1.3 空间向量及其运算的坐标表示-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（人教A版2019）

数学 选择性必修 第一册［RJ］ 1．3．1　空间直角坐标系 1．3．2　空间向量运算的坐标表示 (教师独具内容) 课程标准：1．在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．2．借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．3．掌握空间向量的线性运算及坐标表示．4．掌握空间向量的数量积及坐标表示． 教学重点：利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角和距离问题，及点在空间直角坐标系中的坐标表示． 教学难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，立体几何问题坐标化、代数化． 核心素养：1．通过根据具体的条件建立空间直角坐标系并写出空间向量的坐标，提升直观想象素养．2．通过学习空间向量的坐标形式的线性运算和数量积运算，提升数学运算素养．3．通过借助空间向量的数量积运算，判定空间中线面的位置关系，提升直观想象素养． 知识点一　空间直角坐标系及空间向量的坐标表示 (1)空间直角坐标系 建系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}(如图)，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz． 有关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 建系的常用规则： ①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°． ②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． (2)空间向量的坐标表示 点的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk． 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． [想一想]　空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？ 提示：x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0，0)．y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0)．z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0，0，z)． [拓展]　 1．坐标平面内的点与对称点 在空间直角坐标系Oxyz中，点P(x，y，z)在三个坐标平面Oxy，Oyz，Ozx内的射影为(x，y，0)，(0，y，z)，(x，0，z)．点P(x，y，z)的对称点坐标如下： (1)P(x，y，z)P1(x，y，－z)． (2)P(x，y，z)P2(－x，y，z)． (3)P(x，y，z)P3(x，－y，z)． (4)P(x，y，z)P4(x，－y，－z)． (5)P(x，y，z)P5(－x，y，－z)． (6)P(x，y，z)P6(－x，－y，z)． (7)P(x，y，z)P7(－x，－y，－z)． 2．中点坐标公式及三角形的重心坐标公式 (1)已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2的中点P的坐标为． (2)已知△ABC的三个顶点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心G的坐标为． 知识点二　空间向量运算的坐标表示 运算 坐标表示a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 [提醒]　空间向量的坐标与其起点、终点坐标的关系 向量的坐标即终点坐标减去起点坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标． 知识点三　空间向量的平行或垂直的坐标表示 平行或垂直 坐标表示a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 平行(a∥b) a∥b⇔a＝λb⇔(λ∈R且b≠0) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 [想一想]　若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b一定有＝＝成立吗？ 提示：当b1，b2，b3均不为0时，＝＝成立． 知识点四　空间向量的长度公式及夹角的坐标表示 (1)空间向量长度公式的坐标表示 ①若a＝(a1，a2，a3)， 则|a|＝＝． ②空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|| ＝． (2)空间向量的夹角坐标公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则cos〈a，b〉＝ ＝． [说明]　(1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆． (2)若O(0，0，0)，P(x，y，z)， 则||＝． 1．(空间中点的坐标)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为原点，棱AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 (1)顶点A，D1的坐标分别为________； (2)棱C1C中点的坐标为________． 答案　(1)(0，0，0)，(0，1，1)　(2) 2．(空间向量运算的坐标表示)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则3a－2b＝________，a·b＝________． 答案　(0，0，－16)　22 3．(空间向量平行的坐标表示)已知a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，若a与b为共线向量，则x＝________，y＝________． 答案　　－ 4．(空间向量的长度公式)在空间直角坐标系中，已知点A的坐标为(1，2，3)，点B的坐标为(4，5，6)，则＝________，||＝________． 答案　(3，3，3)　3 5．(空间向量夹角的坐标表示)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉＝________． 