3.1.2 表示函数的方法-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 3.1.2　表示函数的方法 (教师独具内容) 课程标准：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用． 教学重点：1.函数的三种表示方法.2.求函数的解析式． 教学难点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 核心素养：1.通过函数表示的图象法培养直观想象素养.2.借助函数解析式的求法提升数学运算素养． 知识点一　解析式的概念 正方形面积S是边长x的函数，用公式S＝x2(x∈(0，＋∞))来表示，既说明了S是x的函数，又说明了如何从x出发求出对应的面积S，这种把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式(也叫作函数表达式或函数关系式)． 知识点二　函数的表示法 (1)解析法：用解析式来表示函数的方法． (2)列表法：列出表格来表示函数的方法． (3)图象法：用图象来表示函数的方法． 知识点三　作函数图象的三个步骤 (1)列表：先找出一些有代表性的自变量值x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来． (2)描点：从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点． (3)连线：用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． 对函数三种表示法的几点说明 (1)解析法：变量间的对应关系明确，且要注意函数的定义域． (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去． (3)图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．(　　) (2)任何一个函数都可以用解析法表示．(　　) (3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．(　　) (4)函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．(　　) (5)函数f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋1(x∈N)的图象相同．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．做一做 (1)已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝(　　) x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 A.1 B．2 C．3 D．不存在 (2)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是________． (3)已知正比例函数f(x)满足f(2)＝4，则f(x)的解析式为________． (4)若f＝x＋1，则f(2)＝________． (5)若f(x)＝2x＋1，则f(x＋1)＝________． 答案：(1)C　(2)[－2，3]　(3)f(x)＝2x (4)　(5)2x＋3 　函数的三种表示方法 　已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋.当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20. (1)写出函数t的解析式； (2)用列表法表示此函数； (3)画出函数t的图象． [解]　(1)由题设条件知，当x＝2时，t＝100，当x＝14时，t＝28， 列出方程组解得 所以t＝x＋. 又因为x≤20，x为正整数， 所以函数的定义域是{x|0<x≤20，x∈N＋}． 所以函数t的解析式为t＝x＋(0<x≤20，x∈N＋)． (2)x＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，共取20个值，列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t 28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.25 28.5 28.9 29.3 29.8 注：表中的部分数据是近似值． (3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列，如图所示． 【感悟提升】　函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 在用三种方法表示函数时要注意： (1)解析法必须注明函数的定义域； (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． 【跟踪训练】 1．某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y(单位：元)之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 解：①列表法： x(台) 1 2 3 4 5 y(元) 3000 6000 9000 12000 15000 x(台) 6 7 8 9 10 y(元) 18000 21000 24000 27000 30000 ②图象法：如图所示． ③解析法：y＝3000x，x∈{1，2，3，…，10}． 　函数图象的作法及应用 　作出下列函数的图象，并指出其值域： (1)y＝－x＋1，x∈Z； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)； (3)y＝(－2≤x≤1，且x≠0)． [解]　(1)因为函数的定义域为Z，所以其图象为离散的点．其图象如图①所示．由图可知y＝－x＋1，x∈Z的值域为Z. (2)因为y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5(0≤x<3)，定义域不是R，因此图象不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分．其图象如图②所示．由图可知y＝2x2－4x－3(0≤x<3)的值域为[－5，3)． (3)用描点法可以作出函数的图象如图③所示．由图可知y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 【感悟提升】　画函数图象的两种常用方法及关注点 (1)描点法 一般步骤：①列表；②描点；③连线． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等． (3)关注点 ①画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； ②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； ③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点． 【跟踪训练】 2．作出下列函数的图象，并指出其值域： (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝x2－2x，x∈[0，3)； (3)y＝. 解：(1)当x＝0时，y＝1；当x＝2时，y＝5.所画图象如图①所示．由图可知y＝2x＋1，x∈[0，2]的值域为[1，5]． (2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x<3之间的一部分，如图②所示．由图可知y＝x2－2x，x∈[0，3)的值域为[－1，3)． (3)函数图象如图③所示．由图可知y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 　函数解析式的求法 　(1)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋6，求f(x)的解析式． [解]　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6，于是有解得或所以f(x)＝2x＋2或f(x)＝－2x－6. (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式． [解]　解法一：(换元法)令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)． 解法二：(配凑法)f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1. 因为＋1≥1，所以函数的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)． (3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f＝x，求f(x)的解析式． [解]　在已知等式中，将x换成，得f＋2f(x)＝，与已知方程联立， 得 消去f，得f(x)＝－＋. (4)(2024·高三上江苏扬州开学考试)已知f(x－y)＝f(x)＋f(y)－2xy，求f(x)的解析式． [解]　f(x－y)＝f(x)＋f(y)－2xy中， 令x＝y＝0，得f(0)＝0； 令y＝x，得f(x－x)＝f(x)＋f(x)－2x2， 故f(x)＋f(x)＝2x2， 则f(x)＝x2. [条件探究]　若将本例(2)中“f(＋1)＝x＋2”改为“f(x＋1)＝x2＋2x”，求f(x)的解析式． 解：解法一：(换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1， 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1， 所以函数的解析式为f(x)＝x2－1. 解法二：(配凑法)f(x＋1)＝x2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1， 所以函数的解析式为f(x)＝x2－1. 【感悟提升】　函数解析式的求法 求函数解析式，关键是对基本方法的掌握，常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程(组)法、赋值法等． (1)配凑法：将形如f(g(x))的函数的表达式配凑为关于g(x)的表达式，并整体将g(x)用x代换，即可求出函数f(x)的解析式．如由f(x＋1)＝(x＋1)2可得f(x)＝x2. (2)换元法：将函数f(g(x))中的g(x)用t表示，则可求得x关于t的表达式，并将最终结果中的t用x代换，即可求得函数f(x)的解析式． (3)待定系数法：将已知类型的函数以确定的形式表达，并利用已知条件求出其中的参数，从而得到函数的解析式． 一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (4)解方程(组)法：采用解方程或方程组的方法，消去不需要的函数式子，得到f(x)的表达式，这种方法也称为消去法． (5)赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．这种方法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值． 【跟踪训练】 3．求下列函数的解析式： (1)已知f(－1)＝x，求f(x)的解析式； (2)已知f＝＋，求f(x)的解析式； (3)已知2f(x－1)－f(1－x)＝2x2－1，求二次函数f(x)的解析式． 解：(1)令t＝－1(t≥－1)， 则x＝(t＋1)2， ∴f(t)＝(t＋1)2(t≥－1)． ∴f(x)的解析式为f(x)＝(x＋1)2(x≥－1)． (2)∵f＝f＝－＋1，≠0，∴≠1，f(x)＝x2－x＋1(x≠1)． (3)令x－1＝t，则1－x＝－t，x＝t＋1. ∴ 解得f(t)＝2t2＋t＋1. 即二次函数f(x)的解析式为f(x)＝2x2＋x＋1. 1．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(－1)＋f(0)＋f(1)＝(　　) A．2 B．－2 C．0 D．1 答案：C 解析：由图知f(－1)＝－1，f(0)＝0，f(1)＝1，所以f(－1)＋f(0)＋f(1)＝－1＋0＋1＝0. 2．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)＝(　　) A．2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7 答案：B 解析：因为f(x)＝2x＋3，所以f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1，故g(x)＝2x－1. 3．已知函数y＝f(x)由表格给出，若f(a)＝3，则a＝________． x 3 4 5 f(x) 2 3 －1 答案：4 解析：满足f(a)＝3，只有a＝4才符合题意． 4．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是________． 答案：f(x)＝3x－1 解析：令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1.∴f(x)＝3x－1. 5．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)． (1)画出f(x)图象的简图； (2)根据图象写出f(x)的值域． 解：(1)f(x)图象的简图如图所示． (2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，即f(x)的值域是[－1，3]． 一、选择题 1．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(3))的值为(　　) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 答案：A 解析：由y＝g(x)的图象与y＝f(x)的对应关系表可知g(3)＝2，f(2)＝3，所以f(g(3))＝f(2)＝3. 2．“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S1，S2分别表示乌龟和兔子所走的路程，x为时间，则如图所示的图象中与故事情节相吻合的是(　　) 答案：D 解析：由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加；对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点．故选D. 3．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7 C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10 答案：A 解析：f(x－1)＝x2＋4x－5⇒f(x)＝(x＋1)2＋4(x＋1)－5＝x2＋6x. 4．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(　　) A．y＝20－2x B．y＝20－2x(0<x<10) C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5<x<10) 答案：D 解析：由周长为20，腰长为x，得底边长y＝20－2x，又20－2x>0，所以x<10，又三边长必须构成三角形，所以2x>y，又2x＋y＝20，所以x>5，故y＝20－2x(5<x<10)． 5．(多选)已知函数f(x)＝g(x)＋h(x)，g(x)关于x2成正比，h(x)关于成反比，且g(1)＝2，h(1)＝－3，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)＝2x2＋ B．函数f(x)的定义域为(0，＋∞) C．f(4)＝ D．f＝－3 答案：BD 解析：对于A，设g(x)＝k1x2(k1∈R，且k1≠0)，h(x)＝(k2∈R，且k2≠0)，由于g(1)＝2，h(1)＝－3，所以k1＝2，k2＝－3.所以f(x)＝2x2－，故A错误；对于B，函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，故B正确；对于C，f(4)＝2×42－＝，故C错误；对于D，f＝2×－＝－3，故D正确．故选BD. 二、填空题 6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况： 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2021年5月1日 12 5000 2021年5月15日 48 5600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升． 答案：8 解析：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量为48÷6＝8升． 7．已知函数f(2x－1)＝4x2(x>0)，则f(x)＝________． 答案：x2＋2x＋1(x>－1) 解析：设t＝2x－1，所以x＝，因为x>0，所以t>－1，所以f(t)＝4＝t2＋2t＋1，所以函数解析式为f(x)＝x2＋2x＋1(x>－1)． 8．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为________． 答案：－1 解析：因为g(x)＝(x2＋3)，所以g(f(x))＝[(2x＋a)2＋3]＝(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1. 三、解答题 9．作出下列函数的图象并写出其值域： (1)y＝，x∈[2，＋∞)； (2)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]． 解：(1)列表： x 2 3 4 5 … y 1 … 当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1]． (2)列表： x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分． 由图可得函数的值域是[－1，8]． 10．(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x) ＝4x，求f(x)的解析式； (3)已知f＝x2＋＋1，求f(x)的解析式． 解：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则2f(x＋3)－f(x－2) ＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b] ＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b ＝ax＋8a＋b＝2x＋21， 所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5. (2)因为f(x)为二次函数， 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由f(0)＝1，得c＝1. 又因为f(x－1)－f(x)＝4x， 所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x， 整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2， 所以f(x)＝－2x2－2x＋1. (3)因为f＝＋2＋1 ＝＋3， 所以f(x)＝x2＋3. 11．某商场经营一批进价是30元的商品，在市场试销中发现，此商品销售单价x元与日销售量y台之间有如下关系： x 35 40 45 50 … y 57 42 27 12 … 在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)的对应点，并确定你认为比较适合的x与y的一个函数关系式y＝f(x)． 解：作出点(35，57)，(40，42)，(45，27)，(50，12)，并用直线将其连接起来，如图，则可知其为一次函数，不妨设y＝kx＋b(k≠0)， 将点(35，57)，(40，42)代入其中， 即解得 即y＝162－3x， 经验证，(45，27)，(50，12)也在直线上，又台数y为非负，因此162－3x≥0，即x≤54，且由于进价为30元，从而函数的定义域为[30，54]，于是y＝162－3x(x∈[30，54])． 12．某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，若该车每次拖4节车厢，一天能来回16次(来、回各算作一次)，若每次拖7节车厢，则每天能来回10次． (1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式； (2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数． 解：(1)设每天来回y次，每次拖x节车厢， 则可设y＝kx＋b(k≠0)． 由题意，得16＝4k＋b，10＝7k＋b， 解得k＝－2，b＝24，所以y＝－2x＋24. (2)设这列火车每天来回总共拖挂的车厢节数为S， 则由(1)知S＝xy， 所以S＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72， 所以当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12， 则每日最多运营的人数为110×72＝7920. 所以这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920. 3.1.3　简单的分段函数 (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 教学重点：根据实际情境，选择恰当的函数表示方法解决问题． 教学难点：在实际情境中，构造分段函数并解决问题． 核心素养：1.借助分段函数的概念培养数学抽象素养.2.通过分段函数的求值培养数学运算素养.3.借助函数的实际应用培养数学建模素养． 知识点一　分段函数的概念 一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数． 知识点二　应用函数知识解决实际问题的一般步骤 (1)阅读材料、理解题意； (2)把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型； (3)利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论； (4)把数学结论(结果)应用到实际问题中，解决实际问题． 1．分段函数的特点 (1)分段函数是一个函数，并非几个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集． (3)分段函数的值域是各段值域的并集． (4)分段函数的图象要分段来画． 2．应用函数知识解决实际问题的关键是如何根据题意将实际问题转化成数学问题，然后通过求解数学问题，最后解决实际问题． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成．(　　) (2)分段函数有多个定义域．(　　) (3)函数f(x)＝是分段函数．(　　) (4)函数f(x)＝|x|可以用分段函数表示．(　　) (5)分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．做一做 (1)f(x)＝|x－1|的图象是(　　) (2)如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象，由图象可知，下列说法中错误的是(　　) A．这天15时的温度最高 B．这天3时的温度最低 C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃ D．这天21时的温度是30 ℃ (3)若f(x)＝则f(3)＝________，f(f(－2))＝________． (4)(2024·高一上云南昆明期中)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则狄利克雷函数f(x)的值域为________． (5)已知f(x)＝若f(x0)＝4，则x0＝________． 答案：(1)B　(2)C　(3)12　42　(4){0，1}　(5)2 　分段函数的定义域、值域 　(1)已知函数f(x)＝，则其定义域为(　　) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) [解析]　要使f(x)有意义，需x≠0，故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． [答案]　D (2)函数f(x)＝的定义域为________，值域为________． [解析]　由已知，定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|－1<x<0}＝{x|－1<x<1}，即(－1，1)．又当0<x<1时，0<－x2＋1<1，当－1<x<0时，－1<x2－1<0，当x＝0时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1)． [答案]　(－1，1)　(－1，1) 【感悟提升】　 1．分段函数定义域、值域的求法 (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集． (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集． 2．绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决． 【跟踪训练】 1．已知函数f(x)＝则函数的定义域为________，值域为________． 答案：R　[0，1] 解析：由已知，得定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝R.又x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]． 　分段函数求值问题 　已知函数f(x)＝ (1)求f(－5)，f(－)，f的值； (2)若f(a)＝3，求实数a的值． [解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2，2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2. ∵f＝－＋1＝－，且－2<－<2， ∴f＝f＝＋2×＝－3＝－. (2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不符合题意，舍去； 当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1或a＝－3. ∵1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)， ∴a＝1符合题意； 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2. 【感悟提升】　 1．求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间； (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论； (2)然后代入到不同的解析式中； (3)通过解方程求出字母的值； (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内． 3．若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． 【跟踪训练】 2．已知函数f(x)＝ (1)求f(f(f(－2)))； (2)若f(a)＝，求a. 解：(1)∵－2<－1， ∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1. ∴f(f(－2))＝f(－1)＝(－1)2＋1＝2. f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝. (2)当a>1时，f(a)＝1＋＝.∴a＝2>1. 当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝. ∴a＝±∈[－1，1]． 当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝. ∴a＝－>－1(舍去)． 综上，a＝2或a＝±. 　由分段函数的图象求分段函数的解析式 　根据如图所示的函数f(x)的图象，写出函数的解析式． [解]　当－3≤x<－1时， 设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 将点(－3，1)，(－1，－2)代入，得f(x)＝－x－； 当－1≤x<1时，同理，可设f(x)＝cx＋d(c≠0)， 将点(－1，－2)，(1，1)代入，得f(x)＝x－； 当1≤x<2时，f(x)＝1. 所以f(x)＝ 【感悟提升】　已知图象求函数解析式的方法 已知函数的图象求解析式y＝f(x)，当自变量x在不同的区间上变化时，函数f(x)的解析式不同，应分段求解．此时根据图象，结合已学过的基本函数图象，选择相应的解析式，用待定系数法求解．如果函数为分段函数，要注意写解析式时各区间端点的值，做到不重也不漏． 【跟踪训练】 3．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________． 答案：f(x)＝ 解析：由图可知，函数f(x)的图象由两条线段组成， 当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，得解得即f(x)＝x＋1. 当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，得k＝－1，即f(x)＝－x. 综上，f(x)＝ 　分段函数的图象及其应用 　已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． [解]　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1， 当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x， 所以f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)． [条件探究]　把本例的条件改为“f(x)＝|x|－2(x∈R)”，再求解本例的三个问题． 解：(1)f(x)＝|x|－2＝ (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由图可知，函数f(x)的值域为[－2，＋∞)． 【感悟提升】　分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 【跟踪训练】 4．作出下列函数的图象，并写出函数的值域： (1)y＝ (2)y＝|x＋1|＋|x－3|. 解：(1)函数y＝的图象如图1，观察图象，得函数的值域为(1，＋∞)． (2)将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数为y＝其图象如图2.观察图象，得函数的值域为[4，＋∞)． 　分段函数的应用 　某市出租车的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9 元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km))． (1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0<x≤60，单位：km)的函数； (2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆出租车行驶8 km后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？ (现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑) [解]　(1)由题意，得车费f(x)关于路程x的函数为 f(x)＝ ＝ (2)只乘一辆车的车费为f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)； 换乘2辆车的车费为2f(8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)． ∵40.3>38.8， ∴该乘客换乘比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱． 