2.3.1 一元二次不等式及其解法-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 2.3.1　一元二次不等式及其解法 (教师独具内容) 课程标准：1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 教学重点：1.三个“二次”之间的关系.2.一元二次不等式的解法． 教学难点：三个“二次”之间的关系． 核心素养：借助一元二次不等式的解法培养数学运算素养． 知识点一　一元二次不等式的概念 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 知识点二　一元二次不等式与相应一元二次方程和二次函数的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 1．一元二次不等式的解集 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． 2．解一元二次不等式的方法与步骤 (1)解一元二次不等式的常用方法 ①图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： (ⅰ)化不等式为标准形式： ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； (ⅱ)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象； (ⅲ)由图象得出不等式的解集． ②代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解． 当m<n时， 若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m； 若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． (2)含有参数的一元二次不等式 在解含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. ②关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　) (2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．(　　) (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．(　　) (4)不等式x2－3x＋5>0的解集为R.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)不等式x2－2x＋3>0的解集为________． (2)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________． (3)已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，则a＋b＝________． 答案：(1)R　(2){x|－4<x<1}　(3)4 　不含参数的一元二次不等式的解法 　解下列不等式： (1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0； (3)－2x2＋x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0. [解]　(1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2， ∴不等式2x2－3x－2>0的解集为. （2）∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2， ∴不等式x2－4x＋4>0的解集为{x|x≠2}. （3）原不等式可化为2x2－x＋3>0， 由于Δ<0，方程2x2－x＋3＝0无解， ∴不等式－2x2＋x－3<0的解集为R. （4）原不等式可化为3x2－5x＋2<0， 由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1， ∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为. 【感悟提升】　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集：根据图象写出不等式的解集． 【跟踪训练】 1．求下列一元二次不等式的解集： (1)x2－5x>6； (2)4x2－4x＋1≤0； (3)－x2＋7x>6. 解：(1)由x2－5x>6得x2－5x－6>0. ∵x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6. ∴原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}． (2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0， 方程(2x－1)2＝0的根为x＝. ∴4x2－4x＋1≤0的解集为. （3）由－x2＋7x>6得x2－7x＋6<0. 而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6， ∴不等式－x2＋7x>6的解集为{x|1<x<6}. 　含参数的一元二次不等式的解法 　解关于x的不等式（a∈R）： （1）2x2＋ax＋2>0； （2）ax2－（a＋1）x＋1<0. [解]　（1）Δ＝a2－16，下面分情况讨论： ①当Δ<0，即－4<a<4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R； ②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝(－a－), x2＝(－a+). 当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}； 当a>4或a<－4时，原不等式的解集为 ； 当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}． (2)若a＝0，原不等式为－x＋1<0，解得x>1； 若a<0，原不等式可化为(x－1)>0， 解得x<或x>1； 若a>0，原不等式可化为(x－1)<0，(*) 其解的情况应由与1的大小关系决定，故 ①当a＝1时，由(*)式可得x∈∅； ②当a>1时，由(*)式可得<x<1； ③当0<a<1时，由(*)式可得1<x<. 