1.1.1 空间向量及其线性运算-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 (教师独具内容) 课程标准：1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．2．经历由平面向量的运算及法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算． 教学重点：空间向量的加减、数乘运算在空间几何体中的应用． 教学难点：空间几何体中向量的运算． 核心素养：在空间向量概念的形成和线性运算的过程中，经历由具体到抽象、由图形语言到符号语言的表达过程，发展直观想象、数学抽象及数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 在空间，我们把具有大小和方向的量 空间向量的大小 模 有向线段 a 核心概念掌握 目录 5 长度为0的向量 0 0 模为1的向量 与向量a长度相等而方向相反的向量 －a 方向相同且模相等的向量 同一向量 相等向量 核心概念掌握 目录 6 [提醒]　(1)单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等． (2)零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等． (3)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． 核心概念掌握 目录 7 a＋b a－b b＋a a＋(b＋c) 核心概念掌握 目录 8 相同 相反 核心概念掌握 目录 9 (λμ)a λa＋μa λa＋λb 核心概念掌握 目录 10 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 这些向量 共线向量 存在实数λ，使a＝λb 方向向量 核心概念掌握 目录 11 [提醒]　(1)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上． (2)因为零向量0＝0·a，所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立．因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线． 核心概念掌握 目录 12 平行于同一个平面的向量 存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 核心概念掌握 目录 13 核心概念掌握 目录 14 答案 ①④ 核心概念掌握 目录 15 答案 10 相反 核心概念掌握 目录 16 答案 ±1 共面 核心概念掌握 目录 17 核心素养形成 答案 核心素养形成 目录 19 解析 核心素养形成 目录 20 感悟提升 处理空间向量概念问题要关注的两个要素和两个关系 (1)两个要素 判断与空间向量有关的命题时，要抓住空间向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)两个关系 ①模相等与空间向量相等的关系：两个空间向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个空间向量(非零向量)的模相等是两个空间向量相等的必要不充分条件； ②向量的模与空间向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于” “小于”对空间向量来说是没有意义的．但空间向量的模是可以比较大小的． 核心素养形成 目录 21 答案 核心素养形成 目录 22 解析 核心素养形成 目录 23 答案 核心素养形成 目录 24 解析 核心素养形成 目录 25 解 核心素养形成 目录 26 感悟提升 1．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 2．化简空间向量的常用思路 (1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简． (2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和． (3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)． 核心素养形成 目录 27 答案 核心素养形成 目录 28 解析 核心素养形成 目录 29 答案 0 解析 核心素养形成 目录 30 解 核心素养形成 目录 31 解 核心素养形成 目录 32 解 核心素养形成 目录 33 解 核心素养形成 目录 34 感悟提升 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 核心素养形成 目录 35 答案 核心素养形成 目录 36 解析 核心素养形成 目录 37 答案 核心素养形成 目录 38 解析 核心素养形成 目录 39 证明 核心素养形成 目录 40 证明 核心素养形成 目录 41 证明 核心素养形成 目录 42 证明 核心素养形成 目录 43 证明 核心素养形成 目录 44 核心素养形成 目录 45 核心素养形成 目录 46 答案 解析 1 核心素养形成 目录 47 答案 解析 －8 核心素养形成 目录 48 核心素养形成 目录 49 证明 核心素养形成 目录 50 核心素养形成 目录 51 答案 解析 核心素养形成 目录 52 核心素养形成 目录 53 证明 核心素养形成 目录 54 随堂水平达标 答案 随堂水平达标 1 2 3 4 5 目录 56 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 目录 57 答案 随堂水平达标 1 2 3 4 5 目录 58 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 目录 59 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 目录 60 答案 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 目录 61 答案 随堂水平达标 1 2 3 4 5 目录 62 解析 随堂水平达标 1 2 3 4 5 目录 63 课后课时精练 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 65 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 66 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 67 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 68 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 69 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 70 答案 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 71 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 72 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 73 答案 2 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 74 答案 解析 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 75 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 76 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 77 证明 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 78 证明 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 79 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 80 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 81 解 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A级 B级 1 2 目录 82 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　空间向量 (1)定义 eq \x(\s\up1(01))______________________________________叫做空间向量． (2)长度 eq \x(\s\up1(02))_________________叫做空间向量的长度或eq \x(\s\up1(03))_____． (3)表示方法 几何表示法 空间向量用eq \x(\s\up1(04))__________________表示 字母 表示法 如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作eq \x(\s\up1(05))_______，其模记为eq \x(\s\up1(06))__________或eq \x(\s\up1(07))_________ eq \o(AB,\s\up13(→)) |eq \o(AB,\s\up16(→))| (4)几类特殊的空间向量 ①零向量：eq \x(\s\up1(08))______________________叫做零向量，记为eq \x(\s\up1(09))____．