2)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，使得的面积为 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、三角形面积公式，理解题意，正确列出代数式和一元二次方程是解此题的关键． （1）根据路程速度时间表示出、，再由即可得到答案； （2）利用三角形的面积公式得出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得：，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，使得的面积为． 【变式13-2】如图所示，在中，，，点P从点B开始沿边以的速度向点A移动，同时点Q也从点B开始沿边以的速度向点C移动，当其中一点到达A或者C时停止运动． (1)几秒后长度为? (2)几秒后的面积是24平方厘米？ 【答案】(1)秒后长度为 (2)秒后面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理，本题考查一元二次方程的应用： （1）设运动时间为t，由题意得，，根据勾股定理得到，则，解方程即可得到答案； （2）设出运动所求的时间，将和的长表示出来，代入三角形面积公式，列出方程，求出时间即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴秒后长度为； （2）解：设秒后，，， ， ． ， ． ∴秒后面积为． 【变式13-3】如图，矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为．    (1)当时，四边形面积是______ (2)当t为何值时，点P和点Q距离是？ (3)当t为何值时，以点P，Q、D为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)4； (2) ； (3)或或或． 【分析】（1）当时，可以得出，，就有，由矩形的面积就可以得出四边形的面积； （2）如图1，作于，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作于，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可； （3）分情况讨论，如图3，当时，如图4，当时，如图5，当时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论． 【详解】（1）如图，四边形是矩形， ，，． ，， ． ． ∴四边形面积是， 故答案为：4； （2）如图1，作于，   ， ， 四边形是矩形， ， ． ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得：或（舍去）． 如图2，作于，   ． ， 四边形是矩形， ，． ， 在中，由勾股定理，得 ， 解得：或（舍去）， 综上所述： ； （3）如图3，当时，作于，   ， ， 四边形是矩形， ，． ， ．． ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得：． 如图4，当时，作于，   ，． ， 四边形是矩形， ． ， ， ． ， 解得：； 如图5，当时，    ， ， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得，（舍去）． 综上所述：或或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键． 1．解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先移项变形为，再将两边同时加4，即可把左边配成完全平方式，进而得到答案，熟练掌握配方法的解法步骤是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．方程的根的情况是（   ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． 先求出判别式的值，再根据判别式的值判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，．利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 4．据工信部数据，2021年我国新能源汽车销售完成352.1万辆，2023年销量创历史新高，达到949.5万辆．设2021年到2023年的年平均增长率为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设2021年到2023年的年平均增长率为x，根据2021年及2023年新能源汽车年销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设2021年到2023年的年平均增长率为x， 根据题意得：， 故选：B． 5．已知、是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2017 B．2018 C．2022 D．2024 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．根据一元二次方程的解得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ， ． ∵、是方程的两个实数根， ， ． 故选：． 6．某工厂一月份的产值是万元，之后每个月产值的平均增长率为，已知第一季度的总产值是万元．为了求出，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的应用.每个月产值的平均增长率为，根据一月份的产值是万元，表示之后两个月的产值，根据已知第一季度的总产值是万元列方程即可. 【详解】解：每个月产值的平均增长率为，则二月份产值为，三月份产值为，则 故选：D 7．下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意； B、是分式方程，故B不符合题意； C、是二元二次方程，故C不符合题意； D、是一元二次方程，故D符合题意． 故选：D． 8．如果非零实数，满足，则有一根是1的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，把分别代入四个选项中的方程，看是否能够得到即可． 【详解】解：A、当时，则，故本选项不符合题意； B、当时，则，故本选项不符合题意； C、当时，则，故本选项符合题意； D、当时，则，故本选项不符合题意； 故选：C． 9．今年除夕夜时，小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，全班共发送1980条拜年短信，如果全班有x名同学，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共发多少条拜年短信，首先确定一个人发多少条拜年短信是解题关键．如果全班有x名同学，那么每名同学要发出条短信，共有x名学生，那么总共发送的条数数应该是条，即可列出方程． 【详解】解：∵小明班上的同学都将自己编辑好的各不相同的拜年短信发送给班级的每一位同学，且全班有x名同学， ∴每位同学需发送条拜年短信． 根据题意得：． 故选：C． 10．一元二次方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 用因式分解法求解即可． 【详解】解： 解得：或， ∴原方程的解为：． 故答案为：． 11．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．直接利用一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义求解即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得且． 故答案为：且． 12．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均一人传染了x人，一轮传染后有人，根据经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解即可． 【详解】解：设平均一人传染了x人， 由题意得：， 解得或（舍去）． ∴平均一人传染12人． 故答案为：12． 13．设方程的一个正实数根为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将正实数根代入方程，可得，根据，再将代入上式即可解答． 【详解】解：∵方程的一个正实数根为， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 14．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键。 （1）因式分解法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，； （2）解： 或 解得：或， ∴原方程的根为：，． 15．关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，将展开，代入求解即可． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：， ， 对于方程， 可得， ∴， 解得：． 16．阅读下面材料，解答问题： 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，． 上述解题方法叫做换元法． 请利用换元法解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题，先设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，再把和6分别代入得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解． 【详解】解：设，则，即， ∴ 解得：， 当时，，即， 解得：，; 当时，，即， 解得：，. 所以原方程的解为，，， 17．某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台． (1)求A，B两款电器每台的售价； (2)经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 【答案】(1)A，B两款电器每台的售价分别为300元，240元 (2)每台A款电器应降价40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元，根据“顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台”列出分式方程，解方程即可； （2）设每台A款电器应降价m元，根据每月销售A款电器的利润达到10800元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【详解】（1）解：设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：A，B两款电器每台的售价分别为300元，240元； （2）解：设每台A款电器应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽可能减少库存， 取． 答：每台A款电器应降价40元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$