第二章第10讲 章节复习专题：实数(12类热点题型讲练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第10讲 章节复习专题：实数(12类热点题型讲练) 目录 【考点一 无理数、实数的概念】 1 【考点二 算术平方根、平方根、立方根概念理解】 3 【考点三 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】 5 【考点四 利用算术平方根的非负性解题】 6 【考点五 利用开平方、开立方解方程】 8 【考点六 平方根与立方根的综合问题】 10 【考点七 二次根式的概念、有意义、最简二次根式】 13 【考点八 同类二次根式】 15 【考点九 利用二次根式的性质化简】 17 【考点十 二次根式的混合运算】 19 【考点十一 复合二次根式的化简】 25 【考点十二 与二次根式运算有关的规律题】 30 【考点一 无理数、实数的概念】 例题：（2024·湖南益阳·二模）在实数 ， 0，  ，  中，无理数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】本题考查无理数的定义，根据“无限不循环小数是无理数”进行判断即可． 【详解】解：是无理数， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东惠州·开学考试）在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，，，（两个1之间依次多一个6）是无理数，共3个， 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）在，， 0，，， 中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见三种表现形式为：①开方开不尽的数，如等；②无限不循环的小数，如等；③字母表示，如等． 【详解】解：无理数为， 共1个， 故选A． 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）在实数，，，3.14，，3.1212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），中，无理数的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②含的数；③有规律但无限不循环的小数．根据无理数概念逐个判断，即可解题． 【详解】解：题中的无理数有，，3.1212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），共个， 故选：D． 4．（23-24七年级下·西藏林芝·期末）把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 【答案】(1)，，，，相邻的两个之间依次多一个 (2)，，，， (3)，， (4)， 【知识点】实数的分类 【分析】此题考查了实数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．根据无理数，有理数，分数，负无理数的定义求解即可． 【详解】（1）无理数集合：，，，，相邻的两个之间依次多一个， 故答案为：，，，，相邻的两个之间依次多一个， （2）有理数集合：，，，，， 故答案为：，，，，， （3）分数集合：，，， 故答案为：，，， （4）负无理数集合：，， 故答案为：，， 【考点二 算术平方根、平方根、立方根概念理解】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）有下列说法：①的平方根是4； ②表示6的算术平方根的相反数； ③的立方根是；④是的平方根. 其中，正确的说法有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题考查了平方根、立方根的相关概念，掌握相关结论即可． 【详解】解：①，的平方根是，故①错误； ②表示6的算术平方根的相反数，故②正确； ③的立方根是，故③正确； ④，是的平方根，故④正确； 故选：C 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）判断下列说法正确的是（    ）． A．的平方根是； B．是64的立方根； C．是的立方根； D．的平方根是． 【答案】C 【知识点】立方根概念理解、平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义逐项判定即可． 【详解】解∶A． 是负数，没有平方根，故原说法错误，不符合题意； B．4是64的立方根，故原说法错误，不符合题意； C．是的立方根，故原说法正确，符合题意； D．的平方根是，故原说法错误，不符合题意； 故选∶C． 2．（23-24七年级下·广西钦州·阶段练习）下列说法中，错误的是（    ） A．1的平方根是1 B．0的立方根是0 C．3是9的一个平方根 D．的立方根是 【答案】A 【知识点】立方根概念理解、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，理解并掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是解题的关键．根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、的平方根是，故本选项原说法错误，符合题意； B、0的立方根是0，故本选项原说法正确，不符合题意； C、3是9的一个平方根，故本选项原说法正确，不符合题意； D、的立方根是，故本选项原说法正确，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24七年级下·云南保山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．立方根等于它本身的数是， B．是的立方根 C．是的平方根 D．一定没有平方根 【答案】C 【知识点】立方根概念理解、平方根概念理解 【分析】本题考查平方根、立方根，解题的关键是理解和掌握平方根和立方根的定义．据此分析即可． 【详解】解：A．立方根等于它本身的数是，，原说法不正确，故此选项不符合题意； B．是的立方根，原说法不正确，故此选项不符合题意； C．是的平方根，原说法正确，故此选项符合题意； D．当时，，此时有平方根，原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 【考点三 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）的平方根是 ，算术平方根是 ，的立方根是 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，算术平方根和立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：的平方根是，算术平方根是，的立方根是， 故答案为：；． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）的平方根是 ；5的立方根是 ；的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的意义，即可解答． 【详解】解：9的算术平方根是3， 3的平方根是， 5的立方根是， 64的算术平方根是8， 8的算术平方根是即， 故答案为：，，． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）的算术平方根是 ，的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的定义．熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【详解】解：的算术平方根是； ，它的平方根是； ，它的立方根是； 故答案为：；；． 3．（23-24七年级下·海南海口·期末）的平方根是 ，的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 /0.7 2 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数，正的平方根即为它的算术平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．分别根据平方根、算术平方根和立方根的概念直接计算即可求解． 【详解】解：, 的平方根是；的算术平方根是，的立方根是2； 故答案：，，2． 