当有向线段的起点A与终点B重合时，eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \x(\s\up1(10))____． ②单位向量：eq \x(\s\up1(11))____________________叫做单位向量． ③相反向量：eq \x(\s\up1(12))________________________________，叫做a的相反向量，记为eq \x(\s\up1(13))____． ④相等向量：eq \x(\s\up1(14))________________________________叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示eq \x(\s\up1(15))____________或eq \x(\s\up1(16))____________． 知识点二　空间向量的加减法 (1)定义 类似平面向量，定义空间向量的加法、减法运算(如图)： eq \x(\s\up1(01))________＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))； eq \x(\s\up1(02))________＝eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→))． (2)加法运算律 ①交换律：a＋b＝eq \x(\s\up1(03))________； ②结合律：(a＋b)＋c＝eq \x(\s\up1(04))______________． [说明]　空间向量加减运算的运算法则所满足的运算律与平面向量完全相同． 知识点三　空间向量的数乘运算 (1)向量a与λa的关系 λ的范围 方向关系 几何表示 λ>0 方向eq \x(\s\up1(01))______ λ<0 方向eq \x(\s\up1(02))______ λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 (2)空间向量的数乘运算律 设λ，μ是实数，则有： ①结合律：λ(μa)＝eq \x(\s\up1(03))_________． ②分配律：(λ＋μ)a＝eq \x(\s\up1(04))________，λ(a＋b)＝eq \x(\s\up1(05))________． [提醒]　(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0． (2) λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． 知识点四　共线向量与共面向量 (1)共线(平行)向量 定义 eq \x(\s\up1(01))__________________________________________________________________，那么eq \x(\s\up1(02))______________叫做eq \x(\s\up1(03))_____________或平行向量 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是eq \x(\s\up1(04))__________________________ 直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a， 则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向 量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq \o(OP,\s\up14(→))＝λa． 我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的eq \x(\s\up1(05))_________________ (2)共面向量 定义 eq \x(\s\up1(06))______________________，叫做共面向量 充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是eq \x(\s\up1(07))_____________________________ _____________________________________ [拓展]　共面向量充要条件的理解 如图，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有 序实数对(x，y)，使eq \o(AP,\s\up14(→))＝xeq \o(AB,\s\up14(→))＋yeq \o(AC,\s\up14(→))．或者等价于：对空间任意 一点O，空间一点P位于平面ABC内(P，A，B，C四点共面) 的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq \o(OP,\s\up14(→))＝eq \o(OA,\s\up14(→))＋xeq \o(AB,\s\up14(→))＋yeq \o(AC,\s\up14(→))，该式称为空间平面ABC的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 1．(空间向量的概念)给出下列命题： ①向量eq \o(AB,\s\up14(→))与eq \o(BA,\s\up14(→))的长度相等； ②将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆； ③空间向量就是空间中的一条有向线段； ④方向相同且模相等的两个向量是相等向量． 其中是真命题的为________(写出所有真命题的序号)． 2．(空间向量的数乘运算)已知a，b是空间两个向量，且b＝－5a，|a|＝2，则向量b的长度为________，向量b的方向与向量a的方向________． 3．(空间向量的加减运算)如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量的表达式： (1)eq \o(AA1,\s\up14(→))－eq \o(CB,\s\up14(→))＝________； (2)eq \o(AB1,\s\up14(→))＋eq \o(B1C1,\s\up14(→))＋eq \o(C1D1,\s\up14(→))＝________； (3)eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up14(→))－eq \f(1,2) eq \o(A1A,\s\up14(→))＝________． eq \o(AD1,\s\up14(→)) eq \o(AD1,\s\up14(→)) eq \f(1,2)eq \o(AD1,\s\up14(→)) 4．(共线向量)非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________． 5．(共面向量)对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是________向量(填“共线”“共面”“不共线”或“不共面”)． (2024·聊城一中高二月考)给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \o(A1C1,\s\up14(→))； ③|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件； ④若空间向量m，n，p满足m∥n，n∥p，则m∥p． 其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 题型一　空间向量的概念 解析　有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误；eq \o(AC,\s\up14(→))和eq \o(A1C1,\s\up14(→))大小一样、方向相同，则eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \o(A1C1,\s\up14(→))，故②正确；若|a|＝|b|，则a和b的模相等，方向不一定相同，若a＝b，则a和b的模相等，方向也相同，所以|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件，故③正确；向量的平行不具有传递性，比如当n为零向量时，零向量与任何向量都平行，则m，p不一定平行，故④错误．故选B． [跟踪训练1]　(2024·西安中学高二期中)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．若非零向量a，b平行，则a，b所在直线平行 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C．若向量eq \o(AB,\s\up14(→))，eq \o(CD,\s\up14(→))满足|eq \o(AB,\s\up14(→))|>|eq \o(CD,\s\up14(→))|，则eq \o(AB,\s\up14(→))>eq \o(CD,\s\up14(→)) D．相等向量其方向必相同 解析　若非零向量a，b平行，则a，b所在直线平行或重合，故A错误；若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向不存在确定关系，故B错误；向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确．故选D． 题型二　空间向量的加减运算 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中， 下列各式中运算结果为向量eq \o(BD1,\s\up14(→))的是(　　) ①(eq \o(A1D1,\s\up14(→))－eq \o(A1A,\s\up14(→)))－eq \o(AB,\s\up14(→))；②(eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(BB1,\s\up14(→)))－eq \o(D1C1,\s\up14(→))；③(eq \o(AD,\s\up14(→))－eq \o(AB,\s\up14(→)))－eq \o(DD1,\s\up14(→))；④(eq \o(B1D1,\s\up14(→))－eq \o(A1A,\s\up14(→)))＋eq \o(DD1,\s\up14(→))． