2.3.1-2.3.2 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 选择性必修 第一册［RJ］ 2．3．1　两条直线的交点坐标 2．3．2　两点间的距离公式 (教师独具内容) 课程标准：1．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．2．探索并掌握平面上两点间的距离公式． 教学重点：1．解与两直线的交点、两点间的距离相关的问题．2．用坐标法证明简单的几何问题． 教学难点：坐标法在平面几何中的应用． 核心素养：通过求解两直线的交点坐标及两点间的距离,提升数学运算及逻辑推理素养． 知识点一　直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 (1)两条直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点A A(a,b) 直线l l：Ax＋By＋C＝0 点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0 直线l1与l2的交点是A (2)两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 [拓展]　两条直线相交系数满足的条件 (1)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0,则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2,B2≠0)． (2)设两条直线l1：y＝k1x＋b1,l2：y＝k2x＋b2,则l1与l2相交⇔k1≠k2． 知识点二　两点间的距离公式 已知平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则|P1P2|＝．特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离|OP|＝． [点拨]　(1)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关,也就是说公式也可写成|P1P2|＝． (2)当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|＝|x2－x1|； 当直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|＝|y2－y1|． 1．(求两条直线的交点坐标)直线l1：x－2y＝0与l2：x＋y－3＝0的交点坐标为________． 答案　(2,1) 2．(两点间的距离公式)点M(－3,4)到原点的距离|OM|＝________． 答案　5 3．(求两条直线的交点坐标和直线方程)直线l的斜率不存在,且经过直线2x＋y＋1＝0与直线x－y－4＝0的交点,则直线l的方程为________． 答案　x＝1 4．(两点间的距离公式)(1)若A(2,0),B(0,8),则|AB|＝________； (2)若A(1,3),B(－2,1),则|AB|＝________； (3)若A(5,0),B(－1,0),则|AB|＝________； (4)若A(a,3),B(a,－3),则|AB|＝________． 答案　(1)2　(2)　(3)6　(4)6 题型一　直线的交点问题 　(1)(2024·威海乳山市第一中学高二阶段练习)过x＋y＝2与x－y＝0的交点,且平行于向量v＝(3,2)的直线方程为(　　) A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0 C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0 [解析]　由得所以交点坐标为(1,1),又因为直线平行于向量v＝(3,2),所以所求直线方程为y－1＝(x－1),即2x－3y＋1＝0．故选C． [答案]　C (2)求过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． [解]　解法一：解方程组 得P(0,2)． ∵直线l与直线l3垂直且直线l3的斜率为, ∴直线l的斜率为－． ∴直线l的方程为y－2＝－(x－0)． 即4x＋3y－6＝0． 解法二：设所求直线l的方程为(x－2y＋4)＋λ(x＋y－2)＝0,即(λ＋1)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0, ∵直线l与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直, ∴－×＝－1,解得λ＝11． ∴直线l的方程为x－2y＋4＋11(x＋y－2)＝0,即4x＋3y－6＝0． 感悟提升 求过两条直线交点的直线方程的两种方法 (1)先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程． (2)利用过两条直线交点的直线系方程,通过待定系数法求解． [跟踪训练1]　(1)(2024·扬州仪征市第二中学高二月考)已知直线x＋ky＋2＝0经过两直线3x＋2y－9＝0和x－1＝0的交点,则实数k的值为________． 答案　－1 解析　联立方程解得即两直线的交点为(1,3),将点(1,3)代入直线x＋ky＋2＝0,可得1＋3k＋2＝0,解得k＝－1,即实数k的值为－1． (2)分别判断下列直线是否相交,若相交,求出交点坐标． ①l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； ②l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3． 