【考点四 利用算术平方根的非负性解题】 例题：（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若、满足，则 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，根据非负数的性质得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、负整数指数幂 【分析】本题考查算术平方根的非负性，负整数指数幂，熟练算术平方根的非负性和负整数指数幂的求法是解题的关键．先利用和求出，再求出，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 代入， 得：， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查算术平方根的非负性，根据非负性求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 3．（24-25八年级上·四川遂宁·开学考试）若，则 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】此题主要考查了非负数的性质，首先根据非负数的性质，可求出x、y的值，即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键．． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【考点五 利用开平方、开立方解方程】 例题：（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键． （1）根据平方根的性质可得，即可获得答案； （2）根据立方根的性质可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）求下列各式中的值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【知识点】立方根的实际应用、利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根的定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ （2） ∴ 2．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】立方根的实际应用、利用平方根解方程 【分析】此题考查了根据平方根和立方根的意义解方程， （1）根据平方根的意义得到，解一元一次方程即可； （2）原方程变形为，根据立方根的定义得到，，解一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ∴ 解得或 （2）解： ∴ 根据立方根的定义得到， 解得 3．（23-24七年级下·云南昭通·期末）解方程． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】立方根的实际应用、利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了根据求平方根和求立方根的方法解方程，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）先把方程两边同时除以2，再根据求平方根的方法解方程即可； （2）先把方程两边同时减去27，然后再根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或； （2）解：， ， ∴ 【考点六 平方根与立方根的综合问题】 例题：（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是4，求： (1)a、b的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根是 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义，准确计算． （1）根据的算术平方根是，的立方根是，得出，，求出结果即可； （2）把，代入求出，然后求出的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求： (1)、、的值； (2)的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的立方根、平方根概念理解、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根、求算术平方根的整数部分等知识点，能求出、、的值是解题的关键． （1）根据算术平方根和平方根的定义求出、的值，再估算出的大小，求出的值即可； （2）将（1）中求出的、、的值代入，求出结果后再求出立方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是，的平方根是， ，， 解得：，， ， ， 的整数部分是，即， ，，； （2）解：，，， ，， 的立方根是． 2．（22-23七年级下·重庆巴南·期中）已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是 (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求一个数的立方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】（1）根据平方根的运算可求出的，算术平方根的运算及的值可求出的值，立方根的运算可求出的值； （2）把（1）中的的值代入，根据平方根的运算即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴，即，解得，， ∵的算术平方根为它本身，算术平方根等于其本身的有或，且， ∴，即，且， ∴，解得，， ∵的立方根是， ∴，即，解得，， ∴，，． （2）解：由（1）可知，，，， ∴， ∴的平方根为， ∴的平方根为：． 【点睛】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的运算，掌握以上知识的综合运算方法是解题的关键． 3．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2) 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）利用平方根、立方根定义确定出a与b的值即可； （2）把a与b的值代入计算即可解答． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：， ， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义及代数式求值，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 【考点七 二次根式的概念、有意义、最简二次根式】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般形如的代数式叫做二次根式，由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、当时，，无意义，故本选项错误，不符合题意； B、当时，无意义，故本选项错误，不符合题意； C、无论取何值，，有意义，故本选项正确，符合题意； D、当时，，无意义，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川自贡·开学考试）能够使二次根式有意义的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）下列式子为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开放开的尽的因数或因式进行判断即可. 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选B 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D．x 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、是二次根式，本选项符合题意； B、没有意义，不是二次根式，本选项不符合题意； C、不是二次根式，本选项不符合题意； D、x不是二次根式，本选项不符合题意； 故选：A． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）使二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 5．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的性质，根据最简二次根式应满足的条件：被开方数的因数是整数，因式是整式（不含有分母）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；分母中不含有二次根式，由此即可求解 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意 故选：A ． 