综上所述，当a<0时，解集为；当a＝0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为；当a＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为. 【感悟提升】　解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系． (3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 【跟踪训练】 2．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0. 解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. 方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2. 由a2－a＝a(a－1)可知， ①当a<0或a>1时，a2>a. 解原不等式得x>a2或x<a； ②当0<a<1时，a2<a， 解原不等式得x>a或x<a2； ③当a＝0时，原不等式为x2>0，∴x≠0； ④当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，∴x≠1. 综上可知， 当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}． 　解简单的分式不等式 　求下列不等式的解集： (1)≥0；(2)>1. [解]　(1)原不等式等价于 即⇒－2≤x<3. 所以原不等式的解集为[－2，3)． (2)原不等式可化为－1>0，即<0， 等价于(3x－2)(4x－3)<0， 所以<x<. 所以原不等式的解集为. 【感悟提升】　 (1)解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零． (2)分式不等式的四种形式及解题思路 ①>0⇔f(x)g(x)>0； ②<0⇔f(x)g(x)<0； ③≥0⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0或f(x)＝0； ④≤0⇔f(x)g(x)≤0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)<0或f(x)＝0. (3)不等式与不等式组的同解关系 ①f(x)g(x)≥0⇔或 ②f(x)g(x)≤0⇔或 ③f(x)g(x)>0⇔或 ④f(x)g(x)<0⇔或 【跟踪训练】 3．不等式≥2的解集是(　　) A. B. C.∪(1，3] D.∪(1，3] 答案：D 解析：≥2⇔⇔所以原不等式的解集为∪(1，3]．故选D. 　三个“二次”之间的关系 　若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． [解]　解法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集是，知a<0，又×2＝<0，∴c>0. 又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴－＝.∴＝－. 又＝－，∴b＝－a，c＝－a. ∴所求不等式变为x2＋x＋a<0， 即2ax2＋5ax－3a>0. 又a<0，∴2x2＋5x－3<0. ∴所求不等式的解集为. 解法二：由已知得a<0，且＋2＝－， ×2＝，∴c>0， 设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 其中＝，－＝＝＝＋，∴x1＝＝－3，x2＝. ∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. 　若本例中的已知条件不变，如何求不等式cx2－bx＋a<0的解集？ 解：由例4，知a<0， 又×2＝<0，∴c>0. 又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴－＝.∴＝－. 又＝－，∴b＝－a，c＝－a. ∴所求不等式变为x2－x＋a<0， 即2ax2－5ax－3a>0. 又a<0，∴2x2－5x－3<0. ∴所求不等式的解集为. 【感悟提升】　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号； (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 【跟踪训练】 4．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求不等式cx2－bx＋a>0的解集． 解：由题意知即 代入不等式cx2－bx＋a>0，得6ax2＋5ax＋a>0， 又a<0，所以6x2＋5x＋1<0，解得－<x<－， 所以所求不等式的解集为. 1．不等式－0.1x2－5x＋3000>0的解集为(　　) A．(－∞，－200) B．(150，＋∞) C．(150，200) D．(－200，150) 答案：D 解析：原不等式可化为x2＋50x－30000<0，(x－150)(x＋200)<0，所以原不等式的解集为(－200，150)． 2．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．－1<a<1 B．0<a<2 C．－<a< D．－<a< 答案：C 解析：∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立．∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，解得－<a<. 3．(多选)在下列不等式中，解集非空的是(　　) A．x2－3x＋5>0 B．x2＋4x＋4>0 C．x2＋4x－4<0 D．－2＋3x－2x2>0 答案：ABC 解析：对于A，原不等式可化为>－，这个不等式恒成立，故原不等式的解集为R；对于B，原不等式可化为(x＋2)2>0，解得x>－2或x<－2，故原不等式的解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)；对于C，原不等式可化为(x＋2)2<8，解得－2－2<x<2－2，故原不等式的解集为(－2－2，2－2)；对于D，原不等式可化为<－，无解，故原不等式的解集为空集．