答案　 题型一　空间直角坐标系的概念 　如图，已知在正四棱锥P－ABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中点，分别按照下列要求建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标． (1)如图甲，以O为原点，分别以射线DA，DC，OP的指向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系； (2)如图乙，以O为原点，分别以射线OA，OB，OP的指向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系． [解]　(1)设i，j，k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位坐标向量． 因为点B在坐标平面Oxy内，且底面正方形的中心为O，边长为2，所以＝i＋j，所以向量的坐标为(1，1，0)，即点B的坐标为(1，1，0)． 同理可得A(1，－1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)． 又点P在z轴上，所以＝2k， 所以向量的坐标为(0，0，2)，即点P的坐标为(0，0，2)． 因为F为侧棱PB的中点， 所以＝(＋)＝(i＋j＋2k)＝i＋j＋k． 所以点F的坐标为． 同理点E的坐标为． 故所求各点的坐标分别为A(1，－1，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，2)，E，F． (2)设i，j，k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位坐标向量． 因为底面正方形ABCD的中心为O，边长为2， 所以OA＝． 由于点A在x轴的正半轴上，所以＝i，即点A的坐标为(，0，0)． 同理可得B(0，，0)，C(－，0，0)，D(0，－，0)，P(0，0，2)． 因为E为侧棱PA的中点，所以＝(＋)＝(i＋2k)＝i＋k， 所以点E的坐标为． 同理，点F的坐标为． 故所求各点的坐标分别为A(，0，0)，B(0，，0)，C(－，0，0)，D(0，－，0)，P(0，0，2)，E，F． 感悟提升 同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同．但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造． [跟踪训练1]　(1)(2024·梅州中学高二月考)在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，，的坐标分别为________． 答案　(－2，－1，－4)，(－4，2，－4) 解析　设与，，同向的单位坐标向量分别为i，j，k． 因为＝－＝－(＋)＝－＝－－－＝－2i－j－4k， 所以＝(－2，－1，－4)． 因为＝－＝－(＋)＝－－＝－4i＋2j－4k， 所以＝(－4，2，－4)． (2)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以底面正方形ABCD的中心O为原点，射线OB，OC，AA1的指向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．试写出正方体八个顶点的坐标． 解　设i，j，k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位坐标向量． 因为底面正方形的中心为O，边长为2，所以OB＝． 由于点B在x轴的正半轴上， 所以＝i，即点B的坐标为(，0，0)． 同理可得C(0，，0)，D(－，0，0)，A(0，－，0)． 又＝＋＝i＋2k， 所以＝(，0，2)， 即点B1的坐标为(，0，2)． 同理可得C1(0，，2)，D1(－，0，2)，A1(0，－，2)． 题型二　空间向量的坐标运算 　(2024·岳阳一中高二质检)在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)． (1)求顶点B，C的坐标； (2)求·； (3)若点P在AC上，且＝，求点P的坐标． [解]　(1)设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 则＝(x－2，y＋5，z－3)， ＝(x1－x，y1－y，z1－z)． 因为＝(4，1，2)， 所以解得 所以点B的坐标为(6，－4，5)． 因为＝(3，－2，5)， 所以解得 所以点C的坐标为(9，－6，10)． (2)因为＝(－7，1，－7)， 所以·＝－21－2－35＝－58． (3)设P(x2，y2，z2)， 则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)， ＝(9－x2，－6－y2，10－z2)， 于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2，10－z2)， 所以 解得 故点P的坐标为． 感悟提升 空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． [跟踪训练2]　已知a＝(2，－1，3)，b＝(0，－1，2)，求：(1)a＋b；(2)2a－3b；(3)a·b；(4)(a＋b)·(a－b)． 解　(1)a＋b＝(2，－1，3)＋(0，－1，2)＝(2＋0，－1－1，3＋2)＝(2，－2，5)． (2)2a－3b＝(4，－2，6)－(0，－3，6)＝(4，1，0)． (3)a·b＝(2，－1，3)·(0，－1，2)＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7． (4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋9－(0＋1＋4)＝9． 题型三　利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题 　已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝，b＝． (1)若|c|＝3，c∥，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k． [解]　(1)因为＝(－2，－1，2)且c∥， 所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)． 所以|c|＝ ＝3|λ|＝3． 解得λ＝±1． 所以c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)． (2)因为a＝＝(1，1，0)， b＝＝(－1，0，2)， 所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． 因为(ka＋b)⊥(ka－2b)， 所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0， 解得k＝2或k＝－． 感悟提升 对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量的数量积是否为0判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或＝＝(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行． [跟踪训练3]　(2024·开封一中期中)设x，y∈R，a＝(1，1，1)，b＝(1，y，z)，c＝(x，－4，2)，且a⊥c，b∥c，则2a＋b＝________． 