【考点八 同类二次根式】 例题：（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）下列根式跟是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】先将各二次根式化简为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断即可．本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，与的被开方数不相同，故不符合题意； B、，与的被开方数相同，符合题意； C、，与的被开方数不相同，故不符合题意； D、，与的被开方数不相同，故不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）根式中，与是同类二次根式的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这样的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：，，，，， ∴与是同类二次根的有，共1个， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）下列二次根式，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，把五个二次根式化简，然后被开方数与化简的结果的被开方数相同时，则能与合并，反比不能与合并． 【详解】解：，，，，， ∴能与合并的是，，，不能与合并的是， 故选：B． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式、已知最简二次根式求参数、同类二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题考查同类二次根式及最简二次根式的定义，根据题意，判断与最简二次根式是同类二次根式，列等式求解即可得到答案，熟记同类二次根式及最简二次根式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，且与最简二次根式能合并， 与最简二次根式是同类二次根式， ，解得， 故选：B． 4．（23-24八年级下·全国·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．掌握几个最简二次根式的被开方数相同，这几个最简二次根式就叫做同类二次根式是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， ， 故选：A． 【考点九 利用二次根式的性质化简】 例题：（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】b 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了数轴、绝对值的的应用和二次根式的化简，先化简二次根式，再根据图形判断a、b的大小和的大小，最后去绝对值即可得出答案． 【详解】解：， 如图可知， ， ， 故答案为：b． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知的三边之长分别为2、5、m，则 ． 【答案】/ 【知识点】三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简、化简绝对值 【分析】本题考查了三角形三边关系及二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中的被开方数为非负数是解题的关键．根据三角形的三边关系可得出，再根据二次根式有意义的条件即可将原式化简求值． 【详解】解：的三边之长分别为2、5、， ， 即， ，， ． 故答案为： 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知，化简： ． 【答案】 【知识点】化简绝对值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值．根据二次根式的性质和绝对值的意义化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得出，或，，然后分两种情况，根据二次根式性质进行化简即可． 【详解】解：∵有意义， ， ，或，， 当，时，； 当，时，； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）把中根号外的a移入根号内，则 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了化简二次根式，熟知二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点十 二次根式的混合运算】 例题：（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】先化简，然后合并同类二次根式即可； 先化简，去绝对值，再合并同类二次根式即可； 先化简，然后合并同类二次根式即可； 根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式和同类项即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) 【知识点】零指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的减法运算，二次根式的混合运算，零指数幂等知识．熟练掌握二次根式的性质进行化简，二次根式的减法运算，二次根式的混合运算，零指数幂是解题的关键． （1）利用二次根式的性质进行化简，然后进行减法运算即可； （2）利用二次根式的性质进行化简，然后进行减法运算，最后进行乘法运算即可； （3）先利用平方差公式计算，然后进行加法运算即可； （4）先计算二次根式的除法，零指数幂，然后进行减法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘除和立方根，再计算加减即可； （3）先计算负整数指数幂、零指数幂、算术平方根，再计算加减即可； （4）根据二次根式的除法法则和完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)9 (4) 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算，零指数幂，负整数指数幂： （1）利用二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法运算，再合并同类二次根式即可； （3）先进行乘方，乘法计算，再合并同类二次根式即可； （4）先进行乘法，负整数指数幂，去绝对值，零指数幂，化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式 ； （4）原式． 4．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算 (1)； (2)． (3)； (4)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】零指数幂、二次根式的混合运算、分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值，零指数幂： （1）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式加减法即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，再计算二次根式加减法即可； （3）先化简二次根式和分母有理数，再计算零指数幂，最后计算再计算二次根式加减法即可； （4）先分母有理化，然后根据合并化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ， 当时，原式． 【考点十一 复合二次根式的化简】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】(1)④， (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、复合二次根式的化简、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． 2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材枓解答下列问题： (1)填空：①______；  ②______． (2)化简：（诸写出计算过程）； (3)化简：． 