2.1.3 基本不等式的应用-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　必修 第一册（湘教） 2.1.3　基本不等式的应用 (教师独具内容) 课程标准：1.运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.2.运用基本不等式解决实际问题中的最值问题． 教学重点：1.不等式证明过程中式子的变形、转化.2.把实际问题抽象为数学中关于函数的最值问题． 教学难点：理解和识别实际问题中的数量关系，判断能否转化为基本不等式的数学模型． 核心素养：借助基本不等式在实际问题中的应用培养数学建模素养． 知识点一　基本不等式的应用模型 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2．(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值．(简记：和定积最大) 知识点二　利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆、并、配等变形，使之达到能使用基本不等式的形式． 知识点三　利用基本不等式解决实际问题的一般步骤 (1)先读懂题意，设出变量，列出函数关系式； (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案． 利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 (1)注意基本不等式成立的条件； (2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； (3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞0，b＞0且a＋b＝16，则ab≤64.(　　) (2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2.(　　) (3)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是25 m2.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 (2)已知p，q∈R，pq＝100，则p2＋q2的最小值是________． (3)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨． 答案：(1)B　(2)200　(3)20 　利用基本不等式证明不等式 　已知a，b，c是不全相等的三个正数，求证：＋＋＞3. [证明]　＋＋ ＝＋＋＋＋＋－3 ＝＋＋－3. ∵a，b，c都是正数，∴＋≥2＝2， 同理＋≥2，＋≥2， ∵a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号， ∴＋＋＞6， ∴＋＋＞3. 【感悟提升】　利用基本不等式证明不等式 (1)利用基本不等式证明不等式时，可依据求证式两端的结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为ab≤；≥(a>0，b>0)可变形为ab≤等．同时要从整体上把握基本不等式，如a4＋b4≥2a2b2，a2b2＋b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2＋b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用． (2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条件． 【跟踪训练】 1．已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥10. 证明：＋＋ ＝＋＋ ＝4＋＋＋ ≥4＋2＋2＋2＝10， 当且仅当a＝b＝c＝时取等号， 故＋＋≥10. 　基本不等式在实际问题中的应用 　围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)． 试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． [解]　设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360. 由已知ax＝360，得a＝， ∴y＝225x＋－360. ∵x>0，∴225x＋≥2＝10800. ∴y＝225x＋－360≥10440. 当且仅当225x＝时，等号成立． 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 【感悟提升】　利用基本不等式解决实际问题的思路 利用基本不等式解决实际问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的实际问题出发，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型ax＋≥2(a>0，b>0，x>0)靠拢． 【跟踪训练】 2．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间．假设目前油价为7.2元/L，汽车的耗油率为 L/h，其中x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资) 解：设总费用为y元． 由题意，得y＝76.4×＋7.2×× ＝＋2x(40≤x≤100)． 因为y＝＋2x≥2＝280， 当且仅当＝2x，即x＝70时取等号．所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速是70 km/h. 　基本不等式的综合问题 　不等式9x＋≥a＋1(常数a>0)对一切正实数x成立，求a的取值范围． [解]　常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a＋1≤9x＋的最小值，又9x＋≥6a，当且仅当9x＝，即x＝时，等号成立．故必有6a≥a＋1，解得a≥.所以a的取值范围为a≥. 【感悟提升】　 (1)a≤y恒成立⇔a≤y的最小值． (2)a≥y恒成立⇔a≥y的最大值． 【跟踪训练】 3．已知正数x，y满足x＋y＝1，且＋≥m，则m的最大值为(　　) A. B. C．2 D．4 答案：B 解析：由x>0，y>0，x＋y＝1，得＋＝＋＝(y＋1)＋－4＋(x＋1)＋－4＝－5，又由＋＝[(x＋1)＋(y＋1)]＝≥，当且仅当x＝y＝时等号成立，则＋≥－5＝，即＋的最小值为，所以m≤.故选B. 1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　) A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 答案：B 解析：设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝＋≥2＝20.当且仅当＝(x>0)，即x＝80时等号成立，故选B. 2．(多选)如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中正确的是(　　) A．(a＋b)2≥4ab B．当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合 C．(a－b)2≤4ab D．(a＋b)2>(a－b)2 答案：ABD 解析：由题意，知a>0，b>0，对于A，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab＝4ab，A正确；对于B，当a＝b时，4个长方形为4个正方形，此时A1，B1，C1，D1四点重合，B正确；C显然错误；对于D，∵ab>0，∴4ab>0，∴a2＋b2＋2ab>a2＋b2－2ab，即(a＋b)2>(a－b)2，D正确．故选ABD. 3．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值为________． 答案：－4 解析：由a>0，b>0，且＋＋≥0，得k≥(a＋b)＝－，又－≤－＝－4，故－的最大值为－4，故k≥－4，实数k的最小值为－4. 4．