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析　①(eq \o(A1D1,\s\up14(→))－eq \o(A1A,\s\up14(→)))－eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \o(AD1,\s\up14(→))－eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \o(BD1,\s\up14(→))；②(eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(BB1,\s\up14(→)))－eq \o(D1C1,\s\up14(→))＝eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(BB1,\s\up14(→))＋eq \o(C1D1,\s\up14(→))＝eq \o(BC1,\s\up14(→))＋eq \o(C1D1,\s\up14(→))＝eq \o(BD1,\s\up14(→))；③(eq \o(AD,\s\up14(→))－eq \o(AB,\s\up14(→)))－eq \o(DD1,\s\up14(→))＝eq \o(BD,\s\up14(→))－eq \o(DD1,\s\up14(→))＝eq \o(BD,\s\up14(→))－eq \o(BB1,\s\up14(→))＝eq \o(B1D,\s\up14(→))≠eq \o(BD1,\s\up14(→))；④(eq \o(B1D1,\s\up14(→))－eq \o(A1A,\s\up14(→)))＋eq \o(DD1,\s\up14(→))＝eq \o(B1D1,\s\up14(→))＋eq \o(AA1,\s\up14(→))＋eq \o(DD1,\s\up14(→))＝eq \o(B1D1,\s\up14(→))＋eq \o(BB1,\s\up14(→))＋eq \o(DD1,\s\up14(→))＝eq \o(BD1,\s\up14(→))＋eq \o(DD1,\s\up14(→))≠eq \o(BD1,\s\up14(→))．因此，①②两式的运算结果为向量eq \o(BD1,\s\up14(→))，而③④两式的运算结果不为向量eq \o(BD1,\s\up14(→))．故选A． 解　①(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(B1C1,\s\up14(→)))＋eq \o(CC1,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(CC1,\s\up14(→))＝eq \o(AC1,\s\up14(→))； ②(eq \o(AA1,\s\up14(→))＋eq \o(A1D1,\s\up14(→)))＋eq \o(D1C1,\s\up14(→))＝eq \o(AD1,\s\up14(→))＋eq \o(D1C1,\s\up14(→))＝eq \o(AC1,\s\up14(→))； ③(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BB1,\s\up14(→)))－eq \o(C1B1,\s\up14(→))＝eq \o(AB1,\s\up14(→))＋eq \o(B1C1,\s\up14(→))＝eq \o(AC1,\s\up14(→))； ④(eq \o(AA1,\s\up14(→))－eq \o(B1A1,\s\up14(→)))＋eq \o(B1C1,\s\up14(→))＝(eq \o(AA1,\s\up14(→))＋eq \o(A1B1,\s\up14(→)))＋eq \o(B1C1,\s\up14(→))＝eq \o(AB1,\s\up14(→))＋eq \o(B1C1,\s\up14(→))＝eq \o(AC1,\s\up14(→))． 故①②③④式运算结果都是向量eq \o(AC1,\s\up14(→))． 【结论探究】　在本例条件下，判断下列各式中运算结果为向量eq \o(AC1,\s\up14(→))的有哪些？ ①(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(B1C1,\s\up14(→)))＋eq \o(CC1,\s\up14(→))；②(eq \o(AA1,\s\up14(→))＋eq \o(A1D1,\s\up14(→)))＋eq \o(D1C1,\s\up14(→))；③(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BB1,\s\up14(→)))－eq \o(C1B1,\s\up14(→))；④(eq \o(AA1,\s\up14(→))－eq \o(B1A1,\s\up14(→)))＋eq \o(B1C1,\s\up14(→))． [跟踪训练2]　(1)(2024·芜湖一中高二月考)对于空间中的非零向量eq \o(AB,\s\up14(→))，eq \o(BC,\s\up14(→))，eq \o(AC,\s\up14(→))，下列关系式中一定不成立的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＝eq \o(AC,\s\up14(→)) B．eq \o(AB,\s\up14(→))－eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \o(BC,\s\up14(→)) C．|eq \o(AB,\s\up14(→))|＋|eq \o(BC,\s\up14(→))|＝|eq \o(AC,\s\up14(→))| D．|eq \o(AB,\s\up14(→))|－|eq \o(AC,\s\up14(→))|＝|eq \o(BC,\s\up14(→))| 解析　根据空间向量的加减法运算，对于A，eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＝eq \o(AC,\s\up14(→))恒成立；对于C，当eq \o(AB,\s\up14(→))，eq \o(BC,\s\up14(→))方向相同时，有|eq \o(AB,\s\up14(→))|＋|eq \o(BC,\s\up14(→))|＝|eq \o(AC,\s\up14(→))|；对于D，当eq \o(AB,\s\up14(→))，eq \o(AC,\s\up14(→))方向相同且|eq \o(AB,\s\up14(→))|≥|eq \o(AC,\s\up14(→))|时，有|eq \o(AB,\s\up14(→))|－|eq \o(AC,\s\up14(→))|＝|eq \o(BC,\s\up14(→))|；对于B，由向量减法可知eq \o(AB,\s\up14(→))－eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \o(CB,\s\up14(→))，又eq \o(BC,\s\up14(→))为非零向量，所以B一定不成立．故选B． (2)化简(eq \o(AB,\s\up14(→))－eq \o(CD,\s\up14(→)))－(eq \o(AC,\s\up14(→))－eq \o(BD,\s\up14(→)))＝________． 解析　解法一：(转化为加法运算) (eq \o(AB,\s\up14(→))－eq \o(CD,\s\up14(→)))－(eq \o(AC,\s\up14(→))－eq \o(BD,\s\up14(→)))＝eq \o(AB,\s\up14(→))－eq \o(CD,\s\up14(→))－eq \o(AC,\s\up14(→))＋eq \o(BD,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(DC,\s\up14(→))＋eq \o(CA,\s\up14(→))＋eq \o(BD,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BD,\s\up14(→))＋eq \o(DC,\s\up14(→))＋eq \o(CA,\s\up14(→))＝0． 解法二：(转化为减法运算) (eq \o(AB,\s\up14(→))－eq \o(CD,\s\up14(→)))－(eq \o(AC,\s\up14(→))－eq \o(BD,\s\up14(→)))＝(eq \o(AB,\s\up14(→))－eq \o(AC,\s\up14(→)))＋(eq \o(BD,\s\up14(→))－eq \o(CD,\s\up14(→)))＝eq \o(CB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＝0． (3)(2024·华南师大附中高二质检)如图，已知空间四边 形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB 的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果． ①eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))－eq \o(DC,\s\up14(→))；②eq \o(AB,\s\up14(→))－eq \o(DG,\s\up14(→))－eq \o(CE,\s\up14(→))． 解　①eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))－eq \o(DC,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))＝eq \o(AC,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))＝eq \o(AD,\s\up14(→))， 如图中向量eq \o(AD,\s\up14(→))． ②eq \o(AB,\s\up14(→))－eq \o(DG,\s\up14(→))－eq \o(CE,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BG,\s\up14(→))＋eq \o(EC,\s\up14(→))＝eq \o(AG,\s\up14(→))＋eq \o(GF,\s\up14(→))＝eq \o(AF,\s\up14(→))，如图中向量eq \o(AF,\s\up14(→))． 