4.2.2 指数函数的图象与性质-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 4.2.2　指数函数的图象与性质 (教师独具内容) 课程标准：1.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.学会用函数的图象和代数运算的方法研究指数函数的性质.3.运用指数函数模型解决简单的实际问题． 教学重点：掌握指数函数的图象与性质． 教学难点：指数函数性质的应用． 核心素养：借助指数函数的性质及应用培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点　　指数函数的图象与性质 表达式 y＝ax(0<a<1) y＝ax(a>1) 图象 性质 定义域 (－∞，＋∞) 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0，1)，即a0＝1 函数值 的变化 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 单调性 是R上的减函数 是R上的增函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 1．由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(0，1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象． 2．底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论在y轴的左侧还是右侧，图象相应的底数按逆时针方向递增． 当a>b>1时， (1)若x>0，则ax>bx>1； (2)若x<0，则1>bx>ax>0. 当1>a>b>0时， (1)若x>0，则1>ax>bx>0； (2)若x<0，则bx>ax>1. 3．函数图象的对称和变换规律 一般地，把函数y＝f(x)的图象向右平移m个单位长度得函数y＝f(x－m)的图象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|个单位长度)；把函数y＝f(x)的图象向上平移n个单位长度，得到函数y＝f(x)＋n的图象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|个单位长度)． 函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 函数y＝f(|x|)的图象是关于y轴对称的，所以只要先把y轴右边的图象保留，y轴左边的图象删去，再将y轴右边部分关于y轴对称得y轴左边图象，就得到了y＝f(|x|)的图象． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象都在x轴上方．(　　) (2)函数y＝2－x在(0，＋∞)上单调递增．(　　) (3)若指数函数y＝ax是减函数，则0<a<1.(　　) (4)对于任意x∈R，一定有4x>3x.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)函数y＝2－x的图象是(　　) (2)若0<a<1，则函数f(x)＝ax＋6的图象一定经过(　　) A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 (3)当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax－2＋1必过定点________． (4)函数f(x)＝在[－1，1]上的最大值为________． 答案：(1)B　(2)A　(3)(2，2)　(4)3 　指数函数的图象及应用 　(1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　) A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c [解析]　解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1. 作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 解法二：根据图象可以先分两类： ③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．由以上分析，可知a，b，c，d与1的大小关系为b＜a＜1＜d＜c. [答案]　B (2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________． [解析]　解法一：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3，4)． 解法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点(3，4)． [答案]　(3，4) 【感悟提升】　 1．识别指数函数图象问题的注意点 (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1. (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小． (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置． 2．解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 【跟踪训练】 1．(1)二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝的图象可能是(　　) 答案：A 解析：二次函数y＝a－，其图象的顶点坐标为，由指数函数的图象知0<<1，所以－<－<0，再观察四个选项，只有A中的抛物线的顶点的横坐标在－和0之间． (2)函数y＝a2x＋1＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点________． 答案： 解析：令2x＋1＝0得x＝－，y＝2，所以函数图象恒过点. 　指数函数的解析式 　若点(a，27)在函数y＝()x的图象上，则的值为(　　) A. B．1 C．2 D．0 [解析]　∵点(a，27)在函数y＝()x的图象上，∴27＝()a，即33＝3，∴＝3，解得a＝6.∴＝. [答案]　A 【感悟提升】　求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)． (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式． 【跟踪训练】 2．若指数函数y＝f(x)的图象经过点，则f＝________． 答案： 解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则由题意知f(－2)＝a－2＝.∴a＝4，f(x)＝4x.∴f＝4－＝(22)－＝. 　与指数函数有关的定义域和值域问题 　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2； (2)y＝； (3)y＝. [解]　(1)x应满足x－4≠0，∴x≠4， ∴函数y＝2的定义域为{x|x≠4，x∈R}． ∵≠0，∴2≠1， ∴函数y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}． (2)函数y＝的定义域为R. ∵|x|≥0，∴y＝＝≥＝1， ∴函数y＝的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－≥0， ∴≤1＝， ∴x≥0， ∴函数y＝的定义域为{x|x≥0，x∈R}． ∵x≥0，∴≤1. 