答案　(3，0，3) 解析　因为a＝(1，1，1)，c＝(x，－4，2)且a⊥c，所以a·c＝x－4＋2＝0，解得x＝2，所以c＝(2，－4，2)，又b＝(1，y，z)，c＝(2，－4，2)＝2(1，－2，1)且b∥c，所以y＝－2，z＝1，所以b＝(1，－2，1)，所以2a＋b＝(3，0，3)． 题型四　利用空间向量的坐标运算解决夹角、距离问题 　(1)已知向量a＝(5，3，1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围． [解]　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－， 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0， 即3t－<0，所以t<． 若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb， 即(5，3，1)＝λ， 所以所以t＝－， 故实数t的取值范围是∪． (2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，A1C1与B1D1交于点N，BC1与B1C交于点M，且AM⊥BN，建立空间直角坐标系． ①求AA1的长； ②求〈，〉的余弦值． [解]　①如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AA1＝a(a＞0)，则B(4，4，0)，N(2，2，a)，A(4，0，0)，M． 所以＝(－2，－2，a)，＝， 由⊥，得·＝0． 所以4－8＋＝0，a＝2． 所以AA1的长为2． ②由①可得＝(－2，－2，2)，＝(－4，0，2)， 所以cos〈，〉＝＝． 【条件探究】　若把本例(1)的条件改为“已知a＝(5，3，－1)，b＝，a与b的夹角为锐角”，应如何解答？ 解　由已知，得a·b＝5×2＋3t＋＝3t＋，因为a与b的夹角为锐角，所以a·b>0， 即3t＋>0，所以t>－． 若a与b的夹角为0°，则存在λ>0，使a＝λb， 即(5，3，－1)＝λ， 所以 解得t＝． 故实数t的取值范围是∪． 感悟提升 求角与距离问题的方法及解题步骤 (1)求空间中两向量夹角的方法 ①基向量法：结合图形，选取一个合适的基底，将两向量用基向量表示出来，然后代入夹角公式求解； ②坐标法：在图形中建立空间直角坐标系，然后求出两向量的坐标，代入向量的夹角坐标公式求解．利用坐标法要注意两点，一是坐标系的选取，二是夹角的范围〈a，b〉∈[0，π]，要特别注意向量共线的情况． (2)求空间中线段的长 ①建立恰当的空间直角坐标系； ②求出线段端点的坐标，并求出对应向量的坐标； ③利用向量的模的坐标公式求向量的模，即线段的长． [跟踪训练4]　(2024·辽宁一模)如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，M是线段PB的中点，则异面直线DM与PA所成角的正切值为________． 答案　 解析　因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB，又四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为PA＝AB＝2，所以D(0，0，2)，P(2，0，0)，B(0，2，0)，又M是线段PB的中点，则M(1，1，0)，则＝(1，1，－2)，＝(2，0，0)，cos〈，〉＝＝＝，设异面直线DM与PA所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈，〉|＝，所以sinθ＝＝，所以tanθ＝＝，即异面直线DM与PA所成角的正切值为． 1．(2024·三明高二期中)若a＝(－1，2，－1)，b＝(1，3，－2)，则(a＋b)·(a－b)＝(　　) A．20 B．－20 C．－8 D．8 答案　C 解析　(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝1＋4＋1－1－9－4＝－8．故选C． 2．(2024·合肥高二联考期中)在空间直角坐标系中，已知点A(1，2，－1)，B(2，0，0)，C(0，1，3)，则cos〈，〉＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　依题意，＝(1，1，－4)，＝(2，－1，－3)，故·＝2－1＋12＝13，||＝＝3，||＝＝，cos〈，〉＝＝＝．故选A． 3．(2024·安庆一中高二期中)在空间直角坐标系中，已知点A(0，4，0)，B(－2，2，1)，若与c方向相反，且|c|＝9，则c＝(　　) A．(－6，－6，3) B．(6，6，－3) C．(3，3，－6) D．(－3，－3，6) 答案　B 解析　依题意，＝(－2，－2，1)，设c＝λ＝(－2λ，－2λ，λ)(λ<0)，则|c|＝＝9，解得λ＝－3(λ＝3舍去)，则c＝(6，6，－3)．故选B． 4．(多选)(2024·温州中学高二期中)向量a＝(m，1，0)，b＝(2，1，1)，则下列说法正确的是(　　) A．∃m∈R，使得a∥b B．若|a|＝，则m＝±2 C．若a⊥b，则m＝－ D．当m＝1时，a在b上的投影向量为 答案　BCD 解析　对于A，若a∥b，则∃λ∈R，使得a＝λb，即显然无解，故A错误；对于B，若|a|＝，则|a|2＝m2＋1＝5，解得m＝±2，故B正确；对于C，若a⊥b，则a·b＝2m＋1＝0，解得m＝－，故C正确；对于D，当m＝1时，a＝(1，1，0)，则a在b上的投影向量为·b＝·b＝(2，1，1)＝，故D正确．故选BCD． 5．已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________． 答案　 解析　∵b－a＝(1＋t，2t－1，0)，∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02＝5t2－2t＋2＝5＋． ∴(|b－a|2)min＝，∴|b－a|min＝． 一、选择题 1．在空间直角坐标系中，P(2，3，4)，Q(－2，3，4)两点的位置关系是(　　) A．关于Ozx平面对称 B．关于Oyz平面对称 C．关于z轴对称 D．关于原点对称 答案　B 解析　在空间直角坐标系中，点(a，b，c)与点(－a，b，c)关于Oyz平面对称．故选B． 2．(2024·辽宁省高级中学高二期中)已知向量a＝(1，－3，－2)，b＝(3，2，－5)，则下列结论正确的是(　　) A．a∥b B．a⊥b C．a－b＝(－2，－5，－3) D．|a|＝ 答案　D 解析　对于A，若a∥b，则存在一个实数λ，使得a＝λb，即(1，－3，－2)＝λ(3，2，－5)，易知λ的值不存在，故A错误；对于B，由a·b＝3＋(－6)＋10＝7≠0，知a⊥b不成立，B错误；对于C，a－b＝(1，－3，－2)－(3，2，－5)＝(－2，－5，3)≠(－2，－5，－3)，C错误；对于D，|a|＝＝，D正确．故选D． 3．