3.3.2 第2课时 抛物线的方程及性质的应用-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 选择性必修 第一册[RJ] 第2课时　抛物线的方程及性质的应用 (教师独具内容) 课程标准：1．理解直线与抛物线的位置关系．2．了解抛物线的简单应用． 教学重点：1．直线与抛物线位置关系的判定方法．2．解决弦长、弦中点等问题． 教学难点：抛物线性质的综合应用及数形结合思想、方程思想、转化思想在研究问题和解决问题中的应用． 核心素养：通过运用抛物线的方程与性质解决问题，提升逻辑推理及数学运算素养． 知识点一　直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的公共点的个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个公共点；若Δ＝0，则直线与抛物线有一个公共点(此时直线与抛物线相切)；若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点． [说明]　直线与抛物线公共点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况． 知识点二　一般弦长 设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝· 或|AB|＝|y1－y2|＝·(k≠0)． 1．(直线与抛物线的位置关系)已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则(　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 答案　C 2．(直线与抛物线相切)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(　　) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 答案　D 3．(一般弦长问题)已知抛物线C：y2＝x，直线l：y＝x－2，直线l与抛物线C交于A，B两点，则|AB|＝________． 答案　3 题型一　直线与抛物线的位置关系　 　已知抛物线C：y2＝－2x，过点P(1，1)的直线l的斜率为k，当k取何值时，l与C：有且仅有一个公共点？有两个公共点？无公共点？ [解]　直线l：y－1＝k(x－1)， 将x＝－代入整理，得 ky2＋2y＋2k－2＝0． ①当k＝0时，把y＝1代入y2＝－2x，得x＝－，直线l与抛物线C只有一个公共点． ②当k≠0时，Δ＝4－4k(2k－2)＝－8k2＋8k＋4． 由Δ＝0，得k＝， ∴当k<或k>时，Δ<0，l与C无公共点； 当k＝时，Δ＝0，l与C有且仅有一个公共点； 当<k<且k≠0时，Δ>0，l与C有两个公共点． 综上，当k＝或k＝0时，l与C有且仅有一个公共点； 当<k<0或0<k<时，l与C有两个公共点； 当k<或k>时，l与C无公共点． 感悟提升　直线与抛物线公共点个数的判断方法 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0， ①若a≠0， 当Δ>0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线无公共点． ②若a＝0，直线与抛物线有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 　已知点A(0，2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程． 解　当直线l的斜率不存在时，由直线l过点A(0，2)可知，直线l就是y轴，其方程为x＝0． 由得y＝0． 此时直线l与抛物线C只有一个公共点O(0，0)． 若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝kx＋2． 这个方程与抛物线C的方程联立得方程组 消去x，得ky2－6y＋12＝0．① 当k＝0时，得－6y＋12＝0，即y＝2，可知此时直线l与抛物线交于点； 当k≠0时，关于y的二次方程①的判别式Δ＝36－48k． 由Δ＝0得k＝，可知此时直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，直线l的方程为y＝x＋2，即3x－4y＋8＝0． 因此，直线l的方程为x＝0或3x－4y＋8＝0或y＝2． 题型二　与抛物线有关的弦长、弦中点问题　 　(1)(2024·河北衡水第二中学期中)若抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线l：y＝2x＋与抛物线交于A，B两点，且|AF|－|BF|＝，则|AB|＝(　　) A．4 B． C．2 D． [解析]　抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F，直线y＝2x＋过抛物线的焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|AF|－|BF|＝y1－y2＝，由消去x并化简，得y2－9py＋＝0，所以y1＋y2＝9p，y1y2＝，由y1－y2＝，两边平方，得(y1－y2)2＝，(y1＋y2)2－4y1y2＝，81p2－p2＝80p2＝，p2＝，p＝，所以|AB|＝y1＋y2＋p＝10p＝10×＝．故选D． [答案]　D (2)(2024·琼海嘉积中学高二月考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)旋转，与C交于A，B两点．当直线l垂直于x轴时，|AB|＝4． ①求抛物线C的方程； ②当点P为弦AB的中点时，求直线l的方程． [解]　①把x＝2代入y2＝2px，则y＝±2， ∴|AB|＝4＝4，即p＝2， ∴抛物线C的方程为y2＝4x． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2， 将以上两式相减，得y－y＝4(x2－x1)，·(y2＋y1)＝4， ∴直线l的斜率k＝＝＝2， 则直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0． 【解法探究】本例(2)中第②问还可以怎样解答？ 解　易知直线l不与y轴垂直，故设其方程为m(y－1)＝x－2， 由消去x整理，得 y2－4my＋4m－8＝0．(*) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝4m－8， 由点P(2，1)是弦AB的中点，知＝1， 故y1＋y2＝2， 所以4m＝2，m＝．此时方程(*)的判别式Δ>0，所以直线l的方程为(y－1)＝x－2，即2x－y－3＝0． 