【感悟提升】　分段函数应用问题的两个关注点 (1)应用情境：日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数． (2)注意问题：求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理． 【跟踪训练】 5.如图，△OAB是边长为4的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0<t<6)左侧的图形的面积为f(t)，求函数f(t)的解析式，并画出函数的大致图象． 解：当0<t≤2时，f(t)＝×t×t＝t2； 当2<t≤4时，f(t)＝×4×2－(4－t)×(4－t)＝－t2＋4t－4； 当4<t<6时，f(t)＝×4×2＝4. 所以函数f(t)的解析式为 f(t)＝ 函数图象如图所示： 1．函数f(x)＝的图象是(　　) 答案：C 解析：f(x)＝由图知C正确． 2．设函数f(x)＝则f(3)＝(　　) A．3 B．6 C．10 D．12 答案：C 解析：∵3>0，∴f(3)＝32＋1＝10. 3．(2024·高一上湖南娄底期末)已知函数f(x)＝则f(－1)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：D 解析：由题知，f(－1)＝f(1)＝2×1－4×1＋3＝1. 4.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f(f(f(2)))＝________，f(x)的值域是________． 答案：2　[0，4] 解析：∵f(2)＝0，∴f(f(2))＝f(0)＝4，∴f(f(f(2)))＝f(4)＝2.由图象可知，f(x)的值域是[0，4]． 5．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水的水费为1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费．如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)． 解：由题意知，当0<x≤5时，y＝1.2x； 当5<x≤6时，y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6； 当6<x≤7时，y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4. 所以应交的水费y＝ 一、选择题 1．设f(x)＝则f(5)的值是(　　) A．24 B．21 C．18 D．16 答案：A 解析：f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，f(5)＝f(21)＝24. 2．函数f(x)＝的值域是(　　) A．R B．[0，2]∪{3} C．[0，＋∞) D．[0，3] 答案：B 解析：当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上可知，f(x)的值域为[0，2]∪{3}． 3．函数f(x)＝x2－2|x|的图象是(　　) 答案：C 解析：由题意可得f(x)＝分段画出可知应选C. 4．已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：B 解析：由题图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝所以f＝－1＝－，所以f＝f＝－＋1＝. 5．(多选)设函数y＝f(x)的定义域为R，对于任一给定的正数p，定义函数fp(x)＝则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”．若给定函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，则下列结论成立的是(　　) A．fp(f(0))＝f(fp(0)) B．fp(f(1))＝f(fp(1)) C．f(f(2))＝fp(fp(2)) D．f(f(3))＝fp(fp(3)) 答案：ACD 解析：因为f(x)＝x2－2x－1，p＝2，所以fp(f(0))＝f2(－1)＝f(－1)＝2，f(fp(0))＝f(f(0))＝f(－1)＝2，故A正确；fp(f(1))＝fp(－2)＝f2(－2)＝2，f(fp(1))＝f(f(1))＝f(－2)＝7，故B不正确；f(f(2))＝f(－1)＝2，fp(fp(2))＝f2(f2(2))＝f2(－1)＝2，故C正确；f(f(3))＝f(2)＝－1，fp(fp(3))＝f2(f2(3))＝f2(2)＝－1，故D正确．故选ACD. 二、填空题 6．设函数f(x)＝若f＝4，则b＝________． 答案： 解析：f＝f＝f.当－b<1，即b>时，3×－b＝4，解得b＝(舍去)．当－b≥1，即b≤时，2×＝4，解得b＝. 7．函数f(x)＝若f(a)＜－3，则a的取值范围是________． 答案：(－∞，－3) 解析：当a≤－2时，f(a)＝a＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，此时不等式无解；当a≥4时，f(a)＝3a＜－3，此时不等式无解．所以a的取值范围是(－∞，－3)． 8．某商品的单价为5000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件时，每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠800元．某单位需要购买x(x∈N＋，x≤15)件该商品，设购买总费用是f(x)元，则f(x)的解析式是________． 答案：f(x)＝ 解析：当x≤5，x∈N＋时，f(x)＝5000x；当5<x≤10，x∈N＋时，f(x)＝(5000－500)x＝4500x；当10<x≤15，x∈N＋时，f(x)＝(5000－800)x＝4200x.所以f(x)的解析式是f(x)＝ 三、解答题 9.如图，动点P从单位正方形ABCD的顶点A开始，顺次经B，C，D绕边界一周，当x表示点P的行程，f(x)表示PA的长时，求f(x)的解析式，并求f的值． 解：当点P在AB上运动时，f(x)＝x； 当点P在BC上运动时，f(x)＝； 当点P在CD上运动时，f(x)＝； 当点P在DA上运动时，f(x)＝4－x， ∴f(x)＝ ∴f＝＝. 10．某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时收费2元．某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时． (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)(12≤x≤30)元，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)(12≤x≤30)元，试求f(x)与g(x)的解析式； (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？ 解：(1)由题意f(x)＝6x，x∈[12，30]， g(x)＝ (2)①当12≤x≤20时，6x＝90，解得x＝15， 即当12≤x<15时，f(x)<g(x)， 当x＝15时，f(x)＝g(x)， 当15<x≤20时，f(x)>g(x)． ②当20<x≤30时，f(x)>g(x)， 故当12≤x<15时，选A家俱乐部比较合算； 当x＝15时，选两家俱乐部一样； 当15<x≤30时，选B家俱乐部比较合算． 11.如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出函数的大致图象． 解：如图，过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H. 因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm， 所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm， 又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm. ①当点F在BG上，即x∈[0，2]时，y＝x2. ②当点F在GH上，即x∈(2，5]时，y＝×2＝2x－2. ③当点F在HC上，即x∈(5，7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝×(7＋3)×2－(7－x)2＝－(x－7)2＋10. 综合①②③，得函数的解析式为 y＝ 图象如图所示． 12．小刘周末自驾游，早上8点从家出发，驾车3小时到达景区停车场，期间由于交通等原因，小刘的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系式为s(t)＝－5t(t－13)，由于景区内不能驾车，小刘把车停在景区停车场，在景区玩到16点，小刘开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回． (1)求这天小刘的车所走路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式； (2)在距离小刘家60 km处有一加油站，求这天小刘的车途经该加油站的时间． 解：(1)依题意得，当0≤t≤3时，s(t)＝－5t(t－13)， 所以s(3)＝－5×3×(3－13)＝150，即小刘家距景点150 km，小刘的车在景点停留时间为16－8－3＝5(h)． 所以当3<t≤8时，s(t)＝150. 小刘从景区回家所花时间为＝2.5(h)． 所以当8<t≤10.5时，s(t)＝150＋60(t－8)＝60t－330. 故s(t)＝ (2)当0≤t≤3时， 令－5t(t－13)＝60，得 t2－13t＋12＝0， 解得t＝1或t＝12(舍去)． 当t＝1时，时间为9点． 当8<t≤10.5时，令60t－330＝240， 解得t＝，当t＝9.5时，时间为17点30分． 综上，小刘这天途经该加油站的时间分别为9点和17点30分． 3.2.1　函数的单调性与最值 第1课时　函数的单调性 (教师独具内容) 课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解函数单调性的作用和实际意义． 教学重点：1.函数单调性的定义及其几何特征.2.用定义证明函数的单调性． 教学难点：用定义证明函数的单调性． 核心素养：1.通过函数单调性的证明培养逻辑推理素养.2.通过借助函数的图象求函数的单调区间及应用函数的单调性解决问题培养直观想象素养和数学运算素养． 知识点一　增函数、减函数 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集．如不加说明，则默认为I是个区间． (1)如果对于区间I上任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，就称f(x)是区间I上的增函数，也称f(x)在区间I上单调递增，如图． (2)如果对于区间I上任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，就称f(x)是区间I上的减函数，也称f(x)在区间I上单调递减，如图． 知识点二　函数的单调性及单调区间 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间． 1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求： (1)属于同一个区间I； (2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间I上的任意两个值，不能用特殊值代替； (3)有大小，即确定的任意两个值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2. 2．并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝它的定义域为Z，但不具有单调性． 3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增， y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性． 5．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 6．函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间I而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有函数在定义域上都具有单调性．(　　) (2)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1，2]上单调递增．(　　) (3)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．(　　) (4)若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1，3)上单调递增．(　　) (5)若函数f(x)在区间[1，3]上单调递减，则函数f(x)的单调递减区间是[1，3]．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．做一做 (1)如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调递减区间为(　　) A．(－2，0) B．(0，2) C．(－2，2) D．(2，＋∞) (2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ B．y＝x C．y＝|x－1| D．y＝－x＋2 (3)函数f(x)＝，则f(1)与f(2)的大小关系为________． (4)函数f(x)＝x2－2x＋3的单调递增区间为________． 答案：(1)B　(2)B　(3)f(1)>f(2) (4)[1，＋∞) 　证明或判断函数的单调性 　已知函数f(x)＝. (1)求f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并加以证明． [解]　(1)由x2－1≠0得x≠±1， 故函数f(x)＝的定义域为{x|x≠±1}． (2)函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．理由如下： 设x1和x2是区间(1，＋∞)上任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝. 因为x－1>0，x－1>0，x2＋x1>0，x2－x1>0， 所以f(x1)>f(x2)，故函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 【感悟提升】　定义法证明单调性的步骤 判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作． 利用定义法判断函数的单调性的步骤如下： 注意：对单调递增的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0. 对单调递减的判断，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，相应地也可以用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0. 【跟踪训练】 1．证明：函数f(x)＝x＋在区间(2，＋∞)上单调递增． 证明：设x1和x2是区间(2，＋∞)上任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝. ∵2<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴函数f(x)＝x＋在区间(2，＋∞)上单调递增． 　求函数的单调区间 　设函数f(x)＝画出函数f(x)的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间． [解]　函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知，函数f(x)的定义域为[－4，＋∞)，值域为(－∞，3]，单调递增区间为(－2，0)，单调递减区间为(－4，－2)和(0，＋∞)． 【感悟提升】　求函数单调区间的三种方法 方法一：转化为已知的函数(如一次函数、二次函数等)的单调性判断． 方法二：定义法，即先求出定义域，再利用单调性的定义进行判断求解． 方法三：图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间． 【跟踪训练】 2．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间． 解：函数f(x)＝的图象如图所示： 由图可知，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2)，单调递增区间为[2，＋∞)． 　抽象函数的单调性 　设f(x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证： (1)f(0)＝1； (2)任意x∈R，恒有f(x)>0； (3)f(x)是减函数． [证明]　(1)根据题意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)f(n)．∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知x>0时，0<f(x)<1， 当x＝0时，f(0)＝1>0， 当x<0时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f(x＋(－x))＝f(x)f(－x)， ∴f(x)f(－x)＝1， ∴f(x)＝>0. ∴任意x∈R，恒有f(x)>0. (3)设x1和x2是任意两个实数，且x1<x2， 则f(x2)＝f(x1＋(x2－x1))， ∴f(x2)－f(x1) ＝f(x1＋(x2－x1))－f(x1) ＝f(x1)f(x2－x1)－f(x1) ＝f(x1)[f(x2－x1)－1]． 由(2)知f(x1)>0，又x2－x1>0， ∴0<f(x2－x1)<1， 故f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)是减函数． 【感悟提升】　抽象函数单调性的判断方法 这里的抽象函数一般由方程(不等式)确定，解决这类函数的单调性问题通常有两种方法：一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试． 注意：若给出的是和型(f(x＋y)＝…)抽象函数，判定符号时的变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)； 若给出的是积型(f(xy)＝…)抽象函数，判定符号时的变形为f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)，f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f. 【跟踪训练】 3．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)．设g(x)＝，且当x>1时，g(x)<0，判断函数g(x)在(0，＋∞)上的单调性，并证明． 解：函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减．证明如下： ∵f(x1x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)， ∴＝＋， ∴g(x1x2)＝g(x1)＋g(x2)， 设x1>x2>0，则>1， ∴g<0， ∵g(x1)＝g＝g(x2)＋g<g(x2)， ∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减． 　函数单调性的应用 　(1)已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则(　　) A．f(1)<c<f(－2) B．c<f(－2)<f(1) C．c>f(1)>f(－2) D．f(1)>c>f(－2) [解析]　因为二次函数f(x)＝x2＋4x＋c图象的对称轴为x＝－2，且开口向上，所以f(x)在[－2，＋∞)上单调递增，所以f(－2)<f(0)<f(1)，又f(0)＝c，所以f(1)>c>f(－2)． [答案]　D (2)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________． [解析]　因为f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3图象的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上单调递增，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.所以实数a的取值范围为(－∞，－4]． [答案]　(－∞，－4] (3)已知函数y＝f(x)是R上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________． [解析]　因为f(x)是R上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，所以2x－3>5x－6，即x<1.所以实数x的取值范围为(－∞，1)． [答案]　(－∞，1) 　若本例(2)的函数f(x)在(1，2)上是单调函数，求实数a的取值范围． 解：由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≥－2或a≤－3. 所以实数a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞)． 　若本例(3)的函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围． 解：由题意可得 解得x>. 所以x的取值范围为. 【感悟提升】　利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)利用抽象函数的单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)<f(b)⇔ ②方法：依据函数的单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． 【跟踪训练】 4．(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小． 解：由题意知函数f(x)图象的对称轴为x＝2，故f(1)＝f(3)， 由题意知f(x)在[2，＋∞)上单调递增， 所以f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(1)<f(4)． (2)已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围． 解：由题意，得解得1≤x≤2.① 因为f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，所以x－2<1－x，解得x<，② 由①②得1≤x＜. 所以满足题设条件的x的取值范围为. 1．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其单调递增区间是(　　) A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4] C．[－3，1] D．[－3，4] 答案：C 解析：由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间是[－3，1]，故选C. 2．(多选)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 答案：ABD 解析：函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上单调递减，其他三个选项中的函数在区间(0，＋∞)上单调递增．故选ABD. 3．函数y＝(x＋4)2的单调递减区间是(　　) A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞) C．(4，＋∞) D．(－∞，4) 答案：A 解析：作出函数y＝(x＋4)2的图象，由图象知，y＝(x＋4)2的单调递减区间是(－∞，－4)． 4．若函数f(x)＝2x2－mx＋3在[－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，则f(1)＝________． 答案：13 解析：由条件知直线x＝－2是函数f(x)图象的对称轴，所以＝－2，m＝－8，则f(1)＝13. 5．证明：函数y＝在区间(－∞，－1)上单调递增． 证明：设x1和x2是区间(－∞，－1)上任意两个实数，且x1<x2， 则y1－y2＝－ ＝ ＝. ∵x1，x2∈(－∞，－1)，且x1<x2， ∴(1＋x1)(1＋x2)>0，x1－x2<0. ∴<0，即y1<y2. ∴函数y＝在区间(－∞，－1)上单调递增． 一、选择题 1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有(　　) A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数 C．f(x)在R上先增后减 D．f(x)在R上先减后增 答案：A 解析：因为定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，所以对任意两个不相等的实数a，b，若a<b，则总有f(a)<f(b)成立．所以f(x)在R上是增函数．故选A. 2．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是(　　) A．y＝－f(x)在R上是减函数 B．y＝在R上是减函数 C．y＝[f(x)]2在R上是增函数 D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数 答案：A 解析：设任意的x1，x2∈R，且x1<x2，因为函数f(x)在R上是增函数，所以必有f(x1)<f(x2)，所以－f(x1)>－f(x2)，A一定成立；其余三项不一定成立，如当f(x)＝x时，B，C不成立；当a≤0时，D不成立．故选A. 3．若函数f(x)＝2x2－ax＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[4，＋∞) D．(－∞，4] 答案：D 解析：由题意知，函数f(x)的对称轴为直线x＝，且图象开口向上，由f(x)＝2x2－ax＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，得≤1，即a≤4. 4．已知定义在[1，4]上的函数f(x)是减函数，则满足不等式f(1－2m)－f(3－m)>0的实数m的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－∞，－2) C．[－1，0] D. 答案：C 解析：由题意，可得f(1－2m)>f(3－m)．因为f(x)在定义域[1，4]上单调递减，所以解得－1≤m≤0，所以实数m的取值范围为[－1，0]．故选C. 5．(多选)若函数f(x)＝－x2＋2ax与函数g(x)＝在区间[1，2]上均单调递减，则实数a的取值可能是(　　) A．－ B．－1 C．1 D. 答案：CD 解析：因为函数g(x)＝在区间[1，2]上单调递减，所以a>0.因为函数f(x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，所以a≤1.故满足题意的实数a的取值范围是(0，1]．故选CD. 二、填空题 6．若y＝f(x)是定义域为R的减函数，且x1<0，x2>0，则f(－x1)与f(－x2)的大小关系是________． 答案：f(－x1)<f(－x2) 解析：因为x1<0，x2>0，所以－x1>－x2，又y＝f(x)是定义域为R的减函数，所以f(－x1)<f(－x2)． 7．函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________． 答案：　(－∞，0)和 解析：y＝|x|(1－x)＝作出其图象如图，观察图象知其单调递增区间是，单调递减区间是(－∞，0)和. 8．已知函数f(x)＝是定义域为R的减函数，则实数a的取值范围是________． 答案：(0，2] 解析：依题意得实数a应满足解得0<a≤2. 三、解答题 9．已知函数f(x)＝(x≠－2)，f(1)＝，f(0)＝0. (1)求实数a，b的值，并确定函数f(x)的解析式； (2)试用定义证明函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增． 解：(1)根据题意，f(x)＝(x≠－2)，f(1)＝，f(0)＝0， 则有解得 故f(x)＝. (2)证明：根据题意，设x1和x2是区间(－∞，－2)上任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2) ＝－＝， 又x1<x2<－2，则x1＋2<0，x2＋2<0，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 故函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增． 10．已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5. (1)求f(x)的解析式； (2)若函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意设f(x)＝ax＋b(a>0)． 从而f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5， 所以解得或(不符合题意，舍去)． 所以f(x)的解析式为f(x)＝4x＋1. (2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图象的对称轴为直线x＝－. 若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－≤1， 解得m≥－， 所以实数m的取值范围为. 11．已知函数f(x)＝ (1)画出f(x)的图象； (2)写出f(x)的单调递增区间及值域． 解：(1)f(x)的图象如下图． (2)由图象和解析式可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，0]和(2，5]，其值域为[－1，3]． 12．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(mn)＝f(m)＋f(n)(m，n>0)，且当x>1时，f(x)>0. (1)求f(1)的值； (2)求证：f＝f(m)－f(n)； (3)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (4)若f(2)＝1，解不等式f(x＋2)－f(2x)>2； (5)比较f与的大小． 解：(1)令m＝n＝1，由已知条件， 得f(1)＝f(1)＋f(1)⇒f(1)＝0. (2)证明：f(m)＝f＝f＋f(n)， 即f＝f(m)－f(n)． (3)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则>1. 由(2)得f(x2)－f(x1)＝f>0，即f(x2)>f(x1)， 故f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (4)∵f(2)＝1，∴2＝f(2)＋f(2)＝f(4)， f(x＋2)－f(2x)>2⇔f(x＋2)>f(2x)＋f(4)⇔f(x＋2)>f(8x)． 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴解得0<x<. 故不等式f(x＋2)－f(2x)>2的解集为. (5)∵＝f(mn)， f＝ ＝f， ∵－mn＝≥0， ∴≥mn(当且仅当m＝n时取等号)． 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴f≥f(mn)． ∴f≥. 