题型三　空间向量的数乘运算 (AA1,\s\up14(→)) 　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，eq \o(AB,\s\up14(→))＝b，eq \o(AD,\s\up14(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)eq \o(AP,\s\up14(→))；(2)eq \o(A1N,\s\up14(→))；(3)eq \o(MP,\s\up14(→))＋eq \o(NC1,\s\up14(→))． 解　(1)∵P是C1D1的中点， ∴eq \o(AP,\s\up14(→))＝eq \o(AA1,\s\up14(→))＋eq \o(A1D1,\s\up14(→))＋eq \o(D1P,\s\up14(→)) ＝a＋eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \f(1,2) eq \o(D1C1,\s\up14(→))＝a＋c＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝a＋c＋eq \f(1,2)b． (2)∵N是BC的中点， ∴eq \o(A1N,\s\up14(→))＝eq \o(A1A,\s\up14(→))＋eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BN,\s\up14(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up14(→)) ＝－a＋b＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up14(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)c． (3)∵M是AA1的中点， ∴eq \o(MP,\s\up14(→))＝eq \o(MA,\s\up14(→))＋eq \o(AP,\s\up14(→))＝eq \f(1,2) eq \o(A1A,\s\up14(→))＋eq \o(AP,\s\up14(→)) ＝－eq \f(1,2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b)) ＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c． 又eq \o(NC1,\s\up14(→))＝eq \o(NC,\s\up14(→))＋eq \o(CC1,\s\up14(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(AA1,\s\up14(→)) ＝eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \o(AA1,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)c＋a， ∴eq \o(MP,\s\up14(→))＋eq \o(NC1,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c)) ＝eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(3,2)c． [跟踪训练3]　(1)(2024·合肥高二期中)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CD1的中心，且eq \o(AF,\s\up14(→))＝eq \o(AD,\s\up14(→))＋meq \o(AB,\s\up14(→))－neq \o(AA1,\s\up14(→))，则m，n的值分别为(　　) A．eq \f(1,2)，－eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)，－eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2)，eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)，eq \f(1,2) 解析　由于eq \o(AF,\s\up14(→))＝eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \o(DF,\s\up14(→))＝eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(DC,\s\up14(→))＋eq \o(DD1,\s\up14(→)))＝eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AA1,\s\up14(→))，所以m＝eq \f(1,2)，n＝－eq \f(1,2)．故选A． (2)(2024·唐山高二期中)在四面体OABC中，eq \o(OA,\s\up14(→))＝a，eq \o(OB,\s\up14(→))＝b，eq \o(OC,\s\up14(→))＝c，G为△ABC的重心，点M在线段OC上，且OM＝2MC，则eq \o(MG,\s\up14(→))＝(　　) A．eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b－eq \f(1,3)c B．eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c C．－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c D．eq \f(1,3)a－eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c 解析　画出图形，D为BC的中点，如图所示，由三角形重心的性质，可知G为AD上靠近D的三等分点，所以eq \o(DG,\s\up14(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up14(→))，所以eq \o(MG,\s\up14(→))＝eq \o(MC,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))＋eq \o(DG,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)c＋eq \f(1,2)(b－c)－eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)c＋eq \f(1,2)(b－c)－eq \f(1,6)(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→)))＝eq \f(1,3)c＋eq \f(1,2)(b－c)－eq \f(1,6)(b－a＋c－a)＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b－eq \f(1,3)c．故选A． 题型四　共线向量 　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在 A1D1上，且eq \o(A1E,\s\up14(→))＝2eq \o(ED1,\s\up14(→))，F在对角线A1C上，且eq \o(A1F,\s\up14(→))＝eq \f(2,3) eq \o(FC,\s\up14(→))． 求证：E，F，B三点共线． 证明　连接EF，EB(图略)， 设eq \o(AB,\s\up14(→))＝a，eq \o(AD,\s\up14(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up14(→))＝c． ∵eq \o(A1E,\s\up14(→))＝2eq \o(ED1,\s\up14(→))，eq \o(A1F,\s\up14(→))＝eq \f(2,3) eq \o(FC,\s\up14(→))， ∴eq \o(A1E,\s\up14(→))＝eq \f(2,3) eq \o(A1D1,\s\up14(→))，eq \o(A1F,\s\up14(→))＝eq \f(2,5) eq \o(A1C,\s\up14(→))． ∴eq \o(A1E,\s\up14(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up14(→))＝eq \f(2,3)b， eq \o(A1F,\s\up14(→))＝eq \f(2,5)(eq \o(AC,\s\up14(→))－eq \o(AA1,\s\up14(→))) ＝eq \f(2,5)(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AD,\s\up14(→))－eq \o(AA1,\s\up14(→)))＝eq \f(2,5)a＋eq \f(2,5)b－eq \f(2,5)c． ∴eq \o(EF,\s\up14(→))＝eq \o(A1F,\s\up14(→))－eq \o(A1E,\s\up14(→)) ＝eq \f(2,5)a－eq \f(4,15)b－eq \f(2,5)c＝eq \f(2,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c))． 又eq \o(EB,\s\up14(→))＝eq \o(EA1,\s\up14(→))＋eq \o(A1A,\s\up14(→))＋eq \o(AB,\s\up14(→)) ＝－eq \f(2,3)b－c＋a＝a－eq \f(2,3)b－c， ∴eq \o(EF,\s\up14(→))＝eq \f(2,5) eq \o(EB,\s\up14(→))， ∴E，F，B三点共线． 【条件探究】　将本例条件改为“O为A1C上一点，且eq \o(A1O,\s\up14(→))＝eq \f(2,3) eq \o(A1C,\s\up14(→))，BD与AC交于点M”．