解　①方程组的解为 因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,－1)． ②方程组无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2． 题型二　两点间距离公式的应用 　(1)已知点A(－3,4),B(2,),点P在x轴上,且|PA|＝|PB|,则点P的坐标为________． [解析]　设点P的坐标为(x,0),则有|PA|＝＝, |PB|＝＝．由|PA|＝|PB|,得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7,解得x＝－．故所求点P的坐标为． [答案]　 (2)已知四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(－7,0),B(2,－3),C(5,6),D(－4,9),判断这个四边形的形状． [解]　∵kAB＝－,kCD＝－,kAD＝3,kBC＝3, ∴AB∥CD,AD∥BC,即四边形ABCD为平行四边形． 又kABkAD＝－1, ∴AB⊥AD,即平行四边形ABCD为矩形, ∵|AB|＝＝3, |AD|＝＝3, ∴|AB|＝|AD|,即矩形ABCD为正方形, 故四边形ABCD为正方形． 【条件探究】　将本例(2)中点D的坐标改为(0,21),判断此四边形的形状． 解　∵kAB＝－,kCD＝－3,kAD＝3,kBC＝3, ∴AD∥BC且AB⊥AD． ∵|CD|＝＝5≠|AB|, ∴四边形ABCD为直角梯形． 感悟提升 判断四边形与三角形形状的方法 (1)判断四边形形状的方法是：若两组对边均平行,则是平行四边形,进而再判断是否是矩形、菱形或正方形；若一组对边平行,进而再判断是否是等腰梯形或直角梯形；若两组对边均不平行,则为一般四边形． (2)利用两点间距离公式求出线段的长度,再根据各边长度判断三角形或四边形的形状是常见题型．解题时要注意方程思想和分类讨论思想的应用． [跟踪训练2]　(1)已知x,y∈R,S＝＋,则S的最小值是(　　) A．0 B．2 C．4 D． 答案　B 解析　∵S＝＋＝＋, ∴S可以看作点(x,y)到点(－1,0)和点(1,0)的距离之和, 如图所示,∴当点(x,y)在x轴上,且位于点(－1,0)和点(1,0)之间时,S取得最小值,为2．故选B． (2)已知△ABC三顶点坐标A(－3,1),B(3,－3),C(1,7), ①判断△ABC的形状； ②求BC边上的中线AM的长． 解　①解法一：∵|AB|＝ ＝2, |AC|＝＝2, |BC|＝＝2, ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2,且|AB|＝|AC|, ∴△ABC是等腰直角三角形． 解法二：∵kAC＝＝,kAB＝＝－, 则kACkAB＝－1,∴AC⊥AB． 又|AC|＝＝2, |AB|＝＝2, ∴|AC|＝|AB|, ∴△ABC是等腰直角三角形． ②设点M的坐标为(x,y), ∵点M为BC的中点, ∴x＝＝2,y＝＝2,即点M的坐标为(2,2)． 由两点间的距离公式得 |AM|＝＝, ∴BC边上的中线AM的长为． 题型三　坐标法的应用 　在△ABC中,AD是BC边上的中线,求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)． [证明] 以D为原点,边BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,设A(b,c),C(a,0),则B(－a,0)．因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2,|AC|2＝(a－b)2＋c2,|AD|2＝b2＋c2,|DC|2＝a2,所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2),|AD|2＋|DC|2＝b2＋c2＋a2,所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)． 感悟提升 利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 (1)建立坐标系,用坐标表示有关的量； (2)进行有关代数运算； (3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论． [跟踪训练3]　已知在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD．求证：|AC|＝|BD|． 证明　建立如图所示的平面直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a－b,c), 所以|AC|＝ ＝, |BD|＝＝． 故|AC|＝|BD|． 题型四　过定点的直线系问题 　求证：不论m取何值,直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点． [证明]　证法一：当m＝1时,直线方程为y＝－4； 当m＝时,直线方程为x＝9． 这两条直线的交点为(9,－4)． 又当x＝9,y＝－4时,9(m－1)＋(－4)·(2m－1)＝m－5, 即点(9,－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上, 故不论m取何值,直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9,－4)． 证法二：将已知方程以m为未知数整理,得 m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0． 由m取值的任意性,得 解得 所以不论m取何值,直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9,－4)． 