第2课时　函数的最大(小)值 (教师独具内容) 课程标准：借助函数图象，会用符号语言表示函数的最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 教学重点：1.函数最大(小)值的含义及其几何意义.2.求一些简单函数的最值． 教学难点：利用函数的最值解决有关的实际应用问题． 核心素养：1.借助函数最值的求法培养直观想象素养和数学运算素养.2.通过利用函数的最值解决实际问题培养数学建模素养． 知识点一　函数的最大值及最大值点 设D是函数f(x)的定义域，如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点． 知识点二　函数的最小值及最小值点 设D是函数f(x)的定义域，如果有a∈D，使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最小值M＝f(a)，称M为f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点． 最大值和最小值统称为最值． 1．对函数最值的三点说明 (1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0. (2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤f(a)(f(x)≥f(a))成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝f(a)的上(下)方． (3)最大(小)值定义中的“有”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说，y＝f(x)的图象与直线y＝f(a)至少有一个交点． 2．函数最值与函数值域的关系 函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素．函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值．(　　) (2)函数f(x)在区间[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．(　　) (3)如果一个函数有最大值，那么最大值点是唯一的．(　　) (4)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数的最大值为f(b)．(　　) (5)对于函数y＝f(x)，如果它的函数值都不小于3，那么该函数的最小值是3.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．做一做 (1)函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为(　　) A．3，0 B．3，1 C．3，无最小值 D．3，－2 (2)设函数f(x)＝3x＋2(x≥0)，则f(x)(　　) A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值也无最小值 (3)函数y＝在区间[2，3]上的最大值是________，最小值是________． (4)函数y＝x2在[1，2]上的最大值与最小值之和为________． 答案：(1)C　(2)B　(3)3　2　(4)5 　利用图象求函数最值 　(1)已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值、最大值点和最小值点． [解]　作出函数f(x)的图象(如图)． 由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1；当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0，最大值点为±1，最小值点为0. (2)画出函数f(x)＝的图象，并写出f(x)的单调区间、最小值和最小值点． [解]　f(x)的图象如图所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，最小值为f(0)＝－1，最小值点为0. 【感悟提升】　利用图象求函数最值方法的一般步骤 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标就是函数的最大值，最低点的纵坐标就是函数的最小值． 【跟踪训练】 1．已知函数f(x)＝2|x－1|－3|x|. (1)作出函数f(x)的图象； (2)根据函数的图象求其最值． 解：(1)当x≥1时，f(x)＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x<1时，f(x)＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x<0时，f(x)＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 所以f(x)＝ 结合上述解析式作出图象，如图所示． (2)由图象可以看出，当x＝0时，f(x)取得最大值f(0)＝2，函数没有最小值． 　利用单调性求函数最值 　已知函数f(x)＝，x∈[3，5]． (1)判断函数f(x)的单调性并证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值及最大值点和最小值点． [解]　(1)函数f(x)在[3，5]上为增函数． 证明如下： 任取x1，x2∈[3，5]，且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝ ＝， 因为x1，x2∈[3，5]，且x1<x2， 所以x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0， 即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)＝在[3，5]上为增函数． (2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值为f(3)＝，当x＝5时，函数f(x)取得最大值为f(5)＝.故函数f(x)的最大值为，最小值为，最大值点为5，最小值点为3. 　本例中已知条件不变，若f(x)≤a恒成立，f(x)≥b恒成立，则a，b的取值范围分别是什么？ 解：由例2知，当x∈[3，5]时，≤f(x)≤. 故当f(x)≤a恒成立时，a≥f(x)的最大值，即a≥. 当f(x)≥b恒成立时，b≤f(x)的最小值，即b≤. 故a的取值范围是，b的取值范围是. 【感悟提升】　 1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性； (2)利用函数的单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则函数f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则函数f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 【跟踪训练】 2．已知函数f(x)＝x＋. (1)判断并证明函数f(x)在(3，＋∞)上的单调性； (2)求函数f(x)在[6，9]上的最值． 解：(1)函数f(x)在(3，＋∞)上单调递增． 证明如下：设任意x1，x2∈(3，＋∞)，且x1>x2. 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－ ＝(x1－x2)＋ ＝(x1－x2)＋ ＝. 因为x1>3，x2>3，所以x1x2>9，即x1x2－9>0， 又因为x1>x2，则x1－x2>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 故函数f(x)在(3，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知，函数f(x)在(3，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)在[6，9]上单调递增． 故函数f(x)在[6，9]上的最小值为f(6)＝6＋＝， 最大值为f(9)＝9＋＝10. 　求二次函数的最值 角度　定轴定区间 　已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值： (1)R； (2)[0，3]； (3)[－1，1]． [解]　f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7. (1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7恒成立．故函数f(x)的最小值为－7，无最大值． (2)函数f(x)＝3(x－2)2－7的图象如图所示，由图可知，在[0，3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7. (3)由图可知，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，在x＝－1处取得最大值，最大值为f(－1)＝3×(－1－2)2－7＝20；在x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝3×(1－2)2－7＝－4. 角度　动轴定区间 　已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数f(x)的最小值． [解]　f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1，1]． 当a≥1时，函数f(x)的图象如图1中实线所示，函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，最小值为f(1)＝3－2a； 当－1<a<1时，函数f(x)的图象如图2中实线所示，函数f(x)在区间[－1，a)上单调递减，在区间(a，1]上单调递增，最小值为f(a)＝2－a2； 当a≤－1时，函数f(x)的图象如图3中实线所示，函数f(x)在区间[－1，1]上单调递增，最小值为f(－1)＝3＋2a. 综上所述，f(x)min＝ 角度　定轴动区间 　已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R的最小值为g(t)，求g(t)的函数表达式． [解]　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R. 当t＋1<1，即t<0时，函数f(x)的图象如图1中实线所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数f(x)的图象如图2中实线所示，最小值为g(t)＝f(1)＝1；当t>1时，函数f(x)的图象如图3中实线所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2. 综上可得，g(t)＝ 【感悟提升】　二次函数最值的求法 (1)探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得． (2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内． (3)对某些函数，可通过换元，转化为二次函数，如函数f(x)＝x－2－3. 【跟踪训练】 3．(1)已知函数f(x)＝x2－2x－3， ①若x∈[0，2]，求函数f(x)的最值； ②若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值． 解：①∵函数f(x)＝x2－2x－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且f(0)＝f(2)． ∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3， f(x)min＝f(1)＝－4. ②由①知对称轴为直线x＝1， (ⅰ)当1≥t＋2即t≤－1时， f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3， f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3. (ⅱ)当≤1<t＋2，即－1<t≤0时， f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3， f(x)min＝f(1)＝－4. (ⅲ)当t≤1<，即0<t≤1时， f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3， f(x)min＝f(1)＝－4. (ⅳ)当1<t，即t>1时， f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3， f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3. 设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有 g(t)＝ φ(t)＝ (2)已知函数f(x)＝x－2a＋3，x∈[0，1]，求函数f(x)的最小值． 解：设＝t，t∈[0，1]，则x－2a＋3＝t2－2at＋3.g(t)＝t2－2at＋3的图象开口向上，且对称轴为直线t＝a. 当a≥1时，函数图象如图①所示，函数g(t)在区间[0，1]上单调递减，最小值为g(1)＝4－2a； 当0＜a＜1时，函数图象如图②所示，函数g(t)在区间[0，1]上先单调递减后单调递增，最小值为g(a)＝3－a2； 当a≤0时，函数图象如图③所示，函数g(t)在区间[0，1]上单调递增，最小值为g(0)＝3. 综上所述，f(x)min＝ 　函数最值的实际应用 　一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N＋)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元(年利润＝年销售总收入－年总投资)． (1)求y(万元)与x(件)的函数关系式； (2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？ [解]　(1)当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x. 故y＝ (2)当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元． 即当该工厂年产量为16件时，所得年利润最大，为156万元． 【感悟提升】　解实际应用题的四个步骤 (1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系． (2)建模：建立数学模型，列出函数关系式． (3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)． (4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案． 【跟踪训练】 4．某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R(x)(万元)满足R(x)＝假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题： (1)写出利润函数y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？ 解：(1)由题意，得G(x)＝2.8＋x， 所以f(x)＝R(x)－G(x) ＝ (2)当x>5时，因为函数f(x)单调递减， 所以f(x)<f(5)＝3.2(万元)． 当0≤x≤5时，函数f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6， 当x＝4时，f(x)有最大值为3.6(万元)， 所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大，为3.6万元． 1．函数f(x)的部分图象如图所示，则此函数在[－2，2]上的最小值、最大值分别是(　　) A．－1，3 B．0，2 C．－1，2 D．3，2 答案：C 解析：当x∈[－2，2]时，由题图可知，x＝－2时，f(x)的最小值为f(－2)＝－1；x＝1时，f(x)的最大值为2.故选C. 2．函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2，4]上的最大值和最小值分别为(　　) A．5，－4 B．3，－7 C．无最大值和最小值 D．7，－4 答案：A 解析：f(x)＝(x－1)2－4的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，函数f(x)在区间[－2，1]上单调递减，在区间[1，4]上单调递增，所以函数的最小值为f(1)＝－4.又因为f(－2)＝5，f(4)＝5，所以函数的最大值为f(－2)＝f(4)＝5.故选A. 3．长为4、宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时，面积S最大，此时x的值为(　　) A. B．1 C. D．2 答案：B 解析：∵S＝(4＋x)＝－x2＋x＋12＝－(x－1)2＋，又即0<x<6，∴当x＝1时，S取最大值.故选B. 4．函数f(x)＝的最大值为________，最大值点为________． 答案：　 解析：f(x)＝＝.∵＋≥，∴0<f(x)≤，且当x＝时取等号．故函数f(x)的最大值为，最大值点为. 5．已知二次函数y＝x2－4x＋5，分别求下列条件下函数的最小值： (1)x∈[－1，0]；(2)x∈[a，a＋1]． 解：(1)∵二次函数y＝x2－4x＋5图象的对称轴为x＝2且开口向上，∴二次函数在[－1，0]上单调递减． ∴ymin＝02－4×0＋5＝5. (2)当a≥2时，函数在[a，a＋1]上单调递增， ymin＝a2－4a＋5； 当a＋1≤2，即a≤1时，函数在[a，a＋1]上单调递减， ymin＝(a＋1)2－4(a＋1)＋5＝a2－2a＋2； 当a<2<a＋1，即1<a<2时， ymin＝22－4×2＋5＝1. 综上可得，ymin＝ 一、选择题 1．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　) A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．以上都不对 答案：A 解析：当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7＜8.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A. 2．设a，b∈R，且a>0，函数f(x)＝x2＋ax＋2b，g(x)＝ax＋b，在[－1，1]上，g(x)的最大值为2，则f(2)＝(　　) A．4 B．8 C．10 D．16 答案：B 解析：因为a>0，所以g(x)＝ax＋b在[－1，1]上单调递增，又g(x)的最大值为2，所以a＋b＝2.所以f(2)＝4＋2a＋2b＝4＋2(a＋b)＝8. 3．设函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为a和b，则a2＋b2＝(　　) A．50 B．52 C．36 D．80 答案：B 解析：易知f(x)＝＝2＋.所以函数f(x)在[3，4]上单调递减．所以a＝f(3)＝2＋＝6，b＝f(4)＝2＋＝4，所以a2＋b2＝36＋16＝52. 4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：C 解析：因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为函数图象开口向下，所以f(x)在[0，1]上单调递增．又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2.所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1. 5．(多选)函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值可能为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：BCD 解析：f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．由函数f(x)的最小值为1，知m≥2.又函数f(x)的最大值为5，f(0)＝5，f(4)＝5，所以2≤m≤4，故选BCD. 二、填空题 6．用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______m. 答案：3 解析：设隔墙长度为x m，场地面积为S m2，则S＝x·＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18.所以当x＝3时，S有最大值18 m2. 7．函数f(x)＝的最大值为________，最大值点为________；最小值为________，最小值点为________． 答案：2　0　－2　－2 解析：当x≥1时，函数f(x)＝单调递减，故当x＝1时，f(x)取得最大值f(1)＝1；当－2≤x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0时取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上，函数f(x)的最大值为2，最大值点为0.当x≥1时，0<f(x)＝≤1；当－2≤x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝－2时取得最小值，最小值为f(－2)＝－2.综上，函数f(x)的最小值为－2，最小值点为－2. 8．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋3－b(a>0)在区间[1，3]上有最大值5和最小值2，则2a＋b＝________． 答案： 解析：依题意，得函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1，又a>0，所以函数f(x)在[1，3]上单调递增．故当x＝3时，该函数取得最大值，即f(x)max＝f(3)＝3a－b＋3＝5；当x＝1时，该函数取得最小值，即f(x)min＝f(1)＝－a－b＋3＝2，联立方程，得解得a＝，b＝.因此2a＋b＝. 三、解答题 9．(1)求函数y＝ax＋1(a≠0)在[0，2]上的最值； (2)若函数y＝ax＋1在[0，2]上的最大值与最小值之差为2，求a的值． 解：(1)当a>0时，y＝ax＋1在[0，2]上单调递增，在x＝0时取得最小值1，在x＝2时取得最大值2a＋1； 当a<0时，y＝ax＋1在[0，2]上单调递减，在x＝0时取得最大值1，在x＝2时取得最小值2a＋1. (2)∵|f(0)－f(2)|＝2， ∴|1－(2a＋1)|＝2，∴a＝±1. 10．已知二次函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]． (1)若a＝－1，写出函数的单调递增区间和单调递减区间； (2)若a＝－2，求函数的最大值和最小值； (3)若函数在[－4，6]上是单调函数，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，因为x∈[－4，6]， 所以函数的单调递增区间为[1，6]，单调递减区间为[－4，1)． (2)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，因为x∈[－4，6]，所以函数的单调递增区间为[2，6]，单调递减区间为[－4，2)，所以函数的最大值为f(－4)＝35，最小值为f(2)＝－1. (3)由f(x)＝x2＋2ax＋3＝(x＋a)2＋3－a2可得函数图象的对称轴为直线x＝－a，因为函数在[－4，6]上是单调函数，所以a≤－6或a≥4. 11．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－. (1)判断函数f(x)的单调性，并证明； (2)求函数f(x)在[－3，3]上的最小值． 解：(1)函数f(x)在R上单调递减． 证明：设任意x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0， 因为x>0时，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0. 又因为x2＝(x2－x1)＋x1， 所以f(x2)＝f((x2－x1)＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)， 所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0， 所以f(x2)<f(x1)． 所以函数f(x)在R上单调递减． (2)由(1)可知f(x)在R上单调递减， 所以f(x)在[－3，3]上也单调递减， 所以f(x)在[－3，3]上的最小值为f(3)． 而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2. 所以函数f(x)在[－3，3]上的最小值是－2. 12．近年来，“共享单车”的出现为人们“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每座城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q(单位：万元)与投入资金a(单位：万元)满足Q＝设甲城市的投入资金为x(单位：万元)，两城市的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)当投资甲城市128万元时，求公司总收益； (2)试问如何安排甲、乙两座城市的投资，才能使公司总收益最大？ 解：(1)当x＝128时，甲城市投资128万元，乙城市投资112万元，所以公司总收益f(128)＝4－6＋×112＋2＝88(万元)． (2)设甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元， 依题意得 解得80≤x≤160. 当80≤x<120时，120<240－x≤160， f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16. 当120≤x≤160时，80≤240－x≤120， f(x)＝4－6＋(240－x)＋2＝－x＋4＋56. 令t＝，则t∈[2，4]， 所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88， 当t＝8，即x＝128时，y的最大值为88. 因为88>26＋16，所以当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，公司总收益最大，为88万元． 3.2.2　函数的奇偶性 (教师独具内容) 课程标准：结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 教学重点：1.函数奇偶性的概念.2.奇函数、偶函数的几何特征.3.判断函数的奇偶性． 教学难点：1.函数的奇偶性与单调性结合问题.2.函数奇偶性的判定． 核心素养：1.借助奇、偶函数的图象特征培养直观想象素养.2.通过解决函数奇偶性与单调性的应用问题提升逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　偶函数的定义 (1)几何定义：如果F(x)的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，就称F(x)是偶函数． (2)代数定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x)，则称F(x)为偶函数． 知识点二　奇函数的定义 (1)几何定义：如果F(x)的图象是以原点为中心的中心对称图形，就称F(x)是奇函数． (2)代数定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)，则称F(x)为奇函数． 1．函数奇偶性的四个关注点 (1)与函数的最值相同，函数的奇偶性也是函数的整体性质． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有F(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即F(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合． (4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 2．奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的几何定义，我们不难得出以下结论： (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 3．常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 当b＝0时，是奇函数；当b≠0时，既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数y＝(a≠0) 奇函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 当b＝0时，是偶函数；当b≠0时，既不是奇函数也不是偶函数 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．(　　) (2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　　) (3)不存在既是奇函数又是偶函数的函数．(　　) (4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(　　) (5)对于偶函数f(x)，恒有f(x)＝f(|x|)．(　　) (6)若奇函数f(x)在(0，＋∞)上有最小值a，则f(x)在(－∞，0)上有最大值－a.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√ 2．做一做 (1)下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝x B．y＝2x2－3 C．y＝ D．y＝x2，x∈[0，1] (2)已知函数f(x)是定义在区间[3－a，5]上的奇函数，则a＝(　　) A．－2 B．3 C．8 D．无法确定 (3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝(　　) A．3 B．－3 C．2 D．7 (4)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________． 答案：(1)B　(2)C　(3)C　(4)－5 　函数奇偶性的判断 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ [解]　(1)函数的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)， 因此f(x)是奇函数． (2)由得x2＝1，即x＝±1. 因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0， f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0， f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数． 【感悟提升】　判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)几何定义法：画出函数的图象，直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性． (2)代数定义法 ①确定函数的定义域； ②看定义域是否关于原点对称． (ⅰ)不对称，则函数为非奇非偶函数； (ⅱ)对称， (3)性质法 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 【跟踪训练】 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|x－3|＋|x＋3|； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 解：(1)f(x)的定义域是R， 又f(－x)＝|－x－3|＋|－x＋3|＝|x＋3|＋|x－3|＝f(x)，故f(x)是偶函数． (2)x的取值必须满足 解得－≤x<0或0<x≤，它关于原点对称． 