已知a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2(a－b)． 证明：∵a>b，∴a－b>0，又ab＝1，∴＝＝＝a－b＋≥2＝2，即≥2，即a2＋b2≥2(a－b)，当且仅当a－b＝，即a－b＝时取等号． 5．某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级．据市场调查，若投入x万元，每件产品的成本将降低元，在售价不变的情况下，年销售量将减少万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为z(单位：万元)．(纯利润＝每件的利润×年销售量－投入的成本) (1)求z的函数解析式； (2)求z的最大值，以及z取得最大值时x的值． 解：(1)依题意，产品升级后，每件产品的成本为元，每件产品的利润为元，年销售量为万件， 故z＝－x＝198.5－－. (2)z＝198.5－－≤198.5－2＝178.5， 当且仅当＝，即x＝40时取等号，即z的最大值是178.5，当z取得最大值时x的值为40. 一、选择题 1．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　) A．x＝ B．x≤ C．x> D．x≥ 答案：B 解析：由条件知A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，所以(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤，所以1＋x≤1＋，故x≤. 2．某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5 g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金(　　) A．大于10 g B．小于10 g C．大于等于10 g D．小于等于10 g 答案：A 解析：设天平的左、右两臂长分别为a，b，两次放入的黄金数是x，y，依题意有5a＝bx，ay＝5b，所以xy＝25.因为≥，所以x＋y≥10，又a≠b，所以x≠y.所以x＋y>10，即两次所得黄金数大于10 g. 3．若对任意x>1，≥a恒成立，则a的最大值是(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 答案：B 解析：∵x>1，∴＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－1＝，即x＝3时，“＝”成立，所以a≤6.故选B. 4．已知正实数m，n满足m＋n＝1，且使＋取得最小值．若y＝，x＝是方程y＝xα的解，则α＝(　　) A．－1 B. C．2 D．3 答案：C 解析：＋＝(m＋n)＝1＋＋＋16＝17＋＋≥17＋2＝25，当且仅当即m＝，n＝时，上式取等号．即＋取得最小值时，m＝，n＝，所以y＝25，x＝5，即25＝5α.所以α＝2. 5．(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是(　　) A.≥4 B.＋≥4 C.≥ D.≤ 答案：AB 解析：∵当a>0，b>0时，a＋b≥2，又a＋b＝1，∴2≤1，即≤，∴ab≤，∴≥4，故A正确，C不正确；对于B，∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥4，当且仅当a＝b＝时，等号成立，B正确；对于D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，当a>0，b>0时，由ab≤可得a2＋b2＝1－2ab≥.所以≤2，D不正确．故选AB. 二、填空题 6．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大． 答案：5 解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大． 7．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为________． 答案：6 解析：由已知，可得6＝1，所以2a＋b＝6(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝，即a＝b＝18时等号成立，所以9m≤54，即m≤6.所以m的最大值为6. 8．如图所示，在半径为4 cm的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________ cm2，此时AB＝________ cm. 答案：16　4 解析：如图所示，连接OC，设OB＝x(0<x<4)，则BC＝＝，AB＝2OB＝2x，由基本不等式可得，矩形ABCD的面积为S＝AB·BC＝2x·＝2≤(16－x2)＋x2＝16，当且仅当16－x2＝x2，即x＝2时，等号成立．此时AB＝2x＝4. 三、解答题 9．已知a，b，c均为正数，且a，b，c不全相等．求证：＋＋＞a＋b＋c. 证明：∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴＋≥2＝2c， ＋≥2＝2a， ＋≥2＝2b. 又a，b，c不全相等，故上述等号至少有一个不成立， ∴＋＋＞a＋b＋c. 10．如图所示，为加强社区绿化建设，欲将原有矩形小花坛ABCD适当扩建成一个较大的矩形花坛AMPN.要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．若设DN＝x米，则DN为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值． 解：因为DC∥AM，所以＝， 所以＝， 所以AM＝(x>0)， 矩形花坛AMPN的面积y＝AM·AN＝＝3≥3＝24，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以当DN＝2米时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为24. 11．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证： (1)＋＋≥8； (2)≥9. 证明：(1)＋＋＝＋＋ ＝2， ∵a＋b＝1，a＞0，b＞0， ∴＋＝＋ ＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋＋≥8. (2)证法一：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1， ∴1＋＝1＋＝2＋， 同理，1＋＝2＋， ∴＝ ＝5＋2≥5＋4＝9. ∴≥9. 证法二：＝1＋＋＋. 由(1)知，＋＋≥8， 故＝1＋＋＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立． 12．某旅游公司在相距100 km的两个景点间开设了一个游船观光项目． 已知游船最大时速为50 km/h，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为20 km/h时，燃料费用为每小时60元．其他费用为每小时240元，且单程的收入为6000元． (1)当游船以30 km/h的速度航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？(利润＝收入－成本) (2)游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)设游船的速度为v km/h，旅游公司单程获得的利润为y元， 因为游船的燃料费用为每小时k·v2元， 依题意k·202＝60，则k＝. 所以y＝6000－＝6000－15v－(0<v≤50)． v＝30 km/h时，y＝4750元． 所以当游船以30 km/h的速度航行时，旅游公司单程获得的利润是4750元． (2)y＝6000－15v－ ≤6000－2 ＝4800， 当且仅当15v＝，即v＝40时，取等号． 所以当游船的航速为40 km/h时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是4800元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$