2.2.1 直线的点斜式方程-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 选择性必修 第一册［RJ］ 2．2．1　直线的点斜式方程 (教师独具内容) 课程标准：根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程． 教学重点：会求直线的点斜式方程、斜截式方程． 教学难点：能利用直线的点斜式方程、斜截式方程解决相应的问题． 核心素养：通过推导直线的点斜式方程及斜截式方程的过程,提升逻辑推理及数学抽象素养． 知识点一　直角坐标系中确定一条直线的几何要素 在平面直角坐标系中,给定一个点P0(x0,y0)和斜率k(或倾斜角),就能唯一确定一条直线． 知识点二　直线的点斜式方程(简称点斜式) 已知条件 直线经过点P(x0,y0),且斜率为k 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 特别情况 经过点P(x0,y0)且斜率为0的直线方程为y＝y0 [说明]　(1)经过点P(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类： ①斜率存在的直线,其方程可用点斜式求出； ②斜率不存在的直线,其方程不能用点斜式,方程形式为x＝x0． (2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的,前者是整条直线,后者表示去掉点P(x0,y0)的一条直线． 知识点三　直线的斜截式方程(简称斜截式) 已知条件 直线的斜率为k,且在y轴上的截距为b 方程形式 y＝kx＋b [提醒]　(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况,它们只适用于直线斜率存在的情况． (2)“直线在y轴上的截距b”的含义是直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标为b,注意截距不是距离,其可正、可负、可为零． [想一想]　斜截式与一次函数的解析式相同,都是y＝kx＋b的形式,两者之间有哪些区别？ 提示：当k≠0时,y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时,y＝b,不是一次函数,一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程． 1．(点斜式)已知直线的方程是y＋2＝－x－1,则(　　) A．直线经过点(－1,2),斜率为－1 B．直线经过点(2,－1),斜率为－1 C．直线经过点(－1,－2),斜率为－1 D．直线经过点(－2,－1),斜率为1 答案　C 2．(点斜式)过点P(－1,2),倾斜角为60°的直线的点斜式方程为________________________． 答案　y－2＝(x＋1) 3．(斜截式)已知直线l：y＝2－x,则直线l的斜率是________,在y轴上的截距为________． 答案　－　2 4．(斜截式)斜率为2,过点A(0,3)的直线的斜截式方程为______________________． 答案　y＝2x＋3 题型一　求直线的点斜式方程 　写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(－1,4)且倾斜角为135°的直线； (2)过点P(3,－4)且与x轴平行的直线； (3)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到的直线； (4)过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线． [解]　(1)由题意知,直线的斜率k＝tan135°＝－1,故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)],即y－4＝－(x＋1)． (2)与x轴平行的直线,其斜率k＝0,由直线的点斜式方程可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3),即y＝－4． (3)直线y＝x＋1的斜率k＝1．由题意知,所求直线与直线y＝x＋1垂直,所以所求直线的斜率k′＝－1,又点P(3,4)在所求直线上,由点斜式方程知,所求直线的方程为y－4＝－(x－3)． (4)由题意知,所求直线的斜率为2,且过点P(1,2),所以所求直线的方程为y－2＝2(x－1)． 感悟提升 求直线的点斜式方程的步骤 [跟踪训练1]　求分别满足下列条件的直线方程,如果能用点斜式表示的,请用点斜式表示． (1)过点P(－4,3),斜率k＝－3； (2)经过点(2,－3),倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (3)经过点(－5,2),且平行于y轴； (4)过P(－2,3),Q(5,－4)两点． 解　(1)∵直线过点P(－4,3),斜率k＝－3, 由直线的点斜式方程得, 所求直线的方程为y－3＝－3(x＋4)． (2)∵直线y＝x的斜率为, ∴直线y＝x的倾斜角为30°． ∴所求直线的倾斜角为60°,故其斜率为． ∴所求直线的方程为y＋3＝(x－2)． (3)∵直线平行于y轴,∴直线的斜率不存在, ∴所求直线的方程为x＝－5． (4)过点P(－2,3),Q(5,－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1．又直线过点P(－2,3),∴由直线的点斜式方程可得,所求直线的方程为y－3＝－(x＋2)． 