2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第二章　直线和圆的方程2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 (教师独具内容) 课程标准：能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 教学重点：理解直线平行或垂直的判定条件． 教学难点：平行、垂直问题的综合应用． 核心素养：通过学习两条直线平行和垂直的判定,提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 k1＝k2 平行 [提醒]　(1)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (2)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 核心概念掌握 目录 5 k1k2＝－1 垂直 [提醒]　l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在且均不等于0． 核心概念掌握 目录 6 答案 1 l1⊥l2 2 －8 核心概念掌握 目录 7 核心素养形成 核心素养形成 目录 9 解 核心素养形成 目录 10 感悟提升 1．判断两条不重合的直线是否平行的步骤 2．利用斜率公式解决几何图形中的平行问题 解决这类问题的关键是充分利用几何图形的性质,并将该性质用式子表示出来,最后解决问题．这里就是利用两直线平行与斜率的关系求解的． 核心素养形成 目录 11 解 核心素养形成 目录 12 核心素养形成 目录 13 解 核心素养形成 目录 14 解 核心素养形成 目录 15 解 核心素养形成 目录 16 感悟提升 使用斜率判定两条直线垂直的注意事项 (1)直线垂直只有两种情形,即一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为0和k1k2＝－1． (2)当点的坐标中含有参数时,需注意两点连线的斜率是否存在． 核心素养形成 目录 17 解 核心素养形成 目录 18 解 核心素养形成 目录 19 解 核心素养形成 目录 20 解 核心素养形成 目录 21 解 核心素养形成 目录 22 解 核心素养形成 目录 23 解 核心素养形成 目录 24 感悟提升 1．利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤 2．由两条直线平行、垂直求参数 由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时,要根据图形的特征确定斜率之间的关系,既要考虑斜率是否存在,又要考虑到图形可能出现的各种情形． 核心素养形成 目录 25 解 核心素养形成 目录 26 解 核心素养形成 目录 27 随堂水平达标 答案 随堂水平达标 1 2 3 4 目录 29 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 目录 30 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 目录 31 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 目录 32 答案 解析 等腰梯形 随堂水平达标 1 2 3 4 目录 33 课后课时精练 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 目录 35 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 目录 36 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 目录 37 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 目录 38 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 目录 39 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 目录 40 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 目录 41 答案 平行或重合 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 目录 42 答案 2 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 目录 43 答案 (3,0)(答案不唯一,(3,0),(5,0)任意一个都可以) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 目录 44 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 目录 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 目录 46 