于是|x＋2|－2＝x＋2－2＝x，从而f(x)＝，显然它是奇函数． (3)f(x)的定义域为R，关于原点对称， 当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当x＝0时，f(0)＝0.故该函数为奇函数． 　奇、偶函数的图象及应用 　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补出完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合． [解]　(1)由题意作出函数图象如图所示． (2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)． [条件探究]　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答？ 解：(1)由题意作出函数图象如图所示． (2)据图可知，单调递增区间为(－1，1)． (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞)． 【感悟提升】　 1．巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 2．奇、偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)应用类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． (2)处理策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察． 【跟踪训练】 2.已知奇函数y＝f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________． 答案：(－2，0)∪(2，5) 解析：因为函数y＝f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5)． 　函数奇偶性的应用 角度　利用函数的奇偶性求参数的值 　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________． [解析]　因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.所以f(x)＝x2＋bx＋1＋b.根据偶函数的代数定义知f(－x)＝f(x)，即(－x)2＋b(－x)＋1＋b＝x2＋bx＋1＋b.所以2bx＝0.由x的任意性知b＝0. [答案]　　0 (2)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________． [解析]　解法一：因为f(x)＝，f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，即＋＝0， 所以＝0. 所以2(a＋1)x＝0. 所以a＋1＝0，即a＝－1. 解法二：由题意知f(－1)＝0. 又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0. 所以f(1)＝0，即＝0. 所以a＝－1. [答案]　－1 角度　利用奇偶性求函数值 　已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，求f(2)． [解]　解法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8， ∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18， ∴g(2)＝－g(－2)＝－18， ∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26. 解法二：由已知条件，得 ①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16. 又f(－2)＝10，∴f(2)＝－26. 角度　利用奇偶性求函数解析式 　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式． [解]　∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0， 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(x＋2)． 故f(x)＝ 【感悟提升】　 1．已知函数的奇偶性求参数值的三种思路 (1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程． (2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值． (3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去． 2．利用函数的奇偶性求函数值的思路 已知f(a)求f(－a)的思路：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求f(－a)． 3．求函数解析式的注意事项 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)． 注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0. 【跟踪训练】 3．(1)若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a的值为________． 答案：4 解析：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)．则a－4＝0，即a＝4. (2)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x＋1，则f(1)＋g(1)的值为________． 答案：－1 解析：由题意知f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1，即f(x)＋g(x)＝－x3－x＋1.联立方程组，得解得f(x)＝1，g(x)＝－x3－x.所以f(1)＋g(1)＝1＋(－1－1)＝－1. 　函数的奇偶性与单调性的综合应用 　(1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2，6]上单调递减，比较f(－5)与f(3)的大小． [解]　因为f(x)是偶函数， 所以f(－5)＝f(5)， 因为f(x)在[2，6]上单调递减， 所以f(5)<f(3)，所以f(－5)<f(3)． (2)设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． [解]　因为f(x)是偶函数， 所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． 所以不等式f(1－m)<f(m)等价于f(|1－m|)<f(|m|)． 又f(x)在区间[0，2]上单调递减， 所以解得－1≤m<. 即实数m的取值范围是. 【感悟提升】　奇偶性与单调性综合问题的两种类型 (1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上． ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性转化为同一单调区间上的两函数值，然后利用单调性比较大小． (2)解不等式 ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”，转化为简单不等式求解． 【跟踪训练】 4．(1)设偶函数f(x)的定义域为R，若在区间[0，＋∞)上，函数f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系为________． 答案：f(π)>f(－3)>f(－2) 解析：由偶函数的单调性，知若函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减．故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则函数值越小．∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)． (2)已知奇函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且f(1)＝－1，求满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围． 解：∵f(x)为奇函数，f(1)＝－1， ∴f(－1)＝－f(1)＝1. ∵－1≤f(x－2)≤1， ∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1)． ∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3. 即满足条件的x的取值范围为[1，3]． 1．函数f(x)＝x3的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于直线y＝x对称 D．关于原点对称 答案：D 解析：f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称． 2．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋2，a，b∈R，且f(－1)＝0，则f(1)＝(　　) A．－2 B．2 C．4 D．－4 答案：C 解析：因为f(－x)＋f(x)＝－ax3－bx＋2＋ax3＋bx＋2＝4，所以f(－1)＋f(1)＝0＋f(1)＝4，所以f(1)＝4. 3．若函数f(x)＝(a∈R)为奇函数，则实数a＝(　　) A. B．0 C．－1 D．1 答案：A 解析：根据题意，函数f(x)＝(a∈R)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即＝－，变形可得(2a－1)x＝0，则有a＝. 4．已知函数f(x)＝(a＋1)x3－(a＋2)x－bx2是定义在[a－3，a＋1]上的奇函数，则f(a＋b)＝________． 答案：－1 解析：根据题意，由函数f(x)＝(a＋1)x3－(a＋2)x－bx2是定义在[a－3，a＋1]上的奇函数，则(a－3)＋(a＋1)＝0，解得a＝1，则f(x)＝2x3－3x－bx2，若其为奇函数，必有b＝0，则f(x)＝2x3－3x，又由a＝1，b＝0，则f(a＋b)＝f(1)＝－1. 5．设函数f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围． 解：由题意知f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又因为a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0， a2＋a＋1＝＋>0， 且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)， 所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，解得a<. 综上，实数a的取值范围是. 一、选择题 1．函数f(x)＝的图象一定关于(　　) A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线x＝1对称 答案：C 解析：函数的定义域为{x|x≠0}，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，则图象关于原点对称． 2．已知函数f(x)＝x3＋(a＋1)x2的图象关于原点成中心对称，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．－2 D．2 答案：B 解析：因为函数图象关于原点对称，所以函数是奇函数．则f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a＋1)x2＝－x3－(a＋1)x2.所以(a＋1)＝－(a＋1)．所以a＋1＝0，解得a＝－1. 3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(　　) A．y＝|2x| B．y＝－ C．y＝|x| D．y＝x|x| 答案：D 解析：由于y＝|2x|在定义域R上为偶函数，不符合题意；y＝－在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不单调，不符合题意；y＝|x|为偶函数，不符合题意；由于y＝f(x)＝x|x|，则f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，且f(x)＝单调递增． 4．若函数y＝f(x)－1是定义在R上的奇函数，则f(－1)＋f(0)＋f(1)＝(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 答案：A 解析：设F(x)＝f(x)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，即f(x)－1＋f(－x)－1＝0，即f(x)＋f(－x)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝2.因为F(0)＝f(0)－1＝0，所以f(0)＝1，所以f(－1)＋f(0)＋f(1)＝2＋1＝3. 5．(多选)关于函数f(x)＝，下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象过原点 B．f(x)是奇函数 C．f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减 D．f(x)是定义域上的增函数 答案：AC 解析：函数f(x)＝＝＝1＋，f(0)＝0，A正确；图象关于点(1，1)对称，B错误；f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，整个定义域上不具有单调性，故C正确，D错误．故选AC. 二、填空题 6．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从大到小的排列是________． 答案：f(0)>f(1)>f(－2) 解析：当m＝1时，f(x)＝6x＋2不符合题意；当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋2，∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)． 7.已知函数f(x)是定义在[－3，0)∪(0，3]上的奇函数，当x>0时f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是________． 答案：[－3，－1)∪(1，3] 解析：当0<x≤3时，函数单调递增，由图象知1<f(x)≤3，当－3≤x<0时，0<－x≤3，即此时函数也单调递增，且1<f(－x)≤3，∵函数是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴1<－f(x)≤3，即－3≤f(x)<－1，∴f(x)的值域是[－3，－1)∪(1，3]． 8．已知函数f(x)＝是奇函数，且在上单调递减，则实数a＝________，实数m的取值范围用区间表示为________． 答案：1　 解析：函数f(x)为奇函数，则满足f(－x)＝－f(x)，当x＝1时，f(1)＝1－a，f(－1)＝－1＋1＝0，则由f(－1)＝－f(1)，得1－a＝0，得a＝1，所以f(x)＝当x≥0时，抛物线y＝x2－x的对称轴为直线x＝，则函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递减区间为，∵函数f(x)在上单调递减，∴解得即－≤m≤0，即实数m的取值范围是. 三、解答题 9．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x＋1； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝ 解：(1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点对称． 因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)， 即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)， 所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数也不是偶函数． (2)使函数有意义需满足所以该函数的定义域为{1}， 因为定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数． (3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0， f(－x)＝－(－x)2－1＝－＝－f(x)； 当x<0时，－x>0， f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－＝－f(x)． 综上可知，函数f(x)＝是奇函数． 10．已知函数f(x)是定义在[－3，3]上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x(x＋1)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求关于m的不等式f(1－m)＋f(1－m2)≥0的解集． 解：(1)根据题意，函数f(x)是定义在[－3，3]上的奇函数，则f(0)＝0，设x<0， 则－x>0，则f(－x)＝x(－x＋1)＝－x(x－1)， 又f(x)为奇函数， 则f(x)＝－f(－x)＝x(x－1)， 则f(x)＝ (2)根据题意，f(x)＝ 则f(x)在[－3，3]上为减函数， 则f(1－m)＋f(1－m2)≥0 ⇒f(1－m)≥－f(1－m2) ⇒f(1－m)≥f(m2－1) ⇒ 解得m＝－2或1≤m≤2， 即不等式的解集为{m|m＝－2或1≤m≤2}． 11．已知函数f(x)＝是奇函数，且f(1)＝3，f(2)＝5，求a，b，c的值． 解：因为函数f(x)＝是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 故＝－， 即＝－， 所以－bx＋c＝－(bx＋c)， 即c＝－c，解得c＝0. 所以f(x)＝. 而f(1)＝＝＝3， 所以a＋1＝3b.① 由f(2)＝5，得＝＝5， 所以4a＋1＝10b.② 解①②组成的方程组，得 故a＝，b＝，c＝0. 12．(1)已知函数f(x)，x∈R，若对任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)．求证：f(x)为偶函数； (2)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数． 证明：(1)令x1＝0，x2＝x，得 f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，① 令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)·f(x)，② 由①②得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)， 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (2)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)． 可见，f(－x)的定义域也是(－l，l)． 令F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)， 则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的． ∵F(－x)＝f(－x)＋f(－(－x))＝f(－x)＋f(x)＝F(x)， G(－x)＝f(－x)－f(－(－x))＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)， ∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数． 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．同一个函数的判定方法 (1)定义域相同； (2)对应关系相同．(两点必须同时具备) 2．函数解析式的求法 (1)定义法； (2)配凑法； (3)换元法； (4)待定系数法； (5)解方程(组)法； (6)赋值法． 3．函数的定义域的求法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． (3)复合函数问题 ①若函数f(x)的定义域为[a，b]，函数f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为函数g(x)在[a，b]上的值域． 注意：①函数f(x)中的x与函数f(g(x))中的g(x)地位相同． ②定义域所指的永远是x的范围． 4．函数值域的求法 (1)配方法(二次或四次)； (2)判别式法； (3)换元法； (4)函数的单调性法． 5．判断函数单调性的步骤 (1)设x1，x2是所研究区间内任意两个实数，且x1<x2； (2)判定f(x1)与f(x2)的大小：作差比较或作商比较； (3)根据单调性的定义下结论． 6．函数奇偶性的判定方法 首先考查函数的定义域是否关于原点对称，再看函数F(－x)与F(x)之间的关系：①若函数F(－x)＝F(x)，则F(x)为偶函数；若函数F(－x)＝－F(x)，则F(x)为奇函数；②若F(－x)－F(x)＝0，则F(x)为偶函数；若F(x)＋F(－x)＝0，则F(x)为奇函数；③若＝1(F(－x)≠0)，则F(x)为偶函数；若＝－1(F(－x)≠0)，则F(x)为奇函数． 7．函数的应用 解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面，增加间接的生活阅历，诸如了解一些物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，及有关角度、面积、体积、造价的问题，培养实际问题数学化的意识和能力． 一、函数的定义域 函数的定义域是指函数y＝f(x)中自变量x的取值范围．确定函数的定义域是进一步研究函数其他性质的前提，而研究函数的性质，利用函数的性质解决数学问题是中学数学的重要组成部分．所以熟悉函数定义域的求法，对于函数综合问题的解决起着至关重要的作用． 函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是(　　) A. B. C. D.∪ [解析]　由题意，得解得x<1且x≠. [答案]　D 已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)的定义域是(　　) A. B．[－1，4] C．[－5，5] D．[－3，7] [解析]　设u＝x＋1，由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，所以y＝f(u)的定义域为[－1，4]．再由－1≤2x－1≤4，解得0≤x≤，即函数y＝f(2x－1)的定义域是. [答案]　A 二、分段函数问题 所谓分段函数是指在定义域的不同子区间上的对应关系不同的函数．分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是各子区间的并集，值域是各段上值域的并集．分段函数求值等问题是高考常考的问题． 已知f(x)＝若f(a)＝10，则a的值是________． [解析]　若a≤0，则f(a)＝a2＋1＝10，所以a2＝9，a＝3或a＝－3.又a≤0，所以a＝－3；若a>0，则f(a)＝2a＝10，所以a＝5.综上，a的值为5或－3. [答案]　5或－3 已知函数f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________． [解析]　∵f(x)≥－1，∴或∴－4≤x≤0或0<x≤2，即－4≤x≤2. [答案]　[－4，2] 三、函数的单调性与奇偶性 单调性是函数的一个重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面应用十分广泛． 奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数图象的对称性可以缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论． 若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是(　　) A．f<f(－1)<f(2) B．f(－1)<f<f(2) C．f(2)<f(－1)<f D．f(2)<f<f(－1) [解析]　因为f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又－2<－<－1，且函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，所以f(－2)<f<f(－1)，即f(2)<f<f(－1)． [答案]　D 已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝. (1)求实数m和n的值； (2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值． [解]　(1)∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴＝－＝. 比较得n＝－n，n＝0. 又f(2)＝，∴＝，解得m＝2. 因此，实数m和n的值分别是2和0. (2)由(1)知f(x)＝＝＋. 任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2) ＝(x1－x2)·. ∵－2≤x1<x2≤－1， ∴x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数， 因此f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－. 四、函数图象及应用 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于正确地画出函数图象．函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点． 已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2. (1)求f(－1)； (2)求f(x)的解析式； (3)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间． [解]　(1)由于函数f(x)是R上的奇函数，所以对任意的x都有f(－x)＝－f(x)， 所以f(－1)＝－f(1)＝－(－1＋2＋2)＝－3. (2)设x<0，则－x>0，于是f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2. 又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)． 因此f(x)＝x2＋2x－2. 又因为f(0)＝0， 所以f(x)＝ (3)先画出y＝f(x)(x>0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图象，其图象如图所示． 由图可知，其单调递增区间为[－1，0)和(0，1]，单调递减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)． 设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)． (1)证明：函数f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象； (3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)的单调性； (4)求函数f(x)的值域． [解]　(1)证明：∵函数f(x)的定义域关于原点对称， 且f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)， 即f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)是偶函数． (2)当0≤x≤3时， f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2. 当－3≤x<0时， f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2. 即f(x)＝ 根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图． (3)函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1，0)，[0，1)，[1，3]． f(x)在[－3，－1)和[0，1)上单调递减，在[－1，0)和[1，3]上单调递增． (4)当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2； 当－3≤x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2. 故函数f(x)的值域为[－2，2]． 五、函数的应用 建立恰当的函数关系解决实际问题的步骤： (1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示； (2)建立函数关系，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域； (3)求解函数问题，并还原为实际问题的解． 一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm与60 cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积． [解]　设直角三角形为Rt△ABC，AC＝40，BC＝60，矩形为CDEF，如图所示， 设CD＝x，CF＝y， 则由Rt△AFE∽Rt△EDB得＝， 即＝，解得y＝40－x， 记剩下的残料的面积为S，则S＝×60×40－xy＝x2－40x＋1200＝(x－30)2＋600(0<x<60)， 故当x＝30时，Smin＝600，此时y＝20， 所以当x＝30，y＝20时，剩下的残料最少，此时残料的面积为600 cm2. 已知某市某条地铁线路运行时，地铁的发车时间间隔为t(单位：分钟)，满足2≤t≤20，t∈N＋.经测算，地铁载客量p(t)与发车时间间隔t满足： p(t)＝(t∈N＋)． (1)请你说明p(10)的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为Q＝－360(元)，问：当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大净收益． [解]　(1)由函数p(t)的解析式可得， p(10)＝1200， 其实际意义是：当地铁的发车时间间隔为10分钟时，地铁载客量为1200，这也是地铁的最大载客量． (2)①当2≤t<10时， Q＝－360 ＝－60＋840 ≤－60×12＋840＝120， 当且仅当t＝，即t＝6时，等号成立． ②当10≤t≤20时，Q＝－360＝－360≤－360＝24，当且仅当t＝10时，等号成立． 故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，为120元． 第3章　单元质量测评 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f(x)＝＋的定义域是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞) C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．R 答案：C 解析：要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0. 2．设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形表示集合A到集合B的函数的图象的是(　　) 答案：D 解析：A和B中y的取值范围不是[1，2]，不符合题意；C中x的取值范围不是[0，2]，y的取值范围不是[1，2]，不符合题意；D中，0≤x≤2，1≤y≤2，且对于定义域中的每一个x值，都有唯一的y值与之对应，符合题意． 