第3章 轴对称 单元测试-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第3章 轴对称 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第三章（轴对称）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．2024年6月5日，是二十四节气中的芒种节气．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反应季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片代表“大雪”、“芒种”、“立春”、“白露”四种节气，其中是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 2．已知点与关于x轴对称，则a，b分别为（　　） A． B． C．3，4 D． 3．元旦联欢会上，3 名同学分别站在 三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 4．若和关于直线l 对称，的面积为8，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的（    ） A．中线 B．边的垂直平分线 C．高线 D．角平分线 6．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是，则腰长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，将一个长方形纸片沿着折叠，使C，D两点分别落在点处，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在是边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，交于点F，下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，分别以， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于，两点，且分别与相交于，两点，连接，若，则 （      ） A． B． C． D． 10．如图，点C是线段上一点，分别以为边在同侧作等边和等边，连交于点F，若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．若等边三角形的边长是，则的周长是 ． 12．一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为 ． 13．如图，D在边上，，，则的度数为 ． 14．如图，中，，，是中线，，则是 度． 15．如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 个． 16．如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为 17．如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      18．如图，在中，，，，是的角平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．请在下列三个的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画四角形涂上阴影．（注：所画的个图形不能重复） 20．在如图的直角坐标系中， (1)写出点A，B，C的坐标：A： ，B： ，C： ． (2)写出中点A，B，C关于y轴对称的的对称点A′： ，B′： ，C′： ． (3)求出的面积． 21．如图，已知中，按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (1)作边的垂直平分线，交于点E，交于点F； (2)连接； (3)作的平分线，交于点G． 22．如图，点D，E分别是等边三角形边上的点，且与交于点F．求证：． 23．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．定理证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．（要求：根据图形，写出求证，并给出证明） 已知：如图，是直角三角形，； 求证：__________． 证明： 25．如图，在中，平分，于点，交于点，交于点． 求证：． 26．填空及解答： (1)【教材例题展示】 如图1，在中，，点在上，且，求各角度数． 解：，， ，（等边对等角）， 设，则 ，从而，于是在中，有，解得，所以，在中，，．    (2)【教材习题展示】 ①如图2，在中，，若，则 ； ②如图3，在中，，，延长至，使，延长至，使，连接，．则 ． (3)【教材习题变式】 ①如图4，在中，，，，则 ． ②如图5，在中，，，点，分别为边，上的点，，若，则 ． (4)【边角规律再探】     如图，中，，在外，，于，交于，求证：是等边三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 轴对称 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第三章（轴对称）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．2024年6月5日，是二十四节气中的芒种节气．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反应季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片代表“大雪”、“芒种”、“立春”、“白露”四种节气，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形． 【详解】将图A沿着过中心的竖直的直线折叠，直线两旁的部分能够重合，所以图A是轴对称图形； 将图B，C，D沿着某直线折叠，直线两旁的部分不能够重合，所以图B，C，D不是轴对称图形． 故选：A． 2．已知点与关于x轴对称，则a，b分别为（　　） A． B． C．3，4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标，根据关于x轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此即可作答． 【详解】∵点与关于x轴对称， ∴， 故选：A． 3．元旦联欢会上，3 名同学分别站在 三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解得即可． 【详解】解：∵的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， ∴凳子应放置的最适当的位置时在的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 4．若和关于直线l 对称，的面积为8，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质可得即可得到答案． 【详解】∵和关于直线l 对称， ∴， ∴， 的面积为8， ∴的面积为8； 故选：C． 5．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的（    ） A．中线 B．边的垂直平分线 C．高线 D．角平分线 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，根据题意可得，即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，， 则是的角平分线， 故选：D． 6．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是，则腰长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键． 根据等腰三角形的定义以及构成三角形的条件分类讨论，分析即可求解． 【详解】解：依题意，若长的边为腰，则三角形的底边长为，三边分别为，而，不能构成等腰三角形， 若长的边为底，则三角形的腰长为，三边分别为，而，能构成等腰三角形， ∴三角形的腰长为 故选：B． 7．如图，将一个长方形纸片沿着折叠，使C，D两点分别落在点处，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质以及折叠性质，先由，得，再结合折叠，得出，最后由邻补角性质进行计算，即可作答． 【详解】∵四边形是长方形纸片， ∴， ∴． 由折叠可得，， ∴． 故选：B． 8．如图，在是边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，交于点F，下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线定义判断A；根据和都是的余角判断B；根据含的直角三角形性质判断C；根据和都是的余角，是的外角，是的外角，判断D． 【详解】A、由作图知，平分， ∴， ∴A正确，不符合题意； B、∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴B正确，不符合题意； C、当时， ， ， ∴C不一定正确，C符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴D正确，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线和直角三角形．熟练掌握角的平分线定义，直角三角形角性质，余角定义，含的直角三角形边性质，三角形外角性质，是解题的关键． 9．