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 目录 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 目录 48 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 目录 49 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 目录 50 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　两条直线平行的判定 前提条件 不重合的两条直线l1与l2的斜率都存在,且分别为k1,k2 不重合的两条直线l1与l2的斜率都不存在 对应关系 l1∥l2⇔eq \x(\s\up1(01))___________ l1与l2的位置关系是eq \x(\s\up1(02))________ 图示 知识点二　两条直线垂直的判定 前提条件 l1与l2的斜率都存在,且分别为k1,k2 l1与l2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零 对应关系 l1⊥l2⇔eq \x(\s\up1(01))_______________ l1与l2的位置关系是eq \x(\s\up1(02))_____ 图示 1．(两条直线垂直)已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1＝3,l1⊥l2,则k2＝_______． 2．(两条直线平行)已知点A(0,1)和B(－1,0),直线l与直线AB平行,则直线l的斜率k＝________． 3．(两条直线位置关系的判定)已知直线l1的倾斜角为30°,直线l2经过点A(0,5),B(eq \r(3),2),则直线l1与直线l2的位置关系为________． 4．(两条直线平行、垂直)已知点A(－2,m),B(m,4),直线l的斜率为－2．若AB⊥l,则m＝________；若AB∥l,则m＝________． －eq \f(1,3) 题型一　两条直线平行的判定与应用 　根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行． (1)l1经过点A(2,1),B(－3,5),l2经过点C(3,－3),D(8,－7)； (2)l1经过点E(0,1),F(－2,－1),l2经过点G(3,4),H(2,3)； (3)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,eq \r(3)),N(－2,－2eq \r(3))； (4)l1平行于y轴,l2经过点P(0,－2),Q(0,5)． 解　设直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2． (1)由题意知,k1＝eq \f(5－1,－3－2)＝－eq \f(4,5),k2＝eq \f(－7－（－3）,8－3)＝－eq \f(4,5),所以直线l1与直线l2平行或重合,又kBC＝eq \f(5－（－3）,－3－3)＝－eq \f(4,3)≠－eq \f(4,5),故l1∥l2． (2)由题意知,k1＝eq \f(－1－1,－2－0)＝1,k2＝eq \f(3－4,2－3)＝1,所以直线l1与直线l2平行或重合,又kFG＝eq \f(4－（－1）,3－（－2))＝1,故直线l1与直线l2重合． (3)由题意知,k1＝tan60°＝eq \r(3),k2＝eq \f(－2\r(3)－\r(3),－2－1)＝eq \r(3),k1＝k2,所以直线l1与直线l2平行或重合． (4)由题意知,l1的斜率不存在,且不是y轴,l2的斜率也不存在,但l2是y轴,所以l1∥l2． [跟踪训练1]　已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1),B(1,0),C(4,3),求顶点D的坐标． 解　设顶点D的坐标为(m,n), 由题意可得AB∥DC,AD∥BC, 则有kAB＝kDC,kAD＝kBC, 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0－1,1－0)＝\f(3－n,4－m),,\f(n－1,m－0)＝\f(3－0,4－1),))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3,,n＝4．)) 所以顶点D的坐标为(3,4)． 题型二　两条直线垂直的判定及应用 　(1)判断下列各题中的直线l1,l2是否垂直． ①l1经过点A(－1,－2),B(1,2),l2经过点P(－2,－1),Q(2,1)； ②l1经过点C(3,4),D(3,6),l2经过点E(－5,20),F(5,20)； ③l1经过点H(1,3),I(－1,－1),l2经过点G(2,1),K(4,0)； ④l1的斜率为－eq \f(1,3),l2的倾斜角为α,α为锐角,且tan2α＝－eq \f(3,4)． 