故选ABC. 4．不等式≥1的解集为________． 答案： 解析：因为≥1等价于≥0，所以≤0，等价于解得－4<x≤.所以所求不等式的解集为. 5．若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜x＜4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b＜0的解集． 解：因为ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜x＜4}， 所以a＜0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 由一元二次方程根与系数的关系可得 即 所以不等式bx2＋2ax－c－3b＜0，即为－ax2＋2ax＋15a＜0，即x2－2x－15＜0， 故所求的不等式的解集为{x|－3＜x＜5}． 一、选择题 1．下列关于x的不等式中，一元二次不等式的个数为(　　) ①(m＋1)x2＞x；②－x2＋5x＋6＞0；③(x＋a)·(x＋a＋1)＜0；④2x2－x＞2. A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：由一元二次不等式的定义可知，②③④为一元二次不等式．故选C. 2．不等式(x－1)2<x＋5的解集为(　　) A．{x|1<x<4} B．{x|－1<x<4} C．{x|－4<x<1} D．{x|－1<x<3} 答案：B 解析：不等式(x－1)2<x＋5可化为x2－3x－4<0，即(x－4)(x＋1)<0，解得－1<x<4，所以不等式的解集为{x|－1<x<4}． 3．不等式>0的解集是(　　) A.∪ B. C. D. 答案：A 解析：>0⇔(4x＋2)(3x－1)>0⇔x>或x<－，故不等式的解集为∪.故选A. 4．若不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，则b＋c－1的值为(　　) A．2 B．－1 C．0 D．1 答案：C 解析：由不等式－x2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，得－2和1是方程－x2＋bx＋c＝0的解，由根与系数的关系，知解得b＝－1，c＝2.所以b＋c－1＝－1＋2－1＝0. 5．(多选)若不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集是{x|－3≤x≤4}的子集，则实数a的取值可能是(　　) A．－3 B．2 C．－5 D．5 答案：AB 解析：关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，其解集是{x|－3≤x≤4}的子集，当a＝1时，不等式为(x－1)2<0，其解集为空集，符合题意；当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}，应满足1<a≤4；当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}，应满足－3≤a<1，所以－3≤a≤4.故选AB. 二、填空题 6．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则实数a＝________，实数b＝________． 答案：－1　1 解析：由题意可知，－1，2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根．由根与系数的关系，得解得a＝－1，b＝1. 7．若不等式2kx2＋kx－<0对任意实数x均成立，则k的取值范围为________． 答案：－3<k≤0 解析：当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对任意实数x均成立，则解得－3<k<0.综上，满足条件的k的取值范围为－3<k≤0. 8．已知M＝{x|－9x2＋6x－1<0}，N＝{x|x2－3x－4<0}，则M∩N＝________，(∁RM)∪(∁RN)＝________． 答案：　 解析：由－9x2＋6x－1<0，得9x2－6x＋1>0.所以(3x－1)2>0，解得x≠，即M＝.由x2－3x－4<0，得(x－4)(x＋1)<0，解得－1<x<4，即N＝{x|－1<x<4}．所以M∩N＝.∁RM＝，∁RN＝{x|x≤－1或x≥4}，故(∁RM)∪(∁RN)＝. 三、解答题 9．求下列不等式的解集： (1)20x－x2≥144； (2)100x2－700x＋60000≥0. 解：(1)原不等式可化为x2－30x＋216≤0，(x－12)(x－18)≤0，所以不等式的解集为[12，18]． (2)原不等式可化为x2－7x＋600≥0，＋≥0，所以不等式的解集为R. 10．已知y1＝x2－(m＋1)x＋m，y2＝－(m＋4)x－4＋m，m∈R. (1)比较y1与y2的大小； (2)解不等式x2－(m＋1)x＋m≤0. 解：(1)由于y1－y2＝x2－(m＋1)x＋m＋(m＋4)x＋4－m＝x2＋3x＋4＝＋>0，所以y1>y2. (2)不等式x2－(m＋1)x＋m≤0可化为(x－m)(x－1)≤0， 当m<1时，不等式的解集为{x|m≤x≤1}， 当m＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}， 当m>1时，不等式的解集为{x|1≤x≤m}． 11．不等式<2的解集为(　　) A．{x|x≠－2} B．R C．∅ D．{x|x<－2或x>2} 答案：A 解析：∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}． 12．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集． 解：原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0， 则，3－2a分别为方程(2x－a－1)(x＋2a－3)＝0的两根． 由x＝0适合不等式，得(a＋1)(2a－3)>0， 所以a<－1或a>. 若a<－1，则3－2a－＝(－a＋1)>5， 所以3－2a>， 此时不等式的解集是； 若a>，则3－2a－＝(－a＋1)<－， 所以3－2a<， 此时不等式的解集是. 综上，实数a的取值范围为a<－1或a>. 当a<－1时，原不等式的解集为； 当a>时，原不等式的解集为. 12 学科网（北京）股份有限公司 $$