题型二　求直线的斜截式方程 　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2,在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为,在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为,与y轴的交点到原点的距离为3． [解]　(1)由直线的斜截式方程可知,所求直线的方程为y＝2x＋5． (2)由于倾斜角α＝,则斜率k＝tan＝－,由斜截式可得所求直线的方程为y＝－x－2． (3)由于直线的倾斜角为,则其斜率k＝tan＝－．由于直线与y轴的交点到原点的距离为3,则直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3,故所求直线的方程为y＝－x＋3或y＝－x－3． 感悟提升 直线的斜截式方程的求解策略 (1)用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即可,同时要特别注意截距和距离的区别． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和b的值,直线方程就确定了．因此,在解决直线问题时,常通过把直线方程化为斜截式方程,利用k,b的几何意义进行判断． [跟踪训练2]　(1)写出斜率为－1,在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程； (2)求过点A(6,－4),斜率为－的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为y－1＝－2(x－1),求直线的斜率、在y轴上的截距,以及与y轴交点的坐标． 解　(1)易知k＝－1,b＝－2,由直线的斜截式方程知,所求直线的方程为y＝－x－2． (2)由于直线斜率k＝－,且过点A(6,－4),根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－(x－6),化为斜截式方程为y＝－x＋4． (3)直线方程y－1＝－2(x－1)可化为y＝－2x＋3,由直线的斜截式方程知,直线的斜率k＝－2,在y轴上的截距b＝3,直线与y轴交点的坐标为(0,3)． 题型三　平行与垂直问题 　(1)当a为何值时,直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时,直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ [解]　(1)由题意可知,直线l1的斜率k1＝－1,直线l2的斜率k2＝a2－2． ∵l1∥l2,∴解得a＝－1． 故当a＝－1时,直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行． (2)由题意可知,直线l1的斜率k1＝2a－1,直线l2的斜率k2＝4． ∵l1⊥l2,∴4(2a－1)＝－1,解得a＝． 故当a＝时,直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． 【条件探究】　在本例(1)中若改为“l1：y＝－ax＋2a”,又如何求a的值？ 解　由题意可知,直线l1的斜率k1＝－a,直线l2的斜率k2＝a2－2． ∵l1∥l2,∴解得a＝－2． ∴当a＝－2时,直线l1：y＝－ax＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行． 感悟提升 两条直线平行和垂直的判定 (1)平行的判定 (2)垂直的判定 提醒：若已知含参数的两条直线平行或垂直,求参数的值时,要注意讨论斜率是否存在,若是平行关系,注意考虑b1≠b2这个条件． [跟踪训练3]　(1)已知直线l过点A(2,－3),直线l′过点(－4,4)和(－3,2),根据下列条件,求直线l的方程． ①直线l与l′平行； ②直线l与l′垂直． 解　由斜率公式得直线l′的斜率 k′＝＝－2, ①∵l与l′平行,∴直线l的斜率k＝－2． 由直线的点斜式方程知y＋3＝－2(x－2), ∴直线l的方程为y＝－2x＋1． ②∵l与l′垂直, ∴直线l的斜率k＝． 由直线的点斜式方程知y＋3＝(x－2), ∴直线l的方程为y＝x－4． (2)已知直线l1：y＝－x＋和直线l2：6my＝－x＋4,问：m为何值时,直线l1与l2平行？m为何值时,直线l1与l2垂直？ 解　当m＝0时,直线l1：y＝,直线l2：x＝4, 直线l1与l2垂直； 当m≠0时,直线l2的方程可化为y＝－x＋． 由得m＝－； 而－·＝－1无解． 故当m＝－时,直线l1与l2平行； 当m＝0时,直线l1与l2垂直． 1．(2024·广东部分学校高二质量检测)经过点(4,1),且斜率为3的直线的点斜式方程为(　　) A．y－1＝3(x－4) B．y－1＝3(x＋4) C．y＋1＝3(x＋4) D．y－1＝－3(x－4) 答案　A 解析　经过点(4,1),且斜率为3的直线的点斜式方程为y－1＝3(x－4)． 2．(多选)已知直线l：y＝mx＋1,A(1,2),B(3,3),则下列结论正确的是(　　) A．当m＝1时,直线l的倾斜角为45° B．当m＝0时,直线l的斜率不存在 C．直线l恒过定点(0,1) D．当m＝－2时,直线l与直线AB垂直 答案　ACD 解析　对于A,当m＝1时,直线l的斜率为1,所以直线l的倾斜角为45°,故A正确；对于B,当m＝0时,直线l的方程为y＝1,直线l的斜率存在,且为0,故B错误；对于C,直线l的方程可化为y－1＝m(x－0),所以直线l恒过定点(0,1),故C正确；对于D,由题意可得,直线AB的斜率kAB＝＝,直线l的斜率为m,当m＝－2时,因为－2×＝－1,所以当m＝－2时,直线l与直线AB垂直,故D正确．故选ACD． 3．过点(－3,2)且与直线y－1＝(x＋5)平行的直线的点斜式方程是________． 答案　y－2＝(x＋3) 解析　∵所求直线与直线y－1＝(x＋5)平行,∴所求直线的斜率为,又所求直线过点(－3,2),∴所求直线的点斜式方程为y－2＝(x＋3)． 4．