解　①直线l1的斜率k1＝eq \f(2－（－2）,1－（－1))＝2,直线l2的斜率k2＝eq \f(1－（－1）,2－（－2))＝eq \f(1,2),因为k1k2＝1,所以l1与l2不垂直． ②直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率k2＝eq \f(20－20,5－（－5))＝0,所以l1⊥l2． ③直线l1的斜率k1＝eq \f(－1－3,－1－1)＝2, 直线l2的斜率k2＝eq \f(0－1,4－2)＝－eq \f(1,2), 因为k1k2＝－1,所以l1⊥l2． ④记l2的斜率为k2,则k2＝tanα． 因为tan2α＝－eq \f(3,4),所以2,2)eq \f(2k2,1－k) ＝－eq \f(3,4)． 解得k2＝3或k2＝－eq \f(1,3)． 因为α为锐角,所以k2＝3． 因为l1的斜率为－eq \f(1,3),且3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－1,所以l1⊥l2． (2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a－1,2),直线l2经过点C(1,2),D(－2,a＋2)．若l1⊥l2,求a的值． 解　设直线l2的斜率为k2,则k2＝eq \f(2－（a＋2）,1－（－2))＝－eq \f(a,3)． 当a＝4时,l1的斜率不存在,k2＝－eq \f(4,3),不符合题意； 当a≠4时,l1的斜率存在,此时k1＝eq \f(2－a,a－4)． 由k1k2＝－1,得－eq \f(a,3)·eq \f(2－a,a－4)＝－1,解得a＝3或a＝－4． ∴当a＝3或a＝－4时,l1⊥l2． [跟踪训练2]　已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2,－4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率． 解　由斜率公式可得 kAB＝eq \f(6－（－4）,6－（－2))＝eq \f(5,4), kBC＝eq \f(6－6,6－0)＝0, kAC＝eq \f(6－（－4）,0－（－2))＝5． 由kBC＝0知直线BC∥x轴, 所以BC边上的高所在直线与x轴垂直,其斜率不存在． 设AB,AC边上的高所在直线的斜率分别为k1,k2, 由k1kAB＝－1,k2kAC＝－1,即k1×eq \f(5,4)＝－1,k2×5＝－1, 解得k1＝－eq \f(4,5),k2＝－eq \f(1,5)． 综上可知,BC边上的高所在直线的斜率不存在； AB边上的高所在直线的斜率为－eq \f(4,5)； AC边上的高所在直线的斜率为－eq \f(1,5)． 题型三　平行与垂直的综合应用 　(1)已知A(－4,3),B(2,5),C(6,3),D(－3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判断图形ABCD的形状． 解　由题意知A,B,C,D四点在坐标平面内的位置如图所示, 由斜率公式可得kAB＝eq \f(5－3,2－（－4))＝eq \f(1,3),kCD＝eq \f(0－3,－3－6)＝eq \f(1,3),kAD＝eq \f(0－3,－3－（－4))＝－3,kBC＝eq \f(3－5,6－2)＝－eq \f(1,2)． 因为kAB＝kCD,由图可知AB与CD不重合,所以AB∥CD,因为kAD≠kBC,所以AD与BC不平行． 又kABkAD＝eq \f(1,3)×(－3)＝－1, 所以AB⊥AD． 故四边形ABCD为直角梯形． (2)已知点A(0,3),B(－1,0),C(3,0),求点D的坐标,使四边形ABCD为直角梯形(A,B,C,D按逆时针方向排列)． 解　设所求点D的坐标为(x,y),如图所示, ∵kAB＝3,kBC＝0, ∴kABkBC＝0≠－1, 即AB与BC不垂直, 故AB,BC都不可作为直角梯形的直角腰． ①若CD是直角梯形的直角腰, 则BC⊥CD,AD⊥CD,AD∥BC, ∵kBC＝0, ∴CD的斜率不存在,从而有x＝3． 又kAD＝kBC,∴eq \f(y－3,x)＝0, 即y＝3, 此时AB与CD不平行,故所求点D的坐标为(3,3)． ②若AD是直角梯形的直角腰,则AD⊥AB,AD⊥CD,AB∥CD, ∵kAD＝eq \f(y－3,x),kCD＝eq \f(y,x－3), ∴eq \f(y－3,x)·3＝－1,eq \f(y－3,x)·eq \f(y,x－3)＝－1． 解得x＝eq \f(18,5),y＝eq \f(9,5),此时AD与BC不平行, ∴点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(9,5)))． 综上可知,点D的坐标为(3,3)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(9,5)))． [跟踪训练3]　已知四边形ABCD的四个顶点为A(0,0),B(3,－2),C(5,1),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状． 解　如图,∵kAB＝eq \f(－2－0,3－0)＝－eq \f(2,3),kAD＝eq \f(3－0,2－0)＝eq \f(3,2),kCD＝eq \f(3－1,2－5)＝－eq \f(2,3), kBC＝eq \f(1－（－2）,5－3)＝eq \f(3,2)． ∴kAB＝kCD,kBC＝kAD． ∴AB∥CD,BC∥AD． 