感悟提升　弦中点问题的两种解题策略 (1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差，由k＝求斜率，再由点斜式求解． (2)传统法：设直线方程，并与抛物线方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率． 　(1)已知抛物线y2＝2x，过点Q(2，1)作一条直线交抛物线于A，B两点，则弦AB中点的轨迹方程为________． 答案　＝x－ 解析　设弦AB的中点为M，并设A，B，M的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x，y)．当直线的斜率不存在时，易得M(2，0)．当直线的斜率存在时，x1≠x2， 由题意有 由①－②，得y－y＝2(x1－x2)，所以＝．又因为kAB＝kMQ，即＝(x≠2)．所以＝，即y2－y＝x－2，所以＝x－(x≠2)．又点(2，0)适合上式，故弦AB中点的轨迹方程为＝x－． (2)设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为原点)，点P到定点M的距离比到x轴的距离大． ①求点P的轨迹方程； ②若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值． 解　①过点P作x轴的垂线且垂足为N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝， ∴＝y＋， 化简，得x2＝2y． 故点P的轨迹方程为x2＝2y． ②由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 消去y化简，得x2－2kx－2＝0，显然Δ>0， ∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2． ∵|AB|＝· ＝·＝2，∴k4＋3k2－4＝0， 又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1． 题型三　抛物线中的综合问题　 　(2024·江苏响水中学高二期中)已知抛物线C：y＝4x2上有一动点P(x0，y0)，x0>0，过点P作抛物线C的切线l交y轴于点Q． (1)判断线段PQ的垂直平分线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由； (2)过点P作l的垂线交抛物线C于另一点M，若切线l的斜率为k，设△PQM的面积为S，求的最小值． [解]　(1)依题意可知切线PQ的斜率存在，且斜率大于0． 设直线PQ的方程为y＝kx＋b，k>0． 由消去y并化简，得4x2－kx－b＝0， 由Δ＝0，得k2＋16b＝0，b＝－，则4x2－kx－b＝4x2－kx＋＝＝0， 解得x＝，所以P， 在y＝kx＋b中，令x＝0，得y＝b，所以Q， 则PQ的中点为，所以线段PQ的中垂线方程为y＝－， 即y＝－x＋， 所以线段PQ的垂直平分线过定点F． (2)由(1)可知，直线PM的方程为y－＝－，即y＝－x＋＋． 由消去y并化简，得4x2＋x－－＝0， 所以xPxM＝， 又xP＝，所以xM＝－－， P，Q， |PQ|＝＝， |PM|＝·|xP－xM| ＝·． 所以S＝|PQ|·|PM|＝···＝， 所以＝＝＝≥＝． 当且仅当k2＝，即k＝1时，等号成立． 所以的最小值为． 感悟提升　在直线与抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点、求最值或范围等问题．解决这类问题的方法有很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化． 圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值． 　已知抛物线G：x2＝2py(p>0)上一点R(m，4)到其焦点的距离为． (1)求p与m的值； (2)若斜率为－2的直线l与抛物线G交于P，Q两点，M为抛物线G上一点，其横坐标为1，记直线PM的斜率为k1，直线QM的斜率为k2，试问：k1＋k2是否为定值？并证明你的结论． 解　(1)根据抛物线的定义，点R(m，4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4＋＝，解得p＝， 所以抛物线的方程为x2＝y． 因为点R(m，4)在抛物线上， 所以m2＝4，所以m＝±2． (2)设直线l的方程为y＝－2x＋b， P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立得x2＋2x－b＝0， 当Δ>0，即4＋4b>0，即b>－1时，直线l与抛物线有两个公共点，此时x1＋x2＝－2． 因为点M的坐标为(1，1)，且x＝y1，x＝y2， 所以k1＝＝＝x1＋1， k2＝＝＝x2＋1， 所以k1＋k2＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝－2＋2＝0， 所以k1＋k2为定值0． 1．过点(－1，0)且与抛物线y2＝x有且仅有一个公共点的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　C 解析　点(－1，0)在抛物线y2＝x的外部，故过点(－1，0)且与其有且仅有一个公共点的直线有三条，其中两条为切线，一条为x轴． 2．直线2x－y－4＝0与抛物线y2＝6x交于A，B两点，则线段AB的长度为(　　) A．8 B． C． D． 答案　B 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y并整理，得2x2－11x＋8＝0，Δ>0．则x1＋x2＝，x1x2＝4．所以|AB|＝·＝×＝．故选B． 3．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________． 答案　(4，2) 解析　由得x2－8x＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故线段AB的中点坐标为(4，2)． 4．若直线y＝x－1与抛物线y＝ax2(a≠0)只有一个公共点，则a＝________． 答案　 解析　由消去y得ax2－x＋1＝0．∵a≠0，直线y＝x－1与抛物线y＝ax2只有一个公共点，∴一元二次方程ax2－x＋1＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝(－1)2－4a＝0，∴a＝． 5．已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点，若OA⊥OB(O为原点)，则实数m的值为________． 