3．设函数f(x)＝则f的值为(　　) A．－1 B. C. D．4 答案：C 解析：因为f(2)＝22＋2－2＝4，所以f＝f＝1－＝. 4．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数表达式是(　　) A．x＝60t＋50t(0≤t≤6.5) B．x＝ C．x＝ D．x＝ 答案：D 解析：由题意，得A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地需2.5 h，以50 km/h的速度由B地返回A地需3 h．所以当0≤t≤2.5时，x＝60t；当2.5<t≤3.5时，x＝150；当3.5<t≤6.5时，x＝150－50(t－3.5)．故x＝ 5．函数y＝3x＋(x≥2)的值域是(　　) A. B．[6＋，＋∞) C．[6，＋∞) D．[，＋∞) 答案：B 解析：∵y＝3x＋在[2，＋∞)上是增函数，∴ymin＝3×2＋＝6＋.∴y＝3x＋(x≥2)的值域为[6＋，＋∞)． 6．已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，1] B．[－2，0] C．[0，2] D．[－2，2] 答案：D 解析：依题意，可得或或 解得－2≤a≤2. 7．设函数f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减．若x1<0，且x1＋x2>0，则(　　) A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)＝f(x2) C．f(x1)<f(x2) D．无法比较f(x1)与f(x2)的大小 答案：C 解析：∵x1<0且x1＋x2>0，∴－x2<x1<0.又函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f(－x2)>f(x1)．又函数f(x)是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)．∴f(x1)<f(x2)． 8.如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当点P沿A­B­C­M运动时，经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是(　　) 答案：A 解析：依题意，当0<x≤1时，S△APM＝×1×x＝x；当1<x≤2时，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM＝××1－×1×(x－1)－××(2－x)＝－x＋；当2<x<2.5时，S△APM＝×1×＝－x＋.∴y＝f(x)＝再结合图象知应选A. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论正确的是(　　) A．f(3)＝9 B．f(－3)＝4 C．f(x)＝x2 D．f(x)＝(x＋1)2 答案：BD 解析：f(2x－1)＝(2x－1)2＋2(2x－1)＋1，故f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，故C错误，D正确；f(3)＝16，f(－3)＝4，故A错误，B正确． 10．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的值可以是(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 答案：BCD 解析：∵f(x)在R上为增函数，∴需满足即－4≤a≤－2.故选BCD. 11．已知定义域为(－∞，＋∞)的偶函数f(x)的一个单调递增区间是(2，6)，关于函数y＝f(2－x)的下列说法中正确的是(　　) A．一个单调递减区间是(4，8) B．一个单调递增区间是(4，8) C．其图象的对称轴方程为x＝2 D．其图象的对称轴方程为x＝－2 答案：BC 解析：因为f(x)是偶函数，所以f(2－x)＝f(x－2)，把f(x)的图象向右平移2个单位，可以得到f(x－2)的图象，又f(x)的一个单调递增区间是(2，6)，所以f(x－2)的一个单调递增区间是(4，8)；函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以f(x－2)的图象关于直线x＝2对称．故选BC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上) 12．已知函数f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝x(x＋1)，则当x<0时，f(x)＝________． 答案：x(x－1) 解析：设x<0，则－x>0，依题意，得f(－x)＝－x(－x＋1)＝x(x－1)，∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝x(x－1)(x<0)． 13．某批发商批发某种商品的单价P(单位：元/千克)与数量Q(单位：千克)之间的函数关系如图所示，现某零售商仅有现金2700元，他最多可购买这种商品________千克． 答案：90 解析：由题意可得批发这种商品所需费用y(元)与数量Q(千克)之间的函数关系式为y＝从而易得30×50<2700<30×100，故该零售商购买这种商品的数量应在50与100之间，故所购商品的数量最多为＝90千克． 14．对任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数，若f(x)＝2－x2，g(x)＝x，则min{f(x)，g(x)}的最大值是________． 答案：1 解析：不妨设h(x)＝min{f(x)，g(x)}，当2－x2>x，即－2<x<1时，h(x)＝x.当2－x2≤x，即x≥1或x≤－2时，h(x)＝2－x2.故h(x)＝其图象如图中实线部分，当x≤－2或x≥1时，为抛物线的一部分，当－2<x<1时，为线段．由图象可知，当x取1时，h(x)取最大值1.所以min{f(x)，g(x)}的最大值为1. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝2ax＋a＋b， 已知f(x＋1)－f(x)＝2x， 所以解得 又f(0)＝1，得c＝1，所以f(x)＝x2－x＋1. (2)在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则m<x2－3x＋1在[－1，1]上恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1，1]，可知g(x)在[－1，1]上单调递减，则g(x)min＝g(1)＝－1，得m<－1. 所以实数m的取值范围为(－∞，－1)． 16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝. (1)求函数f(x)的值域； (2)判断函数f(x)在区间(2，＋∞)上的单调性，并利用单调性定义证明你的结论． 解：(1)根据题意，f(x)＝， 由3x－6≠0，解得x≠2， 即函数f(x)的定义域为{x|x≠2}， f(x)＝＝＝＋， 则f(x)≠， 即函数f(x)的值域为. (2)函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递减． 证明：f(x)＝＋，设2<x1<x2， 则f(x1)－f(x2) ＝－ ＝－＝， ∵2<x1<x2，∴x2－x1>0，x1－2>0，x2－2>0， 即有f(x1)－f(x2)>0. 故函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递减． 17．(本小题满分15分)某服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产销售权，每生产1百套成本为1万元，每生产x(百套)的销售额R(x)(万元)满足R(x)＝ (1)该服装厂生产750套此种品牌运动装可获得利润多少万元？ (2)该服装厂生产多少套此种品牌运动装可使获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 解：(1)该服装厂生产750套此种品牌运动装可获得利润为R(7.5)－1×7.5－2＝15－－7.5－2＝3.5(万元)． (2)由题意，每生产x(百套)此种品牌运动装的成本函数G(x)＝x＋2， ∴利润函数f(x)＝R(x)－G(x) ＝ 当0<x≤5时，f(x)＝－0.4x2＋3x－3， 故当x＝3.75时，f(x)取得最大值，为2.625. 当x>5时，f(x)＝10－≤4. 故当x－3＝，即x＝6时，f(x)取得最大值，为4. ∴该服装厂生产600套此种品牌运动装可使获得的利润最大，最大利润是4万元． 18．(本小题满分17分)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立． (1)证明：函数y＝f(x)是R上的单调函数； (2)讨论函数y＝f(x)的奇偶性； (3)若f(x2－2)＋f(x)<0，求x的取值范围． 解：(1)证明：设x1>x2，则x1－x2>0， ∴f(x1)－f(x2)＝f((x1－x2)＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)． 又当x>0时，f(x)<0恒成立，所以f(x1)<f(x2)， ∴函数y＝f(x)是R上的减函数． (2)由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)， 即f(x)＋f(－x)＝f(0)， 又由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，令a＝b＝0，得f(0)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)，又函数y＝f(x)的定义域为R， ∴函数y＝f(x)是奇函数． (3)解法一：由f(x2－2)＋f(x)<0得 f(x2－2)<－f(x)， ∵y＝f(x)是奇函数，∴f(x2－2)<f(－x)， 又y＝f(x)在R上是减函数， ∴x2－2>－x，解得x>1或x<－2. 故x的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 解法二：由f(x2－2)＋f(x)<0且f(0)＝0及f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(x2－2＋x)<f(0)， 又y＝f(x)在R上是减函数， ∴x2－2＋x>0，解得x>1或x<－2. 故x的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝－x2＋mx－m. (1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值； (2)若函数f(x)在[－1，0]上单调递减，求实数m的取值范围； (3)是否存在实数m，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由． 解：(1)f(x)＝－－m＋， 则最大值为－m＋＝0，即m2－4m＝0， 解得m＝0或m＝4. (2)函数f(x)图象的对称轴是直线x＝，要使f(x)在[－1，0]上单调递减，应满足≤－1，解得m≤－2. (3)①当≤2，即m≤4时，f(x)在[2，3]上单调递减． 若存在实数m，使得f(x)在[2，3]上的值域是[2，3]， 则即此时m无解． ②当≥3，即m≥6时，f(x)在[2，3]上单调递增， 则即解得m＝6. ③当2<<3，即4<m<6时，f(x)在[2，3]上先递增，再递减，所以f(x)在x＝处取最大值，则f＝－＋m·－m＝3，解得m＝－2或6，舍去． 综上可得，存在实数m＝6，使得f(x)在[2，3]上的值域恰好是[2，3]． 4.1.1　有理数指数幂 (教师独具内容) 课程标准：1.理解根式的定义和性质、分数指数幂的定义.2.把握分式与负整数指数幂、根式与正分数指数幂的内在联系． 教学重点：1.根式的定义和性质.2.根式与分数指数幂的联系.3.正分数指数幂与负分数指数幂的联系． 教学难点：1.指数幂的含义及其与根式的互化.2.与()n的区别与联系． 核心素养：1.通过n次方根和n次根式的概念的形成过程发展数学抽象素养.2.通过正确运用根式的运算性质化简求值发展数学运算素养． 知识点一　根式的定义 (1)a的n次方根的定义：若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，则称x是a的n次方根． (2)a的n次方根的表示 ①当n是奇数时，数a的n次方根记作； ②当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数．其中正的n次方根叫作算术根，记作； ③负数没有偶次方根； ④0的任何次方根都是0，记作＝0． (3)根式：式子(n∈N，n≥2)叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数． 知识点二　根式的性质 (1)()n＝a． (2)＝. 知识点三　分数指数幂 (1)当a>0，m，n∈N且n≥2时，规定＝a，＝a－． (2)0的正分数指数幂为0，0没有负分数指数幂． 知识点四　有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 1.与()n的区别 (1) 是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．若n为偶数，则a≥0；若n为奇数，则a∈R.其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a. 2．分数指数幂的理解 (1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． (2)把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． 3．在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(－5)＝有意义，但(－5)＝就没有意义． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a的奇次方根只有一个．(　　) (2)＝4－π.(　　) (3)当n∈N＋时，()n＝－4.(　　) (4)＝|m－n|＝(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)的运算结果为(　　) A．3 B．－3 C．±3 D．± (2)若a为实数，则下列式子可能没有意义的是(　　) A. B. C. D. (3)当a<0时，a＋＋＝________． (4)若x5＝－3，则x＝________． 答案：(1)A　(2)D　(3)1　(4) 　n次方根的概念问题 　(1)64的立方根是________． [解析]　64的立方根是4. [答案]　4 (2)已知x6＝2020，则x＝________． [解析]　因为x6＝2020，所以x＝±. [答案]　± (3)若有意义，则实数x的取值范围为________． [解析]　要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)． [答案]　[－3，＋∞) 【感悟提升】　n次方根的个数及符号的确定 (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式的符号由根指数n的奇偶及被开方数a的符号共同确定： ①当n为偶数时，为非负实数； ②当n为奇数时，的符号与a的符号一致． 【跟踪训练】 1．(1)已知a∈R，n∈N＋，给出下列四个式子： ①；②；③；④. 其中无意义的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 答案：A 解析：①中(－3)2n>0，所以有意义；②中根指数为5，所以有意义；③中(－5)2n＋1<0，所以无意义；④中根指数为9，所以有意义．故选A. (2)①16的平方根是________，－27的5次方根是________． ②已知x3＝6，则x＝________． 答案：①±4　　② 解析：①因为(±4)2＝16，所以16的平方根为±4.－27的5次方根为. ②因为x3＝6，所以x＝. (3)若有意义，求实数x的取值范围． 解：要使有意义，则需x－2≥0，即x≥2. 因此实数x的取值范围是[2，＋∞)． 　利用根式的性质化简求值 　化简下列各式： (1)＋()5； (2)＋()6； (3). [解]　(1)原式＝(－3)＋(－2)＝－5. (2)原式＝|－3|＋2＝3＋2＝5. (3)原式＝|a－3|＝ 【感悟提升】　根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值，必要时还要进行分类讨论． 【跟踪训练】 2．(1)求下列各式的值： ①；②；③()5； ④. 解：①＝－2. ②＝|－9|＝9. ③()5＝2. ④＝＝|x＋y| ＝ (2)若＝3a－1，求实数a的取值范围． 解：∵＝＝|3a－1|， 由|3a－1|＝3a－1，可知3a－1≥0，∴a≥. 故实数a的取值范围为. 　分数指数幂 　(1)计算： ①；②81；③(a·b－1)·(2a－)·(3b)÷(a·b)． [解]　①原式＝＝＝. ②原式＝(34)＝33＝27. ③原式＝(2×3)·a--·b-1+-＝6a0b－＝6b－. (2)用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(式子中字母均是正数)： ①·；②；③·；④()2·. [解]　①·＝a·a＝a. ②原式＝a·a·a＝a. ③原式＝a·a＝a. ④原式＝(a)2·a·b＝ab. 【感悟提升】　根式与分数指数幂互化的依据 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a＝和a－＝＝，其中字母a要使式子有意义． (2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂． 【跟踪训练】 3．(1)用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)： ①x；②x－；③x－y. 解：①x＝. ②x－＝ . ③x－y＝. (2)用分数指数幂的形式表示并计算下列各式： ①·(a<0)；②(b<0)； ③(x≠0)． 解：①原式＝a·(－a)＝－(－a)·(－a) ＝－(－a)(a<0)． ②原式＝(－b)×＝(－b)(b<0)． ③原式＝＝＝x－. (3)计算下列各式(式中字母都是正数)： ①(－0.12)0＋·－()＋；②. 解：①(－0.12)0＋·－()＋＝1＋×－[(3)]＋－1＝1＋1－3＋－1＝－2. ②＝ ＝＝a－1. 1.的值是(　　) A．3 B．－3 C．9 D．－9 答案：B 解析：＝＝－3. 2．已知m10＝2，则m＝(　　) A. B．－ C. D．± 答案：D 解析：∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±. 3．若n<m<0，则－＝(　　) A．2m B．2n C．－2m D．－2n 答案：C 解析：原式＝－＝|m＋n|－|m－n|，因为n<m<0，所以m＋n<0，m－n>0，所以原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m. 4．将化成分数指数幂为________． 答案：2 解析：＝2. 5．求下列各式的值： (1)(n>1，且n∈N＋)； (2)(n>1，且n∈N＋)． 解：(1)当n为奇数时，＝2－π； 当n为偶数时，＝π－2. (2) ＝|x－y|， 当x≥y时，　＝x－y； 当x<y时，　＝y－x. 一、选择题 1．已知a>0，则a－＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：a－＝＝. 2．若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．[2，4)∪(4，＋∞) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞) 答案：B 解析：由题意可知所以a≥2且a≠4. 3.＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：＝＝＝＝. 4．计算a＋的结果是(　　) A．1 B．2a－1 C．1或2a－1 D．0 答案：C 解析：a＋＝a＋|1－a|，若1－a≥0，则a＋|1－a|＝a＋1－a＝1；若1－a<0，则a＋|1－a|＝a＋a－1＝2a－1，综上可知，计算的结果为1或2a－1. 5．当有意义时，化简－的结果是(　　) A．2x－5 B．－2x－1 C．－1 D．5－2x 答案：C 解析：因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2，－＝－＝|x－2|－|x－3|＝2－x－(3－x)＝2－x－3＋x＝－1.故选C. 二、填空题 6.的值为________． 答案：－ 解析：＝＝－. 7．若＋＝0，则x2020＋y2021＝________． 答案：0 解析：∵≥0，≥0，且＋＝0，∴即∴x2020＋y2021＝1－1＝0. 8．已知＋1＝a，化简()2＋＋＝________． 答案：a－1 解析：由已知＋1＝a，即|a－1|＝a－1，即a≥1.所以原式＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1. 三、解答题 9．化简：(1)(x<π，n∈N＋)； (2). 解：(1)因为x<π，所以x－π<0， 当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π. 综上，＝ (2)因为a≤，所以1－2a≥0. 所以＝＝＝1－2a. 10．将下列根式化为分数指数幂的形式． (1)(a>0)；(2)(b>0)． 解：(1)原式＝＝＝＝a. (2)原式＝[(b)]＝＝b. 11．计算：(1)32－＋0.5－2； (2)1.5－×＋80.25×＋(×)6－. 解：(1)原式＝(25)－＋ ＝2－3－＋22＝－＋4＝. (2)原式＝×1＋(23)×2＋(2)6×(3)6－ ＝＋(23×2)＋22×33－ ＝2＋4×27＝110. 12．(1)化简：－； (2)已知a2x＝＋1，求的值． 解：(1)原式＝－ ＝－(a－b) ＝a－b－(a－b)＝0. (2)令ax＝t，则t2＝＋1， 所以＝ ＝ ＝t2＋t－2－1＝＋1＋－1 ＝＋1＋－1－1＝2－1. 4.1.2　无理数指数幂 (教师独具内容) 课程标准：1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.理解指数幂的运算性质.3.能进行指数幂(实数幂)的运算.4.理解幂运算基本不等式． 教学重点：1.指数幂由有理数扩充到无理数的过程.2.实数指数幂的运算.3.幂运算基本不等式的运用． 教学难点：无理数指数幂的意义的理解． 核心素养：1.通过对实数指数幂au含义的认识提升数学抽象素养.2.借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值培养数学运算素养.3.借助幂运算基本不等式比较大小培养逻辑推理素养． 知识点一　有理数指数幂的基本不等式 (1)对任意的正有理数r和正数a，若a>1则ar>1；若a<1则ar<1． (2)对任意的负有理数r和正数a，若a>1则ar<1；若a<1则ar>1． (3)对任意的正数a>1和两有理数r>s，有＝ar－s>1，即ar>as． (4)对任意的正数a<1和两有理数r>s，有＝ar－s<1，即ar<as． 知识点二　无理数指数幂的概念 (1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． (2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． (3)给定任意正数a，对任意实数u，a的u次幂au，a叫作底数，u叫作指数． 知识点三　实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 知识点四　幂运算基本不等式 (1)对任意的正实数u和正实数a，若a>1则au>1；若a<1则au<1． (2)对任意的负实数u和正实数a，若a>1则au<1；若a<1则au>1． 对于实数a＞0，r，s有ar ÷as＝ar－s成立．这是因为ar÷as＝＝ar·a－s＝ar－s.教材中没有给出此性质，但是它可以由已有公式推导出来． (1)在进行幂和根式的化简时，一般原则是：先将负指数幂化为正指数幂，将小数化为分数，将根式化为分数指数幂，将底数(较大的整数分解质因数)化成指数幂的形式，再利用幂的运算性质在系数、同底数幂间进行运算，达到化简和求值的目的． (2)化简指数幂的几个常用技巧如下： ①＝(ab≠0)； ②a＝(a)m，a＝(a)n(a使式子有意义)； ③1的代换，如1＝a－1a，1＝a－a (a使式子有意义)等； ④乘法公式的常见变形，如(a＋b)(a－b)＝a－b，(a±b)2＝a±2ab＋b，(a±b)·(a∓ab＋b)＝a±b(a，b均使式子有意义)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)无理数指数幂有的不是实数．(　　) (2)指数幂ax(a>0)中的x可以是任意实数．(　　) (3)(2)2＝4.(　　) (4)2>2.(　　) (5)[()－2]＝()－1＝.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ 2．做一做 (1)(4－)＝(　　) A. B．－ C. D．－ (2) ·9π＝(　　) A．3π－ B．32π－ C. D. (3)0.027＝________． (4)若2α＝3，2β＝5，则2α＋β＝________． 答案：(1)C　(2)B　(3)0.09　(4)15 　无理数指数幂的运算 　计算下列各式： (1) ； (2)a·a÷aπ(a＞0)； (3)已知a＝10，b＝10，c＝10，求的值(用a，b，c表示)． [解]　(1)原式＝(3·)＝36·22＝2916. (2)原式＝＝a－. (3)原式＝＝＝. 【感悟提升】　关于无理数指数幂的运算 (1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算． (2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留． 【跟踪训练】 1．计算下列各式： (1) ；(2)(m·m)6(m＞0)． 解：(1)原式＝＝π3. (2)原式＝(m－)6＝(m)6＝mπ. 　指数幂的运算 　计算下列各式： (1)＋2－×－0.010.5； (2)0.064－－＋＋16－0.75； (3)·(a>0，b>0)． [解]　(1)原式＝1＋－＝1＋1－＝. (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝. (3)原式＝·a·a－·b－·b＝a0b0＝. 【感悟提升】　指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一． 【跟踪训练】 2．计算下列各式(式子中字母都是正数)： (1)0.027＋－； (2)(－2ab－)·(－ab－)6÷(－2a·b－)2. 解：(1)0.027＋－ ＝＋－ ＝＋－＝. (2)原式＝ ＝－··＝－. 　利用幂运算基本不等式比较大小 　已知a>0且a≠1，m，n∈N＋. 证明：am＋n＋1>am＋an. [证明]　am＋n＋1－am－an＝(am－1)(an－1)． 当a>1时，∵m>0，n>0，∴am>1，an>1， ∴(am－1)(an－1)>0. 当0<a<1时，∵m>0，n>0，∴am<1，an<1， ∴(am－1)(an－1)>0. 综上可知，am＋n＋1>am＋an. 【感悟提升】　利用幂运算基本不等式比较大小 (1)当u>0时，若a>1则au>1；若0<a<1则au<1. (2)当u<0时，若a>1则au<1；若0<a<1则au>1. 【跟踪训练】 3．比较下列各组中两个值的大小： (1)a1.3，a2.5(0<a<1)； (2)，1. 解：(1)∵a1.3>0，a2.5>0， a1.3÷a2.5＝a1.3－2.5＝a－1.2， 又0<a<1，∴a－1.2>1.∴a1.3>a2.5. (2)＝ππ.∵π>1，∴ππ>1，即>1. 　指数幂运算中的条件求值 　已知a＋a－＝4，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2. [解]　(1)将a＋a－＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14. (2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194. 　在本例条件不变的情况下，求a－a－1的值． 解：令a－a－1＝t，则两边平方，得 a2＋a－2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192， ∴t＝±8，即a－a－1＝±8. 　在本例条件不变的情况下，求a2－a－2的值． 解：由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8×14＝±112. 【感悟提升】　解决条件求值的思路 (1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件等式加以变形，寻找所求式子与条件等式的关系，以便用整体代入法求值． (2)在利用整体代入的方法求值时，要注意平方差公式、立方差公式及完全平方公式的应用． 【跟踪训练】 4．已知x＋x－＝，求x2＋x－2. 解：将x＋x－＝两边平方，得x＋x－1＋2＝5，则x＋x－1＝3，两边再平方，得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7. 1．下列运算结果中，正确的是(　　) A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2 C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6 答案：A 解析：a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1. 2．计算的结果是(　　) A. B．－ C．2 D. 答案：D 解析：＝2－1＝. 3．2－(2k＋1)－2－(2k－1)＋2－2k＝(　　) A．2－2k B．2－2k－1 C．－2－(2k＋1) D．2 答案：C 解析：原式＝2－1·2－2k－2·2－2k＋2－2k＝－·2－2k＝－2－2k－1＝－2－(2k＋1)．故选C. 4．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________． 答案：　2 解析：∵α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，∴α＋β＝－2，αβ＝，∴2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2. 5．计算或化简下列各式： (1)(×)6＋()－4－×80.25＋(－2020)0； (2)－－(π＋1)0＋. 解：(1)原式＝(2×3)6＋(2×2)－4－2×(23)＋1＝22×33＋2－7－2＋1＝102. (2)原式＝－－1＋＝－3×－1＋＝－－1＋2＝2. 一、选择题 1．计算(2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)得(　　) A．－b2 B.b2 C．－b D.b 答案：A 解析：原式＝＝－b2.故选A. 2．计算：3π×＋(22)＋1＝(　　) A．17 B．18 C．6 D．5 答案：B 解析：原式＝＋22×＋1＝1π＋24＋1＝18. 3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　) A. B．10 C．20 D．100 答案：A 解析：∵2a＝m，5b＝m，∴2＝m，5＝m，∵2×5＝m·m＝m＋，∴m2＝10，∴m＝.故选A. 4．若3a·9b＝，则下列各式正确的是(　　) A．a＋b＝－1 B．a＋b＝1 C．a＋2b＝－1 D．a＋2b＝1 答案：C 解析：∵3a·9b＝3a·(32)b＝3a＋2b，＝3－1，∴a＋2b＝－1. 5．(多选)下列各式运算正确的是(　　) A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8 B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3 C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6 D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18 答案：ABD 解析：对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，[－(a3)2·(－b2)3]3＝[－a6·(－b6)]3＝(a6b6)3＝a18b18，故D正确．