又>0，∴0<≤1. ∴0≤1－<1， ∴0≤y<1，∴函数y＝的值域为[0，1)． 【感悟提升】　函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 提示：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 【跟踪训练】 3．求下列函数的定义域、值域： (1)y＝； (2)y＝4x－2x＋1. 解：(1)函数的定义域为R. ∵y＝＝＝1－， 又3x>0，∴1＋3x>1，∴0<<1， ∴－1<－<0， ∴0<1－<1，∴函数的值域为(0，1)． (2)函数的定义域为R. y＝(2x)2－2x＋1＝＋， ∵2x>0，∴当2x＝，即x＝－1时，y取最小值， ∴函数的值域为. 　利用单调性比较大小 　比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1和a0.3(a>0，且a≠1)． [解]　(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5. (3)由指数函数的性质，得1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1. (4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1<a0.3. 【感悟提升】　比较幂的大小的方法 (1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数的图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小． (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． (4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． 【跟踪训练】 4．(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 答案：A 解析：因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数，知b<a.又因为a＝2＝4，c＝25＝5，由函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，知a<c.综上可得，b<a<c.故选A. (2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 答案：C 解析：因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5<a＝0.60.6<1.又c＝1.50.6>1，所以b<a<c. 　利用指数函数的单调性解不等式 　　　(1)解不等式≤2. [解]　∵2＝， ∴原不等式可以转化为≤. ∵函数y＝在R上是减函数， ∴3x－7≥－1，∴x≥2. 故原不等式的解集是{x|x≥2}． (2)已知<a－x＋5(a>0，a≠1)，求x的取值范围． [解]　分情况讨论： ①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是减函数， ∴x2－3x＋2>－x＋5，∴x2－2x－3>0， 根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>3； ②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋2<－x＋5， ∴x2－2x－3<0， 根据相应二次函数的图象可得－1<x<3. 综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>3；当a>1时，－1<x<3. 【感悟提升】　解与指数有关的不等式时需注意的问题 (1)形如ax>ab的不等式，借助函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性求解． (3)形如ax>bx的形式，利用图象求解． 【跟踪训练】 5．(1)解不等式≤3－2x. 解：因为3－2x＝，所以原不等式等价于≤， 又y＝是R上的减函数， 所以x－4≥2x，所以x≤－4. 因此原不等式的解集是{x|x≤－4}． (2)若a－3x>ax＋4(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． 解：①当0<a<1时，由y＝ax在R上单调递减得－3x<x＋4，即－4x<4，解得x>－1； ②当a>1时，由y＝ax在R上单调递增得－3x>x＋4，即－4x>4，解得x<－1. 综上，当0<a<1时，x的取值范围为(－1，＋∞)；当a>1时，x的取值范围为(－∞，－1)． 　指数函数性质的综合应用 　已知函数f(x)＝a－(x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1，5]上的最小值． [解]　(1)证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋ ＝. ∵x1<x2，∴2 x1－2 x2<0，(2x1＋1)(2x2＋1)>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)∵f(x)在R上为奇函数， ∴f(0)＝0，即a－＝0， 解得a＝. (3)由(2)知，f(x)＝－， 由(1)知，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1)． f(1)＝－＝， ∴f(x)在区间[1，5]上的最小值为. 【感悟提升】　指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化． 【跟踪训练】 6．已知函数f(x)＝(x∈R)． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)求函数f(x)的值域． 解：(1)函数f(x)为R上的奇函数．证明如下： 由已知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝＝＝－f(x)． 所以函数f(x)为R上的奇函数． (2)因为f(x)＝＝－1＋，2x>0， 所以1＋2x>1.故∈(0，2)． 从而f(x)＝－1＋∈(－1，1)． 所以函数f(x)的值域为(－1，1)． 1．函数y＝3－x的图象是(　　) 答案：B 解析：∵y＝3－x＝，∴B正确． 2．若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1) 答案：D 解析：∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是R上的增函数，∴x＋1<0.∴x<－1. 3．函数y＝的定义域是________． 答案：(－∞，0] 解析：要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0.故函数y＝的定义域为(－∞，0]． 4．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________． 答案：(－1，0)∪(0，1) 解析：由x<0，得0<2x<1；由x>0，得－x<0，0<2－x<1，∴－1<－2－x<0.∴函数f(x)的值域为(－1，0)∪(0，1)． 5．已知函数y＝f(x)＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数f(x)的值域． 