求证：C1，O，M三点共线． 证明　连接AO，AC1，A1C1． ∵eq \o(A1O,\s\up14(→))＝eq \f(2,3) eq \o(A1C,\s\up14(→))， ∴eq \o(AO,\s\up14(→))＝eq \o(AA1,\s\up14(→))＋eq \o(A1O,\s\up14(→)) ＝eq \o(AA1,\s\up14(→))＋eq \f(2,3) eq \o(A1C,\s\up14(→)) ＝eq \o(AA1,\s\up14(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(A1A,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))) ＝eq \f(1,3) eq \o(AA1,\s\up14(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up14(→))． ∵eq \o(AC,\s\up14(→))＝2eq \o(AM,\s\up14(→))，eq \o(AA1,\s\up14(→))＝eq \o(AC1,\s\up14(→))＋eq \o(C1A1,\s\up14(→))＝eq \o(AC1,\s\up14(→))－eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \o(AC1,\s\up14(→))－2eq \o(AM,\s\up14(→))， ∴eq \o(AO,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AC1,\s\up14(→))－2eq \o(AM,\s\up14(→)))＋eq \f(4,3) eq \o(AM,\s\up14(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AC1,\s\up14(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AM,\s\up14(→))． ∵eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)＝1，∴C1，O，M三点共线． 感悟提升 1．判断空间向量共线的策略 (1)熟记空间向量共线的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b． (2)判断空间向量共线的关键：找到实数λ． 2．证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使eq \o(PA,\s\up14(→))＝λeq \o(PB,\s\up14(→))成立． (2)对空间任一点O，有eq \o(OP,\s\up14(→))＝eq \o(OA,\s\up14(→))＋teq \o(AB,\s\up14(→))(t∈R)． (3)对空间任一点O，有eq \o(OP,\s\up14(→))＝xeq \o(OA,\s\up14(→))＋yeq \o(OB,\s\up14(→))(x＋y＝1)． [跟踪训练4]　(1)(2024·嘉兴一中高二月考)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若eq \o(OC,\s\up14(→))＝meq \o(OA,\s\up14(→))＋neq \o(OB,\s\up14(→))，则m＋n＝________． 解析　由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得eq \o(AC,\s\up14(→))＝λeq \o(AB,\s\up14(→))，即eq \o(OC,\s\up14(→))－eq \o(OA,\s\up14(→))＝λ(eq \o(OB,\s\up14(→))－eq \o(OA,\s\up14(→)))，所以eq \o(OC,\s\up14(→))＝(1－λ)eq \o(OA,\s\up14(→))＋λeq \o(OB,\s\up14(→))，所以m＝1－λ，n＝λ，所以m＋n＝1． (2)(2024·石家庄二中高二质检)设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知eq \o(AB,\s\up14(→))＝2e1＋ke2，eq \o(CB,\s\up14(→))＝e1＋3e2，eq \o(CD,\s\up14(→))＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值为_____． 解析　∵eq \o(CB,\s\up14(→))＝e1＋3e2，eq \o(CD,\s\up14(→))＝2e1－e2，∴eq \o(BD,\s\up14(→))＝eq \o(CD,\s\up14(→))－eq \o(CB,\s\up14(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2．∵A，B，D三点共线，∴可设eq \o(AB,\s\up14(→))＝λeq \o(BD,\s\up14(→))，λ∈R，∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2．∵e1，e2是空间中两个不共线的向量，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,k＝－4λ，))∴k＝－8． 题型五　共面向量 　(2024·开封高中高二月考)如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD， AE上，且BM＝eq \f(1,3)BD，AN＝eq \f(1,3)AE．求证：向量eq \o(MN,\s\up14(→))，eq \o(CD,\s\up14(→))，eq \o(DE,\s\up14(→))共面． 证明　因为M在BD上，且BM＝eq \f(1,3)BD， 所以eq \o(MB,\s\up14(→))＝eq \f(1,3) eq \o(DB,\s\up14(→))＝eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up14(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up14(→))． 同理eq \o(AN,\s\up14(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up14(→))． 所以eq \o(MN,\s\up14(→))＝eq \o(MB,\s\up14(→))＋eq \o(BA,\s\up14(→))＋eq \o(AN,\s\up14(→)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up14(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up14(→))))＋eq \o(BA,\s\up14(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up14(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up14(→)))) ＝eq \f(2,3) eq \o(BA,\s\up14(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up14(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up14(→))＋eq \f(1,3) eq \o(DE,\s\up14(→))． 又eq \o(CD,\s\up14(→))与eq \o(DE,\s\up14(→))不共线，根据向量共面的充要条件，可知eq \o(MN,\s\up14(→))，eq \o(CD,\s\up14(→))，eq \o(DE,\s\up14(→))共面． 感悟提升 证明空间向量共面、点共面的常用方法 (1)证明空间三个向量共面常用的方法 ①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则空间向量a，b，c共面； ②寻找平面α，证明这些空间向量与平面α平行． (2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ①eq \o(MP,\s\up14(→))＝xeq \o(MA,\s\up14(→))＋yeq \o(MB,\s\up14(→))； ②对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up14(→))＝eq \o(OM,\s\up14(→))＋xeq \o(MA,\s\up14(→))＋yeq \o(MB,\s\up14(→))； ③对空间任一点O，eq \o(OP,\s\up14(→))＝xeq \o(OA,\s\up14(→))＋yeq \o(OB,\s\up14(→))＋zeq \o(OM,\s\up14(→))(x＋y＋z＝1)； ④eq \o(PM,\s\up14(→))∥eq \o(AB,\s\up14(→))(或eq \o(PA,\s\up14(→))∥eq \o(MB,\s\up14(→))或eq \o(PB,\s\up14(→))∥eq \o(AM,\s\up14(→)))． [跟踪训练5]　(1)(2024·烟台龙口一中月考)已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且eq \o(OP,\s\up14(→))＝meq \o(OA,\s\up14(→))＋2eq \o(OB,\s\up14(→))＋eq \o(OC,\s\up14(→))，则m的值为(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．1 解析　O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且eq \o(OP,\s\up14(→))＝meq \o(OA,\s\up14(→))＋2eq \o(OB,\s\up14(→))＋eq \o(OC,\s\up14(→))，则m＋2＋1＝1，解得m＝－2．