感悟提升 解含有参数的直线恒过定点问题的方法 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0,其中λ是参数,这就说明了它表示的直线必过定点,其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式,则表示的所有直线必过定点(x0,y0)． [跟踪训练4]　(2024·龙岩一中高二质检)已知直线l：(2＋a)x＋(a－1)y－3a＝0在x轴上的截距的取值范围是(－3,3),则其斜率k的取值范围是(　　) A． B．∪(1,＋∞) C．(－∞,－1)∪ D．(－∞,－1)∪ 答案　D 解析　已知直线l：(2＋a)x＋(a－1)y－3a＝0,所以(x＋y－3)a＋2x－y＝0,所以解得所以直线l过点A(1,2),可设直线l：y－2＝k(x－1)．由题知,直线l在x轴上的截距的取值范围是(－3,3),所以k≠0,令y＝0,得x＝1－,所以－3<1－<3,解得k>或k<－1．故选D． 题型五　对称问题 　已知直线l：2x－3y＋1＝0,点A(－1,－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线l关于点A(－1,－2)对称的直线l′的方程． [解]　(1)设A′(x,y), 则 解得 ∴A′． (2)在直线l：2x－3y＋1＝0上任取两点,如M(1,1),N(4,3),则M,N关于点A(－1,－2)的对称点M′(－3,－5),N′(－6,－7)均在直线l′上, ∴kM′N′＝＝, ∴直线l′的方程为y＋5＝(x＋3),即2x－3y－9＝0． 感悟提升 两类常见的对称问题 (1)中心对称 ①点关于点的对称．若点M(x1,y1)及N(x,y)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得 ②直线关于点的对称,其主要方法是：在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点坐标求出直线方程． (2)轴对称 ①点(x1,y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2,y2)可由 得出． ②直线关于直线对称 求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法：转化为点关于直线对称．在l1上任取两点P1和P2,求出P1,P2关于l的对称点,再用两点坐标求出l2的方程． [跟踪训练5]　如图,一束光线从原点O(0,0)出发,经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3),求反射光线的方程及光线从点O到达点P所走过的路程． 解　设原点关于l的对称点A的坐标为(a,b), 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上, 得解得 ∴点A的坐标为(4,3)． ∵反射光线的反向延长线过点A(4,3), 又由反射光线过P(－4,3),两点纵坐标相等． 故反射光线所在直线的方程为y＝3． 由方程组解得 由于反射光线为射线,故反射光线的方程为y＝3． 由光的性质可知, 光线从点O到点P的路程即为AP的长度|AP|, 由A(4,3),P(－4,3)知, |AP|＝4－(－4)＝8, ∴光线从点O经直线l反射后到达点P所走过的路程为8． 1．(2024·河北省示范性高中高二期中)直线a(x＋1)－y＋1＝0恒过定点(　　) A．(－1,1) B．(－1,－1) C．(1,－1) D．(1,1) 答案　A 解析　对于直线a(x＋1)－y＋1＝0,由得所以直线a(x＋1)－y＋1＝0恒过定点(－1,1)．故选A． 2．已知点A(－2,－1),B(a,3),且|AB|＝5,则a的值为(　　) A．1 B．3 C．－5 D．1或－5 答案　D 解析　由两点间的距离公式得＝5,即(a＋2)2＝9,解得a＝1或－5． 3．(2024·苏州高二期中)与直线3x－4y＋5＝0关于y轴对称的直线方程是(　　) A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0 C．3x－4y＋5＝0 D．3x－4y－5＝0 答案　B 解析　令x＝0,则y＝,可得直线3x－4y＋5＝0与y轴的交点为,令y＝0,则x＝－,可得直线3x－4y＋5＝0与x轴的交点为,此点关于y轴的对称点为,所以与直线3x－4y＋5＝0关于y轴对称的直线经过两点,,其直线的截距式方程为＋＝1,化为一般式方程为3x＋4y－5＝0．故选B． 4．已知点M(0,－1),N在直线x－y＋1＝0上,若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0,则点N的坐标是________． 答案　(2,3) 解析　由题意知,直线MN过点M(0,－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直,其方程为2x－y－1＝0．直线MN与直线x－y＋1＝0的交点为N,联立方程解得即点N的坐标为(2,3)． 5．已知直线x－y－1＝0与直线x－2y＋3＝0交于点P,则经过点P且平行于直线3x－4y＋5＝0的直线方程为________． 答案　3x－4y＋1＝0 解析　联立方程解得∴P(5,4)．设所求直线方程为3x－4y＋m＝0,将P(5,4)代入得m＝1,∴所求直线方程为3x－4y＋1＝0． 一、选择题 1．直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是(　　) A．(2,0) B．(2,1) C．(0,2) D．(1,2) 答案　C 解析　解方程组得即直线x＋2y－4＝0与直线2x－y＋2＝0的交点坐标是(0,2)． 2．(2024·云浮市高二期中)直线kx－y＋3k－2＝0恒过一定点,则该定点的坐标为(　　) A．(3,2) B．(－3,－2) C．(2,3) D．