已知直线y＝－x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍．若直线l过点P(3,－4),则直线l的方程为________；若直线l在y轴上的截距为3,则直线l的方程为________． 答案　y＝x－－4　y＝x＋3 解析　设直线y＝－x＋5的倾斜角为α,则直线y＝－x＋5的斜率k＝tanα＝－,∴α＝150°．故所求直线l的倾斜角为30°,斜率k′＝．过点P(3,－4),由点斜式方程,得y＋4＝(x－3),即y＝x－－4．在y轴上的截距为3,由斜截式方程得y＝x＋3． 一、选择题 1．已知直线方程y－3＝(x－4),则这条直线经过的定点、倾斜角分别为(　　) A．(4,3),60° B．(－3,－4),30° C．(4,3),30° D．(－4,－3),60° 答案　A 解析　由直线的点斜式方程易知直线过点(4,3),且斜率为,所以倾斜角为60°． 2．经过点(－1,1),且斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　) A．x＝－1 B．y＝1 C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1) 答案　C 解析　∵y＝x－2的斜率为,∴所求直线的斜率为,又过点(－1,1),∴其直线方程为y－1＝(x＋1)． 3．(2024·潍坊高二阶段练习)直线l的斜率为方程x2－2x＋1＝0的根,且在y轴上的截距为5,则直线l的方程为(　　) A．y＝－x＋5 B．y＝x－5 C．y＝x＋5 D．y＝5 答案　C 解析　由题意,方程x2－2x＋1＝0的根为1,所以k＝1,又在y轴上的截距为5,所以直线l的方程为y＝x＋5．故选C． 4．(多选)方程y＝ax＋表示的直线可能是(　　) 答案　AB 解析　易知a≠0,当a>0时,>0,即直线的斜率为正,直线在y轴上的截距为正,A符合；当a<0时,<0,即直线的斜率为负,直线在y轴上的截距为负,B符合．故选AB． 5．(多选)(2024·福建泉州高二期中)下列四个结论中正确的是(　　) A．若直线l过点P(x1,y1),且倾斜角为,则其方程为x＝x1 B．若直线l过点P(x1,y1),且斜率为0,则其方程为y＝y1 C．所有直线都有点斜式和斜截式方程 D．若两条直线y＝ax－2与y＝(2－a)x＋1互相平行,则a＝1 答案　ABD 解析　易知A,B均正确；对于C,点斜式与斜截式方程只适用斜率存在的直线,所以C错误；对于D,若两条直线平行,则a＝2－a,解得a＝1,所以D正确．故选ABD． 6．(多选)(2024·茂名高二期中)对于直线l：x＝my＋1,下列说法正确的是(　　) A．直线l恒过定点(1,0) B．直线l的斜率必定存在 C．当m＝时,直线l的倾斜角为60° D．当m＝2时,直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 答案　AD 解析　对于直线l：x＝my＋1,令y＝0,则x＝1,所以直线l恒过定点(1,0),故A正确；当m＝0时,直线l：x＝1,斜率不存在,故B错误；当m＝时,直线l：x＝y＋1,斜率为,此时直线l的倾斜角为30°,故C错误；当m＝2时,直线l：x＝2y＋1,与两坐标轴的交点坐标分别为,(1,0),所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为×1×＝,故D正确．故选AD． 二、填空题 7．(2024·孝感高级中学高二月考)已知过定点(4,5)的直线m的一个方向向量是d＝(3,2),则直线m的点斜式方程为________． 答案　y－5＝(x－4) 解析　因为直线m的一个方向向量是d＝(3,2),所以直线m的斜率为．又直线过点(4,5),所以直线m的点斜式方程为y－5＝(x－4)． 8．已知直线l与直线y＝x＋4互相垂直,直线l与直线y＝x＋6在y轴上的截距相等,则直线l的方程为________． 答案　y＝－2x＋6 解析　因为直线l与直线y＝x＋4垂直,所以直线l的斜率k＝－2．又因为直线y＝x＋6在y轴上的截距为6,所以直线l在y轴上的截距为6,所以直线l的方程为y＝－2x＋6． 9．已知直线l：y＝2x－1．若直线l绕着点A(1,1)逆时针旋转与直线l1重合,则l1的斜截式方程是________；若直线l绕着点A(1,1)顺时针旋转与直线l2重合,则l2的斜截式方程是________． 答案　y＝－3x＋4　y＝x＋ 解析　设直线l的倾斜角为α,则tanα＝2,所以＜α＜,由题意得,直线l1的倾斜角为α＋,直线l2的倾斜角为α－,则tan＝＝－3,tan＝＝,所以直线l1：y－1＝－3(x－1),即y＝－3x＋4,直线l2：y－1＝(x－1),即y＝x＋． 三、解答题 10．已知点A(1,2)和直线l：y＝－x＋,求： (1)过点A与直线l平行的直线l1的方程； (2)过点A与直线l垂直的直线l2的方程． 解　由y＝－x＋, 得直线l的斜率k＝－． (1)∵l∥l1,∴直线l1的斜率k1＝k＝－． ∴直线l1的方程为y－2＝－(x－1), 即y＝－x＋． (2)∵l⊥l2, ∴k2·k＝－1, ∴k2＝． ∴直线l2的方程为y－2＝(x－1), 即y＝x＋． 已知直线l：y＝kx＋2k＋1． (1)求证：直线l过定点； (2)当－3<x<3时,直线l上的点都在x轴上方,求实数k的取值范围． 解　(1)证明：由y＝kx＋2k＋1, 得y－1＝k(x＋2)． 由直线方程的点斜式可知,直线l过定点(－2,1)． (2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1,显然其图象是一条直线(如图所示)． 若－3<x<3时,直线l上的点都在x轴上方, 需满足 即解得－≤k≤1． 所以实数k的取值范围是． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$