答案　－8 解析　由消去y，得x2＋(2m－8)x＋m2＝0．由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m．因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8或m＝0(舍去)．所以m＝－8，经检验符合题意． 一、选择题 1．设直线l1：y＝2x，直线l2经过点P(2，1)，抛物线C：y2＝4x，已知直线l1，l2与抛物线C共有三个公共点，则满足条件的直线l2的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　∵点P(2，1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C有两个公共点，设为A，B两点，∴当过点P的直线l2过点A或过点B或与x轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l2共有3条． 2．已知过点P(1，0)的直线l交抛物线y2＝3x于M，N两点，若＝3，则|MN|＝(　　) A． B．2 C． D． 答案　D 解析　易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由消去x，得ky2－3y－3k＝0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－3　①．由＝3，得y1＝－3y2　②．由①②可解得k＝±．由弦长公式可得|MN|＝ ＝．故选D． 3．(2024·湖北部分县市重点中学高二期中)若抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则AB中点的坐标为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　因为抛物线y2＝x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，故AB和直线y＝x＋b垂直，所以＝－1＝＝，故y1＋y2＝－1，又y1y2＝－1，所以x1＋x2＝y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝3，故AB中点的坐标为，即．故选B． 4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当Δ＞0时，有x1x2＝4　①．∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2　②．由①②得x2＝1，∴B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝，满足Δ＞0．故选D． 5．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是(　　) A．若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8 B．以PQ为直径的圆与准线l相切 C．设M(0，1)，则|PM|＋|PP1|≥ D．过点M(0，1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条 答案　ABC 解析　对于A，因为p＝2，所以|PQ|＝x1＋x2＋2＝8，故A正确；对于B，设N为PQ的中点，点N在l上的射影为N1，点Q在l上的射影为Q1，则由梯形的性质可得|NN1|＝＝＝，所以以PQ为直径的圆与准线l相切，故B正确；对于C，因为F(1，0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝，故C正确；对于D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线为y＝kx＋1(k≠0)，联立可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝0，则k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，所以共有三条直线符合题意，故D错误．故选ABC． 6．(多选)(2024·盐城阜宁中学高二期中)已知O为原点，点A(－2，－1)在抛物线C：x2＝－2py(p>0)上，过点B(0，1)的直线交抛物线C于P，Q两点，则下列结论正确的是(　　) A．抛物线C的准线方程为y＝1 B．直线AB与抛物线C相切 C．·为定值3 D．|BP|·|BQ|>|BA|2 答案　ABD 解析　对于A，因为点A(－2，－1)在抛物线C：x2＝－2py(p>0)上，则4＝2p，解得p＝2，所以抛物线C：x2＝－4y，其准线方程为y＝1，故A正确；对于B，由题意可得，kAB＝＝1，则直线AB的方程为y＝x＋1，联立消去y，得x2＋4x＋4＝0，因为Δ＝0，所以直线AB与抛物线C相切，故B正确； 对于C，由题意可知，直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程消去y，得x2＋4kx＋4＝0，可得Δ＝16k2－16>0，得k2>1，且因为·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝x1x2＋＝4＋1＝5，故C错误；对于D，由题意可知|BA|2＝(－2－0)2＋(－1－1)2＝8，因为|BP|·|BQ|＝|x1－0|·|x2－0|＝(1＋k2)|x1x2|＝4(1＋k2)，则|BP|·|BQ|＝4(1＋k2)>8，所以|BP|·|BQ|>|BA|2，故D正确．故选ABD． 二、填空题 7．已知抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是________． 答案　 解析　解法一：设抛物线上点的坐标为(x，4x2)，其中x∈R，由点到直线的距离公式得d＝＝．当x＝时，d最小，此时该点的坐标为． 解法二：设与直线y＝4x－5平行的抛物线y＝4x2的切线方程为y＝4x＋m，由得4x2－4x－m＝0．再由Δ＝16－4×4×(－m)＝0，得m＝－1．这时切点为，切点到直线y＝4x－5的距离最小． 8．顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线截直线2x－y＋1＝0所得弦长为，则抛物线方程为____________． 答案　y2＝12x或y2＝－4x 解析　设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)　①，直线方程变形为y＝2x＋1　②，设抛物线截直线所得弦长为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去y得(2x＋1)2＝ax， 整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，Δ＝a2－8a，x1＋x2＝，x1x2＝， 则|AB|＝＝，解得a＝12或a＝－4，均满足Δ>0．