【答案】(1)①；② (2) (3)1 【知识点】复合二次根式的化简、分母有理化 【分析】本题主要考查了化简二次根式，分母有理化： （1）①仿照题意求解即可；②根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据例题把，变成，然后根据阅读材料进行化简； （3）先根据阅读材料将分母进行化简，然后分母有理化，再合并同类二次根式化为最简形式． 【详解】（1）解：①∵，，即，， ∴； ②； （2）解：解： ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：； （3）解： ． 3．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)7或13 (4)当时，，当时， 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简： （1）根据题目所给信息即可得到答案； （2）根据结合完全平方公式求解即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可． （4）根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，y为正整数， ∴，或，， ∴或． （4）解： ， 当，即时，则原式； 当，即时，则原式； 综上所述，当时，，当时，． 【考点十二 与二次根式运算有关的规律题】 例题：（23-24八年级下·江西赣州·期中）特例感知 化简：； 解：； (1)请在横线上直接写出化简的结果： ①______；②______． 观察发现 (2)第个式子是（为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 拓展应用 (3)从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算： ①； ②． 【答案】(1)①；② (2) (3)①；② 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算是解题的关键． （1）利用分母有理化求解作答即可； （2）根据，求解作答即可； （3）①利用（2）的结论，结合平方差公式计算即可；②先分母有理化，再逆用同分母的加减法则变形后，结合互为相反数的和为零，计算即可． 【详解】（1）①解：， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； （2）解：， ∴的化简结果为； （3）解： ； ②解： ． 【变式训练】 1．（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算 【分析】本题考查规律探索，根据已知的式子总结出等式与序数的关系是解题的关键．由已知的等式，总结规律求解即可． （1）由已知的等式，即可归纳出规律； （2）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解： （2）原式 ． 2．（23-24八年级下·安徽池州·期末）观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算，理解题意，找到题干中所给式子的规律是解题的关键． （1）根据所给算式的规律可直接得出答案； （2）根据所给算式得出一般性规律即可； （3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算． 【详解】（1）解：根据题干所给算式的规律，可得 （或或） （2）解：根据题干所给算式的规律，可得 （3）解： 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）利用各被开方数与序号数的关系写出第5个等式； （2）利用（1）中等式的规律得到，，然后比较与的大小即可； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：第5个等式为； 故答案为：； （2）解：，， ， ， 即； （3）解：原式 ． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列等式： ①；②；③；… 解决下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑥个式子． (2)用含n（n为正整数）的式子表示上面各个等式的规律． (3)利用上述结果计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题、二次根式的混合运算 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算的应用，根据题意正确总结规律是解题的关键． （1）利用题中等式的规律即可得到； （2）根据题目中式子的特点，找到规律得出第n个等式； （3）利用（2）的结论得出的规律，再裂项计算即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③；… ∴第⑥个式子为． （2）根据题干规律可得：第n个式子为． （3）根据（2）中规律可得： 原式 ． 5．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，观察图形，认真分析，其中表示的面积，表示的面积，…，以此类推． ，； ，； ，； …． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)求的值． 【答案】(1)6， (2) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探索，二次根式的计算．理解题意，找出规律是解题关键． （1）根据题意可得出，，再令求解即可； （2）由（1）可得出，再结合二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：，； ，； ，； …， ∴，． 当时，即，． 故答案为：6，； （2）解：由（1）可知 ． 6．（23-24八年级下·山东威海·期中）观察以下式子的化简过程： ①， ②， ③， …… 根据以上式子的化简过程，得出规律．完成下列问题： (1)如果n为正整数，那么的值为______； (2)根据以上规律计算：的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式的应用，正确得出是解题的关键． （1）结合已知的式子，在分子和分母同乘以，然后利用平方差公式进行运算即可； （2）由（1）结论将原式化简，再进行加减运算即可； 【详解】（1）解：， 故答案为： ； （2） ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 章节复习专题：实数(12类热点题型讲练) 目录 【考点一 无理数、实数的概念】 1 【考点二 算术平方根、平方根、立方根概念理解】 3 【考点三 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】 5 【考点四 利用算术平方根的非负性解题】 6 【考点五 利用开平方、开立方解方程】 8 【考点六 平方根与立方根的综合问题】 10 【考点七 二次根式的概念、有意义、最简二次根式】 13 【考点八 同类二次根式】 15 【考点九 利用二次根式的性质化简】 17 【考点十 二次根式的混合运算】 19 【考点十一 复合二次根式的化简】 25 【考点十二 与二次根式运算有关的规律题】 30 【考点一 无理数、实数的概念】 例题：（2024·湖南益阳·二模）在实数 ， 0，  ，  中，无理数是（    ） A． B．0 C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东惠州·开学考试）在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）在，， 0，，， 中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）在实数，，，3.14，，3.1212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），中，无理数的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24七年级下·西藏林芝·期末）把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，，，，，，，相邻的两个之间依次多一个． (1)无理数集合：________________________________________ (2)有理数集合：________________________________________． (3)分数集合：_______________________． (4)负无理数集合：_____________． 