(－2,－3) 答案　B 解析　由kx－y＋3k－2＝0,得k(x＋3)－y－2＝0,所以解得x＝－3,y＝－2,所以定点坐标为(－3,－2)．故选B． 3．已知直线l与直线2x－3y＋4＝0关于直线x＝1对称,则直线l的方程为(　　) A．2x＋3y－8＝0 B．3x－2y＋1＝0 C．x＋2y－5＝0 D．3x＋2y－7＝0 答案　A 解析　解法一：易求直线2x－3y＋4＝0与直线x＝1的交点坐标为(1,2),因为直线l与直线2x－3y＋4＝0关于直线x＝1对称,所以直线l与直线2x－3y＋4＝0的倾斜角互补,斜率互为相反数,所以直线l的斜率为－,且过点(1,2),其点斜式方程为y－2＝－(x－1),即2x＋3y－8＝0．故选A． 解法二：设P(x,y)为直线l上的任意一点,则点P关于直线x＝1对称的点为P′(2－x,y),将(2－x,y)代入2x－3y＋4＝0,可得2(2－x)－3y＋4＝0,化简得2x＋3y－8＝0．故选A． 4．已知△ABC的三个顶点分别是A(－a,0),B(a,0),C,a>0,则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 答案　C 解析　由已知得|AB|＝2a,|AC|＝＝a,|BC|＝＝a, ∴|AB|2＝|AC|2＋|BC|2,∴△ABC是直角三角形． 5．点P在直线l：x－y－1＝0上运动,已知A(4,1),B(2,0),则|PA|＋|PB|的最小值是(　　) A． B． C．3 D．4 答案　C 解析　易知点A,B在直线l的同侧,设A(4,1)关于直线x－y－1＝0对称的点为A′(x,y),则解得∴A′(2,3),∴|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|,当A′,P,B三点共线时,|PA|＋|PB|取得最小值,为|A′B|＝＝3．故选C． 6．(多选)(2024·广东名校高二质量检测)若三条不同的直线l1：mx＋2y＋m＋4＝0,l2：x－y＋1＝0,l3：3x－y－5＝0不能围成一个三角形,则m的取值可能为(　　) A．－2 B．－6 C．－3 D．1 答案　ABC 解析　若l1∥l2,则解得m＝－2．若l1∥l3,则解得m＝－6．由解得即l2与l3的交点为(3,4),若l1过点(3,4),则4m＋12＝0,解得m＝－3． 二、填空题 7．(2024·苏州高二期中)平面直角坐标系xOy中,过直线l1：7x－3y＋1＝0与l2：x＋4y－3＝0的交点,且在y轴上截距为1的直线l的方程为________． 答案　9x＋5y－5＝0 解析　解法一：由题设,令直线l的方程为7x－3y＋1＋λ(x＋4y－3)＝0,且直线过(0,1),所以0－3＋1＋λ(0＋4－3)＝0⇒λ＝2,故直线l的方程为9x＋5y－5＝0． 解法二：联立方程解得即直线l1,l2的交点坐标为．由题意设直线l的方程为y＝kx＋1,将点代入,得k＝－,所以直线l的方程为y＝－x＋1,即9x＋5y－5＝0． 8．若直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限,则a的取值范围为________． 答案　 解析　由解得即两直线的交点坐标为．又交点在第四象限,则解得－<a<2． 9．(2024·重庆南开中学高二阶段练习)已知A(3,1),B(－1,2),若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1,则AC所在直线的方程为________． 答案　x－2y－1＝0 解析　因为∠ACB的平分线方程为y＝x＋1,所以点A关于直线y＝x＋1的对称点A′在直线BC上,设点A′的坐标为(x0,y0),则整理得解得即A′(0,4)．所以直线BC的方程为＝,整理得2x－y＋4＝0．解方程组得点C的坐标为(－3,－2),所以直线AC的方程为＝,即x－2y－1＝0． 三、解答题 10．(2024·宁波高二期中)已知△ABC的顶点A(5,1),边AB上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0,边AC上的高BH所在直线过点(1,－2),且直线BH的一个方向向量为(－2,－1)． (1)求顶点C的坐标； (2)求直线BC的方程． 解　(1)因为直线BH的一个方向向量为(－2,－1), 所以kBH＝, 由AC⊥BH,得kAC＝－2,又A(5,1)． 所以直线AC的方程为y－1＝－2(x－5),即2x＋y－11＝0． 联立方程解得 所以顶点C的坐标为(4,3)． (2)设点B(x,y),则M, 因为M在CM上, 所以2×－－5＝0, 即2x－y－1＝0． 直线BH的方程为y＋2＝(x－1),即x－2y－5＝0, 联立方程解得 故点B的坐标为(－1,－3), 又C(4,3),所以直线BC的方程为＝,即6x－5y－9＝0． 1．(2024·南京一中高二阶段练习)f(x)＝＋的最小值为________． 答案　3 解析　＝＝, ＝＝, 如图,设点A(x,0),B(－1,1),C(2,－2),要求f(x)的最小值,即求|AB|＋|AC|的最小值．由于|AB|＋|AC|≥|BC|,当A,B,C三点共线时,等号成立,且|BC|＝＝3,故f(x)的最小值为3． 2．(2024·辽宁协作校高二阶段测试)已知正方形ABCD的中心为原点O,点A的坐标为(2,1),点B在第四象限,则直线AB的方程为________,直线BC的方程为________． 答案　3x－y－5＝0　x＋3y＋5＝0 解析　因为AC所在直线的方程为y＝x,且AC⊥BD,所以BD所在直线的方程为y＝－2x．设点B的坐标为(a,－2a),a>0,因为|OB|＝|OA|＝＝,所以|OB|＝＝,解得a＝1,所以点B的坐标为(1,－2),所以直线AB的方程为y＝(x－2)＋1,即3x－y－5＝0．因为BC⊥AB,所以直线BC的方程为y＝－(x－1)－2,即x＋3y＋5＝0． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$