又kADkAB＝eq \f(3,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－1, ∴AD⊥AB． ∴四边形ABCD为矩形． ∵A(0,0),B(3,－2),D(2,3), 由勾股定理得|AB|＝eq \r(32＋22)＝eq \r(13), |AD|＝eq \r(22＋32)＝eq \r(13), ∴|AB|＝|AD|, ∴矩形ABCD为正方形． 因此四边形ABCD为正方形． 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行或重合 B．若两条直线的斜率之积为－1,则这两条直线垂直 C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直 D．若两条直线的斜率都不存在且这两条直线不重合,则这两条直线平行 解析　若k1＝k2,则这两条直线平行或重合,所以A正确；易知B正确；当两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,这两条直线才垂直,所以C不正确；当两条直线都垂直于x轴且不重合时,两直线平行,但斜率不存在,所以D正确．故选ABD． 2．(2024·聊城一中高二月考)已知A(2,0),B(3,3),直线l∥AB,则直线l的斜率k等于(　　) A．－3 B．3 C．－eq \f(1,3) D．eq \f(1,3) 解析　因为l∥AB,且直线AB的斜率kAB＝eq \f(3－0,3－2)＝3,所以直线l的斜率k＝3． 3．经过点M(m,3)和N(2,m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直,则m的值为________． 解析　由题意知直线l的斜率为eq \f(1,4),即kMN＝eq \f(1,4),所以eq \f(m－3,2－m)＝eq \f(1,4),解得m＝eq \f(14,5)． eq \f(14,5) 4．顺次连接A(1,－1),B(2,－1),C(0,1),D(0,0)四点所组成的图形是_____________． 解析　∵kCB＝－1,kAD＝－1,∴AD∥BC．又kAB＝0,kCD不存在,∴四边形ABCD为梯形．又|AB|＝|CD|＝1,∴梯形ABCD为等腰梯形． 一、选择题 1．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 解析　两条直线的斜率都为0且不重合,所以两条直线的位置关系是平行． 2．(2024·扬州仪征市第二中学高二月考)已知直线l1过A(2,2eq \r(3)),B(4,0)两点,且l1⊥l2,则直线l2的倾斜角为(　　) A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6) 解析　由直线l1过A(2,2eq \r(3)),B(4,0)两点,可得kl1＝eq \f(0－2\r(3),4－2)＝－eq \r(3)．又因为l1⊥l2,所以kl1·kl2＝－eq \r(3)×kl2＝－1,可得kl2＝eq \f(\r(3),3)．设直线l2的倾斜角为α,则tanα＝eq \f(\r(3),3),因为α∈[0,π),所以α＝eq \f(π,6),所以直线l2的倾斜角为eq \f(π,6)．故选A． 3．顺次连接A(－4,3),B(2,5),C(4,3),D(－2,1)四点所组成的图形是(　　) A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．直角梯形 解析　kAB＝eq \f(5－3,2＋4)＝eq \f(1,3),kCD＝eq \f(1－3,－2－4)＝eq \f(1,3),∴AB∥CD．又kAD＝eq \f(1－3,－2＋4)＝－1,kBC＝eq \f(3－5,4－2)＝－1,∴AD∥BC,又kAB·kAD≠－1,∴四边形ABCD为平行四边形． 4．若点P(a,b)与点Q(b－1,a＋1)关于直线l对称,则直线l的倾斜角为(　　) A．45° B．135° C．30° D．60° 解析　若a＝b－1,则P,Q两点重合,∴直线PQ的斜率存在．∵kPQ＝eq \f(a＋1－b,b－1－a)＝－1,又点P(a,b)与点Q(b－1,a＋1)关于直线l对称,∴直线l的斜率为1,倾斜角为45°． 5．(多选)设点P(－4,2),Q(6,－4),R(12,6),S(2,12),则下列四个结论中正确的是(　　) A．QS⊥PS B．PQ∥SR C．PQ⊥PS D．RP⊥QS 解析　由题意,知kQS＝eq \f(12－（－4）,2－6)＝eq \f(16,－4)＝－4,kPS＝eq \f(12－2,2－（－4))＝eq \f(10,6)＝eq \f(5,3),kPQ＝eq \f(－4－2,6－（－4))＝eq \f(－6,10)＝－eq \f(3,5),kSR＝eq \f(6－12,12－2)＝eq \f(－6,10)＝－eq \f(3,5),kRP＝eq \f(2－6,－4－12)＝eq \f(－4,－16)＝eq \f(1,4)．kQSkPS≠－1,A错误；kPQ＝kSR,B正确；kPQkPS＝－1,C正确；kRPkQS＝－1,D正确．故选BCD． 6．