【考点二 算术平方根、平方根、立方根概念理解】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）有下列说法：①的平方根是4； ②表示6的算术平方根的相反数； ③的立方根是；④是的平方根. 其中，正确的说法有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）判断下列说法正确的是（    ）． A．的平方根是； B．是64的立方根； C．是的立方根； D．的平方根是． 2．（23-24七年级下·广西钦州·阶段练习）下列说法中，错误的是（    ） A．1的平方根是1 B．0的立方根是0 C．3是9的一个平方根 D．的立方根是 3．（23-24七年级下·云南保山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．立方根等于它本身的数是， B．是的立方根 C．是的平方根 D．一定没有平方根 【考点三 求一个数的算术平方根、平方根、立方根】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）的平方根是 ，算术平方根是 ，的立方根是 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）的平方根是 ；5的立方根是 ；的算术平方根是 ． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）的算术平方根是 ，的平方根是 ，的立方根是 ． 3．（23-24七年级下·海南海口·期末）的平方根是 ，的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【考点四 利用算术平方根的非负性解题】 例题：（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若、满足，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若，为实数，且，则的值为 ． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·四川遂宁·开学考试）若，则 ． 【考点五 利用开平方、开立方解方程】 例题：（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）解方程： (1) (2) 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）求下列各式中的值 (1)； (2)． 2．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 3．（23-24七年级下·云南昭通·期末）解方程． (1) (2) 【考点六 平方根与立方根的综合问题】 例题：（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是4，求： (1)a、b的值； (2)的平方根． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求： (1)、、的值； (2)的立方根． 2．（22-23七年级下·重庆巴南·期中）已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是 (1)求的值； (2)求的平方根． 3．（23-24七年级下·云南楚雄·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【考点七 二次根式的概念、有意义、最简二次根式】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川自贡·开学考试）能够使二次根式有意义的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）下列式子为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D．x 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）使二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【考点八 同类二次根式】 例题：（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）下列根式跟是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）根式中，与是同类二次根式的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）下列二次根式，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·全国·期末）最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A． B． C． D． 【考点九 利用二次根式的性质化简】 例题：（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知的三边之长分别为2、5、m，则 ． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知，化简： ． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简： ． 4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）把中根号外的a移入根号内，则 ． 【考点十 二次根式的混合运算】 例题：（24-25八年级上·广东深圳·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 4．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算 (1)； (2)． (3)； (4)已知，求的值． 【考点十一 复合二次根式的化简】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 2．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材枓解答下列问题： (1)填空：①______；  ②______． (2)化简：（诸写出计算过程）； (3)化简：． 3．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【考点十二 与二次根式运算有关的规律题】 例题：（23-24八年级下·江西赣州·期中）特例感知 化简：； 解：； (1)请在横线上直接写出化简的结果： ①______；②______． 观察发现 (2)第个式子是（为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 拓展应用 (3)从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算： ①； ②． 【变式训练】 1．（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 2．（23-24八年级下·安徽池州·期末）观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 4．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列等式： ①；②；③；… 解决下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑥个式子． (2)用含n（n为正整数）的式子表示上面各个等式的规律． (3)利用上述结果计算：． 5．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，观察图形，认真分析，其中表示的面积，表示的面积，…，以此类推． ，； ，； ，； …． 根据以上规律，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)求的值． 6．（23-24八年级下·山东威海·期中）观察以下式子的化简过程： ①， ②， ③， …… 根据以上式子的化简过程，得出规律．完成下列问题： (1)如果n为正整数，那么的值为______； (2)根据以上规律计算：的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$