故选ABD. 二、填空题 6．计算：＋＝________． 答案： 解析：＋＝＋－＝＋＝. 7．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y＝________． 答案：27 解析：由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，所以x＝3y＋3　①.由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，所以2y＝x－9　②.由①②联立方程组，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27. 8．若x>0，y>0，且(＋)＝3(＋5)，则的值为________． 答案：3 解析：由(＋)＝3(＋5)，得x＋＝3＋15y，即x－2－15y＝0，可化为()2－2－15()2＝0，即(＋3)(－5)＝0，又＋3>0，∴－5＝0，即x＝25y，∴＝＝3. 三、解答题 9．若a>0且a＋＝7，求a＋a－及a－a－的值． 解：设a＋a－＝t，则a＋＋2＝t2，即t2＝7＋2＝9. 又a>0，所以a＋a－＝3. 设a－a－＝m，则a＋－2＝m2， 即m2＝5，所以m＝±. 综上可知，a＋a－＝3，a－a－＝±. 10．已知x＋y＝12，xy＝9，且x>y，求的值． 解：∵x＋y＝12，xy＝9，且x>y， ∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝108， ∴x－y＝6. ∴＝ ＝ ＝＝＝. 11．计算下列各式： (1)4＋1×23－2×8－； (2)(5)＋21－×2. 解：(1)原式＝(22)＋1×23－2×(23) － ＝22＋2×23－2×2－2 ＝22＋2＋3－2－2＝23＝8. (2)原式＝5×＋21－＋＝52＋21＝27. 12．已知pa3＝qb3＝rc3，且＋＋＝1，求证：(pa2＋qb2＋rc2)＝p＋q＋r. 证明：令pa3＝qb3＝rc3＝k， 则pa2＝，qb2＝，rc2＝， 所以(pa2＋qb2＋rc2) ＝ ＝k. 因为＋＋＝1， 所以(pa2＋qb2＋rc2) ＝k. 同理，由pa3＝qb3＝rc3＝k，得p＝，q＝，r＝， 所以p＋q＋r＝＋＋ ＝k＝k. 所以(pa2＋qb2＋rc2)＝p＋q＋r. 4.1.3　幂函数 (教师独具内容) 课程标准：1.通过具体实例了解幂函数的概念.2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象.3.了解幂函数的图象与性质.4.能正确应用幂函数的知识解决相关问题． 教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图象与性质． 教学难点：应用幂函数的知识解决相关问题． 核心素养：1.结合幂函数的图象培养直观想象素养.2.借助幂函数的性质提升逻辑推理素养． 知识点一　幂函数的概念 (1)当x为自变量而α为非零实数时，函数y＝xα叫作(α次)幂函数． (2)y＝xn(x∈R，n∈N＋)是正整数次幂函数；正整数次幂函数的倒数y＝是负整数次幂函数，一般写成y＝x－n(n是正整数，x≠0)． 负整数次幂函数和正整数次幂函数，统称为整数次幂函数． 自变量x的算术平方根或立方根是最常见的分数次幂函数． 知识点二　幂函数的性质 (1)一般地，幂函数y＝xα(α≠0)具有以下性质：①当α>0时，它在[0，＋∞)上有定义且递增，值域为[0，＋∞)，函数图象过(0，0)和(1，1)两点； ②当α<0时，它在(0，＋∞)上有定义且递减，值域为(0，＋∞)，函数图象过点(1，1)，向上与y轴正方向无限接近，向右与x轴正方向无限接近． (2)正整数次幂函数的奇偶性与幂指数的奇偶性一致． 知识点三　一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象(如图)． 1．幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数，都不是幂函数． 2．一些常用幂函数的性质 续表 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)．(　　) (2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．(　　) (3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数无关．(　　) (4)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数．(　　) (5)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)× 2．做一做 (1)下列所给的函数中，是幂函数的是(　　) A．y＝2x5 B．y＝x3＋1 C．y＝x－3 D．y＝3x (2)若y＝ax3＋(2b＋4)是幂函数，则a－b的值为(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．3 (3)已知幂函数y＝xα的图象经过点(2，16)，则f(－2)＝________． 答案：(1)C　(2)D　(3)16 　幂函数的概念 　已知y＝＋2n－3是幂函数，求m，n的值． [解]　由题意得解得所以m＝－3，n＝. 【感悟提升】　判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 【跟踪训练】 1．已知函数f(x)＝(m2－2m＋2)x1－3m是幂函数． (1)求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论； (3)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论． 解：(1)因为函数f(x)＝(m2－2m＋2)x1－3m是幂函数， 则m2－2m＋2＝1，解得m＝1，所以f(x)＝x－2. (2)函数f(x)＝x－2为偶函数． 证明如下：由(1)知f(x)＝x－2，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称． 因为对于定义域内的任意x， 都有f(－x)＝(－x)－2＝＝＝x－2＝f(x)， 所以函数f(x)＝x－2为偶函数． (3)函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 证明如下：在(0，＋∞)上任取x1，x2， 不妨设0<x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x－x ＝－＝ ＝， 由0<x1<x2，得x2－x1>0，且x2＋x1>0，xx>0， 所以f(x1)－f(x2)>0， 即当0<x1<x2时，f(x1)>f(x2)． 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 　幂函数的图象及应用 　幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x，y＝x－在第一象限内的图象依次是图中的曲线(　　) A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2 C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3 [解析]　由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图象在第一象限内直线x＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x－1在第一象限内的图象为C4，y＝x在第一象限内的图象为C2，y＝x－在第一象限内的图象为C3. [答案]　D 【感悟提升】　解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断． 【跟踪训练】 2.(1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　) A．－1<n<0<m<1 B．n<－1，0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 答案：B 解析：在(0，1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m<1，n<－1. (2)已知函数y＝. ①求定义域； ②判断奇偶性； ③已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间． 解：①y＝，定义域为实数集R. ②设y＝f(x)，因为f(－x)＝＝＝f(x)，且定义域关于坐标原点对称，所以函数y＝是偶函数． ③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图象关于y轴的对称图象，即得函数y＝的图象，如图所示． 根据图象易知，函数y＝在区间[0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0]上单调递减． 　幂函数的性质及应用 角度　比较幂值的大小 　比较下列各题中两个值的大小： (1)2.3，2.4；(2)()－，()－； (3)(－0.31)2，0.352. [解]　(1)∵y＝x在[0，＋∞)上单调递增，且2.3<2.4， ∴2.3<2.4. (2)∵y＝x－在(0，＋∞)上单调递减，且<， ∴()－>()－. (3)∵y＝x2为R上的偶函数， ∴(－0.31)2＝0.312. 又函数y＝x2在[0，＋∞)上单调递增，且0.31<0.35， ∴0.312<0.352，即(－0.31)2<0.352. 【感悟提升】　比较幂值大小的方法 比较幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同，底数不同，则考虑构造幂函数，然后根据所构造的幂函数的性质，如单调性、奇偶性等来解决问题． 【跟踪训练】 3．比较下列各组数的大小： (1)与；(2)－3.143与－π3. 解：(1)∵y＝x在[0，＋∞)上单调递增，且>， ∴>. (2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π， ∴3.143<π3，∴－3.143>－π3. 角度　根据单调性求参数值(或范围) 　若(a＋1)<(1－2a)，则实数a的取值范围为________． [解析]　易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，且在定义域上为增函数，所以解得－1≤a<0. [答案]　[－1，0) 【感悟提升】　利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 【跟踪训练】 4．已知幂函数y＝，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式． 解：∵y＝是幂函数， ∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0， ∴m＝2或m＝－3. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小； 当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去． ∴y＝x－3(x≠0)． 1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：因为y＝＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；因为只有y＝xα(α≠0)才是幂函数，所以y＝1不是幂函数． 2．幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式是(　　) A．y＝x－1 B．y＝x C．y＝x2 D．y＝x3 答案：B 解析：设该幂函数的解析式为y＝f(x)＝xα(α为常数)，则f(2)＝2α＝，∴α＝，∴y＝f(x)＝x. 3．已知f(x)＝是幂函数，则m＝________． 答案：2 解析：因为f(x)是幂函数，所以m－1＝1，即m＝2. 4．若幂函数y＝x2－a在(0，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________． 答案：a>2 解析：因为y＝x2－a在(0，＋∞)上单调递减，所以2－a<0，所以a>2. 5．比较下列各组数的大小： (1)3－与3.1－； (2)4.1，3.8－，(－1.9)－. 解：(1)因为函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递减， 又3<3.1，所以3－>3.1－. (2)4.1>1＝1，0<3.8－<1－＝1， 而(－1.9) －<0， 所以4.1>3.8－>(－1.9) －. 一、选择题 1．已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点，则k＋α＝(　　) A. B．1 C. D．2 答案：A 解析：∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，f＝＝，即α＝－，∴k＋α＝. 2．函数y＝x的图象大致是图中的(　　) 答案：B 解析：∵函数y＝x是奇函数，且>1，∴函数y＝x的图象大致为B. 3．(多选)设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的α的值可以是(　　) A．－1 B. C．1 D．3 答案：CD 解析：对于A，当α＝－1时，y＝x－1，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于B，当α＝时，y＝x，定义域为[0，＋∞)，不满足题意；对于C，当α＝1时，y＝x，定义域为R，且为奇函数，满足题意；对于D，当α＝3时，y＝x3，定义域为R，且为奇函数，满足题意．故选CD. 4．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．a<b<c D．b>c>a 答案：A 解析：∵a＝＝，函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，且<<，∴>>，即a>b>c.故选A. 5．若幂函数y＝的图象不过原点，且关于原点对称，则(　　) A．m＝－2 B．m＝－1 C．m＝－2或m＝－1 D．－3≤m≤－1 答案：A 解析：由幂函数的定义，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1 或m＝－2.若m＝－1，则y＝x－4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m＝－2，则y＝x－3，其图象不过原点，且关于原点对称．故选A. 二、填空题 6．若幂函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，则m＝________． 答案：－1 解析：由幂函数的定义可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，当m＝－1时，y＝x2，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当m＝2时，y＝x－1，在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，所以m＝－1. 7．已知幂函数f(x)＝x，若f(10－2a)<f(a＋1)，则a的取值范围是________． 答案：3<a≤5 解析：因为f(x)＝x＝(x≥0)，易知幂函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(10－2a)<f(a＋1)，所以解得所以3<a≤5. 8．已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________． 答案：－1 解析：由题意得，m2－m＝3＋m，即m2－2m－3＝0，∴m＝3或m＝－1.当m＝3时，f(x)＝x－1，此时x∈[－6，6]，∵f(x)在x＝0处无意义，∴不符合题意；当m＝－1时，f(x)＝x3，此时x∈[－2，2]，函数f(x)在[－2，2]上是奇函数，符合题意，∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1. 三、解答题 9．比较下列各组数的大小： (1)3－1和3.1－1；(2)－8－3和－； (3)和. 解：(1)函数y＝x－1在(0，＋∞)上单调递减， 因为3<3.1，所以3－1>3.1－1. (2)－8－3＝－， 函数y＝x3在(0，＋∞)上单调递增， 因为>，则>. 从而－8－3<－. (3)＝，＝， 函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减， 因为>，所以<， 即<. 10．已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x－2m－1在(0，＋∞)上单调递增． (1)求实数m的值； (2)若(k＋1)m<(3－2k)m，求实数k的取值范围． 解：(1)因为f(x)是幂函数，所以m2－m－1＝1， 解得m＝－1或m＝2， 又因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 所以－2m－1>0，即m<－， 所以m＝－1. (2)由于y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数，且(k＋1)－1<(3－2k)－1. 分三种情况讨论： ①当k＋1<0<3－2k，即k<－1时，原不等式成立； ②当k＋1<0，且3－2k<0时，有k＋1>3－2k， 即解集为空集． ③当k＋1>0，且3－2k>0时，有k＋1>3－2k， 解得<k<. 综上所述，实数k的取值范围是(－∞，－1)∪. 11．若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上． (1)求f(x)和g(x)的解析式； (2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值及单调区间． 解：(1)设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以()α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2. 设g(x)＝xβ，因为点在幂函数g(x)的图象上，所以2β＝，解得β＝－1，即g(x)＝x－1. (2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象，可得函数h(x)的图象如图所示．由题意及图象可知h(x)＝ 根据函数h(x)的解析式及图象可知，函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0，1]，单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞)． 12．已知幂函数f(x)＝，其中m∈{n|－2<n<2，n∈Z}，满足： ①在区间(0，＋∞)上单调递增； ②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0. 求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时，f(x)的值域． 解：因为m∈{n|－2<n<2，n∈Z}， 所以m＝－1，0，1. 因为对任意x∈R， 都有f(－x)＋f(x)＝0， 即f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． 当m＝－1时， f(x)＝x2只满足条件①而不满足条件②； 当m＝1时，f(x)＝x0，条件①②都不满足． 当m＝0时，f(x)＝x3，条件①②都满足，且在区间[0，3]上单调递增． 所以x∈[0，3]时，函数f(x)的值域为[0，27]． 4.2.1　指数爆炸和指数衰减 (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 教学重点：1.指数函数的概念.2.指数函数的实际应用． 教学难点：指数函数的实际应用． 核心素养：借助指数函数的实际应用培养数学建模素养． 知识点一　指数函数的概念 底数为常数，指数为自变量x的函数y＝ax(x∈R)叫作指数函数，其中a>0，且a≠1. 知识点二　指数爆炸 (1)当底数a>1时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数a较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸． (2)在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长． 知识点三　指数衰减 (1)当底数a满足0<a<1时，指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于0，叫作指数衰减． (2)指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量． 指数函数的解析式具有的三个特征 (1)底数a>0，且为不等于1的常数，也不含有自变量x. (2)指数位置是自变量x，且x的系数是1. (3)ax的系数是1. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x2是指数函数．(　　) (2)函数y＝2－x不是指数函数．(　　) (3)指数函数y＝ax中，a可以为负数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)下列函数一定是指数函数的是(　　) A．y＝3·2x B．y＝2x＋1 C．y＝x3 D．y＝3－x (2)若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B. C．(－∞，1)∪ D. (3)若指数函数f(x)的图象过点(2，4)，则指数函数f(x)的解析式为________． 答案：(1)D　(2)C　(3)f(x)＝2x 　指数函数的概念 　下列函数中，指数函数的个数是(　　) ①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2·3x. A．1 B．2 C．3 D．0 [解析]　①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x，而是x的函数，所以不是指数函数；③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．故选D. [答案]　D 【感悟提升】　 (1)判断一个函数是指数函数，要牢牢抓住三点： ①底数是大于0且不等于1的常数； ②指数函数的自变量必须位于指数的位置上； ③ax的系数必须为1. (2)求指数函数的解析式常用待定系数法． 【跟踪训练】 1．若函数f(x)＝a2(2－a)x是指数函数，则a＝________． 答案：－1 解析：因为函数f(x)＝a2(2－a)x是指数函数，所以a2＝1，2－a>0且2－a≠1，解得a＝－1. 　指数爆炸 　目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题： (1)写出y关于x的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)． [解]　(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)； 当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2； 当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3； … 故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N＋)． (2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7. 故10年后该县约有112.7万人． 【感悟提升】　指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． 【跟踪训练】 2．某实验员在培养皿中滴入了含有10个某种真菌的实验液，经1小时培养真菌数目繁殖为原来的2倍．经测量知该真菌的繁殖规律为y＝10eλt，其中λ为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示真菌个数．经过8小时培养，真菌能达到的个数为(　　) A．640 B．1280 C．2560 D．5120 答案：C 解析：因为原来的真菌数为10，由题意可得在函数y＝10eλt中，当t＝1时，y＝20，所以20＝10eλ，即eλ＝2，所以y＝10×eλt＝10×2t.当t＝8时，真菌数为y＝10×28＝2560. 　指数衰减 　某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(c，m为常数)． (1)求c，m的值； (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态？ [解]　(1)由题意可得 解得 故c，m的值分别为128，. (2)由(1)知y＝128×，令128×＝，即＝，解得t＝32，即排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态． 【感悟提升】　指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． 【跟踪训练】 3．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系式是(　　) A．y＝0.9576 B．y＝0.9576100x C．y＝ D．y＝1－0.0424 答案：A 解析：由100年后剩留量为原来的95.76%，故x年后的剩留量为y＝0.9576. 1．已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　) A．2 B. C．0 D. 答案：B 解析：f(－1)＝2－1＝，f(f(－1))＝f＝3＝.故选B. 2．按复利计算利率的储蓄，存入银行2万元，如果年息3%，5年后支取，本利和应为________万元．(　　) A．2×(1＋0.3)5 B．2×(1＋0.03)5 C．2×(1＋0.3)4 D．2×(1＋0.03)4 答案：B 解析：由题意可得，存入银行2万元后，一年后本利之和为2×(1＋0.03)万元，两年后本利之和为2×(1＋0.03)2万元，故5年后支取，本利和应为2×(1＋0.03)5万元． 3．若函数f(x)＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a＝________． 答案：3 解析：由于f(x)＝(a2－4a＋4)ax，故由指数函数的定义可得解得a＝3. 4．碳14的半衰期为5730年，那么碳14的年衰变率为________． 答案： 解析：设碳14的年衰变率为m，原有量为1，则m5730＝，解得m＝，所以碳14的年衰变率为. 5．已知函数f(x)为指数函数，且f＝，求f(－2)的值． 解：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)， 则f＝a－＝，即a－＝3－，∴a＝3， ∴f(x)＝3x.故f(－2)＝3－2＝. 一、选择题 1．给出下列函数： ①y＝3·2x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x. 其中指数函数的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数叫指数函数，由定义知只有y＝3x是指数函数．故选B. 2．某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为(　　) A．a(1＋p%)元 B．a(1－p%)元 C.元 D.元 答案：C 解析：设现在成本为x元，则x(1－p%)3＝a，∴x＝.故选C. 3．随着我国经济的不断发展，2019年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2026年年底该地区的农民人均年收入为(　　) A．3000×1.06×7元 B．3000×1.067元 C．3000×1.06×8元 D．3000×1.068元 答案：B 解析：设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，根据题意可得y＝3000·1.06x，从2019到2026年共经过了7年，故人均年收入为3000×1.067元． 4．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4096个需经过(　　) A．12小时 B．4小时 C．3小时 D．2小时 答案：C 解析：设共分裂了x次，则有2x＝4096，解得x＝12，又每15分钟分裂一次，故共需要15×12＝180分钟，即3小时． 5．(多选)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列说法正确的是(　　) A．a＝8 B．f(0)＝－3 C．f＝2 D．f(2)＝16 答案：AC 解析：由题意知a－3＝1，所以a＝8.所以f(x)＝8x，f(0)＝1，f＝8＝2，f(2)＝82＝64.故选AC. 二、填空题 6．已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(x)＝________． 答案：5x 解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由f＝，得a－＝5＝5－，∴a＝5，∴f(x)＝5x. 7．已知f(x)＝2x＋，若f(a)＝7，则f(2a)＝________． 答案：47 解析：因为f(x)＝2x＋，f(a)＝7，则f(a)＝2a＋＝7.所以f(2a)＝22a＋＝(2a)2＋＝－2＝47. 8．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份________食堂的营业额较高． 答案：甲 解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高． 三、解答题 9．有关部门计划于2020年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问：该市在2025年应投入多少辆电力型公交车？ 解：由题意知，在2021年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)辆， 在2022年应投入的数量为128×(1＋50%)×(1＋50%)＝128×(1＋50%)2辆， … 据此归纳可得，在2025年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)5辆， 即128×＝972辆． 故该市在2025年应投入972辆电力型公交车． 10．某公司拟投资100万元，有两种获利的情况可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元？ 解：①本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本利和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．②本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本利和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．由①②可知，按年利率9%每年复利一次计算的，要比按年利率10%单利计算的更有利，5年后可多得利息3.86万元． 11．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　) A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝ C．