(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　) A．l1的倾斜角为120°,l2过点P(1,0),Q(4,eq \r(3)) B．l1的斜率为－eq \f(2,3),l2过点A(1,1),Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2))) C．l1的倾斜角为30°,l2过点C(3,eq \r(3)),D(4,2eq \r(3)) D．l1过点M(1,0),N(4,－5),l2过点E(－6,0),F(－1,3) 解析　对于A,l1的斜率为－eq \r(3),l2的斜率为eq \f(\r(3)－0,4－1)＝eq \f(\r(3),3),因为－eq \r(3)×eq \f(\r(3),3)＝－1,故A符合题意；对于B,l2的斜率为eq \f(1＋\f(1,2),1－0)＝eq \f(3,2),因为－eq \f(2,3)×eq \f(3,2)＝－1,故B符合题意；对于C,l1的斜率为eq \f(\r(3),3),l2的斜率为eq \f(2\r(3)－\r(3),4－3)＝eq \r(3),因为eq \f(\r(3),3)×eq \r(3)＝1,故C不符合题意；对于D,l1的斜率为eq \f(－5－0,4－1)＝－eq \f(5,3),l2的斜率为eq \f(3－0,－1＋6)＝eq \f(3,5),因为－eq \f(5,3)×eq \f(3,5)＝－1,故D符合题意．故选ABD． 二、填空题 7．直线l1的倾斜角为45°,直线l2过点A(－2,－1),B(3,4),则l1与l2的位置关系为_________________． 解析　设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2．∵直线l1的倾斜角为45°,∴k1＝1．∵直线l2过点A(－2,－1),B(3,4),∴k2＝eq \f(4－（－1）,3－（－2))＝1．∵k1＝k2,∴l1与l2平行或重合． 8．(2024·广东名校高二期中)已知直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根,若l1⊥l2,则b＝________；若l1∥l2,则b＝________． －eq \f(9,8) 解析　若l1⊥l2,则k1k2＝－1,即－eq \f(b,2)＝－1,∴b＝2；若l1∥l2,则k1＝k2,∴Δ＝(－3)2－4×2(－b)＝0,∴b＝－eq \f(9,8)． 9．(2024·深圳高二期中)已知点A(1,2),B(2,3),点C在x轴上,△ABC为直角三角形,请写出点C的一个坐标：________________________________________________． 解析　设C(x,0),易知当x＝1或x＝2时,不符合题意,因此当x≠1且x≠2时,可得kAB＝eq \f(3－2,2－1)＝1,kAC＝eq \f(－2,x－1),kBC＝eq \f(－3,x－2)．当A为直角时,kAB·kAC＝1·eq \f(－2,x－1)＝－1,得x＝3,点C的坐标为(3,0)；当B为直角时,kAB·kBC＝1·eq \f(－3,x－2)＝－1,得x＝5,点C的坐标为(5,0)；当C为直角时,kAC·kBC＝eq \f(－2,x－1)·eq \f(－3,x－2)＝－1,化简得x2－3x＋8＝0,该方程无解．所以点C的坐标可以是(3,0)或(5,0)． 三、解答题 10．已知▱ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4)． (1)求点D的坐标； (2)试判定▱ABCD是否为菱形． 解　(1)设D(a,b),在▱ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,得kAB＝kCD,kAD＝kBC, 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0－2,5－1)＝\f(b－4,a－3),,\f(b－2,a－1)＝\f(4－0,3－5),))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,,b＝6,))∴D(－1,6)． (2)∵kAC＝eq \f(4－2,3－1)＝1,kBD＝eq \f(6－0,－1－5)＝－1,∴kACkBD＝－1, ∴AC⊥BD,∴▱ABCD为菱形． (2024·张家口一中高二月考)已知M(1,－1),N(2,2),P(3,0)． (1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ； (2)若点Q在x轴上,且∠NQP＝∠NPQ,求证：直线MQ⊥x轴． 解　(1)设Q(x,y),由已知得kMN＝3, 由PQ⊥MN,可得kPQ·kMN＝－1, 即eq \f(y,x－3)×3＝－1．　① 由已知得kPN＝－2, 由PN∥MQ,可得kPN＝kMQ, 即eq \f(y＋1,x－1)＝－2．　② 联立①②,解得x＝0,y＝1,即Q(0,1)． (2)证明：设Q(x,0),∵∠NQP＝∠NPQ, ∴kNQ＝－kNP． 又kNQ＝eq \f(2,2－x),kNP＝－2, ∴eq \f(2,2－x)＝2,即x＝1, ∴Q(1,0)．又M(1,－1), ∴直线MQ⊥x轴． $$