故所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x． 9．过点P(2，2)作抛物线y2＝3x的弦AB，恰被P所平分，则弦AB所在直线的方程为________． 答案　3x－4y＋2＝0 解析　解法一：设以P为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝3x1　①，y＝3x2　②，y1＋y2＝4　③．由①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝3(x1－x2)　④．将③代入④，得y1－y2＝(x1－x2)，即＝，∴kAB＝．∴所求弦AB所在直线的方程为y－2＝(x－2)，即3x－4y＋2＝0． 解法二：显然弦AB所在直线的斜率存在，故设弦AB所在直线的方程为y＝k(x－2)＋2．由消去x，得ky2－3y－6k＋6＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1＋y2＝，又y1＋y2＝4，∴k＝．∴所求弦AB所在直线的方程为3x－4y＋2＝0． 三、解答题 10．(2024·德州高二期中)已知抛物线C：y2＝2px(0<p<10)，F为抛物线的焦点，D(8，y0)为抛物线上一点，点E为点D在x轴上的投影，且|DE|＝|DF|． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，O为原点，OA⊥OB，求证：AB过定点． 解　(1)由题可知，|y0|＝4， |DE|＝4，|DF|＝8＋， 因为|DE|＝|DF|， 所以4＝， 两边平方并化简，得p2－68p＋256＝0，解得p＝4或p＝64， 因为0<p<10，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x． (2)证明：当直线l的斜率为0时，直线l与抛物线C交于一点，不符合题意，所以直线l的斜率不为0， 设直线l的方程为x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去x并整理，得y2－8my－8n＝0， Δ＝64m2＋32n， 当Δ>0时，y1＋y2＝8m，y1y2＝－8n， 所以x1x2＝·＝n2， 又OA⊥OB，所以·＝x1x2＋y1y2＝n2－8n＝0， 解得n＝8或n＝0(舍去)，当n＝8时，满足Δ>0， 所以AB过定点(8，0)． 1．(多选)已知点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k>0，C，A两点在x轴上方，则下列结论中一定成立的是(　　) A．＋＝ B．若|AF|·|BF|＝p2，则k＝ C．·＝· D．四边形ACBD面积的最小值为16p2 答案　AC 解析　因为直线AB的斜率为k，AB⊥CD，所以kCD＝－．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可得焦点F，则直线AB的方程为y＝k．由 可得k2x2－p(k2＋2)x＋k2p2＝0，则所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝，同理可得|CD|＝＝2p(1＋k2)，则有＋＝，故A正确；若|AF|·|BF|＝p2，则·＝x1x2＋(x1＋x2)＋p2＝p2，则p2＋＝p2＋＝p2，解得k＝，故B错误；·＝x1x2＋y1y2＝p2＋k2＝p2＋k2＝p2＋k2p2－＝－p2，与k无关，同理·＝－p2，故·＝·，故C正确；因为AB⊥CD，所以四边形ACBD的面积S＝|AB|·|CD|＝··2p(1＋k2)＝＝2p2≥8p2，当且仅当k2＝，即k＝1时，等号成立，故D错误．故选AC． 2．已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝1，F是焦点，过点A(－2，0)的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，直线PF，QF分别交抛物线于点M，N． (1)求抛物线的方程及y1y2的值； (2)若直线PQ，MN的斜率都存在，记直线PQ，MN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值． 解　(1)依题意，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)， 由准线方程为x＝＝1，得p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝－4x． 由题意，设直线PQ的方程为x＝my－2，代入y2＝－4x，消去x，整理得y2＋4my－8＝0，从而y1y2＝－8． (2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)， 则＝·＝·＝． 设直线PM的方程为x＝ny－1， 代入y2＝－4x， 消去x，整理得y2＋4ny－4＝0， 所以y1y3＝－4， 同理y2y4＝－4． 故＝＝＝＝＝，为定值． 3．设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与抛物线C交于M，N两点． (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； (2)证明：∠ABM＝∠ABN． 解　(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2，2)或(2，－2)． 所以直线BM的方程为 y＝x＋1或y＝－x－1． (2)证明：当l与x轴垂直时，AB为线段MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN； 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，易知x1>0，x2>0． 由得ky2－2y－4k＝0， 可知y1＋y2＝，y1y2＝－4． 直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝＋＝．① 将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0． 所以kBM＋kBN＝0，可知直线BM，BN的倾斜角互补， 所以∠ABM＝∠ABN． 综上，∠ABM＝∠ABN． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$