如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，分别以， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于，两点，且分别与相交于，两点，连接，若，则 （      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，由作图可知垂直平分，垂直平分，则，，从而有，，然后根据三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握垂直平分线的尺规作图是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．如图，点C是线段上一点，分别以为边在同侧作等边和等边，连交于点F，若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，先证明，得到，，然后过点作，于点M，N，则有，然后在上截取，连接，即可得到是等边三角形和，进而求出，同理可得即可解题． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 过点作，于点M，N， ∴， ∴， ∵， ∴， 在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．若等边三角形的边长是，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形三条边相等得到，据此根据三角形周长公式求解即可． 【详解】解；∵等边三角形的边长是， ∴， ∴的周长是， 故答案为：． 12．一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为 ． 【答案】 【分析】解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．根据所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】 解：作汽车牌照在水中的倒影关于水平方向的轴对称图形，如图所示： ∴该汽车牌照号码为． 故答案是：． 13．如图，D在边上，，，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再根据等边对等角求解即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，中，，，是中线，，则是 度．    【答案】 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】，， ， ，是边上的中线， ， ， ， ， 故答案为：． 15．如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 个． 【答案】5 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示：都是符合题意的图形． ． 故答案为：5． 16．如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为 【答案】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到，再由平角的定义得到，据此根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵M、N分别在的中垂线上， ∴ ， 又， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 17．如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【答案】10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示． 连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：10．    18．如图，在中，，，，是的角平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称−最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短，作关于的对称点，由对称性可知，点在上，当时，的最小值为，再利用面积法求出的长即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作关于的对称点， ∵是的平分线， ∴点在上， ∴， ∴当时，的最小值为， ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．请在下列三个的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画四角形涂上阴影．（注：所画的个图形不能重复） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称图形的性质，分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可． 【详解】如图所示： 20．在如图的直角坐标系中， (1)写出点A，B，C的坐标：A： ，B： ，C： ． (2)写出中点A，B，C关于y轴对称的的对称点A′： ，B′： ，C′： ． (3)求出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形、轴对称等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据直角坐标系即可求解； （2）关于轴对称的两点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此即可求解； （3）利用“割补法”即可求解． 【详解】（1）解：由图可得：， 故答案为： （2）解：由题意得： 故答案为： （3）解： 21．如图，已知中，按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (1)作边的垂直平分线，交于点E，交于点F； (2)连接； (3)作的平分线，交于点G． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，作角平分线，掌握基本作图是解题的关键．根据题意作边的垂直平分线，交于点，交于点，连结，作的平分线，交于． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， （3）解：如图， 22．如图，点D，E分别是等边三角形边上的点，且与交于点F．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查 了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由等边三角形得再证明，即可作答． 【详解】证明：为等边三角形， 在和中， 23．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平根线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，   ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∵ ∴． 24．定理证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．（要求：根据图形，写出求证，并给出证明） 已知：如图，是直角三角形，； 求证：__________． 证明： 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，如图，延长到D，使，连接，则，判定是等边三角形，得到，即可证明 【详解】求证：． 证明：如图，延长到D，使，连接， ∵． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴． 25．如图，在中，平分，于点，交于点，交于点． 求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质等，由全等得到，再由线段垂直平分线得到，最后根据平行线的性质即可证明． 【详解】 平分 在和中 是的垂直平分线 26．填空及解答： (1)【教材例题展示】 如图1，在中，，点在上，且，求各角度数． 解：，， ，（等边对等角）， 设，则 ，从而，于是在中，有，解得，所以，在中，，．    (2)【教材习题展示】 ①如图2，在中，，若，则 ； ②如图3，在中，，，延长至，使，延长至，使，连接，．则 ． (3)【教材习题变式】 ①如图4，在中，，，，则 ． ②如图5，在中，，，点，分别为边，上的点，，若，则 ．    (4)【边角规律再探】     如图，中，，在外，，于，交于，求证：是等边三角形． 【答案】(1)；； (2)①；② (3)①；② (4)见解析 【分析】（1）结合条件以及部分解答内容，根据等边对等角，得，设，则，从而．结合三角形内角和即可列式作答； （2）①根据等边对等角以及三角形内角和,得 ，结合三角形外角性质，求出即可； 同理，当，，即； ②根据三角形内角和定理求出，根据等边对等角以及三角形外角性质，求出，，根据求出结果即可； （3）①设，则，根据，得出，结合三角形外角性质，，根据三角形内角和，列式，根据，得出，即，即，故； ②根据，得出，结合三角形外角性质，得，根据三角形内角和，得出，根据，得出，根据求出结果即可； （4）根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和得出，，，证明，得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，（等边对等角）． 设， ， ， 在中，． 解得． ∴在中，，； （2）解：①∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ②∵在中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：①设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； ②∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$