已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　C 解析　∵＝(3，4，－8)，＝(5，1，－7)，＝(2，－3，1)，∴||＝＝，||＝＝，||＝＝，∵||2＋||2＝75＋14＝89＝||2，∴△ABC为直角三角形． 4．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底．若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(　　) A．(4，0，3) B．(1，2，3) C．(3，1，3) D．(2，1，3) 答案　C 解析　设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝4a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，整理得4a＋2b＋3c＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，所以解得所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是(3，1，3)．故选C． 5．(多选)(2024·济宁嘉祥县第一中学高二期中)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则下列说法正确的是(　　) A．||＝ B．与是共线向量 C．与夹角的余弦值是0 D．与同向的单位向量是 答案　ACD 解析　由题意，知＝(2，1，0)，＝(－3，1，1)，＝(－1，2，1)．||＝＝，A正确；≠，所以与不是共线向量，B错误；·＝－2＋2＝0，所以与夹角的余弦值是0，C正确；与同向的单位向量是＝＝，D正确．故选ACD． 6．(多选)在如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA＝AB＝DA＝2CB，EA⊥AB，M是EC的中点．则下述结论正确的是(　　) A．DM⊥EB B．BD⊥EC C．DE⊥BM D．EA⊥CD 答案　AD 解析　以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，并设EA＝AB＝DA＝2CB＝2，则A(0，0，0)，E(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，2，1)，D(0，0，2)，M，＝，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，＝(0，－2，2)，＝(2，0，－2)，＝，＝(－2，0，0)，＝(0，－2，1)，仅有·＝0，·＝0，从而得DM⊥EB，EA⊥CD．故选AD． 二、填空题 7．(2024·广州六中高二月考)在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，－3，1)，点M在y轴上，且点M到点A与到点B的距离相等，则点M的坐标是________． 答案　(0，－1，0) 解析　设M(0，y，0)．由||＝||，得(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2，解得y＝－1，所以点M的坐标是(0，－1，0)． 8．(2024·西工大附中高二质检)已知向量a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________． 答案　 解析　a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则cos〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以sin〈a，b〉＝＝，所求平行四边形的面积为|a||b|·sin〈a，b〉＝． 9．(2024·厦门第六中学高二月考)点P是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD上一点，则·的取值范围是________． 答案　 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(1，0，0)，C1(0，1，1)，设点P的坐标为(x，y，0)，由题意，得0≤x≤1，0≤y≤1，∴＝(1－x，－y，0)，1＝(－x，1－y，1)，∴·1＝－x(1－x)－y(1－y)＋0＝x2－x＋y2－y＝＋－，由二次函数的性质可得，当x＝y＝时，·取得最小值－；当x＝0或1，且y＝0或1时，·取得最大值0，则·1的取值范围是． 三、解答题 10．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)． (1)求|2a＋b|； (2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点) 解　(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)， 故|2a＋b|＝＝5． (2)设＝t，则＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)， 若⊥b，则·b＝0， 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0， 解得t＝，所以E． 因此在直线AB上存在一点E，使得⊥b，且点E的坐标为． 1．(2024·临沂一中高二检测)已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)． (1)求△ABC的面积； (2)求△ABC中AB边上的高． 解　(1)由已知，得＝(1，－3，2)，＝(2，0，－8)， ∴||＝＝，||＝＝2， ·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， ∴cos〈，〉＝＝＝， ∴sin〈，〉＝＝， ∴S△ABC＝||||sin〈，〉 ＝××2×＝3． (2)设AB边上的高为CD， 则||＝||sin〈，〉＝3，即△ABC中AB边上的高为3． 2．(2024·金陵中学高二月考)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是棱BC的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1与MN所成的角等于45°？ 解　以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz． 由题意知A(0，0，0)，B1(，1，2)，C(0，2，0)，B(，1，0)，M． 又点N在棱CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)， 则＝(，1，2)，＝， 所以||＝2，||＝， ·＝2m－1． 若异面直线AB1与MN所成的角等于45°， 则cos45°＝|cos〈，〉| ＝＝＝， 解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾． 所以在棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1与MN所成的角等于45°． 17 学科网（北京）股份有限公司 $$