故选B． (2)(2024·南昌二中高二质检)如图，从▱ABCD所在平面外一点O作向量eq \o(OA',\s\up14(→))＝keq \o(OA,\s\up14(→))，eq \o(OB',\s\up14(→))＝keq \o(OB,\s\up14(→))，eq \o(OC',\s\up14(→))＝keq \o(OC,\s\up14(→))，eq \o(OD',\s\up14(→))＝keq \o(OD,\s\up14(→))．求证：A′，B′，C′，D′四点共面． 证明　因为四边形ABCD为平行四边形， 所以eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AD,\s\up14(→))， 因为从▱ABCD所在平面外一点O作向量 eq \o(OA',\s\up14(→))＝keq \o(OA,\s\up14(→))，eq \o(OB',\s\up14(→))＝keq \o(OB,\s\up14(→))，eq \o(OC',\s\up14(→))＝keq \o(OC,\s\up14(→))，eq \o(OD',\s\up14(→))＝keq \o(OD,\s\up14(→))， 所以eq \o(A'C',\s\up14(→))＝eq \o(OC',\s\up14(→))－eq \o(OA',\s\up14(→))＝k(eq \o(OC,\s\up14(→))－eq \o(OA,\s\up14(→)))＝keq \o(AC,\s\up14(→))＝k(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AD,\s\up14(→)))＝k(eq \o(OB,\s\up14(→))－eq \o(OA,\s\up14(→))＋eq \o(OD,\s\up14(→))－eq \o(OA,\s\up14(→)))＝keq \o(OB,\s\up14(→))－keq \o(OA,\s\up14(→))＋keq \o(OD,\s\up14(→))－keq \o(OA,\s\up14(→))＝eq \o(OB',\s\up14(→))－eq \o(OA',\s\up14(→))＋eq \o(OD',\s\up14(→))－eq \o(OA',\s\up14(→))＝eq \o(A'B',\s\up14(→))＋eq \o(A'D',\s\up14(→))， 所以eq \o(A'C ',\s\up14(→))，eq \o(A'B ',\s\up14(→))，eq \o(A'D ',\s\up14(→))共面， 因为eq \o(A'C ',\s\up14(→))，eq \o(A'B ',\s\up14(→))，eq \o(A'D ',\s\up14(→))有公共端点A′， 所以A′，B′，C′，D′四点共面． 1．(2024·贵阳高二联考)关于空间向量，下列四个结论正确的是(　　) A．方向相反的两个向量是相反向量 B．任意两个空间向量总是共面的 C．零向量没有方向 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 解析　对于A，方向相反、长度相等的向量是相反向量，故A错误；对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确；对于C，零向量的方向是任意的，故C错误；对于D，两个不相等的向量模可以相等，此时只要方向不相同，即为不相等的向量，故D错误．故选B． 2．(2024·临汾高二期中)已知eq \o(MA,\s\up14(→))，eq \o(MB,\s\up14(→))是空间两个不共线的向量，eq \o(MC,\s\up14(→))＝5eq \o(MA,\s\up14(→))－3eq \o(MB,\s\up14(→))，那么必有(　　) A．eq \o(MA,\s\up14(→))，eq \o(MC,\s\up14(→))共线 B．eq \o(MB,\s\up14(→))，eq \o(MC,\s\up14(→))共线 C．eq \o(MA,\s\up14(→))，eq \o(MB,\s\up14(→))，eq \o(MC,\s\up14(→))共面 D．eq \o(MA,\s\up14(→))，eq \o(MB,\s\up14(→))，eq \o(MC,\s\up14(→))不共面 解析　若eq \o(MA,\s\up14(→))，eq \o(MC,\s\up14(→))共线，则eq \o(MC,\s\up14(→))＝λeq \o(MA,\s\up14(→))(λ∈R)，又eq \o(MC,\s\up14(→))＝5eq \o(MA,\s\up14(→))－3eq \o(MB,\s\up14(→))，所以λeq \o(MA,\s\up14(→))＝5eq \o(MA,\s\up14(→))－3eq \o(MB,\s\up14(→))，eq \o(MB,\s\up14(→))＝eq \f(5－λ,3) eq \o(MA,\s\up14(→))，则eq \o(MA,\s\up14(→))，eq \o(MB,\s\up14(→))共线，与条件矛盾，故A错误；若eq \o(MB,\s\up14(→))，eq \o(MC,\s\up14(→))共线，则eq \o(MC,\s\up14(→))＝μeq \o(MB,\s\up14(→))(μ∈R)，又eq \o(MC,\s\up14(→))＝5eq \o(MA,\s\up14(→))－3eq \o(MB,\s\up14(→))，所以μeq \o(MB,\s\up14(→))＝5eq \o(MA,\s\up14(→))－3eq \o(MB,\s\up14(→))，eq \o(MA,\s\up14(→))＝eq \f(μ＋3,5) eq \o(MB,\s\up14(→))，则eq \o(MA,\s\up14(→))，eq \o(MB,\s\up14(→))共线，与条件矛盾，故B错误；根据空间向量的共面定理，可知eq \o(MA,\s\up14(→))，eq \o(MB,\s\up14(→))，eq \o(MC,\s\up14(→))共面，故C正确，D错误．故选C． 3．(2024·天津西青区高二月考)如图，在空间四边形ABCD中， 设E，F分别是BC，CD的中点，则eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(BD,\s\up14(→)))＝(　　) A．eq \o(AD,\s\up14(→)) B．eq \o(EF,\s\up14(→)) C．eq \o(AE,\s\up14(→)) D．eq \o(AF,\s\up14(→)) 解析　E，F分别是BC，CD的中点，则eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(BD,\s\up14(→)))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BF,\s\up14(→))＝eq \o(AF,\s\up14(→))．故选D． 4．(2024·抚顺高二期中)已知P为△ABC所在平面内一点，O为平面ABC外一点，若eq \o(OP,\s\up14(→))＝meq \o(OA,\s\up14(→))＋neq \o(OB,\s\up14(→))＋2eq \o(OC,\s\up14(→))，则m＋n的值为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析　因为eq \o(OP,\s\up14(→))＝meq \o(OA,\s\up14(→))＋neq \o(OB,\s\up14(→))＋2eq \o(OC,\s\up14(→))，且A，B，C，P四点共面，所以m＋n＋2＝1，所以m＋n＝－1．故选B． 5．(多选)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC 与BD的交点，若eq \o(A1B1,\s\up14(→))＝a，eq \o(A1D1,\s\up14(→))＝b，eq \o(A1A,\s\up14(→))＝c，则下列向量 运算正确的是(　　) A．eq \o(B1M,\s\up14(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c B．eq \o(B1D,\s\up14(→))＝－a＋b＋c C．eq \o(A1C,\s\up14(→))＝a＋b＋c D．eq \o(A1M,\s\up14(→))＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c 解析　eq \o(B1M,\s\up14(→))＝eq \o(B1B,\s\up14(→))＋eq \o(BM,\s\up14(→))＝eq \o(A1A,\s\up14(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BA,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→)))＝c＋eq \f(1,2)(－a＋b)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c，A正确；eq \o(B1D,\s\up14(→))＝eq \o(B1D1,\s\up14(→))＋eq \o(D1D,\s\up14(→))＝(b－a)＋c＝－a＋b＋c，B正确；eq \o(A1C,\s\up14(→))＝eq \o(A1C1,\s\up14(→))＋eq \o(C1C,\s\up14(→))＝eq \o(A1B1,\s\up14(→))＋eq \o(A1D1,\s\up14(→))＋eq \o(C1C,\s\up14(→))＝a＋b＋c，C正确；eq \o(A1M,\s\up14(→))＝eq \o(A1A,\s\up14(→))＋eq \o(AM,\s\up14(→))＝c＋eq \f(1,2)(a＋b)＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c，D错误．故选ABC． 一、选择题 1．