f＝f(x)－f(y) D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q) 答案：ABD 解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，故A正确；f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，故B正确；f＝a＝(ax)，f(x)－f(y)＝ax－ay≠(ax)，故C错误；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故D正确． 12．截止到2019年底，我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，经过x年后，此市人口数为y(万)． (1)求y与x的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若按此增长率，2030年年底的人口数是多少？ (3)哪一年年底的人口数将达到135万？ 解：(1)2019年年底的人口数为130万； 经过1年，2020年年底的人口数为 130＋130×3‰＝130×(1＋3‰)(万)； 经过2年，2021年年底的人口数为 130×(1＋3‰)＋130×(1＋3‰)×3‰＝130×(1＋3‰)2(万)； 经过3年，2022年年底的人口数为 130×(1＋3‰)2＋130×(1＋3‰)2×3‰＝130×(1＋3‰)3(万)． … 所以经过x年后的人口数为130·(1＋3‰)x(万)． 即y＝f(x)＝130·(1＋3‰)x(x∈N＋)． (2)2030年年底的人口数为130×(1＋3‰)11≈134(万)． (3)由(2)可知，2030年年底的人口数为 130×(1＋3‰)11≈134<135. 2031年年底的人口数为130×(1＋3‰)12≈134.8(万)， 2032年年底的人口数为130×(1＋3‰)13≈135.2(万)． 所以2032年年底的人口数将达到135万． 4.2.2　指数函数的图象与性质 (教师独具内容) 课程标准：1.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.学会用函数的图象和代数运算的方法研究指数函数的性质.3.运用指数函数模型解决简单的实际问题． 教学重点：掌握指数函数的图象与性质． 教学难点：指数函数性质的应用． 核心素养：借助指数函数的性质及应用培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点　　指数函数的图象与性质 表达式 y＝ax(0<a<1) y＝ax(a>1) 图象 性质 定义域 (－∞，＋∞) 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0，1)，即a0＝1 函数值 的变化 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 单调性 是R上的减函数 是R上的增函数 对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 1．由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(0，1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象． 2．底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论在y轴的左侧还是右侧，图象相应的底数按逆时针方向递增． 当a>b>1时， (1)若x>0，则ax>bx>1； (2)若x<0，则1>bx>ax>0. 当1>a>b>0时， (1)若x>0，则1>ax>bx>0； (2)若x<0，则bx>ax>1. 3．函数图象的对称和变换规律 一般地，把函数y＝f(x)的图象向右平移m个单位长度得函数y＝f(x－m)的图象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|个单位长度)；把函数y＝f(x)的图象向上平移n个单位长度，得到函数y＝f(x)＋n的图象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|个单位长度)． 函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 函数y＝f(|x|)的图象是关于y轴对称的，所以只要先把y轴右边的图象保留，y轴左边的图象删去，再将y轴右边部分关于y轴对称得y轴左边图象，就得到了y＝f(|x|)的图象． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图象都在x轴上方．(　　) (2)函数y＝2－x在(0，＋∞)上单调递增．(　　) (3)若指数函数y＝ax是减函数，则0<a<1.(　　) (4)对于任意x∈R，一定有4x>3x.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．做一做 (1)函数y＝2－x的图象是(　　) (2)若0<a<1，则函数f(x)＝ax＋6的图象一定经过(　　) A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 (3)当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax－2＋1必过定点________． (4)函数f(x)＝在[－1，1]上的最大值为________． 答案：(1)B　(2)A　(3)(2，2)　(4)3 　指数函数的图象及应用 　(1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　) A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c [解析]　解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1. 作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 解法二：根据图象可以先分两类： ③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．由以上分析，可知a，b，c，d与1的大小关系为b＜a＜1＜d＜c. [答案]　B (2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________． [解析]　解法一：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3，4)． 解法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点(3，4)． [答案]　(3，4) 【感悟提升】　 1．识别指数函数图象问题的注意点 (1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1. (2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小． (3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置． 2．解决指数型函数图象过定点问题的思路 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 【跟踪训练】 1．(1)二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝的图象可能是(　　) 答案：A 解析：二次函数y＝a－，其图象的顶点坐标为，由指数函数的图象知0<<1，所以－<－<0，再观察四个选项，只有A中的抛物线的顶点的横坐标在－和0之间． (2)函数y＝a2x＋1＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点________． 答案： 解析：令2x＋1＝0得x＝－，y＝2，所以函数图象恒过点. 　指数函数的解析式 　若点(a，27)在函数y＝()x的图象上，则的值为(　　) A. B．1 C．2 D．0 [解析]　∵点(a，27)在函数y＝()x的图象上，∴27＝()a，即33＝3，∴＝3，解得a＝6.∴＝. [答案]　A 【感悟提升】　求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)． (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式． 【跟踪训练】 2．若指数函数y＝f(x)的图象经过点，则f＝________． 答案： 解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则由题意知f(－2)＝a－2＝.∴a＝4，f(x)＝4x.∴f＝4－＝(22)－＝. 　与指数函数有关的定义域和值域问题 　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝2； (2)y＝； (3)y＝. [解]　(1)x应满足x－4≠0，∴x≠4， ∴函数y＝2的定义域为{x|x≠4，x∈R}． ∵≠0，∴2≠1， ∴函数y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}． (2)函数y＝的定义域为R. ∵|x|≥0，∴y＝＝≥＝1， ∴函数y＝的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－≥0， ∴≤1＝， ∴x≥0， ∴函数y＝的定义域为{x|x≥0，x∈R}． ∵x≥0，∴≤1. 又>0，∴0<≤1. ∴0≤1－<1， ∴0≤y<1，∴函数y＝的值域为[0，1)． 【感悟提升】　函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 提示：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 【跟踪训练】 3．求下列函数的定义域、值域： (1)y＝； (2)y＝4x－2x＋1. 解：(1)函数的定义域为R. ∵y＝＝＝1－， 又3x>0，∴1＋3x>1，∴0<<1， ∴－1<－<0， ∴0<1－<1，∴函数的值域为(0，1)． (2)函数的定义域为R. y＝(2x)2－2x＋1＝＋， ∵2x>0，∴当2x＝，即x＝－1时，y取最小值， ∴函数的值域为. 　利用单调性比较大小 　比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1和a0.3(a>0，且a≠1)． [解]　(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5. (3)由指数函数的性质，得1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1. (4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1<a0.3. 【感悟提升】　比较幂的大小的方法 (1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数的图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小． (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． (4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． 【跟踪训练】 4．(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 答案：A 解析：因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数，知b<a.又因为a＝2＝4，c＝25＝5，由函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，知a<c.综上可得，b<a<c.故选A. (2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 答案：C 解析：因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5<a＝0.60.6<1.又c＝1.50.6>1，所以b<a<c. 　利用指数函数的单调性解不等式 　　　(1)解不等式≤2. [解]　∵2＝， ∴原不等式可以转化为≤. ∵函数y＝在R上是减函数， ∴3x－7≥－1，∴x≥2. 故原不等式的解集是{x|x≥2}． (2)已知<a－x＋5(a>0，a≠1)，求x的取值范围． [解]　分情况讨论： ①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是减函数， ∴x2－3x＋2>－x＋5，∴x2－2x－3>0， 根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>3； ②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋2<－x＋5， ∴x2－2x－3<0， 根据相应二次函数的图象可得－1<x<3. 综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>3；当a>1时，－1<x<3. 【感悟提升】　解与指数有关的不等式时需注意的问题 (1)形如ax>ab的不等式，借助函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性求解． (3)形如ax>bx的形式，利用图象求解． 【跟踪训练】 5．(1)解不等式≤3－2x. 解：因为3－2x＝，所以原不等式等价于≤， 又y＝是R上的减函数， 所以x－4≥2x，所以x≤－4. 因此原不等式的解集是{x|x≤－4}． (2)若a－3x>ax＋4(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． 解：①当0<a<1时，由y＝ax在R上单调递减得－3x<x＋4，即－4x<4，解得x>－1； ②当a>1时，由y＝ax在R上单调递增得－3x>x＋4，即－4x>4，解得x<－1. 综上，当0<a<1时，x的取值范围为(－1，＋∞)；当a>1时，x的取值范围为(－∞，－1)． 　指数函数性质的综合应用 　已知函数f(x)＝a－(x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1，5]上的最小值． [解]　(1)证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋ ＝. ∵x1<x2，∴2 x1－2 x2<0，(2x1＋1)(2x2＋1)>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)∵f(x)在R上为奇函数， ∴f(0)＝0，即a－＝0， 解得a＝. (3)由(2)知，f(x)＝－， 由(1)知，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1)． f(1)＝－＝， ∴f(x)在区间[1，5]上的最小值为. 【感悟提升】　指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化． 【跟踪训练】 6．已知函数f(x)＝(x∈R)． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)求函数f(x)的值域． 解：(1)函数f(x)为R上的奇函数．证明如下： 由已知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝＝＝－f(x)． 所以函数f(x)为R上的奇函数． (2)因为f(x)＝＝－1＋，2x>0， 所以1＋2x>1.故∈(0，2)． 从而f(x)＝－1＋∈(－1，1)． 所以函数f(x)的值域为(－1，1)． 1．函数y＝3－x的图象是(　　) 答案：B 解析：∵y＝3－x＝，∴B正确． 2．若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1) 答案：D 解析：∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是R上的增函数，∴x＋1<0.∴x<－1. 3．函数y＝的定义域是________． 答案：(－∞，0] 解析：要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0.故函数y＝的定义域为(－∞，0]． 4．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________． 答案：(－1，0)∪(0，1) 解析：由x<0，得0<2x<1；由x>0，得－x<0，0<2－x<1，∴－1<－2－x<0.∴函数f(x)的值域为(－1，0)∪(0，1)． 5．已知函数y＝f(x)＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数f(x)的值域． 解：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax， 则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a>1时，∵x≥0，∴t≥1， ∵g(t)在[1，＋∞)上单调递增，g(1)＝2， ∴当a>1时，y≥2. 当0<a<1时，∵x≥0，∴0<t≤1. ∵g(t)在(0，1]上单调递增，g(0)＝－1，g(1)＝2， ∴当0<a<1时，－1<y≤2. 综上所述，当a>1时，函数f(x)的值域是[2，＋∞)； 当0<a<1时，函数f(x)的值域是(－1，2]． 一、选择题 1．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点(　　) A．(0，1) B．(0，－1) C．(－1，0) D．(1，0) 答案：C 解析：∵f(－1)＝a－1＋1－1＝a0－1＝0，∴函数图象必过点(－1，0)． 2．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是(　　) 答案：A 解析：∵g(x)＝－x＋a的斜率为－1，排除C，D；观察A，B可知函数f(x)＝ax单调递增，∴a>1，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图象大致为A. 3．设a＝40.9，b＝80.48，c＝，则(　　) A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b 答案：D 解析：a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝＝21.5，因为函数y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b. 4．若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.∪(1，＋∞) D. 答案：A 解析：由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f(x)＝3(2a－1)x＋3的单调性与函数y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是，故选A. 5．(多选)若函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则下列关于函数f(x)＝2ax－1在[0，1]上的说法正确的是(　　) A．f(x)＝4x－1 B．函数f(x)在[0，1]上单调递增 C．f＝0 D．函数f(x)在[0，1]上的最大值是3 答案：ABD 解析：函数y＝ax在[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数f(x)＝2ax－1＝4x－1在[0，1]上单调递增，故x＝1时，f(x)max＝3，f＝4×－1＝1.故选ABD. 二、填空题 6．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象经过点(－1，4)，(0，3)，则函数f(x)的解析式为________，f(－2)f(2)＝________． 答案：f(x)＝＋2　 解析：由已知，得解得所以f(x)＝＋2.所以f(－2)f(2)＝·＝. 7．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)满足f(－2)＞f(－3)，则函数g(x)＝a1－x2的单调递增区间是________． 答案：[0，＋∞) 解析：∵f(－2)＞f(－3)，∴a2＞a3，∴0＜a＜1.令t＝1－x2，则y＝at.∵y＝at是减函数，t＝1－x2的单调递减区间是[0，＋∞)，∴g(x)＝a1－x2的单调递增区间是[0，＋∞)． 8．函数y＝的值域是________． 答案：(－2，－1] 解析：当x≤1时，y＝3x－1－2单调递增，值域为(－2，－1]；当x>1时，y＝31－x－2＝－2单调递减，值域为(－2，－1)．综上，函数的值域为(－2，－1]． 三、解答题 9．已知f(x)＝9x－2·3x＋4，x∈[－1，2]． (1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值； (2)求f(x)的最大值与最小值． 解：(1)函数t＝3x在[－1，2]上单调递增，故有≤t≤9，故t的最大值为9，最小值为. (2)由f(x)＝9x－2·3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9，故当t＝1时，函数f(x)取最小值3；当t＝9时，函数f(x)取最大值67. 10．已知函数y＝. (1)作出此函数的图象； (2)由图象确定其单调性； (3)由图象指出当x取什么值时函数有最大值． 解：由函数解析式可得 y＝＝ (1)当x≥－1时，y＝的图象是由y＝的图象向左平移1个单位得到的； 当x<－1时，y＝3x＋1的图象是由y＝3x的图象向左平移1个单位得到的．函数y＝的图象如图实线部分所示． (2)由图象知，函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数． (3)由图象知，当x＝－1时，函数有最大值，为1. 11．已知函数f(x)＝9x－3x＋1＋c(其中c是常数)． (1)若当x∈[0，1]时，恒有f(x)＜0成立，求实数c的取值范围； (2)若存在x0∈[0，1]，使f(x0)＜0成立，求实数c的取值范围． 解：f(x)＝9x－3x＋1＋c＝(3x)2－3·3x＋c， 令3x＝t，当x∈[0，1]时，t∈[1，3]． (1)根据题意知，当t∈[1，3]时，g(t)＝t2－3t＋c<0恒成立． ∵二次函数g(t)＝t2－3t＋c的图象的对称轴方程为t＝， ∴根据二次函数的性质可知，g(t)在[1，3]上的最大值为g(3)． ∴g(3)＝32－3×3＋c<0，解得c<0. 故实数c的取值范围为{c|c＜0}． (2)存在x0∈[0，1]，使f(x0)<0等价于存在t∈[1，3]，使g(t)＝t2－3t＋c<0. 于是只需g(t)在[1，3]上的最小值小于0即可． ∵二次函数g(t)＝t2－3t＋c的图象的对称轴方程为t＝， ∴根据二次函数的性质可知，g(t)在[1，3]上的最小值为g＝－3×＋c＜0，解得c＜. 故实数c的取值范围为. 12．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数； (3)若对任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． 解：(1)因为f(x)为R上的奇函数， 所以f(0)＝0，得b＝1. 又f(－1)＝－f(1)，得a＝1. 经检验，a＝1，b＝1符合题意． (2)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝. 因为x1<x2，所以2x2－2 x1>0. 又因为(2x1＋1)(2x2＋1)>0， 所以f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数． (3)因为t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立， 所以f(t2－2t)<－f(2t2－k)． 因为f(x)为奇函数， 所以f(t2－2t)<f(k－2t2)． 因为f(x)为R上的减函数，所以t2－2t>k－2t2， 即k<3t2－2t恒成立， 而3t2－2t＝3－≥－. 所以k<－. 4.3.1　对数的概念 (教师独具内容) 课程标准：1.理解对数的概念.2.理解对数的简单性质． 教学重点：1.对数的概念，指数式与对数式的互化.2.对数的简单性质． 教学难点：对数概念的理解，指数式与对数式之间的转化． 核心素养：借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题培养数学抽象素养和数学运算素养． 知识点一　对数的概念 如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN．这里，a叫作对数的底数，N叫作对数的真数． 知识点二　对数与底数的关系 (1)对数的基本恒等式 ①alogaN＝N(N>0，a>0且a≠1)； ②b＝logaab(b∈R，a>0且a≠1)． (2)底的对数为1，即logaa＝logaa1＝1. 1的对数为0，即loga1＝logaa0＝0. 在对数的概念中规定a>0且a≠1的原因 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0， ①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1， ①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)logaN是loga与N的乘积．(　　) (2)log32＝x化成指数式为2x＝3.(　　) (3)因为(－2)2＝4，所以log(－2)4＝2.(　　) (4)log53与log35的意义相同．(　　) (5)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．做一做 (1)若a2＝M(a>0，且a≠1)，则有(　　) A．logaM＝2 B．log2M＝a C．loga2＝M D．log2a＝M (2)log31＋log55＝________． (3)将对数式x＝log28化为指数式为________． (4)已知log3＝0，则x＝________． 答案：(1)A　(2)1　(3)2x＝8　(4)2 　对数的概念 　(1)使对数log2(－2x＋1)有意义的x的取值范围为(　　) A. B. C. D. [解析]　要使对数log2(－2x＋1)有意义，只要使真数－2x＋1>0即可，即x<，所以x的取值范围为，故选C. [答案]　C (2)在对数式b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　) A．a>5或a<2 B．2<a<5 C．2<a<3或3<a<5 D．3<a<4 [解析]　由题意，得解得2<a<3或3<a<5. [答案]　C 【感悟提升】　对数有意义的条件 对数有意义的两个条件：①底数大于零且不等于1；②对数的真数必须大于零． 【跟踪训练】 1．若log(2x－1)(x＋2)有意义，求x的取值范围． 解：若对数有意义，则真数大于0，底数大于0且不等于1， 所以解得x>，且x≠1. 即x的取值范围是. 　指数式与对数式的互化 　将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式： (1)2－7＝；(2)log32＝－5； (3)34＝81；(4)log525＝2. [解]　(1)由2－7＝，可得log2＝－7. (2)由log32＝－5，可得＝32. (3)由34＝81，可得log381＝4. (4)由log525＝2，可得52＝25. 【感悟提升】　指数式与对数式互化的方法 (1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式． (2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 【跟踪训练】 2．将下列指数式与对数式互化： (1)log216＝4；(2)log27＝－3； (3)43＝64；(4)＝16. 解：(1)由log216＝4可得24＝16. (2)由log27＝－3可得＝27. (3)由43＝64可得log464＝3. (4)由＝16可得log16＝－2. 　利用指数式与对数式的关系求值 　(1)求下列各式中x的值： ①log27x＝－；②logx16＝－4. [解]　①因为log27x＝－， 所以x＝27－＝(33)－＝3－2＝. ②因为logx16＝－4，所以x－4＝16，即x－4＝24. 所以＝24，所以＝2，即x＝. (2)求下列各式的值： ①log5125；②log2. [解]　①设x＝log5125，则5x＝125＝53， 所以x＝3， 即log5125＝3. ②设x＝log2，则2x＝＝2－4， 所以x＝－4，即log2＝－4. 【感悟提升】　对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题； ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． 【跟踪训练】 3．(1)求下列各式中x的值： ①log7(x＋2)＝2；②x＝log2. 解：①因为log7(x＋2)＝2，所以x＋2＝72， 解得x＝47. ②由x＝log2，可得＝2，即2－x＝2，解得x＝－. (2)求下列各式的值： ①log927；②；③. 解：①设x＝log927，则9x＝27，32x＝33，所以x＝. ②设x＝，则()x＝81，3＝34，所以x＝16. ③令x＝，所以()x＝625，5＝54. 所以x＝3. 　对数的性质及对数恒等式 　求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(log2x)＝1； (3)log3[log4(log5x)]＝0. [解]　(1)因为log2(log5x)＝0，所以log5x＝20＝1，所以x＝51＝5. (2)因为log3(log2x)＝1，所以log2x＝31＝3，所以x＝23＝8. (3)由log3[log4(log5x)]＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625. 【感悟提升】　 1．利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 2．性质alogaN＝N与logaab＝b的作用 (1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式． (2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数． 【跟踪训练】 4．(1)已知log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值． 解：因为log2[log3(log4x)]＝0， 所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3. 所以x＝43＝64.同理求得y＝16. 所以x＋y＝80. (2)求31＋log36－24＋log23＋53log53＋的值． 解：原式＝31×3log36－24×2log23＋(5log53)3＋3－2×log34 ＝3×6－16×3＋33＋(3log34)－2 ＝18－48＋27＋＝－. 1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　) A．20＝1与log21＝0 B．27－＝与log27＝－ C．log39＝2与9＝3 D．log55＝1与51＝5 答案：C 解析：C不正确，由log39＝2可得32＝9. 2．若3x＝2，则x＝(　　) A．log23 B．log32 C．32 D．23 答案：B 解析：3x＝2⇔x＝log32. 3．若log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，则x＝________． 答案：4 解析：因为log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，所以即解得x＝4. 4．＝________． 答案：5 解析：因为＝5，＝0，所以原式＝5＋0＝5. 5．求下列各式中x的值： (1)logx27＝； (2)log2x＝－； (3)x＝log27； (4)x＝. 解：(1)由logx27＝可得x＝27， ∴x＝27＝(33)＝32＝9. (2)由log2x＝－可得x＝2－. ∴x＝＝＝. (3)由x＝log27可得27x＝. ∴33x＝3－.∴x＝－. (4)由x＝可得＝16. ∴2－x＝24.∴x＝－4. 一、选择题 1．