解：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax， 则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a>1时，∵x≥0，∴t≥1， ∵g(t)在[1，＋∞)上单调递增，g(1)＝2， ∴当a>1时，y≥2. 当0<a<1时，∵x≥0，∴0<t≤1. ∵g(t)在(0，1]上单调递增，g(0)＝－1，g(1)＝2， ∴当0<a<1时，－1<y≤2. 综上所述，当a>1时，函数f(x)的值域是[2，＋∞)； 当0<a<1时，函数f(x)的值域是(－1，2]． 一、选择题 1．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点(　　) A．(0，1) B．(0，－1) C．(－1，0) D．(1，0) 答案：C 解析：∵f(－1)＝a－1＋1－1＝a0－1＝0，∴函数图象必过点(－1，0)． 2．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是(　　) 答案：A 解析：∵g(x)＝－x＋a的斜率为－1，排除C，D；观察A，B可知函数f(x)＝ax单调递增，∴a>1，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图象大致为A. 3．设a＝40.9，b＝80.48，c＝，则(　　) A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b 答案：D 解析：a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝＝21.5，因为函数y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b. 4．若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.∪(1，＋∞) D. 答案：A 解析：由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f(x)＝3(2a－1)x＋3的单调性与函数y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是，故选A. 5．(多选)若函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则下列关于函数f(x)＝2ax－1在[0，1]上的说法正确的是(　　) A．f(x)＝4x－1 B．函数f(x)在[0，1]上单调递增 C．f＝0 D．函数f(x)在[0，1]上的最大值是3 答案：ABD 解析：函数y＝ax在[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数f(x)＝2ax－1＝4x－1在[0，1]上单调递增，故x＝1时，f(x)max＝3，f＝4×－1＝1.故选ABD. 二、填空题 6．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象经过点(－1，4)，(0，3)，则函数f(x)的解析式为________，f(－2)f(2)＝________． 答案：f(x)＝＋2　 解析：由已知，得解得所以f(x)＝＋2.所以f(－2)f(2)＝·＝. 7．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)满足f(－2)＞f(－3)，则函数g(x)＝a1－x2的单调递增区间是________． 答案：[0，＋∞) 解析：∵f(－2)＞f(－3)，∴a2＞a3，∴0＜a＜1.令t＝1－x2，则y＝at.∵y＝at是减函数，t＝1－x2的单调递减区间是[0，＋∞)，∴g(x)＝a1－x2的单调递增区间是[0，＋∞)． 8．函数y＝的值域是________． 答案：(－2，－1] 解析：当x≤1时，y＝3x－1－2单调递增，值域为(－2，－1]；当x>1时，y＝31－x－2＝－2单调递减，值域为(－2，－1)．综上，函数的值域为(－2，－1]． 三、解答题 9．已知f(x)＝9x－2·3x＋4，x∈[－1，2]． (1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值； (2)求f(x)的最大值与最小值． 解：(1)函数t＝3x在[－1，2]上单调递增，故有≤t≤9，故t的最大值为9，最小值为. (2)由f(x)＝9x－2·3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9，故当t＝1时，函数f(x)取最小值3；当t＝9时，函数f(x)取最大值67. 10．已知函数y＝. (1)作出此函数的图象； (2)由图象确定其单调性； (3)由图象指出当x取什么值时函数有最大值． 解：由函数解析式可得 y＝＝ (1)当x≥－1时，y＝的图象是由y＝的图象向左平移1个单位得到的； 当x<－1时，y＝3x＋1的图象是由y＝3x的图象向左平移1个单位得到的．函数y＝的图象如图实线部分所示． (2)由图象知，函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数． (3)由图象知，当x＝－1时，函数有最大值，为1. 11．已知函数f(x)＝9x－3x＋1＋c(其中c是常数)． (1)若当x∈[0，1]时，恒有f(x)＜0成立，求实数c的取值范围； (2)若存在x0∈[0，1]，使f(x0)＜0成立，求实数c的取值范围． 解：f(x)＝9x－3x＋1＋c＝(3x)2－3·3x＋c， 令3x＝t，当x∈[0，1]时，t∈[1，3]． (1)根据题意知，当t∈[1，3]时，g(t)＝t2－3t＋c<0恒成立． ∵二次函数g(t)＝t2－3t＋c的图象的对称轴方程为t＝， ∴根据二次函数的性质可知，g(t)在[1，3]上的最大值为g(3)． ∴g(3)＝32－3×3＋c<0，解得c<0. 故实数c的取值范围为{c|c＜0}． (2)存在x0∈[0，1]，使f(x0)<0等价于存在t∈[1，3]，使g(t)＝t2－3t＋c<0. 于是只需g(t)在[1，3]上的最小值小于0即可． ∵二次函数g(t)＝t2－3t＋c的图象的对称轴方程为t＝， ∴根据二次函数的性质可知，g(t)在[1，3]上的最小值为g＝－3×＋c＜0，解得c＜. 故实数c的取值范围为. 12．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数； (3)若对任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． 解：(1)因为f(x)为R上的奇函数， 所以f(0)＝0，得b＝1. 又f(－1)＝－f(1)，得a＝1. 经检验，a＝1，b＝1符合题意． (2)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝. 因为x1<x2，所以2x2－2 x1>0. 又因为(2x1＋1)(2x2＋1)>0， 所以f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数． (3)因为t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立， 所以f(t2－2t)<－f(2t2－k)． 因为f(x)为奇函数， 所以f(t2－2t)<f(k－2t2)． 因为f(x)为R上的减函数，所以t2－2t>k－2t2， 即k<3t2－2t恒成立， 而3t2－2t＝3－≥－. 所以k<－. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$