(2024·深圳高二期中)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(A1D1,\s\up14(→))＋eq \o(CC1,\s\up14(→))＝(　　) A．eq \o(AC1,\s\up14(→)) B．eq \o(C1A,\s\up14(→)) C．eq \o(AD1,\s\up14(→)) D．eq \o(D1A,\s\up14(→)) 解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，eq \o(A1D1,\s\up14(→))＝eq \o(BC,\s\up14(→))，故eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(A1D1,\s\up14(→))＋eq \o(CC1,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(CC1,\s\up14(→))＝eq \o(AC1,\s\up14(→))．故选A． 2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq \o(D1A,\s\up14(→))，eq \o(D1C,\s\up14(→))，eq \o(A1C1,\s\up14(→))是(　　) A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量 解析　如图所示，因为eq \o(D1C,\s\up14(→))－eq \o(D1A,\s\up14(→))＝eq \o(AC,\s\up14(→))，而eq \o(AC,\s\up14(→))＝eq \o(A1C1,\s\up14(→))，所以eq \o(D1C,\s\up14(→))－eq \o(D1A,\s\up14(→))＝eq \o(A1C1,\s\up14(→))，即eq \o(D1C,\s\up14(→))＝eq \o(D1A,\s\up14(→))＋eq \o(A1C1,\s\up14(→))．而eq \o(D1A,\s\up14(→))与eq \o(A1C1,\s\up14(→))不共线，所以eq \o(D1C,\s\up14(→))，eq \o(D1A,\s\up14(→))，eq \o(A1C1,\s\up14(→))三向量共面． 3．(2024·涟水一中高二月考)已知四面体OABC，空间的一点M满足eq \o(OM,\s\up14(→))＝eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up14(→))＋eq \f(1,6) eq \o(OB,\s\up14(→))＋λeq \o(OC,\s\up14(→))，若M，A，B，C四点共面，则λ＝(　　) A．eq \f(7,12) B．eq \f(1,3) C．eq \f(5,12) D．eq \f(1,2) 解析　在四面体OABC中，空间的一点M满足eq \o(OM,\s\up14(→))＝eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up14(→))＋eq \f(1,6) eq \o(OB,\s\up14(→))＋λeq \o(OC,\s\up14(→))，因为M，A，B，C四点共面，所以eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＋λ＝1，解得λ＝eq \f(7,12)．故选A． 4．(2024·山东省实验中学高二月考)若A，B，C，D为空间不同的四个点，则下列各式不一定为零向量的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up14(→))＋2eq \o(BC,\s\up14(→))＋2eq \o(CD,\s\up14(→))＋eq \o(DC,\s\up14(→)) B．2eq \o(AB,\s\up14(→))＋2eq \o(BC,\s\up14(→))＋3eq \o(CD,\s\up14(→))＋3eq \o(DA,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→)) C．eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→))＋eq \o(BD,\s\up14(→)) D．eq \o(AB,\s\up14(→))－eq \o(CB,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))－eq \o(AD,\s\up14(→)) 解析　对于A，eq \o(AB,\s\up14(→))＋2eq \o(BC,\s\up14(→))＋2eq \o(CD,\s\up14(→))＋eq \o(DC,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))＋eq \o(DC,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))＝eq \o(AC,\s\up14(→))＋eq \o(BD,\s\up14(→))，故A符合题意；对于B，2eq \o(AB,\s\up14(→))＋2eq \o(BC,\s\up14(→))＋3eq \o(CD,\s\up14(→))＋3eq \o(DA,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))＝2(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→)))＋(eq \o(CD,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→)))＝0，故B不符合题意；对于C，eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→))＋eq \o(BD,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BD,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→))＝0，故C不符合题意；对于D，eq \o(AB,\s\up14(→))－eq \o(CB,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))－eq \o(AD,\s\up14(→))＝eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→))＋eq \o(CD,\s\up14(→))＋eq \o(DA,\s\up14(→))＝0，故D不符合题意．故选A． 5．(2024·安溪县高二期中)在三棱锥O－ABC中，M为OA的中点，点N在线段BC上，若eq \o(MN,\s\up14(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up14(→))＋aeq \o(OB,\s\up14(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up14(→))，则a＝(　　) A．eq \f(1,2) B．1 C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3) 解析　在三棱锥O－ABC中，M为OA的中点，点N在线段BC上，所以eq \o(BN,\s\up14(→))＝λeq \o(BC,\s\up14(→))，整理得eq \o(ON,\s\up14(→))－eq \o(OB,\s\up14(→))＝λeq \o(OC,\s\up14(→))－λeq \o(OB,\s\up14(→))，故eq \o(ON,\s\up14(→))＝λeq \o(OC,\s\up14(→))＋(1－λ)eq \o(OB,\s\up14(→))，如图所示，所以eq \o(MN,\s\up14(→))＝eq \o(ON,\s\up14(→))－eq \o(OM,\s\up14(→))＝eq \o(ON,\s\up14(→))－eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up14(→))＝λeq \o(OC,\s\up14(→))＋(1－λ)eq \o(OB,\s\up14(→))－eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up14(→))，由于eq \o(MN,\s\up14(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up14(→))＋aeq \o(OB,\s\up14(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up14(→))，故λ＝eq \f(1,3)，a＝1－λ＝eq \f(2,3)．故选D． 6．(多选)如图，四边形ABCD是空间四边形，E，H分别 是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且eq \o(CF,\s\up14(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up14(→))， eq \o(CG,\s\up14(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up14(→))，则(　　) A．eq \o(FG,\s\up14(→))＝eq \f(2,3) eq \o(BD,\s\up14(→)) B．eq \o(EH,\s\up14(→))＝eq \f(3,4) eq \o(FG,\s\up14(→)) C．eq \o(EF,\s\up14(→))＝eq \o(HG,\s\up14(→)) D．