要使对数log(x－3)(x＋1)有意义，则x的取值范围为(　　) A．(－∞，3] B．(3，4)∪(4，＋∞) C．(4，＋∞) D．(3，4) 答案：B 解析：由题意可得解得x>3且x≠4.故选B. 2．方程2log3x＝的解是(　　) A．9 B. C. D. 答案：D 解析：∵2log3x＝＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝. 3．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10，3b＝7，∴3a－b＝＝. 4．已知a＝(a>0)，则＝(　　) A. B. C．3 D．－3 答案：C 解析：∵a＝(a>0)，∴a＝＝.∴loga＝log＝3.故选C. 5．若log5[log3(log2x)]＝0，则x－＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：∵log5[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1.∴log2x＝3.∴x＝23＝8.∴x－＝8－＝＝＝. 二、填空题 6．若log2＝1，则x＝________． 答案： 解析：因为log2＝1，所以＝2.即2x－5＝6.解得x＝. 7．－＋log5＋的值是________． 答案：－3 解析：原式＝－－＋log55－2＋(－1)0＝－－2＋1＝－3. 8．已知f(x)＝则满足f(x)＝的x的值为________． 答案：3 解析：由题意得①或②解①得x＝2，与x≤1矛盾，故舍去，解②得x＝3，符合x>1.所以x＝3. 三、解答题 9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)24＝16；(2)＝0.45； (3)log3a＝－1.5；(4) ＝. 解：(1)log216＝4. (2) ＝b. (3)3－1.5＝a. (4)(m2＋1)＝n＋1. 10．若＝a，＝a＋2，求的值． 解：由题意知x＝，y＝， 所以x4＝，y2＝＝， ＝＝＝＝256. 11．已知f(2x＋1)＝，则f(4)＝(　　) A.log25 B.log23 C. D. 答案：B 解析：令2x＋1＝4，得x＝log23，所以f(4)＝log23.故选B. 12．(1)计算：； (2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值． 解：(1) ＝× ＝×＝×＝. (2)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3， 则a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12. 4.3.2　对数的运算法则 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件.2.了解常用对数与自然对数.3.掌握换底公式并能用换底公式进行求值、化简． 教学重点：对数的运算性质、换底公式． 教学难点：对数的运算性质和换底公式的灵活运用． 核心素养：1.通过运用对数的运算性质化简、求值提升数学运算素养.2.借助换底公式的应用培养逻辑推理素养． 知识点一　对数的运算法则 (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)logaMn＝nlogaM(n∈R)； (3)loga＝logaM－logaN． (其中a>0且a≠1，M>0，N>0) 知识点二　常用对数与自然对数 (1)以10为底的对数叫作常用对数，记为lg__N． (2)以e(e＝2.71828…)为底的对数叫作自然对数，记为ln__N． 知识点三　对数的换底公式 (1)对数的换底公式：logbN＝． (2)常用的推论 ①logab·logba＝1； ②loganbm＝logab； ③logab·logbc·logca＝1. (1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N＋)． (2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题． (3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，使用时要注意公式的适用条件． (4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不一定成立：loga(M·N)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，loga＝，logaMn＝(logaM)n. (5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.(　　) (2)loga(27－16)＝loga27－loga16.(　　) (3)＝loga2.(　　) (4)log2(－2)3＝3log2(－2)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)计算log69＋log64＝(　　) A．log62 B．2 C．log63 D．3 (2)计算log550－log52＝(　　) A．log548 B．2 C．log5100 D．3 (3)计算log2781＝________． (4)的值为________． 答案：(1)B　(2)B　(3)　(4)2 　对数运算法则的应用 　(1)若a>0且a≠1，x>y>0，n∈N＋，则下列各式： ①logax·logay＝loga(x＋y)； ②logax－logay＝loga(x－y)； ③loga(xy)＝logax·logay； ④＝loga； ⑤(logax)n＝logaxn； ⑥logax＝－loga； ⑦＝loga； ⑧loga＝－loga. 其中成立的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 [解析]　对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，则log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴logax·logay＝loga(x＋y)不成立； 对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴logax－logay＝loga(x－y)不成立； 对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2×1＝2≠3，∴loga(xy)＝logax·logay不成立； 对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则＝2≠log2＝1，∴＝loga不成立； 对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，∴(logax)n＝logaxn不成立； ⑥成立，由于－loga＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax； ⑦成立，由于loga＝logax＝logax； ⑧成立，由于loga＝loga＝－loga. [答案]　A (2)计算下列各式的值： ①lg －lg ＋lg ； ②lg 52＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2； ③. [解]　①原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝. ②原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. ③原式＝＝＝＝. 【感悟提升】　对数式化简与求值的原则和方法 (1)基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法 ①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 【跟踪训练】 1．计算下列各式的值： (1)； (2)(lg 5)2＋lg 2×lg 50＋. 解：(1)解法一：(正用公式) 原式＝ ＝ ＝. 解法二：(逆用公式) 原式＝＝＝. (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21×2log2 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋2＝1＋2. 　换底公式的应用 　已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)． [解]　因为18b＝5，所以b＝log185. 所以log3645＝＝ ＝＝＝ ＝＝. 【感悟提升】　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 【跟踪训练】 2．计算：(1)(log43＋log83)； (2)(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)． 解：(1)原式＝＝×＋×＝＋＝. (2)解法一：原式＝· ＝ ＝log25×3log52 ＝13log25×＝13. 解法二：原式＝ ＝ ＝×＝13. 解法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323) ＝(log52＋log52＋log52) ＝log25×3log52＝×3＝13. 　对数运算的综合与实际应用 　(1)方程log3(x－1)＝log3(x＋)＋log3(x－)的解为(　　) A．－1，2 B．2 C．－1 D．1，－2 [解析]　由log3(x＋)＋log3(x－)＝log3[(x＋)(x－)]＝log3(x2－3)，可得log3(x－1)＝log3(x2－3)，故解得x＝2. [答案]　B (2)里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝lg E－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么里氏8.0级地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹的能量． [解析]　设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2，E1，则8－6＝(lg E2－lg E1)，即lg ＝3.∴＝103＝1000，即里氏8.0级地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹的能量． [答案]　1000 (3)已知lg 2≈0.3010，则5100是________位数． [解析]　设x＝5100，等号两边同取以10为底的对数，得lg x＝lg 5100＝100lg 5＝100lg＝100(1－lg 2)≈100×(1－0.3010)＝69.9，所以x＝1069.9＝1069×100.9.又1<100.9<10，所以1069<x<1070.所以5100是七十位数． [答案]　七十 【感悟提升】　 1．应用对数的运算性质解对数方程的三种方法 (1)定义法：解形如b＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为f(x)＝ab求解． (2)转化法：适用于同底型，即通过对数的运算，把形如logaf(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的方程等价转化为f(x)＝g(x)，且求解． (3)换元法：适用于f(logax)＝0(a>0，且a≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解． 2．解决对数应用题的一般步骤 【跟踪训练】 3．(1)已知2x＝3，log4＝y，求x＋2y的值． 解：因为2x＝3，所以x＝log23.所以x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋log2＝log23＋log28－log23＝log223＝3. (2)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计经过多少年，该物质的剩余质量是原来的(结果保留1位有效数字，lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)? 解：假设经过x年，该物质的剩余质量是原来的，根据题意得0.75x＝. 所以x＝log0.75＝＝≈4(年)． 故估计经过4年，该物质的剩余质量是原来的. 1．计算log84＋log82＝(　　) A．log86 B．8 C．6 D．1 答案：D 解析：log84＋log82＝log8(4×2)＝log88＝1. 2．计算log92×log43＝(　　) A．4 B．2 C. D. 答案：D 解析：log92×log43＝×＝×＝. 3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　) A. B. C．ab D．a＋b 答案：B 解析：∵10a＝2，∴lg 2＝a.∴log26＝＝＝. 4．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　) A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 答案：D 解析：由已知，得lg ＝lg M－lg N≈361×lg 3－80×lg 10≈361×0.48－80＝93.28＝lg 1093.28.故与最接近的是1093. 5．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8； (2)log2＋log212－log242－1. 解：(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2. (2)原式＝log2＋log212－log2－log22 ＝log2＝log2＝log21－ ＝－. 一、选择题 1．化简＋log2得(　　) A．2 B．2－2log23 C．－2 D．2log23－2 答案：B 解析：原式＝＋log2＝2－log23－log23＝2－2log23. 2．已知4a＝3，b＝log23，则4a－b＝(　　) A．3 B．1 C. D. 答案：D 解析：∵4a＝3，∴a＝log43，∴a－b＝log43－log23＝log23－log23＝－log23＝.∴4a－b＝＝. 3．已知log23＝a，log38＝b，则ab＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：B 解析：∵log23＝a，log38＝b，∴ab＝×＝＝log28＝3. 4．若2.5x＝1000，0.25y＝1000，则－＝(　　) A. B．3 C．－ D．－3 答案：A 解析：∵x＝log2.51000＝，y＝log0.251000＝，∴－＝(lg 2.5－lg 0.25)＝×lg ＝×lg 10＝. 5．(多选)已知ab>0，则下列四个等式中不一定成立的是(　　) A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg ＝lg a－lg b C.lg ＝lg D．lg (ab)＝ 答案：ABD 解析：当a<0，b<0时，对于A，lg (ab)＝lg a＋lg b不成立；对于B，lg ＝lg a－lg b不成立；对于C，由ab>0可得>0，故lg ＝lg 成立；对于D，当ab＝1时，无意义．故选ABD. 二、填空题 6．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则ab＝________，＝________． 答案：100　2 解析：由根与系数的关系，得lg a＋lg b＝2，则lg ab＝2，ab＝102＝100.又lg a·lg b＝，∴＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×＝2. 7．若logab·log3a＝4，则b＝________． 答案：81 解析：∵logab·log3a＝4，∴·＝4，即lg b＝4lg 3＝lg 34.∴b＝34＝81. 8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为________． 答案：1010.1 解析：由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝lg ，得－26.7＋1.45＝lg ，lg ＝－25.25，∴lg ＝－10.1，lg ＝10.1，＝1010.1. 三、解答题 9．(1)求(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)＋(lg 2)2＋lg 20×lg 5的值； (2)若a，b，c∈N＋，且满足a2＋b2＝c2， 求log2＋log2的值． 解：(1)原式＝＋(lg 2)2＋(1＋lg 2)lg 5＝log23×log32＋(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋lg 5＝＋lg 2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＝＋lg 2＋lg 5＝＋1＝. (2)因为a2＋b2＝c2， 所以log2＋log2 ＝log2 ＝log2 ＝log2＝log2＝1. 10．某化工厂生产化工产品，今年生产成本为50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶的生产成本为20元(lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，精确到1年)? 解：设x年后每桶的生产成本为20元． 1年后每桶的生产成本为50×(1－28%)， 2年后每桶的生产成本为50×(1－28%)2， x年后每桶的生产成本为50×(1－28%)x＝20. 所以0.72x＝0.4，等号两边取常用对数， 得xlg 0.72＝lg 0.4. 所以x＝＝＝ ＝ ≈ ＝≈3(年)． 所以约3年后每桶的生产成本为20元． 11．若lg x－lg y＝a，则lg －lg ＝(　　) A．3a B.a C．a D. 答案：A 解析：∵lg x－lg y＝a，∴lg －lg ＝3lg －3lg ＝3lg x－3lg y＝3a. 12．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py. (1)求p； (2)求证：－＝. 解：(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>1)， 则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k. 由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·. ∵log3k≠0， ∴p＝2log34. (2)证明：∵－＝－＝logk6－logk3＝logk2， ＝logk4＝logk2， ∴－＝. 4.3.3　对数函数的图象与性质 (教师独具内容) 课程标准：1.了解对数函数的概念.2.知道对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数.3.了解并掌握对数函数的图象与性质． 教学重点：对数函数的单调性及应用． 教学难点：对数函数性质的综合应用． 核心素养：1.通过学习对数函数的图象与性质培养直观想象素养和数学抽象素养.2.通过应用指数函数的图象与性质解决问题提升逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　对数函数的概念 函数y＝logax(x>0，a>0且a≠1)叫作(以a为底的)对数函数． 知识点二　反函数的概念 (1)指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数．指数函数的定义域(－∞，＋∞)是对数函数的值域，指数函数的值域(0，＋∞)是对数函数的定义域．两者的图象关于直线y＝x对称． (2)一般地，若f(x)和g(x)互为反函数，则它们的图象关于直线y＝x对称． 知识点三　指数函数与对数函数的关系 函数 指数函数y＝ax 对数函数y＝logax 图象 定义域 (－∞，＋∞) (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) (－∞，＋∞) 图象经过点 (0，1) (1，0) 函数值的变化情况 当a＞1时，ax 当0＜a＜1时，ax 当a＞1时，logax当0＜a＜1时，logax 增减性 a＞1时递增；0＜a＜1时递减 a＞1时递增；0＜a＜1时递减 1．底数对对数函数图象的影响以及图象的特点 (1)对图象的影响：比较图象与y＝1的交点，此时y＝1与对数函数图象交点的坐标为(a，1)．交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图)． (2)图象的特点：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交；在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称． 2．反函数的性质 (1)并非任意一个函数y＝f(x)都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数． (2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性． (3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝logax2是对数函数．(　　) (2)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．(　　) (3)函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1，0)．(　　) (4)对数函数的图象一定在y轴右侧．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．做一做 (1)函数y＝log2x在区间[1，8]上的最大值为(　　) A．0 B．1 C．3 D．8 (2)函数f(x)＝log2(3x－1)的定义域为________． (3)若对数函数f(x)的图象过点，则对数函数的解析式为________． (4)函数y＝的反函数为________． 答案：(1)C　(2)　(3)f(x)＝log2x (4)y＝logx 　对数函数的概念 　(1)给出下列函数：①y＝log5x＋1；②y＝log(－1)x；③y＝log3；④y＝logx(x＞0，且x≠1)；⑤y＝.其中是对数函数的是(　　) A．③④⑤ B．②④⑤ C．①③⑤ D．②⑤ [解析]　由对数函数的定义知，②⑤是对数函数，故选D. [答案]　D (2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________． [解析]　∵函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，∴解得a＝4. [答案]　4 (3)已知对数函数f(x)的图象过点(16，4)，则f＝________． [解析]　设对数函数为f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，∴f(x)＝log2x.∴f＝log2＝－1. [答案]　－1 【感悟提升】　判断一个函数是对数函数的方法 【跟踪训练】 1．(1)若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________． 答案：2 解析：由题意可得a2＋a－5＝1，解得a＝－3或a＝2.又a＞0，且a≠1，所以a＝2. (2)若对数函数的图象过点(16，2)，则对数函数的解析式为________． 答案：y＝log4x 解析：设对数函数的解析式为y＝logax(a＞0，且a≠1)，由已知可得loga16＝2，即a2＝16.又a>0，所以a＝4.故对数函数的解析式为y＝log4x. 　反函数的应用 　写出下列函数的反函数： (1)y＝3x；(2)y＝；(3)y＝2x＋1. [解]　(1)y＝3x的反函数是y＝log3x(x＞0)． (2)由y＝得x＝，所以函数y＝的反函数为y＝(x∈R)． (3)由y＝2x＋1得y－1＝2x，所以x＝log2(y－1)． 所以y＝2x＋1的反函数为y＝log2(x－1)(x>1)． 【感悟提升】　 1．求反函数的步骤 (1)求出函数y＝f(x)的值域． (2)仅解x，即由y＝f(x)解出x＝f－1(y)． (3)把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)． 2．(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象自身关于直线y＝x对称． 【跟踪训练】 2．若函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)的图象过点(1，8)，其反函数的图象过点(16，2)，求函数f(x)的解析式． 解：∵函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)的图象过点(1，8)，∴代入得a1＋b＝8.　① ∵其反函数的图象过点(16，2)，∴函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)的图象过点(2，16)，代入得a2＋b＝16.　② 联立①②，解得a＝2，b＝2.∴f(x)＝2x＋2. 　对数型函数的定义域 　求下列函数的定义域： (1)y＝；(2)y＝log2(16－4x)； (3)y＝log(3x－1)(2x＋3)． [解]　(1)要使函数有意义， 需解得即－3<x<－2或x≥2， 故所求函数的定义域为{x|－3＜x＜－2或x≥2}． (2)要使函数有意义，需16－4x>0，得4x<16＝42，由指数函数的单调性得x<2. 故所求函数的定义域为{x|x＜2}． (3)要使函数有意义，需解得即x＞且x≠， 故所求函数的定义域为. 【感悟提升】　求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. (4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形． 【跟踪训练】 3．求下列函数的定义域： (1)y＝；(2)y＝； (3)y＝log(2x－1)(－4x＋8)． 解：(1)由题意，得 即∴x≤1. 即y＝的定义域为{x|x≤1}． (2)由得解得x>，且x≠1. ∴y＝的定义域为. (3)由题意，得解得 ∴y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为. 　对数函数的图象及应用 　(1)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　) [解析]　由lg a＋lg b＝0，得lg (ab)＝0，所以ab＝1，故a＝，所以当0＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1.又因为函数y＝－logbx与函数y＝logbx的图象关于x轴对称，利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况． [答案]　B (2)函数y＝loga(x＋1)－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________． [解析]　因为函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)． [答案]　(0，－2) (3)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________． [解析]　由图象可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1.过点(0，1)作平行于x轴的直线，直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，故b＞a＞1＞d＞c. [答案]　b＞a＞1＞d＞c 【感悟提升】　 1．对数函数的图象过定点问题 求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)． 2．根据对数函数的图象判断底数大小的方法 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 【跟踪训练】 4．(1)对a(a＞0，且a≠1)取不同的值，函数y＝loga的图象恒过定点P，则点P的坐标为(　　) A．(1，0) B．(－2，0) C．(2，0) D．(－1，0) 答案：A 解析：因为y＝logax的图象恒过定点(1，0)，由y＝loga，令＝1，则y＝0，解得x＝1，所以此函数图象恒过定点P(1，0)． (2)当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　) 答案：C 解析：∵a＞1，∴0＜＜1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数．故选C. 　比较对数值的大小 　比较下列各组值的大小： (1)log5，log5；(2)log2，log2；(3)log23，log54. [解]　(1)解法一：(单调性法)因为对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，且＜， 所以log5＜log5. 解法二：(中间值法)因为log5＜0，log5＞0， 所以log5＜log5. (2)解法一：(单调性法)由于＝， ＝， 又因为对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数， 且＞，所以0＞log2＞log2， 所以＜，所以＜. 解法二：(图象法)如图，在同一直角坐标系中分别画出y＝及y＝的图象， 由图易知＜. (3)取中间值1， 因为log23＞log22＝1＝log55＞log54， 所以log23＞log54. 【感悟提升】　比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性． (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化． (3)底数和真数都不相同时，找中间量． 提示：比较数的大小时可先利用性质比较出与0或1的大小． 【跟踪训练】 5．比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.99，log32；(2)log30.2，log40.2； (3)log23，log0.32；(4)logaπ，loga3.14(a＞0，且a≠1)． 解：(1)(单调性法)因为f(x)＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且1.99＜2， 所以f(1.99)＜f(2)，即log31.99＜log32. (2)因为0＞log0.23＞log0.24， 所以＜，即log30.2＜log40.2. (3)(中间量法)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0， 所以log23＞log0.32. (4)(分类讨论法)当a＞1时，函数y＝logax在定义域上是增函数，则有logaπ＞loga3.14； 当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域上是减函数， 则有logaπ＜loga3.14. 综上所述，当a＞1时，logaπ＞loga3.14； 当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.14. 　解对数不等式 　已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)． (1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域； (2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围． [解]　(1)由解得1＜x＜3， 故函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}． (2)不等式f(x)≤g(x)， 即loga(x－1)≤loga(6－2x)， ①当a＞1时，不等式等价于解得1＜x≤； ②当0＜a＜1时，不等式等价于解得≤x＜3. 综上可得，当a＞1时，不等式中x的取值范围为； 当0＜a＜1时，不等式中x的取值范围为. 【感悟提升】　常见的对数不等式的三种$$