四边形EFGH是梯形 解析　∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，则eq \o(EH,\s\up14(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up14(→))，又eq \o(FG,\s\up14(→))＝eq \o(CG,\s\up14(→))－eq \o(CF,\s\up14(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up14(→))－eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up14(→))＝eq \f(2,3)(eq \o(CD,\s\up14(→))－eq \o(CB,\s\up14(→)))＝eq \f(2,3) eq \o(BD,\s\up14(→))，故A正确；eq \o(EH,\s\up14(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(3,2) eq \o(FG,\s\up14(→))＝eq \f(3,4) eq \o(FG,\s\up14(→))，故B正确；显然直线EF和直线HG相交，故C不正确，D正确． 二、填空题 7．(2024·湖北名校高二联考)已知空间向量a，b，c，化简eq \f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝________． eq \f(5,6)a＋eq \f(9,2)b－eq \f(7,6)c 解析　原式＝eq \f(1,2)a＋b－eq \f(3,2)c＋eq \f(10,3)a－eq \f(5,2)b＋eq \f(10,3)c－3a＋6b－3c＝eq \f(5,6)a＋eq \f(9,2)b－eq \f(7,6)c． 8．已知空间向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________． 解析　由a，c同向，a，b反向及|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，画图可知，|a＋b＋c|＝|a|＋|c|－|b|＝3＋1－2＝2． 9．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设G是CD的中点，则eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BD,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→)))＝________． 解析　如图所示，∵G是CD的中点，∴eq \f(1,2)(eq \o(BD,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→)))＝eq \o(BG,\s\up14(→))，∴eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BD,\s\up14(→))＋eq \o(BC,\s\up14(→)))＝eq \o(AG,\s\up14(→))． eq \o(AG,\s\up14(→)) 三、解答题 10．(2024·临汾一中高二月考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中： (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与eq \o(AB,\s\up14(→))相等的所有向量； (3)试写出eq \o(AA1,\s\up14(→))的相反向量． 解　(1)由题意，单位向量有eq \o(AA1,\s\up14(→))，eq \o(A1A,\s\up14(→))，eq \o(BB1,\s\up14(→))，eq \o(B1B,\s\up14(→))，eq \o(CC1,\s\up14(→))，eq \o(C1C,\s\up14(→))，eq \o(DD1,\s\up14(→))，eq \o(D1D,\s\up14(→))，共8个． (2)由题意，与eq \o(AB,\s\up14(→))相等的向量有eq \o(A1B1,\s\up14(→))，eq \o(DC,\s\up14(→))，eq \o(D1C1,\s\up14(→))． (3)由题意，eq \o(AA1,\s\up14(→))的相反向量为eq \o(A1A,\s\up14(→))，eq \o(B1B,\s\up14(→))，eq \o(C1C,\s\up14(→))，eq \o(D1D,\s\up14(→))． 1．如图，已知OE是平行六面体OADB－CFEG的体对角线，点M是△ABC的重心，求证：点M在直线OE上． 证明　如图，连接AM并延长交BC于点H，因为M是△ABC的重心，所以H为BC的中点， 所以eq \o(AH,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→)))， 所以eq \o(AM,\s\up14(→))＝eq \f(2,3) eq \o(AH,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AC,\s\up14(→))) ＝eq \f(1,3)[(eq \o(OB,\s\up14(→))－eq \o(OA,\s\up14(→)))＋(eq \o(OC,\s\up14(→))－eq \o(OA,\s\up14(→)))] ＝eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up14(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up14(→))－eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up14(→))， 所以eq \o(OM,\s\up14(→))＝eq \o(OA,\s\up14(→))＋eq \o(AM,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(OA,\s\up14(→))＋eq \o(OB,\s\up14(→))＋eq \o(OC,\s\up14(→)))． 又因为eq \o(OE,\s\up14(→))＝eq \o(OA,\s\up14(→))＋eq \o(AD,\s\up14(→))＋eq \o(DE,\s\up14(→))＝eq \o(OA,\s\up14(→))＋eq \o(OB,\s\up14(→))＋eq \o(OC,\s\up14(→))， 所以eq \o(OM,\s\up14(→))＝eq \f(1,3) eq \o(OE,\s\up14(→))，所以点M在直线OE上． 2．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且eq \f(PH,HC)＝eq \f(1,2)，点G在AH上，且eq \f(AG,AH)＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值． 解　连接BG． 因为eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \o(PB,\s\up14(→))－eq \o(PA,\s\up14(→))，eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \o(DC,\s\up14(→))， 所以eq \o(DC,\s\up14(→))＝eq \o(PB,\s\up14(→))－eq \o(PA,\s\up14(→))． 因为eq \o(PC,\s\up14(→))＝eq \o(PD,\s\up14(→))＋eq \o(DC,\s\up14(→))， 所以eq \o(PC,\s\up14(→))＝eq \o(PD,\s\up14(→))＋eq \o(PB,\s\up14(→))－eq \o(PA,\s\up14(→))＝－eq \o(PA,\s\up14(→))＋eq \o(PB,\s\up14(→))＋eq \o(PD,\s\up14(→))． 因为eq \f(PH,HC)＝eq \f(1,2)，所以eq \o(PH,\s\up14(→))＝eq \f(1,3) eq \o(PC,\s\up14(→))， 所以eq \o(PH,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)(－eq \o(PA,\s\up14(→))＋eq \o(PB,\s\up14(→))＋eq \o(PD,\s\up14(→)))＝－eq \f(1,3) eq \o(PA,\s\up14(→))＋eq \f(1,3) eq \o(PB,\s\up14(→))＋eq \f(1,3) eq \o(PD,\s\up14(→))． 又因为eq \o(AH,\s\up14(→))＝eq \o(PH,\s\up14(→))－eq \o(PA,\s\up14(→))， 所以eq \o(AH,\s\up14(→))＝－eq \f(4,3) eq \o(PA,\s\up14(→))＋eq \f(1,3) eq \o(PB,\s\up14(→))＋eq \f(1,3) eq \o(PD,\s\up14(→))． 因为eq \f(AG,AH)＝m， 所以eq \o(AG,\s\up14(→))＝meq \o(AH,\s\up14(→))＝－eq \f(4m,3) eq \o(PA,\s\up14(→))＋eq \f(m,3) eq \o(PB,\s\up14(→))＋eq \f(m,3) eq \o(PD,\s\up14(→))． 因为eq \o(BG,\s\up14(→))＝－eq \o(AB,\s\up14(→))＋eq \o(AG,\s\up14(→))＝eq \o(PA,\s\up14(→))－eq \o(PB,\s\up14(→))＋eq \o(AG,\s\up14(→))， 所以eq \o(BG,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4m,3))) eq \o(PA,\s\up14(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,3)－1)) eq \o(PB,\s\up14(→))＋eq \f(m,3) eq \o(PD,\s\up14(→))． 又因为G，B，P，D四点共面， 所以1－eq \f(4m,3)＝0，m＝eq \f(3,4)． $$